简单多面体外接球问题总结
简单多面体的外接球问题
２
４
ｌ
ｔ ｉ？
＝＝
４ ｊｔ
Ｘ
＾
＝
。
Ｚ
＾
可转化为 直棱 柱 的 外 接球 模 型
例
３
规 律方 法
（ １ ）
：
已知
，
Ｓ
，
Ａ Ｂ Ｃ
， ， ，
是球
焱５
Ｏ
＝
表面上的点
５０
＝
，
ＳＡ
丄
〇
正 方 体或 长 方 体 的 外 接 球 的 球 心 是 其 体 对 角
平面
々 ５ （： ４ ５ 丄 ４ （ ： ５ ４
１ ， ，
、
。
下 面笔 者介 绍 这 几 类题
且
关４
则
；
１
：
１
＋
，
＾ 图
１
＝ ：１： ２
２
型 的处 理方法 与读 者交 流
，
。
分 析 在 选项 Ａ 中
：
因为抛物线 的 开 口 向 下
二
，
所
１
拟你
１
聚焦
二
一
＿
ｎ 次 函数的图像
、
以
一
ａ
＜
＝
〇
，
由 图
像可 以看 出
１
次 函 数 的 对称轴 为
＝
１
时函数可以取到 最
ｊ：
＝
１
曰 所不 那 么 下 面选项 中正 确 的 是
１ ｜？
，
， （
、 ）
大值 所以 当
？ ，
、 、？ ７ 私 Ｔ ｅｅ … 廿 仙 故 “
，
两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类 近年来， 高考题中常常出现简单多面体外接球问题， 问题能有效考查学生的空间想象能力， 它自然受到命题者的青 睐． 简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心 的位置问题， 解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心 与球半径， 下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法， 供参考． 一、 深入理解球的定义， 转化为常见结论， 准确定位球心 在空间中， 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的 距离都相等， 那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心 ． 由上面的性质， 可以得到下列简单多面体外接球的球心的 如下结论． 结论 1 ： n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的 圆心且垂直 于 底 面 的 直 线 上， 具体的位置通过计算后准确 找到． 结论 2 ：n 棱台有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的外 接圆的圆心的连线的直线上， 具体位置可通过计算准确找到 ． 结论 3 ：n 直棱柱有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的 外接圆的圆心的连线的中点 ． （ 特别地， 正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线 中点． ） 例1 一个几何体的三视 图如图 1 所示， 其中正视图是 一个正三角形， 则这个几何体 的外接球的表面积为 ． 解：由三视图作出原几何 体是三棱锥 A － BCD， 如图 2 所 示， 平面 ABD ⊥ 平面 BCD， 取 BD 的 中 点 为 O1 ，连 结 AO1 ， CO1 ， 因 △ABD 边长为 4 的正三 角形， △BCD 是等腰直角三角 2， ∠BCD = 90 ° ， 形， 且 BC = CD = 2 槡 有 AO1 ⊥ 平面 BCD， 则球心 O 在线段 AO1 上， 连结 BO． 设外接球的半径为 Ｒ，
x = cosθ 4 － sinθ 4 －y ， ， 则k = 令 的最大值， 整理得：kx － y + 3 － cosθ 3 －x y = sinθ 4 － 3k = 0． y） 在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上， 因此点 M（ x， 同时又在单
人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》
【练习案】高考链接 1、(课标全国Ⅰ，理 6) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
500 A、 cm 3 3
866 B、 cm 3 3
1372 C、 cm 3 3
M
A1
2 ,则此球的表 3
A
C
例 2、已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上。 若这两个正四棱锥的体积之比为 1 : 2 ，则该球的表面积为_____________。
D A B C
N
例 3、如图所示，平面四边形 ABCD 中， AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成 四 面 体 ABCD , 使 平 面 ABD 平 面 BCD , 若 四 面 体 ABCD 的 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 体 积 为 ________。
0
3 ，且圆 O 与圆 K 所在的平面 2
4、(课标卷，理 11) 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径， 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（ ）
2 A、 6
3 B、 6
2 C、 3
2 D、 2
5、 （辽宁卷，理 16） 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到 截面 ABC 的距离为____________。
4 3 R 3
② S球 4R 2
③若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的 外接球。 ④若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
简单多面体的外接球问题解析版
为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半 径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3)．
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样旳三棱锥外接球球心好拟定？
上下底面中心旳连线旳中点
•
（贵州省• 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1旳正四面体外接球旳体积． 6
课堂跟踪检测
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为
()
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
ห้องสมุดไป่ตู้D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易知AP＝23× 23a＝ 33a，OP＝12a，所以
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的
多面体与外接球的三种题型
多面体与外接球的三种题型 题型一（直接找直径） 1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。
2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。
题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。
2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。
题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。
3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。
23⊥3233⊥⊥24、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。
题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。
2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。
3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。
立体几何专题：外接球问题
4.【2011高考真题新课标理，15】已知矩形 的顶点都在半径为4的球 的球面上，且 , ,则棱锥 的体积为
【答案】：
提示：利用球的截面性质
题型二构造正方体或长方体确定球心
结论：长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处，即体对角线是其外接球的直径，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
例3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的
等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
提示：构造正方体
针对性练习
1.【2010新课标高考真题文，7】设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
10.若正方体外接球的体积是 ，则正方体的棱长等于
【答案】
题型三：三棱柱或能构造三棱柱的外接球问题（模型二）
该三棱柱只能是直三棱柱，上下面三角形的外心的连线的中点为球心，三棱柱实质为长方体的一部分，所以构造三棱柱的途径和构造长方体的相同。
以下是常见的、基本的几何体补成三棱柱的途径与方法．
途径1：若已知三棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成三棱柱．
途径2：若四个面都是直角三角形的三棱锥，则可将棱锥补成三棱柱．
例1.直三棱柱 的各个顶点都在同一球面上，若 ,
,则此球的表面积为。
【答案】
点评：球心一定在直三棱柱的中截面上。
例2.【2010辽宁高考真题文】已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球 的表面积等于
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】A
外接球的有关问题
解决问题的方法
确定简单多面体外接球的球心的策略
确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结．1 由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1 （2012年高考辽宁卷·文16）已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa⊥平面abcd，四边形abcd是边长为23的正方形.若pa＝26，则△oab的面积为________．图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知pc的中点即为球心o.如图1，在rt△pac中，ac＝26，pc＝43，故r＝23.球心满足oa＝ob＝r＝23，故△oab为等边三角形，所以其面积s＝33．评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解．例2 （2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1，o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心，又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱，所以其外接球的球心o是o1o2的中点，如图2，于是其外接球的半径为r＝oo22+ao22＝（a2）2+（23ad）2＝（a2）2+（23×32a）2＝7a212，所以球的表面积为4π·r2＝73πa2，故选b．评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例3 （2012年高考辽宁卷·理16）已知正三棱锥p—abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上.若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为________．图3解析因为pa，pb，pc两两互相垂直，故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa，pb，pc为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3，易证op⊥平面abc，所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa＝a，则（2r）2＝3a2，所以a＝2.设正三棱锥p—abc的高为h，则va—pbc＝vp —abc，即13×12a2·a＝13×34（22）2h，解得h＝233，故球心到截面abc的距离为3－233＝33．评注（1）易知三棱锥o—abc是正三棱锥，求出其高即为所求.（2）构造正方体并找到球心是破解此题的关键．3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例4 三棱锥s—abc中，sa⊥平面abc，sa＝2，△abc是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________．图4解析设o1是△abc的外心，如图4，则o1a＝o1b＝o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1，由此可知直线oo1上任意一点与a，b，c的距离相等，故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上，又要使oa＝os，则o在线段sa的垂直平分线do上，从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点．do＝ao1＝23ae＝33，在rt△aod中，ao2＝ad2＋do2＝43，于是s球表＝4π·ao2＝163π．评注（1）一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.（2）此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点．。
高三数学一轮复习：简单多面体外接球问题
谢 谢！
①三条侧棱两两垂直的三棱锥
例2、已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上， 且AB 面BCD，AB 2，BD CD 1，BD CD, 则球O的体积为
②一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥
例4、已知三棱锥A BCD中，AC BD 13，AD BC 5， AB CD 2 5，则该三棱锥外接球的表面积为
③对棱相等的三棱锥 A
B
c
bC
a
D
小结： 什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？
1. 三条侧棱两两垂直的三棱（墙角型） 2.一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的 三棱锥（双垂直） 3.对棱相等的三棱锥
两个平面互相垂直
例：在三菱锥 S ABC中，ABC与SAB均为边长 2 3的等边三角形，
简单多面体外接球问题
V球
=
4 3
R3
S球面 4 R2
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则 称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是 这个多面体的外接球。
D
C
a2 b2 c2
A
D1 A1
B O
C1 B1
c a2 b2 b a
长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。
2R a2 b2 c2
例.一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1，2， 3，则该球的体积为__7 _134__.
思考：
从长方体或正方体的八个顶 点中任取不共面的四个顶点， 可以构造出什么样的三棱锥？
思考总结： 什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？
补全正方体或长方体——墙角模型
例1、已知三棱锥P ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB 5， BC 7，AC 2,则此三棱锥的外接球的体积为
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简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结
1.由球的定义确定球心
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
2．构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.
⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
3.由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心
O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连
1
线垂直于弦的性质，确定球心.
二：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为
a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3
）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得
2
a
R=；
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中
点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得a
R
2
2
=。
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角
面
1
AA作截面图得，圆O为矩形C
C
AA
1
1
的外接圆，易得a
O
A
R
2
3
1
=
=。
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a，O也是球心）内切球半径为：6
r a
=
外接球半径为：a
R
4
6
=
三：常见题型
1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
图1 图2
图3
解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
2.
，则其外接球
的表面积是 .
解析：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c
、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对
角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有
2R=
3.正四棱锥S ABCD
-
的底面边长和各侧棱长都为
S A B C D
、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
C D
A B
S
O1
图3
解析：寻求轴截面圆半径法
4. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形
ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的
外接球的体积为（ ） 解析：确定球心位置法 四：练习
1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形
ABCD
是边长为.
若PA =OAB ∆的面积为多少？
2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？
A
O D
B
图4
3、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ∆是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？
4、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体
ABCD 体积的最大值为2
3
，则这个球的表面积为多少？
5、四面体的三组对棱分别相等，棱长为求该四面体外接球的体积.
6、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积.
7、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD
-
接球的体积.
8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的
，底面周长为３，则这顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9
8
个球的体积为 .
9、已知球O的面上四点A、B、C、D，DA ABC
⊥平面，AB BC
⊥，
O的体积等于 .。