非简单多面体
欧拉定理
欧拉定理
应用实例
例1．一个简单多面体的棱数可能是6吗？
例2．有一各面都是三角形的多面体， 顶点数V、面数F、棱数E. 求证： ，
欧拉定理
6.证明欧拉定理
方法1： 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
欧拉定理
方法2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉 一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所 有面内角总和Σα一方面，在原图中利用各 面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF， 各面内角总和为： Σα = [(n1-2)· 1800+(n2-2)· 1800 +…+(nF-2) · 1800] = (n1+n2+…+nF -2F) · 1800 =(2E-2F) · 1800 = (E-F) · 3600 （1）
欧拉定理
3.（1）拓扑变形
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面 是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会 连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。 欧拉帮助在我们引入一种新几体学----拓扑学： 我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料 （如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形 在这种变形过程中的不变的性质。
欧拉定理
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他 那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可 以使他在任何不良的环境中工作：他常常 抱着孩子在膝盖上完成论文。既使在他双 目失明后的17年间，也没有停止对数学的 研究，口述了好几本书和400余篇的论文。 当他写出了计算天王星轨道的计算要领 后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老 师。
高中数学必修课件第一章简单多面体
改进建议1
加强对多面体定义和分类的学 习，多观察、多比较不同多面 体的特征，加深对它们的认识 。
易混点2
在计算多面体的顶点数时，容 易忽略欧拉公式的应用条件。
改进建议2
明确欧拉公式的应用条件，即 适用于简单多面体，同时要注 意公式中各个量的含义和计算
章节测试题及答案解析
题目2
一个多面体的面数为8，棱数为15， 求该多面体的顶点数。
答案2
根据欧拉公式，多面体的顶点数V、 面数F和棱数E之间满足关系V+F-E=2 。将已知的F=8，E=15代入公式，得 到V=2+E-F=2+15-8=9，因此该多 面体的顶点数为9。
易错易混点剖析及改进建议
易错点1
多面体的性质
多面体的面、棱、顶点数之间的关系，以及多面体的欧拉公式等。
简单多面体的识别和作图
能够识别常见的简单多面体，并掌握其作图方法。
章节测试题及答案解析
题目1
请列举出五种不同的简单多面体，并简述它们的特征。
答案1
五种不同的简单多面体包括三棱锥、四棱锥、正方体、长方体和五棱柱。它们的特征分别是三棱锥有一个面是三 角形，其余三个面是三角形或四边形；四棱锥有一个面是四边形，其余四个面是三角形；正方体六个面都是正方 形；长方体六个面都是矩形；五棱柱有两个平行的五边形底面，侧面是矩形。
蜂巢
蜂巢是由正六边形组成的 简单多面体结构，这种结 构既节省材料又具有良好 的稳定性。
病毒
一些病毒粒子也呈现出多 面体形态，如二十面体病 毒，这些病毒粒子具有复 杂的对称性和几何结构。
科技创新中简单多面体应用案例
纳米材料
科学家利用简单多面体结构设计出具 有特定功能的纳米材料，如纳米立方 体、纳米球等，这些材料在医药、环 保等领域具有广泛应用。
多面体与欧拉公式-欧拉公式多面体
(E) 多面体的各面内角总和为3600° (F) 多面体是正二十面体
一、 复习 二、 引入 三、 归纳 四、 运用
例1
例2 练
习 五、小 结
1 .定义 2 .判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱
［说出下列简单多面体的顶点数、面数、 棱数 寄
多面体 三棱锥 四棱锥
顶点数V
4 5
面数F
4 5
棱数E
6
8
三棱柱
6
5
9
一、 复习 二、 引入
1 .定义 2.判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱 ④ 四棱柱
I说出下列简单多面体的顶点数、面数、 I棱数
4 .欧拉简
介
5 .证明 !1!
运用 例1 例2
解・设。60分子中形状为五边
"形和六边形的面各有■X个
和y个°
「•V二60, F=x+y, E=3X60 + 2
由欧拉公式，可得： 60+ &+》)
-3 X 6。手 2=2
又由多边形的边数可表示C60的棱数，即:
(5x+6y) 4- 2= (3 X 60) 4-2
什么规律？
E
多面体 顶点数V 面数F 棱数E
规律
--- A4-
■
. N棱锥 -N+1- -N+1- -2N -
•
□
O
N棱柱 -2N - -N+2 - - 3N -
多面体的概念
例5、判断下列各说法是否正确：
(1)有两个全等的多边形的面相互平行，其余各面是平
行四边形的多面体是棱柱； × (2)棱柱的侧棱彼此平行；
√
(3)棱柱的高等于棱柱的侧棱长； × (4)有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱； ×
(5)底面是正方形的棱柱是一种长方体。
×
(6)所有棱长都相等的直棱柱是一种正方体。 × (7)底面是菱形的棱柱是一种平行六面体。 √ (8)侧面都是全等矩形的棱柱是一种正棱柱。 ×
例6、判断下列各说法是否正确：
(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（ × ） (2)各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；（ × ） (3)各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（ × ） (4)棱锥的高可以是棱锥的一条侧棱长；（ √ ） (5)正四面体是一种正三棱锥。（ √ ）
A B
C
例3 、下列命题中的假命题是( B ) A. 直棱柱的侧棱就是直棱柱的高. B. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. C. 直棱柱的侧面是矩形. D. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱.
例4、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是( C ) A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直. B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直. C. 棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直. D. 棱柱的侧面与底面都是矩形.
正三棱柱
正四棱柱
正六棱柱
(3)特殊性质的棱柱
底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是
平行四边形。这样的棱柱叫做平行六面体.
D’ A’ B’ C’
D A B
C
底面是矩形的直棱柱叫做长方体
A’
D’ B’ D
C’
C B
A
所有棱长都相等的长方体叫做正方体
§9-5-1 简单常用的多面体
h' h'
S正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧 S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
R扇＝l
l扇＝
nl
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，
其余各面叫做棱柱的侧面． 不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱． 两个底面的距离叫做棱柱的高．
E1
A1 B1 C1
D1
不在同一个面上的两个顶点的连线
E
叫做棱柱的对角线，
棱柱的表示法
AH B
D C
棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
棱柱的结构特征
E’ F’A’
D’ C’ B’
C1
D1
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC,
棱锥A-D1C1C,
棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积 3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
V三棱锥
1 3
sh
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四 面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到 面的距离
3、相邻两侧面所成角相等的棱锥是正棱锥
4、侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥 是正棱锥
5、三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱 锥
认识多面体的种类和特征
认识多面体的种类和特征多面体是指由平面多边形构成的立体图形，它们的种类和特征非常丰富。
在数学中，多面体是一个重要的研究对象，它们不仅具有美妙的几何形态，还有着深刻的数学性质。
本文将介绍一些常见的多面体种类以及它们的特征。
首先，我们来认识一下最简单的多面体——正多面体。
正多面体是由相等的正多边形组成的多面体，它们的面都是相等的正多边形，而且每个顶点都是相等的。
最著名的正多面体有四面体、六面体、八面体和十二面体。
四面体是最简单的正多面体，它有四个面，每个面都是一个等边三角形。
六面体也被称为立方体，它有六个面，每个面都是一个正方形。
八面体有八个面，每个面都是一个等边三角形。
十二面体有十二个面，每个面都是一个正五边形。
这些正多面体不仅形状美观，而且具有许多有趣的性质。
除了正多面体，还有一类特殊的多面体叫做柏拉图立体。
柏拉图立体是指由相等的正多边形和相等的正多边形组成的多面体，它们的面都是相等的。
柏拉图立体的特点是每个顶点都是相等的，而且每个面都是相等的。
最著名的柏拉图立体有五个，分别是四面体、八面体、十二面体、二十面体和六十面体。
这些柏拉图立体不仅在几何学中具有重要地位，还在化学和物理等领域有广泛的应用。
除了正多面体和柏拉图立体，还有一类多面体叫做拟柏拉图立体。
拟柏拉图立体是指由不同的正多边形和正多边形组成的多面体，它们的面不全相等。
拟柏拉图立体的特点是每个顶点都是相等的，而且每个面都是相等的。
拟柏拉图立体有很多种类，其中最著名的有二十面体、二十四面体和三十面体。
这些拟柏拉图立体形态各异，具有丰富的几何特征。
除了上述几类多面体，还有一些特殊的多面体值得我们了解。
例如，棱柱是一种由两个平行的多边形底面和连接底面的矩形侧面组成的多面体。
棱锥是一种由一个多边形底面和连接底面的三角形侧面组成的多面体。
棱柱和棱锥是一些常见的多面体，它们有着独特的几何性质。
总之，多面体是一类丰富多样的立体图形，它们的种类和特征非常丰富。
人教A版数学选修33 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用
三、合作探究，应用问题
（三）知识在我身边
托起明天的太阳
三、合作探究，应用问题
（四）世界真奇妙 1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60 是由60个C原子构成的分子。这个多面体有60个顶点，以每一个顶 点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C60分 子中五边形和六边形的数目。
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
多面体与正多面体
高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点： １、欧拉公式 （如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识：1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。
一切凸多面体都是简单多面体。
4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．6思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体． （二）例题分析： 例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．说明：2,2kV E k nF E n ==条棱则过一个顶点有边形则每个面为例3： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为22，体积为6121)22(3122=⨯⨯⨯．所以体积之比为１:６．思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（31arccos -π）（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．解：（一）补成一个正方体，如图，V=31221⨯=864（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） （A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215解：D（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种(３)一个凸多面体的棱数为 ３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B （２）3（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=21(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数． 解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。
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第一章统计案例1-2回归分析的基本思想及其初步应用（第三课时）（第四课时）
一、目标：1、使学生会根据观测数据的特点来选择回归模型
2、使学生通过探究体会到有些非线性模型通过变换可以转化为
线性回归模型。
3、初步体会不同模型拟合数据的效果。
二、教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回
归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
三、教学基本流程：
回忆建立模型的基本步骤①例2 问题背景分析画散点图。
②观察散点图，分析解释变量与预报变量更可能是什么函数关系。
③学生讨论后建立自己的模型④引导学生探究如果不是线性回归模型如何估计参数。
能否利用回归模型
通过探究体会有些不是线性的模型通过变换可以转化为线性模型⑤对数据进行变换后，对数据（新）建立线性模型⑥转化为原来的变量模型，并通过计算相关指数比较几个不同模型的拟合效果⑦总结建模的思想。
鼓励学生大胆创新。
⑧布置课后作业：习题1.1 1、
附例2的解答过程：
解：依题意，把温度作为解释变量x ，产卵个数y作为预报变量, 作散点图，由观察知两个变量不呈线性相关关系。
但样本点分布在某一条指数函数y=c1e c2 x 周围.
令z=lny , a=lnc1, b=c2则z=bx+a
此时可用线性回归来拟合z=0.272x-3.843
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
Y=e0.272x-3.843
1、2回归分析的基本思想及其初步应用（习题课）(第五课时)
目标：通过习题巩固所学知识
过程：1、复习有关知识
2、典型例题：
例1：某班5名学生的数学和化学成绩如下表所示，对x与y进行回归分析，并预报某学生数学成绩为75分时，他的化学成绩。
A B C D E
数学x 88 76 73 66 63 化学y 78 65 71 64 61
解略。
例2：某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/l) 与消光系数的结果如下：
尿汞含量x 2 4 6 8 10
消光系数y 64 138 205 285 360
（1）求回归方程。
（2）求相关指数R2。
解：略。
3. 练习：选择、填空用小黑板给出。
（题来源于数学天地报）。
4. 小结。
5. 作业。