多面体与欧拉公式
欧拉公式和球
文章主旨作简要阐释。（4分） 20．下列对本文有关内容的理解和分析不正确的一项是（2分）（ ） A．文章第①段的景物描写为全文定下了充满活力、兴奋昂扬的情感基调。 B．第②段末尾的省略号隐含的意思是：在西安，引发思古幽情的历史遗迹与脍炙人口的诗歌还有很多。 C．第⑥段末尾
画线句强调的意思是“不知道到底要怎么称呼、评价那些兵马俑才恰当”。 D．刘禹锡“自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝”与第②段画线诗句表达的意境是不同的。 代谢：16．（1）乘车驶向秦俑馆的路上 （2）精致绝伦的艺术国宝（3）油然而生的骄傲感与幸福感更加强烈 解析：（1）处应为
用？（4分） 答：? 18.选文第?段中父母说：“我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……”，第?段中，“我”却认为“我们最需要的东西，那里一直不缺不空。”这两句话是否矛盾？为什么？（3分） 答： 代谢：（四） 13.A无比自豪? B父亲两手空空、疲惫沮丧地回家 C疑惑不解 D满足
激动 14.）第③段写了父亲带回来的东西繁多而丰富，表现“我”对父亲带回的东西的新奇喜悦；表现了父亲的勤劳能干和父亲对我们的爱。 15.“镀亮”生动形象地写出了周围的人被高凳子的奇特吸引，目光有神采，内心羡慕． 16.比喻，生动形象地写出了父亲腰身弯曲和身体疲惫。 17.神态描
一台收音机，另外一个地方又需要一辆自行车……终于有一天，他们都说：“ 我们都老了，那些空着的地方，你们去填满吧……” ? ?我们会的，会把所有需要填满的地方填满，还有他们心里梦里空着的地方。 ?但是我又懂得，在那些有他们的地方，其实一直是满满当当的， 我们最需要的东西，
那里一直不缺不空。 （选自《时文选粹》，有删改） 13.阅读选文④-⑩段，补全下面的表格。（4分） 段落
所
见（所想）
所感 （1）
多面体与欧拉公式
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
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新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
充以气体？
充以气体？
1简单多面体：
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
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欧拉公式和球
花色烟囱模样的鬃毛，长着钢灰色马心般的胶卷湖帆额头，前半身是天蓝色牙膏般的怪鳞，后半身是有些魔法的羽毛。这巨神长着紫玫瑰色马心般的脑袋和乳白色野猪般的脖
子，有着紫罗兰色玩具造型的脸和水白色章鱼般的眉毛，配着白杏仁色井盖模样的鼻子。有着淡紫色砂锅造型的眼睛，和土灰色乱草般的耳朵，一张淡紫色轮胎般的嘴唇，怪
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
叫时露出亮灰色火舌般的牙齿，变态的天蓝色玩具样的舌头很是恐怖，深青色轻盈形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似怪藤般的肩胛和活像画笔模样的翅膀，这巨神轻灵的
灰蓝色蜜桃样的胸脯闪着冷光，极似黑熊模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似茄子般的腿和白象牙色恐龙般的爪子……瘦瘦的青兰花色猪肺样的八条尾巴极为怪异，淡黑
是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的鹅掌闪臂魔！这个巨大的鹅掌闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇
的是这个怪物长着十分典雅的闪臂！这巨魔有着淡灰色螃蟹造型的身躯和墨灰色细小谷穗一样的皮毛，头上是暗黑色镜子形态的鬃毛，长着深黄色烟囱造型的河马疾宁额头，
，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……四十五条乳白色算盘模样的丑陋巨根急速从里面伸出然后很快钻进
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
欧拉公式
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。
公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。
剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。
中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以，多面体各面的内角总和：
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600. （2）
由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以V+F-E=2.。
利用欧拉公式描述三维物体表面和体积的计算方法
利用欧拉公式描述三维物体表面和体积的计算方法欧拉公式是一个非常重要的数学公式，它可以用来描述三维物体的表面和体积。
在本文中，我们将深入探讨欧拉公式及其应用，以便更好地理解它在计算机图形学和计算机辅助设计领域的应用。
一、欧拉公式概述欧拉公式是指任何一个简单的、多面体都可以用V-E+F=2来描述，其中V表示多面体的顶点数，E表示边数，F表示面数。
这个公式与欧拉在18世纪初推导出的多面体定理有关，该定理指出，对于任何简单的、连通的、多面体，其顶点数、边数和面数的关系一定满足V-E+F=2。
对于复杂的多面体，可以将它们分解为若干个简单的多面体，利用欧拉公式计算它们的表面积和体积。
二、欧拉公式应用1. 计算多面体表面积利用欧拉公式，可以计算任何简单的多面体的表面积。
例如，对于一个正方体，其顶点数V=8，边数E=12，面数F=6，代入欧拉公式V-E+F=2中，可得8-12+6=2，因此正方体的表面积为2个单位。
同样道理，我们可以计算出其他多面体（如正方锥体、圆柱体等）的表面积。
2. 计算多面体体积对于一个简单的多面体，可以用欧拉公式计算它的体积。
例如，对于一个正方体，其体积可以通过如下方式计算：首先，将正方体分成8个小正方体，每个小正方体的体积为1/8个正方体的体积；接着，计算出一个小正方体的表面积S，整个正方体的表面积为8S；最后，整个正方体的体积等于S乘以正方体的高度。
同样道理，我们可以计算出其他多面体（如正方锥体、圆柱体等）的体积。
3. 计算三维物体的参数利用欧拉公式，我们可以计算出三维物体的各种参数，如半径、高度、面积等。
例如，对于一个圆锥体，可以通过欧拉公式计算出其底面半径和高度，从而计算出其体积和表面积。
三、总结欧拉公式是计算三维物体表面和体积的重要工具，它可以用来计算任何简单的多面体的表面积和体积，以及计算三维物体的各种参数。
在计算机图形学和计算机辅助设计领域，欧拉公式被广泛地应用，因为它可以帮助我们更好地理解和计算三维物体的特征和属性。
欧拉公式多面体 证明
欧拉公式多面体证明好的，以下是为您生成的文章：欧拉公式，这可是数学世界里一个超级厉害的家伙！咱们今天就来好好聊聊它在多面体中的神奇表现。
话说我曾经遇到过这么一个事儿。
有一次，我带着一群小朋友去参加一个数学课外活动。
活动现场摆了各种各样的多面体模型，有正四面体、正方体、正八面体等等。
小朋友们都兴奋极了，叽叽喳喳地讨论着。
其中有个叫小明的孩子，特别聪明机灵，他盯着一个正十二面体，眼睛都不眨一下。
这时候我就问大家：“你们知道这些多面体有什么神秘的规律吗？”小朋友们都摇摇头。
我就趁机引出了欧拉公式。
欧拉公式说的是对于任何一个凸多面体，它的顶点数 V、棱数 E 和面数 F 之间，总是满足 V - E + F = 2 。
咱们来仔细琢磨琢磨这个公式。
比如说正方体，它有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。
8 - 12 + 6 ，算一算，正好等于 2 。
再看看正四面体，4 个顶点，6 条棱，4 个面。
4 - 6 + 4 ，也是 2 。
那这个公式是怎么来的呢？其实证明它的方法有好几种，咱们挑一个比较容易理解的来说。
想象一下，我们把一个多面体“拆开”。
就像剥洋葱一样，一层一层地来。
先去掉一个面，把剩下的部分展成一个平面图形。
这时候，在这个平面图形里，每一条棱都被分成了两段，所以棱的数量就增加了一倍。
但是呢，因为去掉了一个面，所以面的数量就减少了 1 。
顶点的数量不变。
原本的 V - E + F = 2 ，现在变成了 V - 2E + (F - 1) = 1 。
经过一番整理和推导，就能得出原来的欧拉公式啦。
回到咱们开头说的那个活动，小明这孩子听我讲完，自己拿起一个模型就开始数顶点、棱和面，然后兴奋地喊：“老师，真的是这样！”其他小朋友也纷纷效仿，那种对知识的渴望和探索的热情，让我特别欣慰。
在学习数学的过程中，像欧拉公式这样的宝藏还有很多很多。
只要我们保持好奇心，不断去探索，就能发现更多数学的奇妙之处。
欧拉公式在多面体中的应用可不仅仅是让我们数点数棱数面这么简单。
多面体欧拉公式的发现
_ E =2 V+ F
下面有3个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E。
图形编号 顶点数V 面数F
棱数E
观察表中数据，这些图形的V、
(1) (2)
(3)
5 12 7
5 12 8
8 24 12
F和E 符合前面所找出的规律吗？
出现这些区别的原因是什么？
比较前面问题1和问题2中的图形， 如果这些多面体的 表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们内部充 气，那么其中哪些多面体能够连续(不破裂)变形，最 后其表面可变为一个球面？
答：这个形如足球的多面体中五边形和六边形的 面分别有12个和20个。
练习与测试
一个凸多面体的各面都是四边形，证明它的顶点数V和 面数F有F=V-2的关系。 答案：由各面都是四边形知，凸多面体的棱数 E 由欧拉公式 V F E 2 即F=V-2
4F 2F 2 得 V F 2F 2
基础知识形成性练习
下列说法中正确的是
（1）只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理； （2）所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理； （3）所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理；
（4）所有多面体的顶点数、棱数满足欧拉定理。
A （1）（2） B（1）（4） C（2）（3） D（3）（4）
研究性课题：
多面体欧拉公式的发现
一些定义：
回顾知识
若干个平面多边形围成的几何体叫多面体 。
围成多面体的各个多边形叫多面体的面 (Face)。
两个面的公共边叫多面体的棱 (Edge)。 若干个面的公共顶点叫多面体的顶点 (Vertex)。 一个多面体至少有 4 个面， 6 条棱， 4 个顶点．
欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导
欧拉公式多面体顶点数棱数面数关系推导嘿，咱今天来聊聊欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导。
先给您说个事儿，之前我去参加一个数学科普活动，遇到一个小朋友，拿着一个魔方，满脸疑惑地问我：“这魔方到底有啥数学秘密呀？”我当时就想到了咱们今天要说的欧拉公式。
那欧拉公式到底是啥呢？简单来说就是对于任何一个凸多面体，顶点数 V、棱数 E 和面数 F 之间都存在一个固定的关系：V - E + F = 2 。
咱们先来直观感受一下这个公式。
比如说一个正方体，它有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。
咱们算算：8 - 12 + 6 ，嘿，正好等于 2 ！那这公式咋推导出来的呢？咱们一步步来。
假设一个多面体是空心的，就像一个吹起来的气球。
咱把它的面都剪成一个个小三角形。
这时候注意啦，每剪一条棱，就会多出一个面。
比如说原来有 1 个面，2 条棱，现在剪成 2 个三角形，就有 2 个面，3条棱啦。
再想象一下，如果把这个空心多面体不断地“压缩”，就像把气球压扁。
这时候，面和棱的数量可能会变化，但是顶点数可不变哟。
咱接着来，把多面体想象成是由一个个小三角形拼接起来的。
如果两个三角形有一条公共边，那就把这条边去掉，这样面和棱的数量就会减少，但顶点数还是不变。
经过这样一系列操作，最后会得到一个像大三角形一样的东西。
这个大三角形有 3 个顶点，3 条棱，1 个面。
那咱们反推回去，每增加一个三角形，顶点数就增加 2 个，棱数增加 3 条，面数增加 1 个。
所以呀，顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 之间就有了 V - E + F = 2 这样的关系。
回到开头那个小朋友的魔方，其实魔方的每个小块儿，每个面的组合，都能从欧拉公式里找到数学的规律。
咱们在学习数学的时候，像这样看似复杂的公式，只要咱们多观察、多思考，多动手试试，就能发现其中的奥秘。
总之，欧拉公式中多面体顶点数、棱数和面数的关系推导，就像是一场有趣的数学探险，等着咱们去发现更多的惊喜！。
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
简单多面体的欧拉公式
简单多面体的欧拉公式嘿，咱们今天来聊聊简单多面体的欧拉公式。
不知道你有没有玩过积木呀？就那种小小的、五颜六色的积木块。
我记得有一次，我小侄子在那摆弄一堆积木，想要搭出一个特别酷的城堡。
他一会儿把这个积木放这儿，一会儿又把那个积木挪那儿，嘴里还嘟囔着：“这个要放在顶上，那个要当大门。
”结果呢，忙活了半天，城堡没搭成，倒弄出个奇奇怪怪的形状。
这让我想起了简单多面体的欧拉公式。
这公式说呀，对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间，都有一个神奇的关系：F + V - E = 2 。
比如说一个正方体，它有 6 个面，8 个顶点，12 条棱。
咱们来算算，6 + 8 - 12 ，是不是正好等于 2 ？再看看三棱柱，5 个面，6 个顶点，9条棱，5 + 6 - 9 ，还是 2 。
那这个公式有啥用呢？可别小瞧它！在解决很多几何问题的时候，它就像是一把神奇的钥匙。
比如说，给你一个不知道面数、棱数和顶点数具体是多少的多面体，但是告诉你其中两个量，那你就能通过欧拉公式算出第三个量。
就像我们在生活中，有时候只知道一部分情况，但是通过一些规律和方法，就能推测出其他未知的部分。
就像找路一样，知道了几个关键的地标，就能找到最终的目的地。
还有啊，在研究一些复杂的立体图形的时候，欧拉公式能帮我们理清思路。
让那些看似杂乱无章的线条和面，变得有规律可循。
想象一下，一个多面体就像是一个神秘的迷宫，而欧拉公式就是那张能指引我们走出迷宫的地图。
再回到我小侄子搭积木的事儿。
虽然他最后没搭成城堡，但是在这个过程中，他其实就在和简单多面体打交道呢。
每一块积木的形状，组合在一起的样子，都隐藏着欧拉公式的影子。
学习简单多面体的欧拉公式，不仅仅是为了应对考试中的题目，更是让我们学会用一种有条理的方式去看待周围的世界。
不管是建筑的设计，还是日常的一些小物件，很多都和多面体有关。
而欧拉公式，就像是隐藏在背后的密码，等待着我们去发现和解读。
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