欧拉公式[1]与正多面体
多面体与欧拉公式-欧拉公式多面体
(E) 多面体的各面内角总和为3600° (F) 多面体是正二十面体
一、 复习 二、 引入 三、 归纳 四、 运用
例1
例2 练
习 五、小 结
1 .定义 2 .判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱
［说出下列简单多面体的顶点数、面数、 棱数 寄
多面体 三棱锥 四棱锥
顶点数V
4 5
面数F
4 5
棱数E
6
8
三棱柱
6
5
9
一、 复习 二、 引入
1 .定义 2.判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱 ④ 四棱柱
I说出下列简单多面体的顶点数、面数、 I棱数
4 .欧拉简
介
5 .证明 !1!
运用 例1 例2
解・设。60分子中形状为五边
"形和六边形的面各有■X个
和y个°
「•V二60, F=x+y, E=3X60 + 2
由欧拉公式，可得： 60+ &+》)
-3 X 6。手 2=2
又由多边形的边数可表示C60的棱数，即:
(5x+6y) 4- 2= (3 X 60) 4-2
什么规律？
E
多面体 顶点数V 面数F 棱数E
规律
--- A4-
■
. N棱锥 -N+1- -N+1- -2N -
•
□
O
N棱柱 -2N - -N+2 - - 3N -
欧拉多面体公式
多面体欧拉公式的历史、成立进程和方式古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派,他们发觉了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
欧几里得在《几何本来》中曾试图证明只有这五种正多面体,但没有成功。
在很长的历史时期里,那个问题没有解决。
后来,人们慢慢熟悉到,依托角度、长度、面积等几何量的测量或计算,那个问题难以解决,而从多面体的极点数、棱数和面数的关系入手,有可能取得成功。
1639年,笛卡儿考察了五种正多面体极点数(V)、棱数(E)和面数(F)的关系,采纳不完全归纳法,猜想到:极点数与面数之和减去棱数,是一个不变量2,也确实是:V+F-E=2。
后来,他又用一些简单的多面体来验证自己的猜想,可是没有给出严格的证明,也没有发表。
1751年,欧拉给出了这一性质的一个证明。
后人称它为多面体欧拉公式。
欧拉之因此对这一性质感爱好,是要用它来做多面体的分类。
[1]但欧拉没有考虑到持续变换下的不变性。
欧拉问题的提出：任意一个三角形的内角和为180度,与三角形的形状无关,进而取得任一个凸n 边形的内角和为π)2(-n ,说明凸多边形的内角和由边数完全决定,而与形状无关。
那么，推行到空间,关于由假设干个多边形围成的凸多面体,是不是也有某种类似的简单性质呢?欧拉就如此由类比提出了问题。
欧拉证明如下：一个多面体有几种角呢?每条棱处有一个由两个面组成的二面角;每一个极点处,有一个由相交于那个极点的各个面所围成的角,叫立体角(它的大小等于以立体角极点为球心的单位球面被那个立体角的各个面所截出的球面多边形的面积的大小)；每一个面多边形的每一个内角,叫多面体的一个面角。
欧拉第一考察多面体的所有二面角之和(记为∑δ）及所有立体角之和(记为∑ω),看它们是不是有某种简单的性质。
欧拉从最简单的多面体—四面体开始考察。
四面体由四个三角形围成(图1),为了便于计算,欧拉考察了两种退化的情形。
(1)四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个极点所连成的线段(图2)。
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
欧拉公式1
相关链接:七座桥的故事 相关链接 七座桥的故事
故事发生在十八世纪 的东普鲁士柯尼斯堡城 现属俄罗斯). ).普雷盖 现属俄罗斯).普雷盖 尔河穿城而过, 尔河穿城而过,河中有 两个小岛, 两个小岛,有七座桥将 小岛与两岸连接,如图 小岛与两岸连接, ,当时那里的居民都热 衷于一种游戏: 衷于一种游戏:看谁能 从某点出发一次走遍这七座桥,每座桥只走一次,最后回 从某点出发一次走遍这七座桥,每座桥只走一次, 到原出发点.在众多尝试者中竟无一人成功. 到原出发点.在众多尝试者中竟无一人成功. 千百人的失败引起了数学家欧拉的冷静思考: 千百人的失败引起了数学家欧拉的冷静思考:也许 那样的走法根本就不存在. 年他证明了这个猜想, 那样的走法根本就不存在.1736年他证明了这个猜想, 年他证明了这个猜想 并以此为题在圣彼得堡科学院作了一次报告. 并以此为题在圣彼得堡科学院作了一次报告.
正多面体
什么叫正多面体(两 什么叫正多面体( 个特征)? 个特征)? 正多面体有哪几种? 正多面体有哪几种? 为什么? 为什么?
问题1.图中有5个多面体, 问题1.图中有5个多面体,分别数出它 1.图中有 规律:V+F-E=2E,并填表 规律 F和棱数E,并填表: 们的顶点数V,面数F V,面数 们的顶点数V,面数 和棱数E,并填表:
3 1
图形编号 顶点数V 顶点数 面数F 面数
2
棱数E 棱数
1 2 3
5 12 7
5 12 8
8 24 12
比较问题1和问题2中的图形, 比较问题1和问题2中的图形,如果这些多 面体的表面都是用橡皮薄膜制作的, 面体的表面都是用橡皮薄膜制作的,并且 可以向它们的内部充气那么其中哪些多面 体能够连续(不破裂)变形, 体能够连续(不破裂)变形,最后其表面 可变为一个球面? 可变为一个球面?
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
多面体与欧拉公式
多面体与欧拉公式多面体是由多个平面多边形所围成的空间几何体，它是几何学中的一个重要研究对象。
欧拉公式是描述多面体面数、边数和顶点数之间关系的一个定理，是欧拉在18世纪提出的，为研究多面体提供了一种重要的工具。
多面体的概念可以追溯到古代希腊，阿基米德曾在他的《多面体》一书中描述了包括正多面体在内的许多多面体。
正多面体是最规整的多面体，每条边的长度、每个面的大小和形状都是相等的。
著名的正多面体有四面体、六面体和十二面体等。
多面体的特点是可以被划分为多个平面多边形，这些多边形的边和顶点都在多面体的表面上。
多面体一般由边、面和顶点三个要素构成。
边是多面体的两个顶点之间的线段，面是多个边所围成的平面区域，而顶点则是多个边和面的交点。
欧拉公式以瑞士数学家欧拉的名字命名，它是多面体几何学中最重要的公式之一、欧拉公式的内容是描述了一个多面体中面、边和顶点的数量关系。
根据欧拉公式，一个多面体的面数、边数和顶点数满足以下关系：面数+顶点数=边数+2这个公式可以应用于所有多面体，无论是规则的还是不规则的。
我们可以通过计算多面体的面数和边数，就可以得出多面体的顶点数。
同时，如果我们已知多面体的面数和顶点数，也可以通过欧拉公式计算出多面体的边数。
欧拉公式的证明可以通过数学归纳法进行。
首先，对于最简单的多面体，四面体，我们可以直接验证欧拉公式成立。
然后，我们可以假设欧拉公式对于n-1个面的多面体成立，即面数+顶点数=边数+2假设现在有一个n个面的多面体，我们可以在其中选取一个面，将它分割成若干个新的面，并且增加若干个额外的顶点和边。
这样，我们就得到了一个n-1个面的多面体，根据归纳假设，它的面数、边数和顶点数满足欧拉公式。
然后，我们再考虑这个n个面的多面体。
由于我们增加了若干个新的面、顶点和边，根据欧拉公式的归纳假设，新的多面体的面数、边数和顶点数满足：(n-1)个面数+新增的1个面+新增的顶点数=(n-1)个边数+新增的边数+2将新增的面数、顶点数和边数代入后，得到：n个面数+新增的顶点数=n个边数+新增的边数+2再将n个面数和新增的顶点数代入到欧拉公式的归纳假设中，得到：(n-1)个面数+新增的顶点数=(n-1)个边数+2由于已知n-1个面的多面体满足欧拉公式，所以有：(n-1)个面数+新增的顶点数=(n-1)个边数+2将这个等式代入前面得到的等式中，即可得出欧拉公式对于n个面的多面体也成立。
正多面体的性质和计算公式
正多面体的性质和计算公式正多面体是指所有的面都是相等正多边形，且每个顶点所围成的角都相等的立体图形。
正多面体具有一些独特的性质和计算公式，下面将对这些内容进行详细论述。
一、性质1. 对称性：正多面体具有高度的对称性。
它的每个面都可以通过旋转或镜像变换重合于另一个面。
这种对称性使得正多面体在美学和设计领域具有广泛应用。
2. 面数、棱数和顶点数的关系：设正多面体的面数为F，棱数为E，顶点数为V。
根据多面体的性质，有以下关系式：F + V = E + 23. 欧拉公式：欧拉公式是指正多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系。
根据欧拉公式，有以下等式成立：F + V - E = 24. 边长和面积：正多面体的边长可以通过计算每个面的边长来获得。
每个面上的正多边形的边长相等。
正多面体的表面积可以通过计算每个面的面积来获得，然后将各个面的面积求和。
5. 角度：正多面体的每个顶点所围成的角都相等。
不同正多面体的内角度度数不同，具体计算需要注意。
6. 对角线和体积：正多面体的对角线是连接不相邻顶点的线段。
正多面体的体积可以通过计算其底面积与高的乘积来获得，其中高是从底面到顶点的垂直距离。
二、计算公式1. 正多面体的边长计算：假设正多面体的面是正n边形，则正多面体的边长L可以通过以下公式计算：L = S / n其中，S表示正多面体的面积。
2. 正多面体的面积计算：正多面体面积的计算公式取决于具体的形状。
常见的正多面体包括立方体、正四面体、正六面体等，它们的面积计算公式如下： - 立方体的面积：A = 6a^2，其中a表示边长。
- 正四面体的面积：A = √3a^2，其中a表示边长。
- 正六面体的面积：A = 6 √3 a^2，其中a表示边长。
3. 正多面体的体积计算：正多面体体积的计算公式也取决于具体的形状。
常见的正多面体体积计算公式如下：- 立方体的体积：V = a^3，其中a表示边长。
- 正四面体的体积：V = a^3 / 6√2，其中a表示边长。
利用欧拉公式证明正多面体有且仅有5种
利用欧拉公式证明正多面体有且仅有5种正多面体是指所有面都是相等且全等的多面体，其中每个顶点的度数相等。
欧拉公式是描述多面体的顶点、边、面之间的关系的一个数学公式，可以用来推导正多面体的种类。
根据欧拉公式，一个多面体的顶点数（V）、边数（E）和面数（F）满足以下关系式：V-E+F=2首先，假设正多面体有n个面，m个顶点和k个边。
由于每个面都是正多边形，所以每个面的边数为p（p≥3），而每个顶点的度数为q（q≥3）。
由此可以得到以下关系：m = kp/2 （每条边连接两个顶点）n = mp/q （每个面包含p个边）将这些关系代入欧拉公式，得到m-m/q+n=2k-p/q+m/p=2将上述两个式子相加，消去m项，得到k+n-p/q+m/p-m/q=4k+n-(p/q)*(q/p)=4k+n-1=4k+n=5由此，我们得到了正多面体的另一个重要结论：正多面体的边数和面数之和等于5接下来，我们可以考虑不同的情况来讨论正多面体的种类。
情况1：假设正多面体的面数为3，则p/q=1/3，代入k+n=5，得到k=4-n。
根据以上条件，考虑正多面体的可能性。
-当n=3时，k=1，即一个正四面体。
-当n=4时，k=0，但是没有边的多面体是不存在的。
因此，不存在4个面的正多面体。
-当n=5时，k=-1，同样由于没有负数个边的多面体，所以也不存在5个面的正多面体。
结论1：没有三个面的正多面体。
情况2：假设正多面体的面数为4，则p/q=1/2，代入k+n=5，得到k=5-n。
根据以上条件，考虑正多面体的可能性。
-当n=3时，k=2，即一个正六面体。
-当n=4时，k=1，即一个正四面体。
-当n=5时，k=0，即一个正十二面体。
结论2：存在一个4个面的正多面体，即正四面体；存在一个6个面的正多面体，即正六面体；存在一个12个面的正多面体，即正十二面体。
情况3：假设正多面体的面数为5，则p/q=2/5，代入k+n=5，得到k=5-n。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(5)
图形编号 （5 顶点数V 5 12 7
(7)
面数F 5 12 8
(8) 棱数E 8 24 12
（7）
（6）
简单多面体
V+F-E=2（欧拉公式）
规律
E=V+F-2
E=各多面体棱数之和的一半
E=顶点数与共面顶点数之积的一在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
1 60+（x+y) － 2（3×60）=2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
1 1 （ 5x+6y)= （3×60） 2 2
由以上两个方程可解出 x=12,y=20 答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20 个．
练习
1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数V和面数F有F=2V－4的关系． （2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V 和面数F又有怎样的关系？
问题3:欧拉公式的应用
例1
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的 三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个． 1 由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= 2（3×60） 根据欧拉公式，可得
（1）
正四面体
（2）
正六面体
（3）
正八面体
正十二面体
正二十面体
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
（1）
图形编号 （1 （2）
（2）
顶点数V 4 8
（3）
面数F 4 6
（4） 棱数E 6 12
（3）
（4）
6 9
8 8
12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
讨论
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
20 12 30
几何原本
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13 卷。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而 流传最广的书籍。欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300 年，原书早已失传，1582年，意大利人利玛窦到中国传教，带来了 15卷本的《原本》。1600年，明代数学家徐光启与利玛窦相识后， 他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原 本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰（1811-1882） 和英国人伟烈亚力译完的。）。《几何原本》第一卷列有23个定义， 5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设），. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角 之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了 几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并 最终诞生了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也 不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公 设的前提下进行了另外情况的讨论。
欧拉公式
多面体
多面体的定义
若干个平面多边形围成的几何体
（1）
（2）
（3）
多面体的面
(4)
棱 顶点 六多面体等
多面体的有关概念 多面体的分类 凸多面体
四多面体 五多面体
(5)
把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各 面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体
多面体
正多面体
每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为 其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体.