数理统计学讲义习题部分答案
数理统计学课后答案
数理统计学课后答案【篇一：数理统计习题】为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体。
1. 2 设随机样本（x1,x2,?,xn）来自总体为正态分布（x1,x2,?,xn）的联合分布函数为f(x1,x2,?,xn)?(2??)*2?n2n(?,?2)，则样本exp{?12?2?(xi?1n2i??)}。
1.3 若对一批n件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取n件。
分别以0，1表示某件产品为次品和合格品，?(0??的0—1分布，即?1)表示产品的合格率，则总体x服从参数为?p(x?x)??x(1??)1?x,x?0,1。
所以样本（x1,x2,?,xn）的联合分布律数为p(x1?x1,x2?x2,?,xn?xn)???i?1nxi(1??)1?xi,xi?0,1.21.4 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?数，则(x1?x2?x3)??，)，其中?,?2是未知参11(x1?x2)??和(x1?x2?x3)都不是统计量，2?11222因为它们都含有未知参数，而(x1?x2?x3)(x1?x2?x3)和x1?x2?x3 32都是统计量。
1.5 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?知参数，则213)，其中?已知，?2是未12(x12?x22111(x1?x2?x3)??，(x1?x2)??(x1?x2?x3)和32312?x3)都是统计量，而(x1?x2?x3)不都是统计量。
?1．6 设x1,x2,?,xn是来自总体x的一个样本，则称统计量121ns?(xi?)2 ?nx??xi，ni?1ni?1n分别为样本的均值和样本方差；统计量1nk1nak??xi，bk??(xi?x)kni?1ni?1分别为样本k 阶原点矩和k 阶中心矩。
2显然，a1?x， b2?sn。
1．7 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?任意一个确定线性函数2)的一个样本，统计量是样本的u?a1x1?a2x2???anxn，则统计量u?a1x1?a2x2???anxn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为e(u)??(a1?a2???an)???ai?1ni，nd(u)??(a1?a2???an)??特别地，取a1?a2???an?22222?ai?12i。
数理统计习题答案-2
数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为：即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为：()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布，试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：，即()~0,1X N X 分布密度为：()2221x p x e -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：()2~,μσX N ，即X 分布密度为：()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix，()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数，a 和是任意非零实数，n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =)，x 、y 分别为、的均值， =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1，=2ys 1n(y y i i-)∑2，试证明：① b x a y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数（1），（2）()820.05x ()1220.95x 。
概率论与数理统计 -课后习题及答案解析(下)
3． x1 , x 2 , L , x 2 n 相互独立且都服从参数为 1 的指数分布， X i = min{x i , x 2 n -i +1 }
(i = 1,2,L , n) ．
解： （1） P{ X i = 1, X j = 1} =
50 ´ 49 50 50 ¹ ´ = P{ X i = 1} × P{ X j = 1} ， 100 ´ 99 100 100
2 2 ü ì ü ì ï ï1 æ X1 X 2 ö ï ïæ X 1 X 2 ö ÷ ç ÷ ³ = + ³ P íç + 79 . 72 P 39 . 86 ý í ý ÷ ç ÷ çX X3 ø 2 X X3 ø ï ï ï ï þ î è 3 þ îè 3 2
= P{F (1,1) ³ 39.86} = 0.10 。
（2） 由 Dç ç
æ 15S 2 2 è s
30s 4 2 2 ö 15 2 2 2 ÷ D S = = 2 ´ 15 = 30 ， ( ) 30 ， 得 D ( S ) = = s 。 4 ÷ s 15 15 2 ø
内
E ( X ) = E ( X ) = n ， D( X ) =
D ( X ) 2n n = = ， E ( S 2 ) = D ( X ) = 2n 。 10 10 5
仅
ìS2 ü £ 2.041ý ，其中 S 2 是样本方差； 2 îs þ
2．求 D ( S 2 ) ．
(n - 1) S 2 15S 2 2 ~ c ( n 1 ) ， 得 ~ c 2 (15) ， 2 2 s s
ì15S 2 ü ìS2 ü P í 2 £ 2.041ý = P í 2 £ 15 ´ 2.041ý = P{c 2 (15) £ 30.615} îs þ î s þ = 1 - P{c 2 (15) > 30.615} = 1 - 0.01 = 0.99 。
数理统计课后答案参考
习题一1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，1122334455511155(1)(,,,,)()(1)(1)i inx x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏其中：5115ii x x ==∑2）对总体~()X P λ11223344555115551(,,,,)()!!ixni i i i i xi i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λλλλ-==-==========∏∏∏其中：5115ii x x ==∑3）对总体~(,)X U a b5511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩∏∏ ，其他4）对总体~(,1) X N μ()()()25555/222151111 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ---===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭∑∏2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：经验分布函数的定义式为：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x kF x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩ ，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩图1.1 经验分布函数x()n F x3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N .4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解 ()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭()()555 P k X k μ=-<-<因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： ()()()-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-(5)(1(5))k k =Φ--Φ()2510.9k =Φ-=所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.5 从总体2~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解 ()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭(0,1)X U N =()()50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y . 由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤1P =-~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744X Y N X YN P X Y -->=-Φ=7 设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05i i P X C =>=∑.解 因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 10122~(10)2i i X χ=⎛⎫⎪⎝⎭∑所以：10102211()()144iii i CP XC P X ==>=>∑∑1021110.0544i i c P X =⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭∑102110.9544i i c P X =⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：1,,1,2,,0,i i i X Y i n X μμ>==≤⎧⎨⎩试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解 由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)ni i Y B n p =∑，1()Xp Fμ=-.9 设1,,n X X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。
数理统计课后题答案完整版
第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解：*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第 二 章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。
数理统计课后题标准答案
（2）n=64时，求 P{ x 40 1}
解：
x:
52 N (40, )
64
P{ x 40 1} P{ x 40 1 } p{U 8}
5/8 5/8
5
2(8) 1 0.8904 5
第二章
参数估计
1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度
为
ex , x 0
f(x)=
0, x 0
解：E＾1
E(2 3
x1
1 3
x2 )
2 3
Ex1
1 3
Ex2
2 3
1 3
同理：＾2和＾3都是 的无偏估计。
D＾1
( 2 )2 3
(1)2 3
5 9
,
D＾2
(1)2 4
( 3)2 4
5 8
,
D＾3
(1)2 2
(1)2 2
1 2
＾3 方差最小为有效
对形如＾
n
xi xi ,且
xi
1时,
E
,以
e(x ) , x
f(x)=
0, x 0
试求 的最大似然估计。
解：
e(x ) , x
X : f (x)
0, x 0
似然函数 n
n
L
f (xi ) e(xi )
i1
ln L ( xi
为了使L达到最大i， 尽可能大，而＾
i
i 1
n
),
d
xi n
ln L 0无解
d0，尽可能小，
2
12
用
得
X
X和@aS22b分别估计EX＾a和 XDX
3S
S 2 @(b a)2
数理统计习题五答案
数理统计习题五答案数理统计习题五答案数理统计是一门研究随机现象的规律性和统计方法的学科。
通过对数据的收集、整理、分析和解释，数理统计能够帮助我们了解数据背后的规律和趋势。
在学习数理统计的过程中，习题是不可或缺的一部分。
接下来，我将为大家提供数理统计习题五的答案。
第一题：设X1, X2, ..., Xn为来自总体X的一个样本，其中Xi的概率密度函数为f(x) = 2x, 0 < x < 1。
求样本均值的概率密度函数。
解答：样本均值的概率密度函数可以通过计算样本均值的分布来得到。
由于样本均值是随机变量X1, X2, ..., Xn的和的平均值，根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布。
总体X的概率密度函数为f(x) = 2x, 0 < x < 1。
首先计算总体X的期望和方差。
总体X的期望为E(X) = ∫xf(x)dx = ∫2x^2dx = 2/3。
总体X的方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫x^2f(x)dx - (2/3)^2 = ∫2x^3dx - 4/9 = 1/2 - 4/9 = 1/18。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值的分布近似服从均值为总体均值，方差为总体方差除以样本容量的正态分布。
即样本均值的概率密度函数为f(x) = (1/√(2π/nσ^2)) * exp(-((x-μ)^2)/(2/nσ^2))，其中μ为总体均值，σ为总体标准差。
代入总体均值μ = 2/3，总体标准差σ = √(1/18)，得到样本均值的概率密度函数为f(x) = (3√2π) * exp(-9(x-2/3)^2)。
第二题：设X1, X2, ..., Xn为来自总体X的一个样本，其中Xi的概率密度函数为f(x) = 3x^2, 0 < x < 1。
求样本均值的期望和方差。
解答：样本均值的期望和方差可以通过计算样本均值的分布来得到。
《数理统计学(第2版)》习题答案及解题步骤
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