湖北省武汉市华中科技大学附属中学2021届高三9月联考数学试卷

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湖北省武汉市华中科技大学附属中学2021届高三9月联考

数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题

1.设全集12{0},log 0U x x M x x ??=>=>????

∣，则U M =( ) A. (],1-∞ B. ()1,+∞ C. (]0,1

D. [)1,+∞ 2.己知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是( ) A ．ln ln a b < B ．c c a b < C. a b c c >

D ．

11

c c b a

--< 3.已知函数(

)f x ，则函数

()

11f x x -+的定义域为( )

A. (),1-∞ B ．),1-∞- C. ()(),11,0-∞-?-

D. ()(),11,1-∞-?-

4.易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为( )

A. 15

B. 725

C. 825

D. 2

5

5.设:p 实数x 满足()()2

1005x a x a a -++≤<<其中，:q 实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.

已知函数()ln(1f x x =++，若正实数,a b 满足(4)(1)2f a f b +-=，则11

a b

+的最小值为( )

A.4

B.8

C.9

D. 13

7.若函数()f x 对,a b R ?∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为( )

①()sin f x x x =-，②()0,01,0x f x x x

=??=?-≠??， ③()x x

f x e e -=+， ④()f x x x =

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

8.定义:若函数()y f x =在区间[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足()1()()

'f b f a f x b a

-=-

,

()2()()

'f b f a f x b a -=

-,则称函数()y f x =是在区间[,]a b 上的一个双中值函数.已知函数

326

()5

f x x x =-是区间[0,]t 上的双中值函数,则实数t 的取值范围是( )

A.36,55?? ???

B.26,55?? ???

C.23,55?? ???

D.61,5?? ??? 二、填空题

9.若“[]1,2,0x x a ?∈+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是_________.

10.已知()f x 为偶函数,当0x <时, ln()

()x f x x

-=,则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程是______

.

11.5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)

12.已知函数()()()201210x

x x f x e x x x ?

≥?=+??++

()()1y f f x a =--有三个零点，则a 的取值范围是_______.

三、多项选择题

13.某地某所高中 2020 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2020年的高考升学情况，得到如下柱图,则下列结论正确的是( )

2016年高考数据统计 2020年高考数据统计 A. 与 2016 年相比，2020 年一本达线人数有所增加 B. 与 2016 年相比，2020 年二本达线人数增加了0.5 倍 C. 与 2016年相比，2020 年艺体达线人数相同 D. 与 2016 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 14.若()()2021

2320210123202112x a a x a x a x a x x R -=++++???+∈，则( )

A. 01a =

B. 2021135202131

2

a a a a ++++???+=

C. 20210242020

31

2

a a a a -+++???+=

D.

3

202112232021

12222a a a a +++???+=- 15.已知定义(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x =-，若 (1)1f =，则( ) A ．()31f =

B. 4是()f x 的一个周期

C. (2018)(2019)(2020)1f f f ++=-

D. ()f x 的图像关于1x =对称

16.已知正数,,x y z 满足312x y z y ==，下列结论正确的有( ) A. 623z y x >> B.

121x y z

+=

C. (3x y z +>+

D. 28xy z >

四、解答题

17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①234,,4a a a -成等差数列.②123,2,S S S +成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.

在公比为2的等比数列{}n a 中，_______. (1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)若2(1)log n n b n a =+，求数列22

22n n n b ??

+????

的前n 项和n T . 18.已知定义域为R 的函数()()1x x

f x a k a -=--（0a >且1a ≠）是奇函数．

（1）求实数k 的值；

（2）若()10f <，判断函数单调性，并求不等式()()2

40f x tx f x ++-<恒成立时t 的取值范围 19.为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，且成绩分布在[]0,60的范围内，规定分数在50以上(含50）的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中,,a b c 构成以2为公比的等比数列．

（1）求,,a b c 的值；

（2）填写下面22?列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理

（3）从获奖的学生中任选2人,求至少有一个文科生的概率.

附：22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中

()

0.15

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 20.一动圆与圆21:11O x y -+=外切，与圆22:19O x y ++=内切.

（1）求动圆圆心M 的轨迹L 的方程.

（2）设过圆心1O 的直线:1l x my =+与轨迹L 相交于A B ,两点，请问2ABO △ (2O 为圆2O 的圆心)的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

21.某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件

能否正常工作的概率均为1

2

，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G 中有超过一半的

电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的费用为500元. （1）求系统G 不需要维修的概率；

（2）该电子产品共由3个完全相同的系统G 组成，设Y 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求Y 的分布列与数学期望；

（3）为提高系统G 正常工作概率，在系统G 内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个系统G 的正常工作概率 22.已知函数(),x f x xe ax a R =+∈．

(1)设()f x 的导函数为()f x '，求()f x '的最小值；

(2)设()ln ln (1)a g x ax x a x a x =++-，当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.

参考答案

1.答案：D 解析：

2.答案：C

解析：因为x y c =为增函数，且a b >,所以a b c c >，故选：C 3.答案：D

解析：令24x

x

>，即21x

<,解得0x <,若(1)

1f x x -+有意义，则1010x x -

，即(,1)(1,1)x ∈-∞-?-

4.答案：B

解析：因为阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10， 所以从阴数和阳数中各取1个的所有组合共有5525?=个，

满足差的绝对值为3的有：()(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),9,6共7个，

则7

25P =.故选：B

5.答案：A

解析：{}

2(1)0{(1)()0}A x

x a x a x x x a =-++≤=--≤∣∣当0a A <<时，[],1A a =,当1a =时，{}1A =,当15,[1,]a A a <<={}

2{ln 2}0B x x x x e =<=<<∣∣因为A B 所以p 是q 的充分不必要条

件. 故选：A

6.答案：C 解析：

7.答案：D 解析：

8.答案：A

解析：由题意知,在区间[0,]t 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足

()()32

2126

()(0)65'5

't t f t f f x f x t t t t --====-.326()5f x x x =-,212()3'5

f x x x ∴=-.∴方程22126355x x t t -=-在区间(0,)t 上有两个解.令22126

()3(0)55g x x x t t x t =--+<<,则

2222126120,

556

(0)0,5

6()20,

50,t t g t t g t t t t ?????-->? ? ???

?????=->???=->?

?>?

解得3655t <<.∴实数t 的取值范围是36,55?? ???.故选A. 9.答案：()1,-+∞ 解析：

10.答案：10x y +-=

解析： 因为()f x 是偶函数,令0x >,则0x -<,所以ln ()()x f x f x x -=-

=,即ln 0,()x

x f x x

>=-,则()1,0在满足解析式，

又2

ln 1

()x f x x

'-=

,所以斜率(1)1k f '==-,所以切线方程为()1y x =--，即10x y +-=. 故答案为：10x y +-=.

11.答案：3

10

解析： 五人排成一排有5

5120A =(种)排法, 若甲乙两人之间恰好有一人,由先从其余三人中选一个排在甲乙之间,且甲乙要全排,共有12

3

26C A =(种)排法, 再将这三人作为一个整体与余下的两人全排,有3

3

6A =(种)排法, 所以甲乙两人之间恰好有一人的排法有6636?=(种),

所以甲乙两人之间恰好有一人的概率363

12010

P =

= 12.答案：3; 111,1(2,3]3e e ????

++?? ?????

解析： 当0x <时，由()10f x -=得2211x x ++=，得2x =-或0x =当0x ≥时，由()10f x -=得110e

x x

+-=，得0x =由(())10y f f x a =--=得()0f x a -=或()2f x a -=-即()f x a =或()2f x a =-作出函数()f x 的图象如图

111(0),e e x x

x x

y x y -=

+≥≥='

当()0,1x ∈时，0y '>，函数是增函数，()1,x ∈+∞时，0y '<，函数是减函数1x =时，函数取得最大值：11e +当1121e a <-<+时，即13,3e a ?

?∈+ ??

?时，(())1y f f x a =--有4个零点当121e a -=+

时，即13e a =+时，(())1y f f x a =--有三个零点，1

3e

a >+时，(())1y f f x a =--有2个零点，

当1

1e a =+时，则(())1y f f x a =--有2个零点，当112120

a e a a ?>+??-≤??->??

时，即(]2,3a ∈时，

(())1y f f x a =--有三个零点，当11,1e a ?

?∈+ ??

?时，(())1y f f x a =--有三个零点，当1a <时，

(())1y f f x a =--有两个零点或无零点综上，111,1(2,3]3e e a ????

∈++?? ?????

，函数有3个零点

故答案为：3,；1

11,1(2,3]3e e ????

++?? ?????

13.答案：AD

解析：依题意，设2016年高考考生人数为x ，则2020年高考考生人数为1.5x ， 由24%1.528%8%0x x x ?-?=?>，故选项A 正确；

由7

(40%1.532%)32%8

x x x ?-?÷?=，故选项B 不正确；

由8%1.58%4%0x x x ?-?=?>，故选项C 不正确； 由28%1.532%42%0x x x ?-?=?>，故选项D 正确。 故选：AD. 14.答案：ACD

解析：由题意，当0x =时，2009011a ==,当1x =时，200901232009(1)1a a a a a +++++=-=-,当1x =-时，2009

012320093

a a a a a -+-+

-=，所以20091352009

312

a a a a +++++=，

20090242008

312

a a a a -++++=，2

2009

20091212200922009111222222a a a a a a ????

++

+=?+?+???+? ? ?????

，当

12x =时，2

2009

01220091110222a a a a ??

??

=+?+?+

+? ? ?

????

所以

2

2009

12200901112221a a a a ????

?+?+

+?=- ? ?

????

=-

15.答案：BCD

解析： 16.答案：BCD 解析：

17.答案：（1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列，所以32424a a a =+-， 所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2n n a =．

选②：因为123,2,S S S +成等差数列，所以()21322S S S +=+，即234a a += 所以11244a a +=，解得12a =，所以2n n a =．

（2）因为2n n a =，所以22(1)log (1)log 2(1)n n n b n a n n n =+=+=+， 所以，22

2221

12(1)1n n n b n n n n +??==- ?++??

所以11111122121223111n n T n n n n ?????????

?=-+-+???+-=-=

? ? ? ???+++?

????????? 解析：

18.答案：：(1) ()f x ∵是定义域为R 的奇函数，

00(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--=∴2k =∴. （2）()(>01)x x f x a a a a -=-≠且

()10f <∵1

0a a

-<∴，又0a >，且1a ≠，01a <<∴，

而x y a =在R 上单调递减，x y a -=在R 上单调递增，

故判断()x x

f x a a -=-在R 上单调递减，

不等式化为()

()2

4f x tx f x +<-，24x tx x +>-∴，

()2140x t x +-+>∴恒成立，

()2

1160t --<∴△=，解得35t -<<

解析：

19.答案：（1）由频率分布直方图可知，10()110(0.0180.0220.025)0.35a b c ?++=-?++=， 因为,,a b c 构成以2为公比的等比数列，所以240.035a a a ++=，解得0.005a =， 所以20.01,40.02b a c a ====．故0.005,0.01,0.02a b c ===．

（2）获奖的人数为0.0051040020??=人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1:4，

所以400人中文科生的数量为1

400805

?=，理科生的数量为40080320-=．

由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人，不获奖的文科生有

2

1.316 6.635203808032019

K ==≈

所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关． （3）获奖的学生一共20人,其中女生6人,男生14人,从中任选2人,至少1名女生的概率为

11261462

2099190C C C P C +== 解析：

20.答案：（1）设动圆圆心为()M x y ,，半径为R ， 由题意，得11MO R =+，23MO R =-，

所以124MO MO +=，所以点M 的轨迹L 的方程为22

143

x y +=. （2）设2ABO △内切圆圆N 的半径为r ，与直线l 的切点为C ，

所以212121

242

()ABO S AO AO BO BO r ar r =++=?+=△.

所以要求N S 圆的最大值，只需求2ABO S △的最大值

.

又2121

2

ABO A B S OO y y =?-△，

所以设11(,)A x y ，22(,)B x y 12(00)y

y ><，， 由22114

3x my x y =+?

??+=??，得()

2234690m y my ++-=，

所以1y ，2y =，所以2

ABO S =

△令1t ，所以221212

131

3ABO t S t t t

==

++

△. 因为1t ≥，所以134t t +≥，所以23ABO S ≤△，所以34r ≤，所以9

π16

N S ≤圆.

综上所述，存在，最大值为9

π16

，直线l 的方程为1x =.

解析：

21.答案：（1）系统G 不需要维修的概率为223

333

1111()()2222C C ??+?=. （2）设X 为维修的系统G 的个数，则1

(3,)2

X B ，且500Y X =，

所以3311(500)()()(),0,1,2,322

k

k k P Y k P X k C k -====??=.

所以Y 的期望为()50037502

E Y =??

=元 （3）当系统G 有5个电子元件时，

若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，

则概率为2

1223

113

228

C p p ?????= ???；

若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，

则概率为()()22

212223

2

31111

3122222

8C C P p C p p p ?????????-+???=- ? ?????； 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，

系统G 均能正常工作，则概率为3

33

11

28

C ???= ???.

所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为 ()

2233131248848

p p p p +-+=+， 于是由()3113

214828

p p +-=-知，

当210p ->时，即1

12

p 时， 可以提高整个系统G 的正常工作概率 解析：

22.答案：（1）()(1),()(2)x x f x x e a f x x e =++=+''∵ 所以()f x '在(),2-∞-上单调递减在()2,-+∞上单调递增

所以()f x '最小值为2

1(2)f a e -=-

' （2）当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥成立， 即ln ln x a xe x ax x a x +≥+对(1,)x ∈+∞恒成立，

亦即ln (ln )ln x x xe x a x e a x α+≥+对(1,)x ∈+∞恒成立． 即1a =时()()ln f x f a x >

由（1）知1a =时()f x '的最小值为21

10e

-

>,所以()f x 在R 上单调递增． ln x a x ≥∴在()1,+∞上恒成立．

令()ln m x x a x =-，则()1a x a m x x x

-=-

='． ①1a ≤时，()0m x '>在()1,+∞上恒成立，()(1)10m x m >=>∴，此时满足已知条件， ②当1a >时，由()0m x '=，解得x a =． 当()1,x a ∈时，()0m x '<，此时()m x 在()1,a 上单调递减；

当时，()0m x '>，此时()m x 在(),a +∞上单调递增． ()m x ∴的最小值()ln 0m a a a a =-≥，解得1a e <≤． 综上，a 的取值范围是(],e -∞.

解析：

),(+∞∈a x