2020年江西省南昌市高考(文科)数学二模试卷 (解析版)

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．复数z 1＝1+√3i ，z 2=√3−i ，z ＝z 1•z 2，则|z |＝（ ） A ．√3B ．2C ．2√3D ．42．集合A ={x|y =√4−x 2}，B ={y|y =√4−x 2}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．[﹣2，2]C ．[0，2]D ．{2}3．已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“a ∥b ”是“a 与b 没有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知f(x)={x −1，x ≤1lnx ，x ＞1，则不等式f （x ）＞1的解集是（ ）A ．（e ，+∞）B ．（2，+∞）C ．（1，e ）D ．（2，e ）5．已知函数f （x ）＝e x +ae ﹣x （a ∈R ）的图象关于原点对称，则f （a ）＝（ ） A ．1e −eB ．1C ．e −1eD ．e +1e6．已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2c ，sin A ＝2cos2C ，则角A 等于（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知a →，b →为不共线的两个单位向量，且a →在b →上的投影为−12，则|2a →−b →|＝（ ） A ．√3 B ．√5 C ．√6 D ．√78．直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得最大弦长为（ ） A ．2√5 B ．2√3C ．3D ．2√29．函数f （x ）=xlnxe x的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x A ，y A ）是抛物线上一点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，若|AF|=32|BF|，则|y A |＝（ ）A ．3B ．3√2C ．4D ．4√211．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆﹣﹣桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据sin37°=35）（ ）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米12．已知函数f （x ）＝sin ω（x +π6）（ω＞0）在区间（0，π）上有且仅有2个最小值点，下列判断：①f （x ）在（0，π）上有2个最大值点；②f （x ）在（0，π）上最少3个零点，最多4个零点；③ω∈(3，337)；④f （x ）在(0，5π33)上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ） A ．④B ．③④C ．②③④D ．①②③二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件{y ≥|x|−1x −3y +1≥0，则目标函数z ＝x +y 的最大值为 ．14．已知函数f （x ）＝lnx ，f （a ）+f （b ）＝1，则a +b 的最小值为 ．15．已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6，E为PD中点，过EB作平面α分别与线段PA、PC交于点M，N，且AC∥α，则PMPA=，四边形EMBN的面积为．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）求两位学生预赛成绩的平均数和方差；（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），前n项和为S n，且满足______（从①S10＝5（a10+1）；②a1，a2，a6成等比数列；③S5＝35，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若b n=1n，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°，AD⊥D1D．（Ⅰ）求证：平面D1DBB1⊥平面ABCD；（Ⅱ）若D1D＝D1B＝2，求三棱锥D﹣CC1B的体积．20．已知函数f（X）＝e x（x﹣a﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间[1，2]上的单调性；（Ⅱ）若f(x)≥ae恒成立，求实数a的最大值．（e为自然对数的底）21．已知椭圆E：y212+x24=1，过点P（0，﹣2）的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆的方程；（Ⅱ）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为（1，0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；（Ⅱ）过点A（3，2）倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|＝2|AM|，求tanα．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f(x)=|ax−1x|+|x−a x|，g（x）＝|x﹣2a|﹣|x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜g（x）+3的解集；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 1＝1+√3i ，z 2=√3−i ，z ＝z 1•z 2，则|z |＝（ ） A ．√3B ．2C ．2√3D ．4【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解． 解：由z 1＝1+√3i ，z 2=√3−i ，且z ＝z 1•z 2， ∴|z |＝|z 1z 2|＝|z 1||z 2|＝|1+√3i ||√3−i |＝2×2＝4． 故选：D ．2．集合A ={x|y =√4−x 2}，B ={y|y =√4−x 2}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．[﹣2，2]C ．[0，2]D ．{2}【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={x|y =2}={x |﹣2≤x ≤2}，B ={y|y =2}={y |0≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝[0，2]． 故选：C ．3．已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“a ∥b ”是“a 与b 没有公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用空间线线位置关系即可判断出关系． 解：“a ∥b ”⇒“a 与b 没有公共点”，反之不成立，由a 与b 没有公共点，a ，b 可能平行、可能为异面直线． ∴“a ∥b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知f(x)={x −1，x ≤1lnx ，x ＞1，则不等式f （x ）＞1的解集是（ ）A ．（e ，+∞）B ．（2，+∞）C ．（1，e ）D ．（2，e ）【分析】不等式即 {x ≤1x −1＞1①或{x ＞1lnx ＞1②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．解：∵已知f(x)={x−1，x≤1lnx，x＞1，则不等式f（x）＞1，即{x≤1x−1＞1①或{x＞1lnx＞1②．由①可得x∈∅；由②可得x＞e，综上，x＞e，故选：A．5．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）的图象关于原点对称，则f（a）＝（）A．1e−e B．1C．e−1e D．e+1e【分析】由奇函数的性质可知f（0）＝0，代入可求a，进而可求．解：由题意可知，f（x）为奇函数，故f（0）＝1+a＝0，所以a＝﹣1，f（x）＝e x﹣e﹣x，则f（a）＝f（﹣1）=1e−e．故选：A．6．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2c，sin A＝2cos2C，则角A 等于（）A．π6B．π3C．π2D．2π3【分析】由已知利用正弦定理可得sin C=12sin A，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得sin2A+sin A﹣2＝0，解方程可得sin A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．解：∵a＝2c，∴由正弦定理可得sin A＝2sin C，可得sin C=12sin A，∴sin A＝2cos2C＝2（1﹣2sin2C）＝2（1﹣2×sin 2A4），整理可得sin2A+sin A﹣2＝0，∴解得sin A＝1，或﹣2（舍去），∵A∈（0，π），∴A=π2．故选：C．7．已知a→，b→为不共线的两个单位向量，且a→在b→上的投影为−12，则|2a→−b→|＝（）A．√3B．√5C．√6D．√7【分析】根据向量a→在向量b→的方向上投影的定义求出a→•b→，进而求出|2a→−b→|即可．解：∵a→，b→为不共线的两个单位向量，且a→在b→上的投影为−12，故a→•b→=|a→|•|b→|cosθ=−12；则|2a→−b→|=√(2a→−b→)2=√4a→2+b→2−4a→⋅b→=√5+2=√7．故选：D．8．直线2x•sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√5y+2＝0截得最大弦长为（）A．2√5B．2√3C．3D．2√2【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线2x•sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√5y+2＝0截得弦长最大，据此计算可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2√5y+2＝0，即x2+（y−√5）2＝3，其圆心为（0，√5），半径r=√3，圆心到直线2x•sinθ+y＝0的距离d=√5|√1+4sinθ=√5√1+4sinθ≥√55=1，当圆心到直线的距离最小时，直线2x•sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√5y+2＝0截得弦长最大，而d=√5√1+4sinθ的最小值为1，则直线2x•sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√5y+2＝0截得最大弦长值为2×√3−1=2√2，故选：D．9．函数f（x）=xlnxe x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．解：当x→+∞时，f（x）＞0，故排除AD；f′(x)=(lnx+1)−xlnxe x，令g（x）＝lnx+1﹣xlnx，则g′(x)=1x−lnx−1，显然g′（x）在（0，+∞）上递减，且g′（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上递增，又g(1)=1＞0，g(1e2)=−1+2e2＜0，故存在x0∈(1e2，1)，使得g（x0）＝0，且当x∈（0，x0），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（x0，1），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，可排除B．故选：C．10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A（x A，y A）是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若|AF|=32|BF|，则|y A|＝（）A．3B．3√2C．4D．4√2【分析】画出图形，结合已知条件，利用|AF|=32|BF|，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），A（x A，y A）是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B（﹣1，y A），若|AF|=32|BF|，可得x A+1=32•√22+y A2，可得x A2+2x A+1=94(4+y A2)=9（1+x A），所以x A2﹣7x A﹣8＝0，解得x A＝﹣1（舍去）x A＝8，此时y A2＝32，所以|y A|＝4√2．故选：D．11．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆﹣﹣桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据sin37°=35）（ ）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米【分析】由题意，设B 点与点A 等高线值差为x ，A 处测得B 处的仰角为37度，可得A 与B 水平的距离；BC 管道长为50米，可得B 点与点C 等高线值差为40，C 与B 水平的距离为30，在结合A 处测得C 处的仰角为45度，即A 与C 的水平距离等于A 点与点C 等高线值差，从而求解x 的值；解：BC 管道长为50米，可得B 点与点C 等高线值差为40，C 与B 水平的距离为30， 因为A 处测得C 处的仰角为45度，即A 与C 的水平距离等于A 点与点C 等高线值差， 设B 点与点A 等高线值差为x ，A 处测得B 处的仰角为37度，可得A 与B 水平的距离43x ；所以43x +30=40+x ，解得x ＝30，A 点所在等高线值为20米， 因此B 点所在等高线值50米， 故选：B ．12．已知函数f （x ）＝sin ω（x +π6）（ω＞0）在区间（0，π）上有且仅有2个最小值点，下列判断：①f （x ）在（0，π）上有2个最大值点；②f （x ）在（0，π）上最少3个零点，最多4个零点；③ω∈(3，337)；④f （x ）在(0，5π33)上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ） A ．④B ．③④C ．②③④D ．①②③【分析】先求出函数f （x ）的最小值点，再解不等式即可得到ω的范围，即可判断各选项的真假．解：令ω（x +π6）=−π2+2k π．解得x =−π2+2kπω−π6， 由0＜−π2+2kπω−π6＜π，可知满足题意的k 值只有两个，而ω＞0， 所以k ＝1或k ＝2，即有0＜3π2ω−π6＜π，0＜7π2ω−π6＜π，11π2ω−π6≥π，解得，3＜ω≤337，所以③错误；当3＜ω≤337时，ω（x +π6）∈（π2，33π6] 取ω＝3.1，ω（x +π6）∈（3.1π6，21.7π6]，此时只有当ω（x +π6）=5π2时取最大值，所以①错误； 当ω=337时，ω（x +π6）＝π，2π，3π，4π，5π，有5个解，所以②错误； 当x ∈（0，5π33）时，ω（x +π6）∈（π2，3π2），而ω＞0，所以f （x ）在x ∈（0，5π33）上单调递减，④正确． 故选：A ．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件{y ≥|x|−1x −3y +1≥0，则目标函数z ＝x +y 的最大值为 3 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．解：作出变量x ，y 满足约束条件{y ≥|x|−1x −3y +1≥0，对应的平面区域如图：由z ＝x +y 得y ＝﹣x +z ， 平移直线y ＝﹣x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣x +z 经过点A 时，直线的截距最大 此时z 最大，由{x −3y +1=0y =x −1，解得A （2，1），此时z ＝2+1＝3， 故答案为：3．14．已知函数f （x ）＝lnx ，f （a ）+f （b ）＝1，则a +b 的最小值为 2√e ． 【分析】由已知结合对数运算性质可求ab ，然后结合基本不等式即可求解． 解：因为f （x ）＝lnx ，f （a ）+f （b ）＝1， 所以lna +lnb ＝lnab ＝1， 故ab ＝e ，则a +b ≥2√e ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故答案为：2√e15．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为53．【分析】根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P 点的坐标，再根据|PF 1|＝2|PF 2|即可求出5a ＝3c ，可得双曲线的离心率．解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y =ba x ，焦点坐标为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），设点P 的坐标为（m ，bam ），不妨令m ＞0，∴F 1P →=（m ﹣c ，bam ），F 2P →=（m +c ，bam ），∵以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P ，∴F 1P →•F 2P →=（m +c ，b a m ）•（m ﹣c ，ba m ）＝m 2﹣c 2+b 2a 2m 2＝0，即m ＝a ，∴P （a ，b ）， ∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴（a +c ）2+b 2＝4（a ﹣c ）2+4b 2， 即5a ＝3c ， 则e =c a =53， 故答案为：53．16．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC ∥α，则PM PA=23，四边形EMBN 的面积为 3√6 ．【分析】过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC ∥α，连结AC ，BD ，交于点O ，过O 作平面ABCD 的垂线OF ，交BE 于F ，过F 作AC 的平行线，分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，则平面EMBN 就是平面α，由此能求出结果．解：四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC ∥α， 连结AC ，BD ，交于点O ，过O 作平面ABCD 的垂线OF ，交BE 于F ， 过F 作AC 的平行线，分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ， 则平面EMBN 就是平面α，BE =√DE 2+BD 2=√9+18=3√3， ∵MN ∥AC ， ∴△PMN ∽△PAC ， ∴PM PA=MN AC=23，MN =23AC =2√2，∵AC ⊥BD ，AC ⊥PD ，BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ，∴MN ⊥平面PBD ，∴MN ⊥BE ， ∴四边形EMBN 的面积为S =12×MN ×BE =12×2√2×3√3=3√6． 故答案为：23；3√6．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙9295807583809085（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）求两位学生预赛成绩的平均数和方差；（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．【分析】（1）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；（2）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；（3）把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．解：（1）作出茎叶图如下：（2）派甲参赛比较合适，理由如下：x甲=18（70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5）＝85，x乙=18（70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5）＝85，S 甲2=18[（78﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]＝35.5，S 乙2=18[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]＝41，∵x甲=x乙，S甲2＜S乙2，（3）结合（2）甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．18．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），前n项和为S n，且满足______（从①S10＝5（a10+1）；②a1，a2，a6成等比数列；③S5＝35，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若b n=12n，求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）先分别由①②③首项与公差的关系式，然后选择①②、①③、②③条件组合，求出a n；（Ⅱ）利用错位相减法求其前n项和T n即可．解：（Ⅰ）由①S10＝5（a10+1），得10a1+10×92d=5(a1+9d+1)，即a1＝1；由②a1，a2，a6成等比数列，得a22=a1a6，a12+2a1d+d2=a12+5a1d，即d＝3a1；由③S 5＝35，得5(a 1+a 5)2=5a 3=35，即a 3＝a 1+2d ＝7；当选择①②时，有a 1＝1，d ＝3a 1＝3，此时a n ＝3n ﹣2；当选择①③时，有a 1＝1，a 3＝a 1+2d ＝7，解得d ＝3，此时a n ＝3n ﹣2；当选择②③时，有d ＝3a 1且a 3＝a 1+2d ＝7，解得a 1＝1，d ＝3，此时a n ＝3n ﹣2； 综合以上不管选择哪两个，均得a 1＝3、d ＝3，即a n ＝3n ﹣2； （Ⅱ）∵T n =12+422+723+1024+⋯+3n−22n，∴12T n =122+423+724+1025+⋯+3n−52n+3n−22n+1，两式相减得：12T n =12+3(122+123+124+⋯+12n)−3n−22n+1，得T n =1+3(12+122+123+⋯+12n−1)−3n−22n =1+3(1−12n−1)−3n−22n =4−3n+42n ． 19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且AB ＝2AD ＝4，∠DAB ＝60°，AD ⊥D 1D ． （Ⅰ）求证：平面D 1DBB 1⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若D 1D ＝D 1B ＝2，求三棱锥D ﹣CC 1B 的体积．【分析】（Ⅰ）△ABD 中，由已知求解三角形可得AD ⊥BD ，再由AD ⊥D 1D ，由直线与平面垂直的判定可得AD ⊥平面D 1DBB 1，进一步得到平面D 1DBB 1⊥平面ABCD ； （Ⅱ）取BD 的中点O ，由于D 1D ＝D 1B ，得D 1O ＝BD ，结合（Ⅰ）可得D 1O ⊥面ABCD ．求得D 1O ＝1，再由D 1C 1∥平面ABCD ，然后利用等体积法求三棱锥D ﹣CC 1B 的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：△ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝60°， 得BD 2=16+4−2×4×2×12=12， 则AD 2+BD 2＝AB 2，即AD ⊥BD ， 而AD ⊥D 1D ，DD 1∩BD ＝D ， ∴AD ⊥平面D 1DBB 1，又AD ⊂面ABCD ，∴平面D 1DBB 1⊥平面ABCD ；（Ⅱ）解：取BD 的中点O ，由于D 1D ＝D 1B ，∴D 1O ＝BD ，由（Ⅰ）可知平面D1DBB1⊥面ABCD，故D1O⊥面ABCD．∵D1D＝2，DO=√3，∴D1O＝1，∵D1C1∥平面ABCD，∴V D−CC1B =V C1−DCB=V D1−DCB=13S△BCD⋅D1O=13×12DC⋅BCsin∠DCB=16×2×2×√32=√33．20．已知函数f（X）＝e x（x﹣a﹣1）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间[1，2]上的单调性；（Ⅱ）若f(x)≥ae恒成立，求实数a的最大值．（e为自然对数的底）【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为g(x)=e x(x−a−1)−ae≥0，即g（x）min≥0，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围．解：（Ⅰ）f'（x）＝e x（x﹣a），x∈（﹣∞，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．①当a≤1时，f（x）在[1，2]上单调递增；②当1＜a＜2时，f（x）在[1，a]上单调递减，（a，2]上递增；③当a≥2时，f（x）在[1，2]的单调递减；（Ⅱ）g(x)=e x(x−a−1)−ae≥0，即g（x）min≥0，由（Ⅰ）知：g（x）在x∈（﹣∞，a）上递减，在x∈（a，+∞）上递增，则g（x）min＝g（a）≥0，即e a+1+a≤0，令h（x）＝e x+1+x，h'（x）＝e x+1+1＞0，即h（x）＝e x+1+x在R单调递增，而h（﹣1）＝e﹣1+1﹣1＝0，h（a）＝e a+1+a≤0＝h（﹣1），所以a≤﹣1，即a的最大值为﹣1．21．已知椭圆E：y212+x24=1，过点P（0，﹣2）的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B 和C ，D 四点，其中A 为椭圆E 的右顶点． （Ⅰ）求以AB 为直径的圆的方程；（Ⅱ）设以AB 为直径的圆和以CD 为直径的圆相交于M ，N 两点，探究直线MN 是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知A （2，0），求得AB 所在直线当斜率，得到AB 的方程，与椭圆方程联立求得B 点坐标，则以AB 为直径的圆方程可求；（Ⅱ）当CD 斜率存在时，并设CD 方程：y ＝kx ﹣2，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD 为直径的圆方程，与以AB 为直径的圆的方程联立，求得MN 的方程，利用直线系方程可得直线MN 过定点；然后验证CD 斜率不存在时即可． 解：（Ⅰ）由已知A （2，0），则k AB =0−(−2)2−0=1，故AB 方程：y ＝x ﹣2， 联立直线AB 与椭圆方程，消去y 可得：4y 2+12y ＝0，得y B ＝﹣3，即B （﹣1，﹣3）， 从而以AB 为直径的圆方程为：（x ﹣2）（x +1）+（y ﹣0）（y +3）＝0， 即x 2+y 2﹣x +3y ﹣2＝0；（Ⅱ）（1）当CD 斜率存在时，并设CD 方程：y ＝kx ﹣2，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．由{y 212+x 24=1y =kx −2，消去y 得：（3+k 2）x 2﹣4kx ﹣8＝0，故x 1+x 2=4k 3+k2，x 1x 2=−83+k ，从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=−123+k2，y 1y 2=(kx 1−2)(kx 2−2)=k 2x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=12(1−k 2)3+k2，而以CD 为直径的圆方程为：（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+（y ﹣y 1）（y ﹣y 2）＝0， 即x 2+y 2﹣（x 1+x 2）x ﹣（y 1+y 2）y +x 1x 2+y 1y 2＝0，① 且以AB 为直径的圆方程为x 2+y 2﹣x +3y ﹣2＝0，②将两式相减得直线MN ：（x 1+x 2﹣1）x +（y 1+y 2+3）y ﹣x 1x 2﹣y 1y 2﹣2＝0， 即（﹣k 2+4k ﹣3）x +（3k 2﹣3）y +10（k 2﹣1）＝0，可得：（k ﹣1）[（3﹣k ）x +（3k +3）y +10（k +1）]＝0，两条直线互异，则k ≠1， 即（3x +3y +10）+（3y ﹣x +10）k ＝0， 令{3x +3y +10=03y −x +10=0，解得{x =0y =−103，即直线MN 过定点(0，−103)； （2）当CD 斜率不存在时，CD 方程：x ＝0，知C(0，−2√3)，D(0，2√3)， 则以CD 为直径的圆为x 2+y 2＝12，而以AB 为直径的圆方程x 2+y 2﹣x +3y ﹣2＝0， 两式相减得MN 方程：x ﹣3y ﹣10＝0，过点(0，−103)． 综上所述，直线MN 过定点(0，−103)． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy 中，抛物线E 顶点在坐标原点，焦点为（1，0）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求抛物线E 的极坐标方程；（Ⅱ）过点A （3，2）倾斜角为α的直线l 交E 于M ，N 两点，若|AN |＝2|AM |，求tan α． 【分析】（Ⅰ）求出抛物线E 的标准方程为y 2＝4x ，然后求解极坐标方程．（Ⅱ）设过点A 的直线l 参数方程为{x =3+tcosαy =2+tsinα（t 为参数），代入y 2＝4x ，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题意抛物线E 的焦点为（1，0），所以标准方程为y 2＝4x ， 故极坐标方程为ρsin 2θ﹣4cos θ＝0；（Ⅱ）设过点A 的直线l 参数方程为{x =3+tcosαy =2+tsinα（t 为参数），代入y 2＝4x ，化简得sin 2αt 2+（4sin α﹣4cos α）t ﹣8＝0，t 1+t 2=−4sinα+4cosαsin 2α，t 1⋅t 2=−8sin 2α， 且△＝（4sin α﹣4cos α）2+32sin 2α＞0．由|AN |＝2|AM |，A 在E 内部，知t 2＝﹣2t 1，t 1⋅t 2=−2t 12=−8sin 2α得{t 1=2sinαt 2=−2sinα或{t 1=−2sinαt 2=4sinα， 所以，当t 1+t 2=−4sinα+4cosαsin 2α=−2sinα时，解得tan α＝2， 所以，当t 1+t 2=−4sinα+4cosαsin 2α=2sinα时，解得tanα=23，所以tanα＝2或tanα=2 3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f(x)=|ax−1x|+|x−a x|，g（x）＝|x﹣2a|﹣|x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜g（x）+3的解集；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）．【分析】（Ⅰ）将a＝1代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得f（x）≥2|a﹣1|，g（x）≤2|a﹣1|，由此得证．解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式为2|x−1x|＜3，平方得4x2−8+4x2＜9，则4x4﹣17x2+4＜0，得14＜x2＜4，即−2＜x＜−12或12＜x＜2，所以，所求不等式的解集(−2，−12)∪(12，2)；（Ⅱ）证明：因为f(x)=|ax−1x|+|x−a x|≥|(ax−1x)−(x−a x)|=|a−1||x+1x|=|a−1|(|x|+1|x|)≥2|a−1|，又g（x）＝|x﹣2a|﹣|x﹣2|≤（x﹣2a）﹣（x﹣2）＝2|a﹣1|，所以，不等式f（x）≥g（x）得证．。