人教版A版高中数学选修3-3简单多面体的欧拉公式
高二数学第九节 多面体 欧拉公式的发现知识精讲 人教版
高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a. 在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GECE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CE EH ＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。
欧拉公式和球
花色烟囱模样的鬃毛，长着钢灰色马心般的胶卷湖帆额头，前半身是天蓝色牙膏般的怪鳞，后半身是有些魔法的羽毛。这巨神长着紫玫瑰色马心般的脑袋和乳白色野猪般的脖
子，有着紫罗兰色玩具造型的脸和水白色章鱼般的眉毛，配着白杏仁色井盖模样的鼻子。有着淡紫色砂锅造型的眼睛，和土灰色乱草般的耳朵，一张淡紫色轮胎般的嘴唇，怪
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
叫时露出亮灰色火舌般的牙齿，变态的天蓝色玩具样的舌头很是恐怖，深青色轻盈形态的下巴非常离奇。这巨神有着酷似怪藤般的肩胛和活像画笔模样的翅膀，这巨神轻灵的
灰蓝色蜜桃样的胸脯闪着冷光，极似黑熊模样的屁股更让人猜想。这巨神有着活似茄子般的腿和白象牙色恐龙般的爪子……瘦瘦的青兰花色猪肺样的八条尾巴极为怪异，淡黑
是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的鹅掌闪臂魔！这个巨大的鹅掌闪臂魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇
的是这个怪物长着十分典雅的闪臂！这巨魔有着淡灰色螃蟹造型的身躯和墨灰色细小谷穗一样的皮毛，头上是暗黑色镜子形态的鬃毛，长着深黄色烟囱造型的河马疾宁额头，
，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……四十五条乳白色算盘模样的丑陋巨根急速从里面伸出然后很快钻进
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
欧拉公式和球
即AB或∠AOB 的度数
本 初 子 午 线
地轴
O A B
某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道 面所成角的度数，此角实则为线面角。
纬度-P点的纬度，也是PA∠POA 的度数
地轴
P
O
A
球的表面积和体积。 球的表面积和体积都是球半径R的函数：
（ 1 ）半径为R的球的表面积公式是： S 4R 4 3 （2）半径为R的球的体积公式是： S R 3
二、球的概念和性质
（1）球的概念 定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何 体叫球体，简称球。
（2）球的元素
球心：球中形成球的半圆的圆心叫做球心， 一个球用表示它的球心的字母来表示，如球O，
O R
球的半径 ：
连接球心和球面上的任意一点的线段 叫做球的半径，如半径OA、OB等
r R d
2
2
①当d=0时，截面过球心，此时截面的面积最大， 此圆叫球的大圆，球面被经过球心的平面截得的圆 叫做大圆．
②当d=R时，平面与球相切． ③与球心距0<d<R平面与球面截得的圆， 叫小圆．
不过球心的截面截得的圆叫球的小圆．
球面的距离
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度，这个弧长叫做两点的球面距离．
多面体欧拉公式、球
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
欧拉公式的三种形式
欧拉公式的三种形式
欧拉公式的形式：R+V-E=2，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。
欧拉公式它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现代数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。
欧拉公式一
欧拉公式一
多数时候提到欧拉公式，想到的就是祂。
有其他形式，表示sinx与cosx，也叫欧拉公式。
有个分式形式，也叫欧拉公式。
欧拉公式二
欧拉公式二
求四面体体积的，六个参数对应六条棱长。
欧拉公式三
欧拉公式三
第零类多面体的情况，知名度仅次于欧拉公式一。
有更广泛的形式，右边用欧拉示性数，也叫欧拉公式。
欧拉公式四
欧拉公式四
如图，有d²=R²-2Rr
有推论，叫欧拉不等式。
欧拉公式五
表示小于n的正整数中与n互素的数量。
人教版A版高中数学选修3-3用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式
1 2 ... n1 n1 2 S1 （1）
同理，η的第2个面变成θ上的第2个球面 多边形，设此球面多边形有n2条边，它 的n1个内角的弧度数分别为 1，2，...n1 , 其面积为S2，由球面多边形的内角和公 式有
这样，就把简单多面体η变成整个球面 θ，且η的一个面变成θ上的多边形.这 时，η的顶点数、棱数、面数与θ 上的 顶点数、棱数、面数完全相同。
把η的各个面编号：1,2，...,F.η的第 一个面变成θ上的第一个球面多边形，
设 内此角球的面弧多度边数形分有别为n1条边1，，它2，.的..nn11个,
正面体个数
正面体定义:每个面是边数相等的正多边形, 每个顶点棱数相等的多面体叫正多面体。 欧拉公式:V+F-E=2
设每个顶点的棱数为n,每个面的边数为m.(n≥3,m≥3)
2E=nV 2E=mF
2E 2E E 2 nm
2 2 2 1 nmE
2 2 4 2 1 E 6
用球面多边形的内角和公式 证明欧拉公式
(n1-2)π+ (n2-2)π+ (n3-2)π+ ···+ (nF-2)π = (n1+ n2+ n3+ ···+ nF-2F)π
=(2E-2F)π
n1
n3
n4
nF n5
n2 n8
n6
n7
(n1-2)π+ (n2-2)π+ (n3-2)π+ ···+ (nF-2)π=(2E-2F)π
V+F-E=2
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大 贡献的科学家,C60是由60个C原子构成的分子,它的 结构为简单多面体形状,这个多面体有60个顶点,在 每一个顶点都有三条棱, 各面的形状是五边形或六 边形, 你能计算出其中五边形和六边形的个数吗?
人教A版数学选修33 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合作探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
欧拉公式和球(整理2019年11月)
二、球的概念和性质
（1）球的概念 定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何 体叫球体，简称球。
（2）球的元素
球心：球中形成球的半圆的圆心叫做球心， 一个球用表示它的球心的字母来表示，如球O，
O R
球的半径 ：
连接球心和球面上的任意一点的线段 叫做球的半径，如半径OA、OB等
球的直径：
连接球面上的两点并
A
且经过球心的线段叫
做球的直径。如直径
AB
B
球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时 还包括球面所包围的空间。
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
离与球的半径R及 截面的半径，有如下关系式：
多面体欧拉公式、球
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
人教A版数学选修3-3 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用 (共13张PPT)
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合Байду номын сангаас探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
仅有上面1～3的信息，能不 能求出足球共有多少个面？
三、分组讨论，提出问题
多面体的顶点数，面数，棱 数之间有没有特定的联系？
三、合作探究，研究问题
（一）从实例出发，观察已知何体，进行猜想
几何体 四方尖塔 正五棱锥 正六棱柱 八角鼓
顶点数V 9 6 12 24
面数 F 9 6 8 18
棱数 E 16 10 18 40
每个面的 边数（n ）
3
每个顶点连 有的棱数
（m ）
3
多面体的 棱数（E ）
6
多面体的顶 点（ V）
4
4
3
12
8
3
4
12
6
5
3
30
20
3
5
30
12
多面体的面 正多面体的
数（ F）
名称
4
正四面体
6
正六面体
8
正八面体
12
正十二面体
20
正二十面体
三、合作探究，应用问题
（二）探究足球表面有多少个正五边形 1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正五边形、二个正六边形。
多面体的欧拉公式
多面体的欧拉公式在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
欧拉13岁进入瑞士巴塞尔大学读书，15岁获得学士学位，16岁又获得巴塞尔大学哲学硕士学位，轰动了当时的科学界。
但是，他的父亲却希望他去学神学。
直到小欧拉19岁时获得了巴黎科学院的奖学金之后，父亲才不再反对他读数学。
欧拉是一位创作性超群的数学家，后来从瑞士转赴俄国和德国工作，因此三个国家都声称他是本国的科学家。
有许多关于欧拉的传说。
比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。
有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。
欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。
而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。
瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。
欧拉28岁时一只眼睛失明了，后来另一只眼睛也看不见了，据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致。
尽管如此，他仍然靠心算完成了大量论文。
下面来看看欧拉公式中最著名和优美的一个。
拓扑学的欧拉公式描述了多面体顶点(Vertex)，边(Edge)和面(Face)之间的关系:V - E + F = X其中，V是多面体的顶点个数，E是多面体的棱的条数，F是多面体的面数, X是多面体的欧拉示性数(Euler characteristic)。
X是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
X 的值依赖于几何物体的形态和曲面的取向。
可定向性——大部分我们在物理世界中遇到的曲面是可定向的。
例如平面，球面与环面是可定向的。
多面体的欧拉公式的证明
多面体的欧拉公式的证明嘿，咱今天来聊聊多面体的欧拉公式的证明！多面体的欧拉公式啊，就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能打开好多有趣的大门。
这个公式说的是对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间都存在一个固定的关系，那就是 F + V - E = 2 。
先来说说证明的思路哈。
咱们可以从简单的多面体开始入手，比如说三棱柱。
三棱柱有 5 个面，9 条棱，6 个顶点。
算一算，5 + 6 - 9 ，嘿，正好等于 2 ！那咱们再复杂一点儿，来看看四棱锥。
四棱锥有 5 个面，8 条棱，5 个顶点。
同样地，5 + 5 - 8 ，还是 2 ！我记得有一次给学生们讲这个知识点，有个小家伙特别较真儿，一直问我：“老师，这到底是为啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”咱们可以这样想，把多面体想象成是用橡皮做的，然后呢，我们把它的一个面给“扒拉”开，就像是把一个气球给戳破了一个口。
这个时候，面数 F 就会减少 1 ，棱数 E 也会减少 1 ，但是顶点数 V 不变。
所以 F + V - E 的值是不变的。
然后咱们继续“扒拉”其他的面，每次这样操作，F + V - E 的值都不会改变。
一直到最后，把多面体变成了一个像平面网络一样的东西。
这个平面网络里，每一个面都是三角形。
咱们来数一数，假如有 n个三角形，那么就有3n/2 条棱。
因为每一条棱都被两个三角形共用嘛。
然后顶点数就是 n 个三角形的顶点数之和，也就是 3n 个。
面数呢，就是 n 个三角形，也就是 n 。
所以 F + V - E 就等于 n + 3n - 3n/2 ，算一算，还是 2 ！怎么样，是不是有点儿意思啦？其实数学里好多东西啊，看起来很复杂，但是只要咱们耐下心来，一步一步地去琢磨，就能发现其中的奥秘。
多面体的欧拉公式的证明，就像是一场有趣的探险。
咱们在这个过程中，不断地思考、尝试，最终找到了那个神奇的答案。
这也告诉咱们，面对难题别害怕，勇敢地去探索，总会有惊喜等着咱们！希望大家通过这次的讲解，能对多面体的欧拉公式有更深入的理解，以后在数学的海洋里畅游得更欢快！。
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为什么可以用球面多边形的内角和公 式证明简单多面体的欧拉公式呢？两 者之间有什么联系？
为了解决这个问题，我们首先 回顾简单多面体的欧拉公式。
我们知道，多面体是由若干个平 面多边形所围成的封闭的几何体， 如果一个多面体在它的每一个面 所在的平面的同一侧，那么这个 多面体称为凸多面体。
假设m代表一正多面体每块面上的边数 n代表它的每个顶点上的边数 考虑以下公式：
mF 2E F 2E
(1)
m
nV 2E V 2E
(2)
n
将(1)、(2)式代入欧拉公式，得：
V FE2
2E 2E E 2 nm
左右两边同时除以2E，得：
1 1 1 1 nm2 E
1
1
1
2
1
3
2
1
3
1
m
n
3
3
3
4
3
5
4
3
5
3
把不同的m, n值代回(1)、(2)、(3)，得：
mn
E
F
多面体名称
3
3
6
4
正四面体
3
4
12
8
正八面体
3
5
30
20
正二十面体
4
3
12
6
正六面体
5
3
30
12
正十二面体
结论
正多面体只有以下五种：
E 2mn
及 F 2E
2m 2n mn
m
当m n 3,
E
2(3)(3) 2(3) 2(3) (3)(3)
18 3
6
F
2(6) 3
4
E 2mn
及 F 2E
2m 2n mn
m
当m 3, n 5,
E
2(3)(5) 2(3) 2(5) (3)(5)
30 1
30
F
2(30) 3
m的意义
m代表一个正多面体每块面上的边数
m=4 正六面体
m=3 正四面体
n的意义
n代表一个正多面体每个顶点上的边数
n=3 正六面体
n=4 正八面体
想想看：mF = ?
m代表一个正多面体每块面上的边数
正六面体
m=4 F=6 E=12 mF=24 =2E
正八面体
m=3 F=8 E=12 mF=24 =2E
究竟有多少个正多面体呢？
欧拉公式
对简单多面体而言，其顶点数(V)、 面数(F)及棱数(E)满足以下公式：
V+F–E=2
例子：若一凸三十二面体的顶 点数是60，求它的棱数。
解： V=60, F=32
代入 V+F-E=2，得：
E = V+F-2
= 60+32-2
= 90
该多面体的棱数是90。
20
2m 2n mn 1
(3)
2mn
E
由于2m 2n mn 0 0 mn 2m 2n
4 mn 2m 2n 4
4 (m 2)(n 2)
4 (m 2)(n 2) (m 2)及(n 2)只可能是：
m-2 n-2
想想看：nV = ?
n代表一个正多面体每个顶点上的边数
正六面体
n=3 V=8 E=12 nV=24 =2E
正八面体
n=4 V=6 E=12 nV=24 =2E
一般而言，对任意正多面体，有以下结 果：
mF = 2E 及 nV = 2E
一个几何定理
定理：正多面体只有五种
证明：正多面体只有五种
例子：若一凸多面体的面全是 三角形，证明 F=2V - 4。
解：由于每块面有3条边，而每条边是两 块相邻面所共有，所以：
E = 3F/2 ………….(*)
引用欧拉公式 V+F-E=2，得：
2V+2F-2E=4
把(*)代入，得： 2V+2F–3F=4
2V- F =4
F= 2V – 4。
如果把多面体想象成由橡皮膜围 成的，对这个橡皮膜做成的多面 体进行充气，如果它能变成一个 球面，我们把这样的多面体叫做 简单多面体。
问题：以下哪些是多面体？哪 些是正多面体呢？
多面体与正多面体的定义
多面体：由若干个多边形围成的封闭立 体图形。
正多面体：每个面都有相同边数的正多 边形，而每个顶点都有相同棱数的凸多 面体。