简单多面体外接球球心的确定
确定外接球球心的方法
确定外接球球心的方法确定外接球球心的方法外接球是指一个三角形的三个顶点在同一圆周上，该圆周就是外接圆，而外接圆的圆心就是外接球的球心。
确定外接球球心是解决许多几何问题的关键步骤。
本文将介绍两种确定外接球球心的方法。
方法一：三角形垂线交点法步骤一：画出给定三角形ABC及其边界线段。
步骤二：以任意一条边为底，作该边所在直线的垂线，并延长至与另两条边相交于E、F两点。
步骤三：连结EF，EF即为该三角形所对应的中垂线。
步骤四：以另一条边为底，重复以上步骤二和步骤三。
此时得到另一个中垂线GH。
步骤五：连接中垂线EF和GH的交点O即为该三角形外接圆心O。
方法二：欧拉线法欧拉线是指一个三角形ABC内切圆I、重心G、垂心H和外接圆O四个特殊点所组成的直线。
欧拉定理表明，这四个特殊点所组成的直线恰好经过了这些特殊点。
因此，我们可以通过欧拉线法来确定外接球球心。
步骤一：画出给定三角形ABC及其边界线段。
步骤二：求出该三角形的重心G，垂心H和外接圆O。
步骤三：连接重心G和外接圆O，得到OG。
连接垂心H和外接圆O，得到OH。
步骤四：连接内切圆I的圆心和重心G，得到GI。
连接内切圆I的圆心和垂心H，得到HI。
步骤五：将GI和HI延长至交于点K。
步骤六：连接K和外接圆O的交点P即为该三角形的外接球球心P。
总结：以上两种方法均可以用来确定一个三角形的外接球球心。
方法一需要画出两条中垂线并求其交点，而方法二则需要求出该三角形的重心、垂心、内切圆和外接圆等特殊点，并通过欧拉线来确定其交点。
在实际应用中，可以根据具体问题选择不同的方法进行计算。
确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A ．2B ．62C ．112D ．52【解析】 易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.故选B ． 【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
如何确定外接(内切)球的球心
角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；
②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三
棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；
③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方
体；
④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正
方体．
[例 2] 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，则其
[解析] 如图，H′，H 分别为上、下底面的中心，HH′的中心 O
为外接球的球心．
由题意得，在 Rt△OAH 中，
AH＝2 3 3，OH＝12，
则外接球的半径 R＝OA＝ AH2＋OH2＝
1192，
表面积 S＝4πR2＝139π.
[答案]
19π 3
2．构造长方体或正方体确定球心
①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三
长就是该三棱锥外接球的直径，即 2R＝ a2＋b2＋c2.
3．由球的性质确定球心
[典例 3] 正三棱锥 ABCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧棱
长为 2，则球 O 的表面积为________．
[解析] 如图，设三棱锥ABCD的外接球的半径为
AC＝AD＝2，AM⊥平面 BCD，所以 DM＝1，AM＝ 3，又 OA＝OD 23
＝r，所以( 3－r)2＋1＝r2，解得 r＝ 3 ，所以球 O 的表面积 S＝4πr2
＝136π.
[答案]
16π 3
[点评]
本题运用公式 R2＝r2＋d2(r 为三棱锥底面外接圆的半径，R 为三 棱锥外接球的半径，d 为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径， 该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半 径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几 何问题转化为平面几何问题来研究．
阅读与欣赏(七) 确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
外接球与内切球专题
【典例 1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积 为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C。
【答案】 C
【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的三视图如图所示，则它的外接球的表 面积为( )
A．16π C．8π
B．4π D．2π
【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上 的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆 的半径相等，则三棱锥的外接球的半径 R 为 1，则三棱锥的外接球的表 面积 S＝4πR2＝4π，故选 B。
【答案】 B
二、构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角 形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱 锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方 体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正 方体。
5 2 4π× 2 2＝50π。故选 D。
【答案】 D
三、由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O′的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中 点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
【典例 3】 正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧 棱长为 2，则球 O 的表面积为________。
多面体的外接球问题
3
32
3
O
2
AH
AB2 BH 2
a2
3 3
a
6a 3
又 O在AH上，且OA=OB=R
在RtBCD中，BH 2 OH 2 OB 2
3 3
a 2
6 3
a
R 2
R2
R 6 a. 4
三 .“ 补 ” 形 法 找 球 心 、 求 半 径
多面体的外接球问题
陆中华 2019.7.6
课堂导引
一.多面体的外接球的球心在哪里？ 二.常见“规则”多面体外接球的球心与半径 三.“补”形法找球心、求半径 四.求“不规则”多面体的半径
一.空间几何体外接球的球心在哪里？ 1.外接球的定义
正多面体各顶点同在一球面上，这个球 叫做正多面体的外接球。
如左图，球O为四面体D-ABC的外接球， 则
所以，外接球的球心O在过底面外 接圆圆心G的垂线（即高PG）上。
分析：
四棱锥A-MNCB体积最大，
则面AMN 面MNCB.
三角形AMN为等边三角形，
G1
O
其外接圆的圆心G1为中线
AE的三等分点.
G2
E
G2 且易得，等腰梯形 MNCB外
接圆的圆心G2为BC的中点.
分别作垂线，得交点为四棱 锥的外接球的球心O.
中心处，长方体的体对角线为其外接球 的直径。
设长方体的长宽高分别为a,b,c,则
O
2R a2 b2 c2 .
2.正方体 设正方体的棱长为a,则
2R a2 a2 a2 3a.
3.直棱柱
O h/2 R
外接球的几种常见求法
高三微专题：外接球解决外接球的三种处理方法：总的原则是找到几何体特征元素之间的关系。
1、找截面。
通过截面找到球心，得出特征元素间的关系。
如：正方体中的三种球。
2、放到特殊几何体中即补形法，熟悉几种常见的补形。
3、找球心，建立关系。
找球心的基本方法是过某个面的外心作其垂线。
常见的有线面垂直和面面垂直两类。
一、由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．二、球体公式1.球表面积S=4π2R 2.球体积公式V=334Rπ三、球体几个结论：（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直四、外接球几个常见模型O1.长方体（正方体）模型例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）答案：14练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 答案：12π2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____. 【解析】正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，，，，在中，，由勾股定理得．所以，球的表面积.练习2．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解析：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V 3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）(1) 侧棱与底面垂直：球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）半径公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)(2) 直棱柱(圆柱)球心位置：上下底面外心连线中点处公式公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例3.在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴310,)2(2222=+=R SA r R ，340π=S ，选D S ABC -练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
确定简单多面体外接球的球心的策略
确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结．1 由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1 （2012年高考辽宁卷·文16）已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa⊥平面abcd，四边形abcd是边长为23的正方形.若pa＝26，则△oab的面积为________．图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知pc的中点即为球心o.如图1，在rt△pac中，ac＝26，pc＝43，故r＝23.球心满足oa＝ob＝r＝23，故△oab为等边三角形，所以其面积s＝33．评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解．例2 （2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1，o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心，又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱，所以其外接球的球心o是o1o2的中点，如图2，于是其外接球的半径为r＝oo22+ao22＝（a2）2+（23ad）2＝（a2）2+（23×32a）2＝7a212，所以球的表面积为4π·r2＝73πa2，故选b．评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例3 （2012年高考辽宁卷·理16）已知正三棱锥p—abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上.若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为________．图3解析因为pa，pb，pc两两互相垂直，故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa，pb，pc为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3，易证op⊥平面abc，所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa＝a，则（2r）2＝3a2，所以a＝2.设正三棱锥p—abc的高为h，则va—pbc＝vp —abc，即13×12a2·a＝13×34（22）2h，解得h＝233，故球心到截面abc的距离为3－233＝33．评注（1）易知三棱锥o—abc是正三棱锥，求出其高即为所求.（2）构造正方体并找到球心是破解此题的关键．3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例4 三棱锥s—abc中，sa⊥平面abc，sa＝2，△abc是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________．图4解析设o1是△abc的外心，如图4，则o1a＝o1b＝o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1，由此可知直线oo1上任意一点与a，b，c的距离相等，故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上，又要使oa＝os，则o在线段sa的垂直平分线do上，从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点．do＝ao1＝23ae＝33，在rt△aod中，ao2＝ad2＋do2＝43，于是s球表＝4π·ao2＝163π．评注（1）一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.（2）此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点．。
确定多面体外接球球心位置的两种基本方法
确定多面体外接球球心位置的两种基本方法作者：彭建开来源：《广东教育·高中》2018年第07期多面体外接球问题，是全国卷考试命题的热点，纵观2010年到2017年这八年的全国卷试题都有考外接球（除2014年只有大纲文科卷考），因此掌握好这类问题的解法，也是高三复习备考中的基本要求.解决这类问题，关键是找到球心，而球是均匀的物体，所以几何体的中心就是球心，从这个角度来说，我们确定球心就是要找到几何体的中心. 对于规则的几何体来说，可能找到球心并不难，但对于一些不规则的几何体，找到球心就不是那么容易了. 本文介绍两种常见的找外接球的球心的方法.方法一：补形确定球心在多面体外接球问题中，直棱柱和长方体（包括正方体）的外接球球心不难找到. 如：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，和的则该球的表面积为（）A. ？仔a2B. ？仔a2C. ？仔a2D. 5？仔a2因为是一个直棱柱，上下底面中心连线段中点就是球心，凡是直棱柱的球心都是如此.很多题目都是以这两个题目作为母题，进行变式.1. 将棱锥补成直棱柱例1.（广州执信中学2017- 2018学年高三期中理11）三棱锥A-BCD中，底面△BCD是边长为3的等边三角形，侧面三角△ACD为等腰三角形，且腰长为，若AB=2，则三棱锥A-BCD外接球表面积是（）A. 4？仔B. 8？仔C. 12？仔D. 16？仔解析：如图1，可知AB⊥平面BCD，所以只需要把三棱锥补成一个直棱柱，当直棱柱与三棱柱的外接球是同一个球，所以只要求出这个直棱柱的外接球的半径就可以了. 而这个球心就在上下底面中心的连线段的中点处，BO2=BC=，OO2=1，∴ BO1=R=2，外接球表面积S=4？仔R2=16？仔，选D.例2.（华中师大附中2017-2018高三期中考试文9）如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A. 8？仔B. 16？仔C. 32？仔D. 64？仔解析：把三视图还原成直观图后，如图四，底面是个直角三角形，∠C=90°，AA1∥BB1，AA1⊥面ABC，所以要找外接球的球心，只要把这个几何体补成一个直三棱柱，就知道球心O在上下两个底面的外接圆圆心O1，O2连线段的中点上，外接球半径R=OA==2，S=4？仔R2=4？仔（2）2 =32？仔，选C.小结：多面体外接球问题，若可以补形为直棱柱，则补形为直棱柱比较简单.变式练习：1.（执信2017- 2018学年高三期中文）三棱锥S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. 32？仔B.C.D.2.（2016广州一测10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. 20？仔B.C. 5？仔D.2. 补成长方体（正方体）长方体和正方体的外接球问题比较容易，因为二者都是规则的几何体，长方体（包括正方体）的中心就是球心，即正方体的体对角线中点就是球心. 如：长方体的长宽高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.掌握了这些基本题型，很多类似的题就可以转化长方体（包括正方体）来解.例1. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A. B. 2 C. D. 3解析：如图8，因为AC，AB，AA1三条直线相互垂直，所以可以以此三边作为长方体的三条棱，补成一个长方体如图9，则长方体的对角线长l===13，所以外接球的半径R=，故选C.例2. 已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.解析：如图10，正三棱锥P-ABC，所以可以把它补成一个正方体如图11，设正方体边长为a，3a2=（2）2，BC=2，CH==，PH==，正方体的球心到H的距离d=R-PH=-=.小结：只要有三条相互垂直的棱，就可以尝试补形为长方体（或正方体）.变式练习：3. 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. 4？仔B. 12？仔C. 48？仔D. 6？仔4.（2017佛山一模文）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且PA=2，PB=3，PC=2，则此三棱锥的外接球的体积等于________.方法二：过小圆圆心作垂线确定球心若多面体不是规则图形，则寻找外接球的球心较为困难，但是可以用下面的方法去尝试，一个锥体的外接球球心，一定在过底面这个多边形所在的小圆的圆心的垂线上.例1. 某几何体的三视图如图13所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（）A. 5？仔B. ？仔C. 8？仔D.解析：直观图如图14所示，外接球球心一定在与三角形ABC的外心垂直的直线上，不妨设球心为O，所以OS=OA=R，（-x）2+12=（）2+x2，x=，R2=，S=4？仔×=，选D.例2. 在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A. 11？仔B. 7？仔C.D.解析：如图16所示，要找到外接球的球心，考虑到三点A、B、C在球上，所以我们先设经过这三点的小圆圆心为O1，球心O一定在过O1与平面ABC垂直的直线上，设球心为O，过O作OH⊥SA，可知O1O=HA=1，OH=O1A，O1A是三角形ABC外接圆圆心，设它的半径为r，计算得BC=，=2r，r=，所以OA2=R2=OO12+r2=12+（）2=，所以外接球的表面积S=4？仔R2=4？仔×= ，故选C.小结：过锥体的底面所在的小圆圆心作垂线，球心就在此垂线上，再通过计算可以求出半径.变式练习：5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B. 16？仔 C. 9？仔 D.6. 如图18，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=2，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为（）A. 2？仔B. 4？仔C. 8？仔D. 12？仔变式练习答案：1. B；2. D；3. B；4. ；5. A；6. D责任编辑徐国坚。
例析确定多面体外接球球心之法
2sin-^cos-^・ acos 命题2在△ABC 中，有a 2cos 2^^ +62cos 2^~^ + c 2cos 2^ W be + ca + ab .(5)证明:在△ABC 中，由正弦定理得合 =b + csinA _ 2sin£cos 号 _ si 碍sinB + sinC n • B + C B — C B — C Zsin —-—cos —— cos ——(因专一尙.即 acos B^C_ =(b + c )siny 二0 + c)cos〃；C (6).由(6)并结合射影定理，得 /cos?〃5C 二acos 〃；(・acos *=(b + c) cos〃；C • acos "=专a (b + c)-(cosB + cosC)=寺a [(6cosC + ccosB)+(bcosB +ccosQ] = ya ( a + bcosB + ccosC) •同理可证 /cos? C £ 人=*b(b + ccosC + acosA), c 2cos 2^=专c(c + acosA + bcosB).以上三式相加,并注意 到 a 2 + 62 + c 2 = 2&ccos4 + 2cacosB + 2abcosC , 得 a 2cos 2 2+ /cos" / + c 2cos 2-^ ~=-i-[(a 2 + i 2 + c 2) + a(b + c) cosA + b(c + a) cosB+c(a + 6)cosC]—鲁(/ + 62 + c 2j + -^(bccosA +cacosB + afecosC) +(& + c)cosA + b(c + a)cosB+c(a + 6)cosC] = £(/ + 62 + c 2) + *(bc + ca + ab) •(cosA + cosB + cosC).把三角形恒等式cosA + cosB + cosC 二 l+£ 代 入上式，有/COS?与C+ 护C OS?号■ + Aos?牡鸟+*2)+寺(1+剖他 + ca + ab) 1 应用于(7),有 a 2c os 2 2 + /cos"/2 =*/ +（7）.将命题+c 2cos 2 2 - 令+ ca + ab) + *(1 +£)(bc + ca + ab) = be+ ca + ab.命题 2 获证.K参考文献[1]安振平.外森比克不等式的再探究[J]・中学数学教学,2015,⑵.（浙江省湖州市双林中学周秋斓李建潮313012 ）例析确定多面体外接球球心之法1在直角三角形斜边的中点例4如图1.在三棱锥D-ABC 中， AD = CD=1 , AC = BC=^2 , AB = 2，平面 仙C 丄平面ABC 侧外接球的体积为_____解：由AC =BC=41, AB = 2 ,知AC 丄BC.平面4DC 丄平面ABC. 面ADCCI 面4BC= AAC.贝!I BC 丄面 ACD , BC 丄CD.因 此 BD=^CD 2 + BC 2 = ^l3 .又 AD=1 ,AD 2 + BD 2=AB 2，于是 AD 丄 BD.因此 AADB和AACB 均为直角三角形，如图2所示.取斜边的中点O ,显然 OA = OB = OC = OD,于是点O 为三棱 锥D-ABC 外接球的球心.设球的半径为7?,则D・55・R=OA=1，于是外接球的体积点评：直角三角形斜边上的中点到直角三角形各顶点的距离相等，寻找有公共斜边的两个直角三角形是解题的关键.2过截面圆圆心的垂线上例2在三棱锥中，人召，其余各棱长都为2,则三棱锥外接球的表面积为_______•解:如图3所示.取CD的中点M,连AM, BM.由MCD,ABCD A均为边长为2的等边三角形，则AM=BM=^3,且4M丄CD.又AM2+BM2=AB2，则4M丄而BMP\CD=M，故力M丄面BCD.设AACD, ABCD的外心分别为H,K,过点H,K分别作平面ACD和平面BCD的垂线,两垂线的交点为O,则O为球心.显然四边形OHMK为矩形,由平面几何知识知：OK=HM=jx^3二普,刃迅X®铮•设球的半径为R，则R2=0K2+EK2=53，故球的表面积为S表=加疋-4tt x-j=胃点评:依据“球心在经过截面圆圆心并与截面圆垂直的直线上”确定球心位置.3长方体对角线的中点例3已知缶B,C,D都在同一球面上，AC=BD=yll3,AD=BC=5,AB=CD=2y[5,则球的表面积为____________•解：由题目给出的数据联想到有一个长宽高分别为4,3,2的长方体，满足42+22=20,42+32=25,22+32=13.如图4所示.4C,BD,AD,BC,AB,CD分别是6个面上的面对角线,于是长方体的体对角线即为夕卜接球的直径设球的半径为R，则(2R)2=42+32+22=29,即4R2=29,于是S表=4也?2=29ir.点评:将几何体放入长方体中，长方体体对角线即为球的直径，球心即为长方体体对角线的中点，此种方法可不用指出球心的具体位置.4坐标法求解例5如图5•网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体外接球的半径为________.解:如图6所示.在棱长为4的正方体中，A,B,C,。
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简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结
1.由球的定义确定球心
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
2．构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
3.由性质确定球心
利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.
二、典型例题
1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边
长为.若PA =，则OAB ∆的面积为多少？
2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？
3、已知正三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 的球面上.若,,PA PB PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为多少？
4、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ∆是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？
5、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==
2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23
，则这个球的表面积为多少？
6、四面体的三组对棱分别相等，棱长为.
7、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积.
8、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD -.
9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
10、在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0
DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为 . 11、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 .
12、已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若
6,AC=213,AD=8AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .
三、几点补充
1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2=。
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231=
=。
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心）
内切球半径为： 612
r a = 外接球半径为：a R 46=
图1 图2
图3。