研究性课题 多面体欧拉定理的发现

课 题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现 (一) 教学目的： 1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力 教学重点：欧拉公式的发现过程 教学难点：欧拉定义及其证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣 教学过程： 一、复习引入： 1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后） 2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线． 3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等 二、讲解新课： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 ⑹⑸

2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数V 面数F 棱数E

正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30

发现：它们的顶点数V、面数F及棱数E有共同的关系式：2VFE． 上述关系式对简单多面体都成立 3.欧拉公式的探究 1．请查出图⑹的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算V＋F－E＝6+6-10=2 2．查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E，并验证上面公式是否还成立？

3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。 可以验证：只有像⑸⑹这样，经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体才满足公式V＋F－E＝2。这个公式称为欧拉公式，这样的多面体称为简单多面体。 4．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系式： 2VFE．

证明:(方法一)

(10)ABC

DEA1B1C1D1E1E1D1C1B

1

A1

ED

CB

A

⑴如图⑽：将多面体的底面ABCDE剪掉，抻成平面图形，其顶点、棱数，面数（剪掉面用右图中ABCDE表示）均没有变，故所有面的内角总和不变。 ⑵设左图中共有F个面，分别是12,,,Fnnn边形，顶点数为V，棱数为E,则122FnnnE. 左图中，所有面的内角总和为 180)2(180)2(180)2(21Fnnn

＝180)2(21FnnnF

＝180)22(FE ()360EF ⑶右图中，所有面的内角总和为 V360V2180V2180()下下上＋（－）＋（－）剪掉的底面内角和

＝0VV2360(2)360V上上（＋－） ⑷()360EF ＝0(2)360V 整理得2VFE. （方法二）以四面体ABCD为例来说明： 将它的一个面BCD去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V、棱

数E与剩下的面数(1)F变形后都没有变 因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可 对平面图形，我们来研究： （1）去掉一条棱，就减少一个面例如去掉BC，就减少一个面ABC． 同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD．

所以(1)FE、V的值都不变，因此(1)VFE的值也不变

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉CA，就减少一个顶点C．同理，去掉DA就减少一个顶点D，最后剩下 AB（如图）．

在此过程中VE的值不变，但这时面数F是0， 所以(1)VFE的值也不变

由于最后只剩下AB，所以(1)2011VFE， 最后加上去掉的一个面，就得到2VFE． 4．欧拉示性数：

在欧拉公式中令()fpVFE，()fp叫欧拉示性数

说明：（1）简单多面体的欧拉示性数()2fp． （2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0fp．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体()1616320fp． 三、讲解范例： 例1 一个n面体共有8条棱，5个顶点，求n 解：∵2VFE，∴25FEV，∴5n． 例2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n

解：∵8V，83122E， ∴26FEV， ∴6n． 四、小结 ：欧拉定理及其证明；欧拉示性数 五、课后作业：

六、板书设计（略） 七、欧拉（Euler Lonhard，1707～1783） 欧拉，瑞士数学家及自然科学家在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝 欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位 欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心 研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金 1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利 ，成为物理学教授 在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现此外，欧拉还应俄国政府 的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题1735 年，他因工作过度以致右眼失明在1741年，他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚 体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着与此同时，他在微分方程、曲面微分几何 及其它数学领域均有开创性的发现 1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的 最后一刻 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域此外，他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770） 都成为数学中的经典著作 欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生 与发展奠定了基础 欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目他计算出ξ函数在偶数点的值 他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示 此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为0.57721566490153286060651209... 在18世纪中叶，欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学当中，在常微分方程方面，他 完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方 程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程 方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法欧拉所写的《方程的积分法研究》更是 偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文 在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给 出了空间曲线曲率半径的解析表达方式在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要 的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑他将曲面表为 z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x，y的偏导数 ，这些符号至今仍通用此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式 欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积 分等等 在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式欧拉还给出了费马小定 理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分 支欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉 1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算” 历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家．他们有一个值得注意的共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题他们的工作常常是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而力图探究宇宙的奥秘，揭示其内在的规律 欧拉留给后人丰富的科学遗产中，分析、代数、数论占4o％，几何占18％，物理和力学占28％，天文占11％，弹道学、航海科学、建筑等其他问题占3％1748年在瑞士洛桑出版的他的《无穷小分析引论》，是划时代的代表作，也是世界上第一本完整的有系统的分析学 欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理