高二半期数学考试
重庆市第一中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题
B.数列 的最大值为
C. 的面积为
D.四边形 的面积为
12.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，且 ，点 是双曲线第一象限内的动点， 的平分线交 轴于点 垂直于 交 于 ，则以下正确的是（）
A.当点 到渐近线的距离为 时，该双曲线的离心率为
B.当 时，点 的坐标为
C.当 时，三角形 的面积
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.已知抛物线 的焦点为 到双曲线 的渐近线的距离为1．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过动点 作抛物线 的切线 （斜率不为0），切点为 ，求线段 的中点 的轨迹方程．
21.已知椭圆 的右顶点为 ，左､右焦点分别为 ，直线 与椭圆 交于 ，当 与 重合时，点 在 轴上的射影为
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当 时，求 的最值．
22.设数列 的前 项和为 ．若对任意 ，总存在 ，使得 ，则称 是“ 数列”．
（1）若数列 ，判断 是不是“ 数列”，并说明理由；
（2）设 是等差数列，其首项 ，公差 ，且 是“ 数列”，
①求 值；
②设数列 ，设数列 的前 项和为 ，若 对任意 成立，求实数 的取值范围．
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 相交，则 相交D.若 ，则
10.已知平面上点 ，动点 ，以下叙述正确的是（）
A.若 ，则 的轨迹是一条直线
B.若 ，则 的轨迹是双曲线的一支
C.若 （ 为正常数，且 ），则 轨迹一定是圆
D.若 ，则 的轨迹是椭圆
11.单增数列 满足 ，点 ，对于任意 都有 ，则（）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
高二期中考试(数学)试卷含答案
高二期中考试（数学）（考试总分：100 分）一、 单选题 （本题共计10小题，总分40分）1.（4分）1．已知集合{}34,5A =，，{}4,5,6B =，则AB =A ．{}3B ．{}4,5C ．{}34,5，D ．{}34,5,6，2.（4分）2．圆22240x y x y +-+=的圆心坐标是A ．(1，2)B ．(1-，2)C ．(1，2-)D ．(1-，2-)3.（4分）3．已知向量(,1)a x =-，(4,2)b =，且a b ，则x 的值是A ．2B ．12 C ．12- D ． 2- 4.（4分）4．若运行右图的程序，则输出的结果是A ．15B ．4C ．11D ．75.（4分）5．函数()(1)x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是A ．a >1B ．0<a <1C ．1<a <2D ．·a >26.（4分）6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200．400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是A ．6．4．8B ．6，6，6C ．5，6，7 D·4，6，87.（4分）7．如图4所示，正方形的面积为1.在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ） A 、54 B 、53 C 、21 D 、528.（4分）8．不等式(1)(2)x x --≥0的解集是A ．{}12x x ≤≤B ．{}12x x <<C ．{}12x x x ≤≥或D ．{}12x x x <>或9.（4分）9．如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是A ．正方体B ．正三棱柱C ．圆柱D ．圆锥10.（4分）10．已知实数x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．3D ．5二、 填空题 （本题共计5小题，总分20分） 11.（4分）11．已知cos (0,)2παα=∈，则sin(2)______πα+=· 12.（4分）12．直线l 过点(0，2)且与直线1x =垂直，则l 的方程为____________。
高二期中考试(数学)试卷含答案
高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）1．化简 ()i 23i +=（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2.（5分）2．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的斜率为 （ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．23.（5分）3．有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为 （ ） A ．35 B ．53 C ．35CD ．35A4.（5分）4．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.（5分）5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.（5分）6．已知曲线3()=2f x x x +-在点P 处的切线平行与直线41y x =-，则点P的坐标为（ ）． A ．(1,0)B ．(1,4)--C ．(1,4)-D ．(1,0)或(1,4)--7.（5分）7．已知函数()21ln 2f x x x =-，则()f x 的单调减区间是（ ） A ．[)1,+∞B ．(],1-∞-C ．(]0,1D ．[]1,1-8.（5分）8.设函数)('x f 是偶函数)(x f 的导函数，满足0)2(=f ，且0>x 时，满足0)()('<-x f x xf ，则使得0)(<xx f 时，x 的取值范围是（ ） A.)2,2-（ B ．），（）（∞+-20,2 C ．)1,1-（ D ．），（）（200,2 - 二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．2z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限10.（5分）10.将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是（ ） A ．11114323C C C CB ．2343C AC ．3143A CD ．21342322C C A A ⋅ 11.（5分）11．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =（ )A ．在1-=x 处取极小值B ．在3=x 处取极小值C ．在)2,1-（上为增函数 D ．在)2,1(上为减函数 12.（5分）12．下列关于函数ln ()xf x x=的说法，正确的有（ ）A ．x e =为函数()f x 的极大值点B ．x e =为函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在(0,)e 上单调递增D ．函数()f x 在(,)e +∞上单调递增三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为_____________． 14.（5分）14．曲线321y x x =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为______________. 15.（5分）15．为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排6名工作人员到A ，B ，C 三个小区讲解疫情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为_________(.数字作答）.16.（5分）16．已知函数x a e x f x ln )(-=在[]41，上单调递增，则a 的取值范围为_________.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17、（10分）若复数()()2262z m m m m i =+-+--，当实数m 为何值时?（1）z 是实数；（2）z 是纯虚数.18.（12分）18、（12分）在广外佛山外校某次颁奖典礼上，需要合影留念，现有3名女生和4名男生排成一排，问：(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？19.（12分）19、（12分）已知函数13)(3+-=x x x f .（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).20.（12分）20、（12分）为了参加广外佛山外校第一届“辩论赛”，现在要从报名的5名男生和4名女生中再选出4人去参加比赛，问： （1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ （2）如果4人中既要有男生，也有女生，有多少种选法？（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？21.（12分）21、（12分）已知函数()ln ),(f x x x ax b a b R =++∈在点()()1,1f 处的切线为320x y --=． （1）求函数()f x 的解析式：（2）若对于∀x 1,14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有xx f m m )(12>--恒成立，求m 的取值范围． 22.（12分）22、（12分）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为)50(2152≤≤-=x x x R ，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（不需求出利润最大值）答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分） D 2.（5分） A 3.（5分）B 4.（5分）D 5.（5分）C 6.（5分）D 7.（5分）A 8.（5分）B二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分） 9.（5分）BCD 10.（5分） CD 11.（5分） AC 12.（5分） AC三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．i -14.（5分） 14. 035=--y x 15.（5分） 15．9016.（5分） 16．],e ∞-（四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17.（1）当z 是实数时，220m m --=，解得2m =或1m =-，所以，所求的m 值为2或1-........5分.（2）当z 是纯虚数时，222060m m m m ⎧--≠⎨+-=⎩，解得3m =-，所以，所求的m 值为3-............................10分18.（12分）18.解：（1）(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有5个元素，排成一排有55A 种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有33A 种排法，因此共有55A ·33A ＝720(种)不同排法．............................................................................4分（2）(插空法)先排4个男生，有44A 种排法，这4个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有35A 种排法，因此共有44A ·35A ＝1440(种)不同排法....................................8分（3）因为两端不排女生，只能从4个男生中选2人排列，有24A 种排法，剩余的位置没有特殊要求，有55A 种排法，因此共有24A ·55A ＝1440(种)不同排法．..........................................12分19.（12分）19.解：（1）3()31=-+f x x x ，/2()333(1)(1)∴=-=-+f x x x x ...............................................2分由'()0f x =可得1x =或1x =-..................................................................................................................4分①当/()0f x >时，1x >或1x <-；②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-....................................................6分（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：...........................................10分当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-..............................................................................12分20.（12分）20.解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有2510C =种选法，从4名女生中选出2人，有246C =种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有10660⨯=种；............................................................4分（2）先在9人中任选4人，共有49126C =种选法，4人都是男生的有545=C 种选法，4人都是女生的有144=C 种选法，则4人中既要有男生，也有女生，有12015126=--种选法..................................8分（3）先在9人中任选4人，有49126C =种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有4735C =种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有1263591-=种；...........................12分21.（12分）21.（1）由题意知：()f x 的定义域为(0,)+∞...........................................................................................1分∵()ln 1'=++f x x a ∴(1)13(1)1f a f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩......................................................................5分 故()ln 21f x x x x =+-．...........................................................................................................................6分 （2）令()1()ln 2f x h x x x x==-+，则22'111)(xxx x x h +=+=...........................................................8分 0)(1,41'>∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x h x ， ，即函数)(x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41x 上单调递增.所以要使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀>--1,41)(12x x x f m m ，恒成立...............................................................................10分 只要1)1()(1max 2==>--f xx f m m ）（即可，解得：2,1>-<m m 或．..........................................12分22.（12分）22.（1）设利润为y 万元，得⎪⎩⎪⎨⎧>--⨯-⨯≤≤---=)5(25.05.05215550(25.05.021522x x x x x x y ）即⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)5(25.01250(5.04.75212x x x x x y ）...........................6分（2）显然当05x ≤≤时，企业会获得最大利润，此时，21( 4.75)10.781252y x =--+， 4.75x ∴=，即年产量为475台时，企业所得利润最.....12分．。
南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷及答案
南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．145B ．145-C ．73D ．73-2．过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=B ．250x y ++=C ．250x y --=D ．250x y +-=3．若k ∈R ，则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．()0,πB ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（ ）A ．[]48,22-B ．[]18,8--C ．(][),4822,-∞-+∞D ．(][),188,-∞--+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ∠=∠，则PA PB的值是（ ）A ．5BC ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的周长为5C ．1290F PF ∠<︒D ．113PF ≤≤10．已知()0,2M ，()0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP =的有（ ） A ．370x -=B ．4320x y +-=C ．221x y +=D ．2222140x y x y +-+-=11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点()1,0F c -，()2,0F c ，动点P 满足212PF PF a ⋅=（a ，0c >且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF +的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．2ca ≥时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF ⊥ 三．填空题12．与双曲线2212x y -=有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x =的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=．（1）当12l l ⊥时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点()1,2A ，()1,2B --，点P 满足4PA PB ⋅=． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点()2,0Q -分别作直线MN ，RS ，交曲线Γ于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A '，B '，C '，D '四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：(1P -，(22,P，)31P -，()49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点()3,0T -，直线3x my =+与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k +是否为定值，并说明理由． 19．设a 为实数，点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=． （ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---，∴直线的方程为()5426y x -=-+，即5763y x =-+， ∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ． 2．【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=，故选B ． 3．【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<，故选B ． 4．【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴24y =或220y =-（舍去），即214y x ==， ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C【解析】当sin 0θ=时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2， 当sin 0θ≠时，则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞，即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点， 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤，即()423775m⨯+⨯--≤，解得[]48,22m ∈-，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F θ∠=，则12sin MF c θ=，22cos MF c θ=， 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=，1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<，故选D ． 8．【答案】C【法一】由题意知()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ， 直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k =-， 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠， 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠，则122121k k k -=-， 联立解得2119k =，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠，所以cos PAB ∠=，即5PA PB =， 【法二】设()00,P x y ，则00tan 2y PAB x ∠=+，00tan 2y PBA x ∠=--， 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20144169y =5PAPB==二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a =，1c ===，∴离心率12c e a ==，故选项A 错误， 对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a +==，1222F F c ==， ∴12PF F △的周长为426+=，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，12tan23F PF c b ∠==， 又∵120902F PF ∠︒<<︒，∴12302F PF∠=︒，即1260F PF ∠=︒， ∴1290F PF ∠<︒，故选项C 正确， 对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+，∴113PF ≤≤，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ，7233d R -=>=，所以直线与圆相离，不存在点P ； 对于B ，5232553d R -==<=，所以直线与圆相交，存在点P ； 对于C ，121252133C C R R ==+=+，所以两圆外切，存在点P ；对于D ，()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-，所以两圆内含，不存在点P ． 11．【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ，用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称，用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称，用x -代x ，y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a >时，122PF PF a +≥=，当0a =时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c +=，所以B 错误； 对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确； 对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为()1,PF c x y =---，()2,PF c x y =--，所以222x y c +=，由222x y c ++=22c =222c a ≥，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，将点代入双曲线方程得121λ=-=-，故方程为2212x y -=．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ， 线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x +=，故12426AB x x p =++=+=． 14．【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =-， 又点()5,4P ，则25c PF ==，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =-，交直线2x =-于点G ， 过P 作PM 垂直直线1x =-，交直线1x =-于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=，故椭圆离心率2527c e a =≤．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ⊥，则20a a +=，解得0a =．（2）由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩，解得1a =-，直线2l 的方程为220x y -+-=，即220x y -+=， 直线1l 的方程为220x y --=， 因此，1l 与2l 之间的距离为d ==． 16．【解析】（1）设(),P x y ，则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----，故轨迹方程为229x y +=． （2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n，则12S MN RS == 因为MN RS ⊥，所以224m n +=，所以)204S m ==≤≤，所以S ⎡⎤∈⎣⎦，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值17．【解析】（1） 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += （2）设()33,A x y '，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =，即22221133x y x y=∵A ，A '均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x x +=，222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值． 18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p =-，12，2，12，故抛物线E 方程为2y x =故(1P -，)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += （2）设()12,A x x ，()22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值． 19．【解析】（1）因为点()2,3在双曲线C 上，所以22222312a a -=+，整理得42780a a +-=， 即()()22180a a -+=，解得21a =，则双曲线C 的方程为2213y x -=； （2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即112y kx k =+-， 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭， 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ， 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ，2x ，()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝； （ⅱ）设()00,H x y ，由（ⅰ）得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--，()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---， 因为1112x a ≥=>，2112x a ≥=>，()()01020x x x x --<， 又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---，0120MH x x HN x x -=-， 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--，即()()()()1202012121x x x x x x --=--， 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+，所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭， 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--，解得0832kx k -=-，即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上，所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-，故点H 恒在定直线3260x y --=上．。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
2020-2021学年四川省遂宁二中高二上学期半期考试数学(理)试题
遂宁二中2020-2021学年高二上学期半期考试数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
） 1．过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为 （ ）A. 1B. 2C. 1或4D. 1或22．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切 3．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（ ）A ．58 B ．2 C ．511 D ．57 4．设有直线m ，n 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是 （ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ?α，n ?α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ?α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α5．对于a ∈R ，直线（x +y ﹣1）﹣a （x +1）=0恒过定点P ，则以P 为圆心，5为半径的圆的方程是（ ）A ． 5)2()1(22=-++y xB ．5)2()1(22=+++y xC ．5)2()1(22=++-y xD ．5)2()1(22=-+-y x6．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．27．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）A ．324πR 3B ．38πR 3C ．525πR 3D ．58πR 38．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）A ．3B ．-3C ．-2D ．29．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（ ）A ．51 B ．52C ．53D ．5410．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 （ ）A ．2＋ 5B ．4＋ 51A 1B 1C 1DA BCDC ．2＋2 5D ．511．在三棱锥A BCD -中,1,AB AC ==2DB DC ==,3AD BC ==,则三棱锥A BCD -的外接球表面积为 （ ）A ．πB ．7π4C ．7πD ．4π 12．N 为圆x 2+y 2=1上的一个动点，平面内动点M （x 0，y 0）满足|y 0|≥1且∠OMN=30°（O 为坐标原点），则动点M 运动的区域面积为 （ ）A ．334-πB ．3238-π C ．332+π D ．334+π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题四小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）考试时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为y =，所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知空间向量()1,,2a m m =+- ，()2,1,4b =- ，且a b ⊥，则m 的值为（）A.103-B.10-C.10D.103【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值.【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-.故选：B.3.已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A.10B.5C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l之间的距离510d ==.故选：A.4.已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】D 【解析】【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量，得出C 村抽取的户数，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量为()35020045020%100020%200++⨯=⨯=，C 村抽取的户数为20020040350200450++⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为400.520⨯=户．故选：D.5.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为10，则椭圆C 的离心率e 为（）A.32B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：24c =，由椭圆的定义得△PF 1F 2的周长为：2210a c +=，解得：2,3c a ==，所以离心率23c e a ==.故选：C.6.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y --=上，则圆C 的方程为（）A.()()22234x y -+-= B.()()22238x y -+-=C.()()22362x y -+-= D.()()223610x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C 经过点()2,5A，()4,3B ，可得线段AB 的中点为()3,4，又53124AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的方程为43y x -=-，即10x y -+=，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ，圆C 的半径2r ==，所以圆C 的方程为()()22234x y -+-=.故选：A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A.A 与B 互斥B.B 与C 相互独立C.()16P A = D.A 与C 互斥【答案】B 【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件B ,因此A 与B 能够同时发生，所以A 与B 不互斥，故选项A 错误；对于选项B ：31()62P B ==，61()366P C ==，31()3612P BC ==，所以()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 相互独立，即选项B 正确；对于选项C ：()51366=≠P A ，故选项C 错误；对于选项D ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件C ,因此A 与C 能够同时发生，所以A 与C 不互斥，故选项D 错误；故选：B .8.若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”)故选：B ．【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t+=-<<++，则下列说法错误的是（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c ==则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为4c e a ==，焦距为2c =；椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x轴上，a =b =，c ==这两个椭圆只有焦距相等.故选：ABC .10.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列结论错误的是（）A.AB 与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.AB 与BC夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用共线向量定义进行判断；B ：与AB同向的单位向量AB AB；C ：利用向量夹角余弦公式判断；D ：设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由此能求出结果．【详解】对于A ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，12,21AB -≠∴与AC 不是共线向量，故A 错误；对于B ：()2,1,0AB = ，则与AB同向的单位向量是)2,1,0,55AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：()()2,1,0,3,1,1AB BC ==-，∴55cos ,11AB BCAB BC AB BC⋅⋅==-，故C 错误；对于D ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =，得()1,2,5n =- ，故D 正确．故选：AC ．11.光线自点()4,2射入，经倾斜角为45︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()3,0，则反射光线经过的点为（）A.914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()9,15-C.()3,15- D.()13,2【答案】BC 【解析】【分析】先求点()4,2关于直线l 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，tan415k =︒=，设点()4,2关于直线1y x =+的对称点为m n （，），则21424122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得15m n =⎧⎨=⎩，所以反射光线所在的直线方程为()()05333251y x x -=--=--，所以当9x ＝时，15y -＝；当3x -＝时，15y ＝，故选：BC12.对于平面直角坐标系内任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：()2121,d A B x x y y =-+-，则下列命题正确的是（）A.若()()1,3,1,0A B -，则(),5d A B =B.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆C.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个椭圆D.若点C 在线段AB 上，则()()(),,,d A C d C B d A B +=【答案】AD 【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A ，设()0,0A ，(),B x y ，结合新定义可判断BC ，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，结合新定义可判断D【详解】由题意可得：当()1,3A -，()1,0B ，时()2121,11305d A B x x y y =-+-=--+-=，所以A 正确；不妨设()0,0A ，(),B x y ，由题意可得1x y +=，此时表示的几何图形是正方形，所以BC 错误；设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，所以()(),,d A C d C B +=C A C A B C B Cx x y y x x y y -+-+-+-C A C A B C B C B A B Ax x y y x x y y x x y y =-+-+-+-=-+-(),B A B A x x y y d A B =-+-=，所以D 正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.已知直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】75,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用互相垂直求出m ，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，所以()2350m m ++=，解得3m =-，联立33102240x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得直线1l 和2l 的交点坐标为75,66⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：75,66⎛⎫⎪⎝⎭14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，N 是BC 的中点，则向量1A N = _________．（用,,a b c表示）【答案】12a b c→→→-++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，111A N =AN AA =AB BN AA →→→→→-+-11122AB AD AA b c a →→→→→→=+-=+-，故答案为：12a b c→→→-++15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．【详解】党员人数一共有61098740++++=，4060%24⨯=，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是9992+=，故答案为：9．16.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB =，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P ，B ，A 三点共线，即P 点为()10,2P -时，等号成立，所以PF PE -的最大值为448+=.故答案为：8.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23；（2）经过点()6,0P -和()0,8Q .【答案】（1）2213620x y +=；（2）2216436y x +=.【解析】【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a 、c ，进而求参数b ，即可写出椭圆方程.（2）由题设知P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a 、b ，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.【小问1详解】由已知,212a =，23c e a ==，得：6a =，4c =，从而22220b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有6b =，8a =.又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为2216436y x +=.18.已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为（1）求圆A 的方程；（2）若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22124x y ++-=（2）1x =或3450x y ++=【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：2221R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，则有：1x =故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：2d ==解得：34k =-，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a b ，;（2）估计测试成绩的平均分；（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[)80,90内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =（2）76.5；（3）12【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解，（2）根据平均数的计算公式即可求解，（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =．【小问2详解】测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O 正南10km C 处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）(2,2),(12,0)A B -；||AB =（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，再由距离公式得出A ，B 之间的距离；（2）由,,A O B 三点的坐标列出方程组得出经过,,O A B 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l ，再由几何法得出直线l 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得(2,2),(12,0)A B -，∴AB ==；【小问2详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为该圆经过,,O A B 三点，∴022********F D y D =⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，得到12160D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以该圆的方程为：2212160x y x y +--=，化成标准方程为：()()2268100x y -+-=.设轮船航线所在的直线为l ，则直线l 的方程为：10y x =-，圆心（6，8）到直线:100l x y --=的距离10d r ==<=，所以直线l 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线l 与圆截得的弦长为L ==km，行驶时长0.5L t v ===小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）89（2）512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F ，()212212448C 333999P F ⎛⎫=⋅⨯+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设事A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”，E ＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以()()()()23,34P A P C P B P D ====，()()()()11,34P A P C P B P D ====则E ABCD ABCD ABCD ABCD =⋃⋃⋃，由事件的独立性与互斥性，得()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++()()()()P A P B P C P D +13232123231323215343434343434343412=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为512．22.如图，等腰梯形ABCD 中，1//,22AD BC AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.（1）证明：面PAC ⊥面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到面ACM ，求PM PD的值及平面MAC 和平面DAC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）12，5【解析】【分析】（1）先证AC CD ⊥，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】如图所示，在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，易知四边形ABCN 为平行四边形，可得CN AN DN ==，即AC CD ⊥，又PA CD ⊥，,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面DAC ，所以面PAC ⊥面ACD ；【小问2详解】取AC 的中点O ，则//ON CD ON AC ⇒⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，结合（1）的结论，可以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()()(),,0,1,0,0,0,1,AC N P D，()()(),2,1,CA PD AP ==-= ，设(],0,1PMPD λλ=∈，即()(),2,,2,1PM PD AM AP PM λλλλλ==-=+=-，设面ACM的一个法向量为(),,m x y z =，则有(()0210CA m AM m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令10,2y x z λλ=-⇒==，即()0,1,2m λλ=-，则点P 到面ACM 的距离为152m PM d m λ⋅===，即12PM PD =；易知平面ACD 的一个法向量可为()0,0,1n =，设平面MAC 和平面DAC 夹角为α，易知10,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ,所以25 cos cos,5m nm nm nα⋅===⋅.。
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高2004级第三学期半期考试
一选择题（每小题5分，共60分） 1.已知a,b,c ∈R,下列命题中正确的是 （ ）
（A ）22bc ac b a >⇒> （B ）b a bc ac >⇒>22 （C ）b
a b a 1
133<⇒>
（D ）||22b a b a >⇒>
2.下列命题
①|1|x x +的最小值是2 ②1
2
22++x x 的最小值是2 ③2
log log 2x x +的最小值是2
④x x x cot tan ,2
0+<<π
的最小值是2 ⑤x x -+33的最小值是2，其
中正确的命题个数是 （ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
3.若直线ax+by+c=0通过第一、二、三象 , 则( ) (A). ab>0, bc>0 ( B) ab>0,bc<0 (C). ab<0, bc >0 ( D). ab<0,bc<0
4.不等式5|4|2<-x x 的解集
( ) （A ）{x|-1<x<5}
（B ）{x|x>5} （C ）R
（D ）Φ
5.已知直线L 过点（2,1），且倾斜角α满足5
3
sin =α，则直线L 的方程为 （ ）
（A ） 3x-5y+2=0 （B ）3x-4y-2=0 （C ）3x+4y-10=0
（D ）3x-4y-2=0或3x+4y-10=0
6.若已知直线L 1：x-2y+4=0，直线L 2过点P （-2,1），若直线L 1到L 2
的角为45°，则直线L 2的方程为 （ ） （A ）x-y-1=0
（B ）x-3y+5=0 （C ）3x+y-7=0
（D ）3x-y+7=0
7．过点A (1, 4)且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线共有（ ）。
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 8．直线l ：2x ＋3y －1＝0 的倾斜角是（ ）。
（A ）arctg (－3
2) （B ）－arctg 3
2
（C ）π－arctg (－3
2) （D ）π＋arctg (－3
2)
9．已知a + 3b = 2 ，则3 a + 27b +3 的最小值为（ ） （A ）4 （B ）6 （C ）9 （D ） 8
10.与直线2x-y+2=0关于直线x=1对称的直线方程是 （ ） （A ）2x+y-4=0 （B ）x+2y-9=0 （C ）x+2y-4=0
（D ）2x+y-6=0
11.设x > 0, p ＝a x + a x -（ａ＞０且ａ≠１），Ｑ＝3sinx ＋cosx ，则Ｐ和Ｑ的大小关系是（ ）
(A) Ｐ≥Ｑ (B) P ≤Q (C) P > Q (D) P < Q
12．不等式1
x 2x 2x x 22+-++->0的解集是（ ）。
（A ）{x|1x -<或2x >} （B ）{x|1x 1<<-或2x 1<<} （C ）{x | 2x 1<<-} （D ）{x|1x -<或2x 1<<} 二 填空题（每小题4分，共计16分）
13.若点(a , -2)到直线3x – 4y + 4 = 0 的距离是1,则a 的值为___. 14.过点(1, 2)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程
是。
15．比较大小:3＋10(用“<”、“＝”或“>”连接)。
16．对于任意实数x , 不等式| x + 1 | - | x – 2 | > a 恒成立，则a 的取值范围是___________________.
三、解答题
17．（13分）.已知ΔABC的三个顶点的坐标为A（2，-1）、B（4，3）、C（3，-2）
（1）求BC边上的高所在直线方程；
（2）求AB边的垂直平分线方程。
18（12分）解不等式x – 1 < 7
x
4+
ax< 1 ( a > 1) 19（12分）解不等式
1
x
-
20（12分）求函数y = )23(3
1log x 的定义域
21 (12分) 求过两条直线７x + 3y – 24 = 0 和x – y = 0的交点，且与
点P （5 ，1）的距离等于10的直线方程。
22（13分）如图3，设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840cm2，在画面
左、右各留8cm空白，上、下各留5cm空白，求：怎样设计画面的长和宽(其中长大于宽)的尺寸，能使宣传画所用的纸张面积最小？并求出这个最小值。