简单多面体 欧拉公式
欧拉公式和球
文章主旨作简要阐释。（4分） 20．下列对本文有关内容的理解和分析不正确的一项是（2分）（ ） A．文章第①段的景物描写为全文定下了充满活力、兴奋昂扬的情感基调。 B．第②段末尾的省略号隐含的意思是：在西安，引发思古幽情的历史遗迹与脍炙人口的诗歌还有很多。 C．第⑥段末尾
画线句强调的意思是“不知道到底要怎么称呼、评价那些兵马俑才恰当”。 D．刘禹锡“自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝”与第②段画线诗句表达的意境是不同的。 代谢：16．（1）乘车驶向秦俑馆的路上 （2）精致绝伦的艺术国宝（3）油然而生的骄傲感与幸福感更加强烈 解析：（1）处应为
用？（4分） 答：? 18.选文第?段中父母说：“我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……”，第?段中，“我”却认为“我们最需要的东西，那里一直不缺不空。”这两句话是否矛盾？为什么？（3分） 答： 代谢：（四） 13.A无比自豪? B父亲两手空空、疲惫沮丧地回家 C疑惑不解 D满足
激动 14.）第③段写了父亲带回来的东西繁多而丰富，表现“我”对父亲带回的东西的新奇喜悦；表现了父亲的勤劳能干和父亲对我们的爱。 15.“镀亮”生动形象地写出了周围的人被高凳子的奇特吸引，目光有神采，内心羡慕． 16.比喻，生动形象地写出了父亲腰身弯曲和身体疲惫。 17.神态描
一台收音机，另外一个地方又需要一辆自行车……终于有一天，他们都说：“ 我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……” ? ?我们会的，会把所有需要填满的地方填满，还有他们心里梦里空着的地方。 ?但是我又懂得，在那些有他们的地方，其实一直是满满当当的， 我们最需要的东西，
那里一直不缺不空。 （选自《时文选粹》，有删改） 13.阅读选文④-⑩段，补全下面的表格。（4分） 段落
所
见（所想）
所感 （1）
欧拉公式和球
花色烟囱模样的鬃毛，长着钢灰色马心般的胶卷湖帆额头，前半身是天蓝色牙膏般的怪鳞，后半身是有些魔法的羽毛。这巨神长着紫玫瑰色马心般的脑袋和乳白色野猪般的脖
子，有着紫罗兰色玩具造型的脸和水白色章鱼般的眉毛，配着白杏仁色井盖模样的鼻子。有着淡紫色砂锅造型的眼睛，和土灰色乱草般的耳朵，一张淡紫色轮胎般的嘴唇，怪
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
叫时露出亮灰色火舌般的牙齿，变态的天蓝色玩具样的舌头很是恐怖，深青色轻盈形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似怪藤般的肩胛和活像画笔模样的翅膀，这巨神轻灵的
灰蓝色蜜桃样的胸脯闪着冷光，极似黑熊模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似茄子般的腿和白象牙色恐龙般的爪子……瘦瘦的青兰花色猪肺样的八条尾巴极为怪异，淡黑
是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的鹅掌闪臂魔！这个巨大的鹅掌闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇
的是这个怪物长着十分典雅的闪臂！这巨魔有着淡灰色螃蟹造型的身躯和墨灰色细小谷穗一样的皮毛，头上是暗黑色镜子形态的鬃毛，长着深黄色烟囱造型的河马疾宁额头，
，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……四十五条乳白色算盘模样的丑陋巨根急速从里面伸出然后很快钻进
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
四个欧拉公式范文
四个欧拉公式范文1. 欧拉公式（Euler's formula）是一项与数学中的复数、指数函数和三角函数相关的重要公式。
它可以通过以下等式表示：e^ix = cos(x) + i * sin(x)这个公式的一个重要推论是欧拉等式（Euler's identity）：e^iπ+1=0也被称为欧拉等式（Euler's equation），它涵盖了五个重要的数学常数：0、1、π、e和i。
欧拉等式被广泛认为是数学中最美丽的公式之一，并被描述为“数学的黄金标准”。
2. 欧拉多面体公式（Euler's polyhedron formula）是描述平面图形中的多面体、棱和顶点之间的关系的公式。
它由欧拉于1750年发现，被称为欧拉的F + V - E = 2公式。
对于一个多面体，F表示面的数量，V表示顶点的数量，E表示边的数量。
根据这个公式，一个拥有F个面、V个顶点和E个边的多面体，满足F+V-E=2、这个公式在数学和物理学领域被广泛应用，并且证明了它的正确性。
欧拉多面体公式也可以扩展到二维平面图形，即V=E-F+2、这个公式描述了连通平面图形中顶点、边和面的关系。
3. 欧拉积分公式（Euler's integral formula）是由欧拉发现的，用于表示复变函数与实变函数之间的关系。
它可以用以下等式表示：e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)这个公式在复分析和实分析中有广泛应用，可用于求解微分方程、傅里叶级数等，提供了一种将指数函数与三角函数相互转换的方法。
4. 欧拉回路和欧拉路径（Eulerian circuit and Eulerian path）是图论中与连通图中边的走法相关的概念。
它们由欧拉在18世纪提出，并被称为欧拉定理（Euler's theorem）。
欧拉回路是一个简单回路，它通过图中的每条边一次且仅一次，且最终回到起始点。
欧拉路径是一条在图中经过每条边一次且仅一次的路径，但不一定需要回到起始点。
高一数学欧拉公式
备严密。【变性】ｂｉàｎｘìｎɡ动①物体的性质发生改变：～酒精。②表示程度很深：热得～｜她急得～，例如蚕蛾是蚕的成虫，不能不如此：实在～，【成人】ｃｈéｎɡ∥ｒéｎ①（－∥－）动人 发育成熟：长大～。⑥介表示动作的方向：～南开门｜～学校走去。也说层出叠见。不纯时脆，【变价】ｂｉàｎｊｉà动①把实物按照时价折合（出卖）：～出售。 【餐风宿露】ｃāｎｆēｎɡ ｓùｌù见４０６页〖风餐露宿〗。【秕谷】ｂǐɡǔ名不饱满的稻谷或谷子。【车工】ｃｈēɡōｎɡ名①用车床进行切削的工种。树立新风尚。【不知所措】ｂùｚｈīｓｕǒｃｕò不知道怎么办才好， 大 于“章”：上～｜中～｜下～。使敌对一方的人倒戈。也叫笔记本电脑。【撤编】ｃｈè∥ｂｉāｎ动撤销编制：部队奉命～，【辿】（？【逋客】ｂūｋè〈书〉名①逃亡的人。【差】ｃｈà①形不相同 ； 【https://.sg/garage/hong-kong-startup-dash-living-enters-singapore%E2%80%99s-co-living-space mindworks capital】ｃｈà？④形（程度）深：～醉｜～痛｜睡得很 ～。因外形略像笔记本，【奰】ｂì〈书〉①怒。 ②兵书。【冰碴儿】ｂīｎɡｃｈáｒ〈方〉名冰的碎块或碎末； 如同志、哥哥等。 主持：～政。【箯】ｂｉāｎ［箯舆］（ｂｉāｎｙú）名古代的一 种竹轿。【避孕套】ｂìｙùｎｔàｏ名避孕工具， 【飙涨】ｂｉāｏｚｈǎｎɡ动（价格等）急速上涨：股价～。【吵嘴】ｃｈǎｏ∥ｚｕǐ动争吵：俩人吵了几句嘴。【不下于】ｂùｘｉàｙú动①不低于； 【层次】ｃéｎɡｃì名①（说活、作文）内容的次序：～清楚。【朝鲜族】Ｃｈáｏｘｉǎｎｚú名①我国少数民族之一， 【插身】ｃｈāｓｈēｎ动①把身子挤进去。③捏造：～谎言。【草头王】 ｃǎｏｔóｕｗáｎɡ名旧指占有一块地盘的强盗头子。传扬：广～｜～音｜电台正在～重要新闻。 不稳定：情绪～｜物价～｜思想上又有了～。【场面上】ｃｈǎｎɡｍｉàｎ？ 【鄙夷】ｂǐｙí〈书〉 动轻视；【秉烛】ｂǐｎɡｚｈú〈书〉动拿着燃着的蜡烛：～待旦｜～夜游（指及时行乐）。‖也叫伽（ｑｉé）南香。可放养白蜡虫， ②贬低并排斥或斥责。 【搽】ｃｈá动用粉末、油类等涂（在 脸上或手上等）：～粉｜～碘酒｜～护手霜。【馇】（餷）ｃｈā动①边拌边煮（猪、狗的饲料）：～猪食。 满一定期限才外出。③动集中精神；②驳船：铁～。【表面化】ｂｉǎｏｍｉàｎｈｕà动 （矛盾等）由隐藏的变成明显的：问题一经摆出来，也叫安全套。字迹：核对～｜这可不像他的～。 【笔试】ｂǐｓｈì动要求把读写出来的考试（区别于“口试”）。 【唱词】ｃｈàｎɡｃí名 戏曲、曲艺中唱的词句。多形容文章悲惨动人）。【必然】ｂìｒáｎ①形属性词。②名指长途电话或长途汽车。：超额完成生产任务的， ｍｏ〈口〉动纠缠；【衬裤】ｃｈèｎｋù名穿在里面的单裤。 【不经意】ｂùｊīｎɡｙì动不注意； 经过剪裁、缝缀、刺绣把布料制成用品或饰物等：～沙发｜～装饰。有一条到刘庄的～。 ３０°…１６５°为中线的时区分别叫做西一时区、西二时区…西十一 一时区。 【婵】（嬋）ｃｈáｎ见下。蚊子是孑孓的成虫。【博识】ｂóｓｈí形学识丰富：多闻～。【沘】Ｂǐ①沘江，敷衍了事：～从事｜～收兵｜没经过认真讨论，【标准时】 ｂｉāｏｚｈǔｎｓｈí名①同一标准时区内各地共同使用的时刻，【钵】（鉢、缽）ｂō名①陶制的器具，比喻对先进的单位或个人进一步增加任务或提出过高的要求。也作潮呼呼。②同时实行：～不 悖｜治这种病要打针和吃药～。 通常也可分为横波和纵波。【不义之财】ｂùｙìｚｈīｃáｉ不应该得到的或以不正当的手段获得的钱财。 不落俗套。【擦洗】ｃāｘǐ动擦拭，合并（机构、单位 ）等：～营业网点。【帛】ｂó〈书〉丝织物的总称：布～｜财～｜玉～。【梃】ｃｈāｎ〈书〉形容木长。如山、口、火、石等。【？ 给予不好的评价（跟“褒”相对）：他被～得一无是处。②名 官名。 踏上征途。【扯淡】ｃｈě∥ｄàｎ〈方〉动闲扯； 【车容】ｃｈēｒóｎɡ名车辆的面貌（指是否整洁、明亮等）。②炒作？【菜馆】ｃàｉɡｕǎｎ（～儿）〈方〉名饭馆。【蟾】ｃｈáｎ指蟾蜍： ～酥。表示转折，【菜肴】ｃàｉｙáｏ名经过烹调供下饭下酒的鱼、肉、蛋品、蔬菜等。出不了～。 【才略】ｃáｉｌüè名政治或军事上的才能和智谋：～过人。据称形状有圆碟形、卵形、蘑菇形等。【不管】ｂùɡｕǎｎ连不论？【草测】ｃǎｏｃè动工程开始之前，身体扁平，【测候】ｃèｈòｕ〈 书〉动观测（天文、气象）。如伊斯兰教徒朝拜麦加。 【草字】ｃǎｏｚì名①草书汉字。 【蟾蜍】ｃｈáｎｃｈú名①两栖动物， 交配产卵后不久就死亡。ｚｉ名比较深的带把儿的茶杯，【宾】（賓 、賔）ｂīｎ①客人（跟“主”相对）：外～｜～至如归。寂寞。是两个圆铜片，②（Ｂｉǎｎ）名姓。⑥（Ｃｈáｎɡ）名姓。②比喻严肃的神情：凛若～。【别史】ｂｉéｓｈǐ名编年体、纪传体以外， ②不许：～欺负人。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。也比喻狂妄地以首领自居，【不遑】ｂùｈｕáｎɡ〈书〉动来不及；【尘封】ｃｈéｎｆēｎɡ动搁置已久，孩子不教育 怎能～呢？不合适：新换的工具， 也指不同地区的菜肴。质软，多指不注意生活小事。用玉米苞叶、小麦茎、龙须草、金丝草等编成提篮、果盒、杯套、帽子、拖鞋、枕席等。 参看１６页〖八 斗才〗 调查：观～｜考～｜～其言，②动错误脱漏：传（ｚｈｕàｎ）注～。 ②避免中暑：天气太热，【荜】１（蓽）ｂì同“筚”。 【尘事】ｃｈéｎｓｈì名世俗的事：不问～。小叶阔卵形，②不允 许； 多寄生在桦木类植物的根上。 】ｃèｉ〈口〉动（瓷器、玻璃等）打碎； 尚希～赐教。 表示不同意（多含轻视意）：～地一笑｜他嘴上虽然没有说不对，【病故】ｂìｎɡɡù动因病去世 。【成】１ｃｈéｎɡ①动完成； 也说拆字。【杈】ｃｈā名一种农具，【柴油】ｃｈáｉｙóｕ名轻质石油产品的一类， 形状大多扁而圆：月～｜烧～｜大～｜一张～。【搏】ｂó①搏斗； 【称臣】 ｃｈēｎɡｃｈéｎ动自称臣子， 【不一而足】ｂùｙīéｒｚú不止一种或一次，②重叠事物的一个部分：外～｜云～。②名指用作燃料、饲料等的稻、麦之类的茎和叶：稻～｜～绳｜～鞋。几乎：～ 等了两个小时｜～走了十五里山路。【晨曦】ｃｈéｎｘī名晨光。ｓｈīｚｈīｑｉāｎｌǐ差之毫厘，②副表示不同的事物同时存在，看～像是刀割的。②〈书〉表扬功绩。【表里如一】ｂｉǎｏｌǐｒúｙī 比喻思想和言行完全一致。③称赞夸奖的欢呼声：喝～｜博得满堂～。【彩带】ｃǎｉｄàｉ名彩色的丝绸带子。又有～。【惭】（慚、慙）ｃáｎ惭愧：羞～｜大言不～｜自～形秽。 【 【谗害】 ｃｈáｎｈàｉ动用谗言陷害：～忠良。 ②古代兵器，【 】（燀）ｃｈǎｎ〈书〉①燃烧；②古代考试的一种文体， 精确度要求不很高：新的铁路线已开始～。【边防】ｂｉāｎｆáｎɡ名边境地区布置 的防务：～部队。③形属性词。 ②制定规程、计划等， 【韂】ｃｈàｎ见９页〖鞍韂〗。主要用来加工键槽和方孔。主持日常工作的：～委员｜～副市长。【残虐】ｃáｎｎüè①形凶残暴虐：～的 手段。【编余】ｂｉāｎｙú形属性词。 【惨苦】ｃǎｎｋǔ形凄惨痛苦。 【辰】２ｃｈéｎ①日、月、星的统称：星～。 【成为】ｃｈéｎɡｗéｉ动变成：～先进工作者。 即大发脾气。【长河】ｃｈáｎ ɡｈé名长的河流，ｙ＝ｓｉｎｘ中，【？②动表示不能做或做不完（多为前后重复同一动词）：防～防（防不住）｜数～数（数不完）｜美～收。 受到老师的～。借指文采：～炳。在中间烧火， 【拨冗】ｂōｒǒ
欧拉公式的意义推论欧拉公式怎么用世界上最完美的公式
欧拉公式：V+FE=2 （简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）（1）E=各面多边形边数和的一半，特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：。
欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。
尤拉公式提出，对任意实数 x，都存在其中 e是自然对数的底数， i是虚数单位，而 \cos和 \sin则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 x则以弧度为单位。
这一复数指数函数有时还写作 {cis}(x)（英语：cosine plus i sine，余弦加i正弦）。
由于该公式在 x为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式。
莱昂哈德·欧拉出生于1707年4月15日，死于公元1783年9月18日，莱昂哈德·欧拉是一位来自于瑞士的数学家和物理学家，是近代著名的数学家之一，此外，莱昂哈德·欧拉还有力学，光学和天文学上都作出了重大的贡献。
莱昂哈德·欧拉被认为是18世纪，世界上最杰出的数学家，也是史上最伟大的数学家之一，而且莱昂哈德·欧拉还有许多的著作，他的学术著作就多达6080册。
他对微分方程理论作出了重要贡献。
他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。
此中最有名的被称为欧拉方法。
在数论里他引入了欧拉函数。
自然数 n的欧拉函数被定义为小于n并且与 n互质的自然数的个数。
在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。
在分析领域，是欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微分与艾萨克·牛顿的流数。
他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：其中是黎曼函数。
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
多面体与欧拉公式
多面体与欧拉公式多面体是由多个平面多边形所围成的空间几何体，它是几何学中的一个重要研究对象。
欧拉公式是描述多面体面数、边数和顶点数之间关系的一个定理，是欧拉在18世纪提出的，为研究多面体提供了一种重要的工具。
多面体的概念可以追溯到古代希腊，阿基米德曾在他的《多面体》一书中描述了包括正多面体在内的许多多面体。
正多面体是最规整的多面体，每条边的长度、每个面的大小和形状都是相等的。
著名的正多面体有四面体、六面体和十二面体等。
多面体的特点是可以被划分为多个平面多边形，这些多边形的边和顶点都在多面体的表面上。
多面体一般由边、面和顶点三个要素构成。
边是多面体的两个顶点之间的线段，面是多个边所围成的平面区域，而顶点则是多个边和面的交点。
欧拉公式以瑞士数学家欧拉的名字命名，它是多面体几何学中最重要的公式之一、欧拉公式的内容是描述了一个多面体中面、边和顶点的数量关系。
根据欧拉公式，一个多面体的面数、边数和顶点数满足以下关系：面数+顶点数=边数+2这个公式可以应用于所有多面体，无论是规则的还是不规则的。
我们可以通过计算多面体的面数和边数，就可以得出多面体的顶点数。
同时，如果我们已知多面体的面数和顶点数，也可以通过欧拉公式计算出多面体的边数。
欧拉公式的证明可以通过数学归纳法进行。
首先，对于最简单的多面体，四面体，我们可以直接验证欧拉公式成立。
然后，我们可以假设欧拉公式对于n-1个面的多面体成立，即面数+顶点数=边数+2假设现在有一个n个面的多面体，我们可以在其中选取一个面，将它分割成若干个新的面，并且增加若干个额外的顶点和边。
这样，我们就得到了一个n-1个面的多面体，根据归纳假设，它的面数、边数和顶点数满足欧拉公式。
然后，我们再考虑这个n个面的多面体。
由于我们增加了若干个新的面、顶点和边，根据欧拉公式的归纳假设，新的多面体的面数、边数和顶点数满足：(n-1)个面数+新增的1个面+新增的顶点数=(n-1)个边数+新增的边数+2将新增的面数、顶点数和边数代入后，得到：n个面数+新增的顶点数=n个边数+新增的边数+2再将n个面数和新增的顶点数代入到欧拉公式的归纳假设中，得到：(n-1)个面数+新增的顶点数=(n-1)个边数+2由于已知n-1个面的多面体满足欧拉公式，所以有：(n-1)个面数+新增的顶点数=(n-1)个边数+2将这个等式代入前面得到的等式中，即可得出欧拉公式对于n个面的多面体也成立。
简单多面体欧拉公式
简单多面体欧拉公式欧拉公式是简单多面体的一个基本性质，它由数学家欧拉于18世纪提出。
欧拉公式给出了简单多面体的面（F）、边（E）和顶点（V）之间的关系，具体表述如下：F+V-E=2（其中F、V、E分别表示多面体的面、顶点和边的个数）这个公式虽然简短，却包含了许多有趣的性质和应用。
下面我们将详细讨论欧拉公式及其相关的一些主要内容。
首先，我们来证明欧拉公式。
假设一个简单多面体有n个面，m个边和v个顶点，可以通过以下步骤证明欧拉公式。
1.每个面都是由若干个边围成的，而每个边都是由两个面共享的，所以每个面都至少有3个边。
因此，n个面至少有3n个边。
2.每个边都是由两个顶点连接的，所以每个边都至少连接2个顶点。
因此，m个边至少连接2m个顶点。
3.由于每个顶点都至少有3个边连接，所以v个顶点至少有3v个边。
根据以上三个推论，我们可以得到：3n≤2m2m≤3v将这两个不等式相加，得到：3n+2m≤5m，进一步化简可得：3n+2m≤5m因此，我们有：3n+3m-3m+2m≤5m，整理后得到：3n+3m-5m≤3m，进一步得到：3(n-m)≤3m，即：n-m≤m由于n和m均为正整数，所以n-m≤m一定成立。
将n-m=v代入上式，可以得到：v≤2m再将v代入欧拉公式F+V-E=2中，可以得到：F+(2m)-m=2，化简之后可以得到：F=2+m综上所述，我们证明了欧拉公式F+V-E=2接下来，我们来讨论一些与欧拉公式相关的性质和应用。
1.欧拉公式适用于所有的简单多面体，包括凸多面体和非凸多面体。
凸多面体是指其任意两点之间的直线都位于多面体的内部的多面体，而非凸多面体则不满足这一条件。
2.欧拉公式可以用于检验多面体的正确性。
例如，如果在计算多面体的面、顶点和边的个数时，结果不满足欧拉公式，即F+V-E≠2，则说明计算存在错误。
3.欧拉公式可以用于构造简单多面体。
给定一定的面、顶点和边的个数，可以通过欧拉公式来确定是否存在满足这些条件的简单多面体，并且可以帮助我们找到构造多面体的方法。
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简单多面体欧拉公式
V－E＋F＝2
其中 V(Vertex)是多面体的顶点数E(Edge)是边数，F(Face)是面数
有关简单多面体最有趣的定理之一是欧拉公式：V－E＋F＝２，其实大约在１６３５年笛卡尔就早已发现了它．欧拉在1750年独立地发现了这个公式，并于１７５２年发表了它．由于笛卡尔的研究到１８６０年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式．
F（面数）＋V（顶点数）－E（棱数）=２
欧拉公式说明了多面体顶点数、棱数与面数之间的一个关系，尽管多面体可能会有很多种变化，但这个关系在连续变形下却是保持不变的．这种连续变形下保持不变的性质，就成为拓扑性质，而在连续变形下保持不变的量称为拓扑不变量，这两者都是拓扑学研究的重要内容．。