多面体外接球半径常见的求法
例谈多面体外接球半径的常见求法
例谈多面体外接球半径的常见求法湖北省荆州市沙市第五中学张胜言求棱锥、棱柱的外接球半径、表面积、体积的问题在近几年各地的高考模拟题和全国高考试题中经常出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点.困难表现在两个方面：一是找不到外接球球心的位置，二是如何采用适当的方法求外接球的半径.下面例谈几类多面体外接球半径的常见求法.方法一：首先构造简单的几何体，如长方体、正方体、三棱柱等，易作出这些简单几何体的外接球，从而求解.定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.一、长方体、正方体外接球的半径1.长方体：因为长方体外接球半径是体对角线长的一半，设长方体长、宽、高分别为c b a ,,，外接球半径为R ，则2222c b a R ++=（如图1）.2.正方体：设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则a R 23=（如图2）.二、三棱柱外接球半径1.底面是直角三角形的直三棱柱：把三棱柱补成长方体，易求（如图3）.设底面三角形两直角边长分别为b a ,，直三棱柱高为c ，则外接球半径为R ，则2222c b a R ++=.2.正三棱柱：（如图4），正三棱柱球心O 在两底面中心21O O ，的中点处，设底面边长为a ，高为h ，外接球半径为R ，构造11OO A Rt ∆，则，，R OA hOO ==112a a D A O A 33233232111=⨯==，22233⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=h a R 三、三棱锥外接球半径c bO a 图1O a图2c b O aACB A 1C 1B 1图3AC BO B 1DC 1A 1O 1O 2a h R 图4AB DC图51.三条棱互相垂直的三棱锥：把它补成以这三条互相垂直的棱为长、宽、高的长方体，易求.（如图5）2.三组相对棱分别相等的三棱锥：（如图6），把它补成以这三组棱分别为面对角线的长方体，设c BD AC b AD BC a CD AB ======,,，设长方体长、宽、高分别为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222c x z b z y a y x ，2222222c b a z y x ++=++，()422222222c b a z y x R ++=++=.3.正四面体：设棱长为a ，外接球半径为R ，由2易知a R 46=.例题1：如图7，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥AEF B -（使点D C B ,,重合于点B ），则三棱锥AEF B -的外接球半径为.【解】在正方形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90EBA FCE ADF ，所以折成三棱锥后，可将其转化为以)(,,DF BF BE AB 为棱的长方体，62224222=++=∴R 练习1：已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的体积为.例题2：已知正三棱柱111C B A ABC -的体积为2,32==AB V ，则该三棱柱外接球的表面积为.【解】如图8，设三棱柱的高为h ，3243S 2111=⨯=∆C B A ，2,332,=∴=∴=h h Sh V 11=∴OO ，3322233232111=⨯⨯==D A O A ，3713322221211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴OO O A R ，ππ32842==∴R S 练习2：已知三棱柱111C B A ABC -侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱体积Cc b O a D A B x y z图6AB FE图7（2）ACB 1B O DC 1A 1O 1O 2R 图8︒=∠===602AB ,1,62BAC AC V ，，则该球表面积为.方法二：由定义法求多面体外接球半径.这类问题关键是找出球心O 位置：一般地，先在一个面上找到一点1O 到其余各点距离相等，球心O 就在经过点1O 并垂直于该平面的直线l 上，构造出两个直角三角形，利用勾股定理解方程组求出R .例题3：已知三棱锥ABC S -所有顶点都在球O 的球面上，且⊥SC 平面ABC ，若1===AC AB SC ，︒=∠120BAC ，则球O 的表面积为.【解】如图9，作菱形ABCD ，则︒=∠=∠6021BAC DAC 易得ACD∆为正三角形D ∴为ABC ∆外接圆的圆心，⊥∴OD 平面ABC ，又⊥SC 平面ABC ，SC OD ∥∴，过点O 作SC OE ⊥，垂足为E ，R OS OC ==，设x CE OD ==，则x SE -=1，在OSE Rt OCD Rt ∆∆,中有：()⎩⎨⎧=-+=+222222111R x R x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521R x 所以球的表面积为πππ5254422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==R S .练习3：若三棱锥ABC P -的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.64π B.32π C.16π D.8π方法三：对于一些特殊的图形，利用其特有的性质找到外接球球心，直接求解.例题4：在三棱锥ABC S -中2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，若C B A S ,,,在同一球面上，则该球的表面积是（）A.68 B.π6C π24 D.π6【解】如图10，2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，在SAB ∆中，由于222SB AB SA =+，故︒=∠90SAB ，同理︒=∠90SCB ，故SB 的中点是三棱锥ABC S -外接球的球心O ，从而半径为26=R ，所以该球的表面积为ππ62642=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，选D.练习4：已知三棱锥ABC -S 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面⊥SCA 平面SCB ，BC SB AC SA ==，，三棱锥ABC -S 的体积为9，则球O 的表面积为.图9SCRRE BAO D图10AOS CB A FE D CB 图7（1）（附练习题答案：1、29π=V ；2、π36=S ；3、选A ；4、π36）。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.练习1 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）3π B. 4πC. D. 6π2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 27B. 2C. 8D. 243 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截CDAB SO 1图3面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.外接球内切球问题1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
数学复习：多面体外接球半径的求法
数学复习：多面体外接球半径的求法近年来，求多面体的外接球半径成为全国各地高考的热点问题，是考察学生空间想象能力、画图能力和分析问题能力的一类综合题型，难度中等偏上。
因此，这类问题也是学生失分的重灾区，主要存在以下难点：一不能选择恰当的角度认识多面体；二不能准确分析几何体的线面关系找到球心。
这两个困难让学生对此类问题无从下手，渐渐地对此类问题失去信心。
本文从“画法”到“算法”，简单归纳出几类多面体的外接球半径的典型求法，试图突破此类问题在高三复习中的教学难点。
1通过补形直接求半径若多面体的每个顶点都落在长方体（或直三棱柱）的顶点上，那么该多面体的外接球也是该长方体（或直三棱柱）的外接球。
直三棱柱的外接球球心是上下底面外心连线的中点。
已知直三棱柱111C B A ABC -，设其上下底面的外接圆半径为r，三棱柱的高为h，则其外接球半径222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=。
长方体的外接球球心是体对角线的中点。
设长方体的长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径2222c b a R ++=。
1.1墙角锥若在一个三棱锥中，共顶点的三条棱两两垂直，那么我们可以把它补形成一个长方体。
例1.三棱锥P－ABC 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22、32、62，则该三棱锥的外接球的体积是A．23B．8236π6π分析：如图（1），由题可以把三棱锥看成是以P 为墙角的墙角锥，易得，，3,21===c b a π6262222=∴=++=∴V c b a R 1.2三对对棱分别相等的四面体若一个三棱锥的三对对棱分别相等，那么我们可以把这个三棱锥看成是由一个长方体的六个面对角线构成的。
例2，在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==5AD BC AC BD ====，则三棱锥A BCD -外接球的半径为________。
分析：如图（2），易得2,1,1===c b a 262222=++=∴c b a R 1.3四个面都是直角三角形的三棱锥利用长方体的线面关系，可将四个面都是直角三角形的三棱锥放在长方体内。
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球是几何学中的概念，它们分别是指一个多面体内部最大的（最小的）球和一个多面体外部最小的（最大的）球。
下面是内接球和外接球的半径计算公式。
（以下解释中，我们以正四面体为例）
内接球半径计算公式：
正四面体的内接球是四面体内部最大的球，它的半径可以通过正四面体的棱长计算得出。
设正四面体的棱长为a，则正四面体的内接球半径R为：
R = a / (2√3)
其中√3表示根号下3，也就是3的平方根。
该公式适用于所有正多面体内接球的半径计算。
外接球半径计算公式：
正四面体的外接球是四面体外部最小的球，它的半径可以通过正四面体的边长计算得出。
设正四面体的边长为a，则正四面体的外接球半径r为：
r = a / (2√6)
其中√6表示根号下6，也就是6的平方根。
该公式同样适用于所有正多面体外接球的半径计算。
需要注意的是，以上公式仅适用于正多面体，对于其他不规则多面体，内接球和外接球的半径计算需要用到其他方法。
多面体外接球问题方法总结
多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种：
1. 利用多面体的顶点坐标求解：
a. 首先求解多面体的质心坐标。
可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。
b. 然后，求解多面体顶点到质心的距离，取最大距离作为外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标为质心坐标，半径为最大距离。
2. 利用多面体的边长/面积求解：
a. 首先，根据多面体的类型，求解多面体的特定的边长、面积或者角度。
b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系，可以求解外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。
需要注意的是，方法一比方法二更为常用且通用，但对于某些特殊的多面体，可能需要使用方法二来求解。
同时，在实际应用中，还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解，提高计算的精度和效率。
内接球和外接球公式
内接球和外接球公式内接球和外接球是几何学中的两个重要概念，它们分别是指一个多面体内切于多面体的最大球和一个多面体外接于多面体的最小球。
这两个球的半径和体积可以通过公式计算得出。
内接球公式对于一个正多面体，它的内接球半径r可以通过以下公式计算得出：r = a/2 * √(n/(n+2))其中a为正多面体的边长，n为正多面体的面数。
这个公式可以用于计算正四面体、正八面体、正十二面体等多面体的内接球半径。
对于一个正六面体，它的内接球半径r可以通过以下公式计算得出：r = a/2其中a为正六面体的边长。
这个公式可以用于计算正六面体的内接球半径。
对于一个球体，它的内接球半径r等于球体半径的一半，即：r = R/2其中R为球体半径。
这个公式可以用于计算球体的内接球半径。
外接球公式对于一个正多面体，它的外接球半径R可以通过以下公式计算得出：R = a/2 * √(n/(n-2))其中a为正多面体的边长，n为正多面体的面数。
这个公式可以用于计算正八面体、正十二面体等多面体的外接球半径。
对于一个正四面体，它的外接球半径R可以通过以下公式计算得出：R = a/2 * √2其中a为正四面体的边长。
这个公式可以用于计算正四面体的外接球半径。
对于一个球体，它的外接球半径R等于球体半径，即：R = r其中r为球体的内接球半径。
这个公式可以用于计算球体的外接球半径。
总结内接球和外接球是几何学中的两个重要概念，它们分别是指一个多面体内切于多面体的最大球和一个多面体外接于多面体的最小球。
这两个球的半径和体积可以通过公式计算得出。
对于不同的多面体，内接球和外接球的公式也不同。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解多面体的性质和特点。
多面体外接球半径常见的五种求法
例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 . .
小结本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一球面上，则此球的体积为.
解设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得 .
又 ，∴球心 必在 所在的直线上.
∴ 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在 中，由 ，得 .
确定球心位置法
例5在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一Leabharlann 直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为
A. B. C. D.
解设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知 .∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径 .故 .选C.
∴ .
∴ 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 .
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
解设正四棱柱的底面边长为 ，外接球的半径为 ，则有 ，解得 .
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法之欧阳法创编
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长，则其外接球的表面积是.解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得C DA B S O 1图3222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC=是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径CA O DB 图452R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB径。
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多面体外接球半径常见求法
知识回顾：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法
例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .
小结 本题是运用公式222
R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
三、补形法
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧
，则其外接球的表面积是 .
小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两
两垂直，且其长度分别为a b c
、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为
R，则有2R=
变式1：
变式2：三棱锥O ABC
-中，,,
OA OB OC两两垂直，且
22OA OB OC a
===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为
（ ）
A ．2
6a π B ．2
9a π C ．2
12a π D ．2
24a π
四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接
C
D
A
B
S
O 1
图3
球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
变式1：求棱长为 a 的正四面体P – ABC 的外接球的表面积
变式2：正三棱锥的高为1，底面边长为。
求棱锥的内切球的表面积。
变式1：
五、确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角
B A
C
D --，
则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.12512π
B.1259π
C.1256π
D.125
3
π
变式1：三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）
C A O D
B
图4
A
B C．2
D
1.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD.，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的余弦值.。