湖北省武汉市华中科技大学附属中学2021届高三9月联考数学试卷

绝密★启用前湖北省武汉市华中科技大学附属中学2021届高三9月联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设全集12{0},log 0U x x M x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭∣，则U M =( ) A. (],1-∞ B. ()1,+∞ C. (]0,1D. [)1,+∞ 2.己知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是( ) A ．ln ln a b < B ．c c a b < C. a b c c >D ．11c c b a--< 3.已知函数()f x ，则函数()11f x x -+的定义域为( )A. (),1-∞ B ．),1-∞- C. ()(),11,0-∞-⋃-D. ()(),11,1-∞-⋃-4.易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为( )A. 15B. 725C. 825D. 255.设:p 实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<其中，:q 实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()ln(1f x x =++，若正实数,a b 满足(4)(1)2f a f b +-=，则11a b+的最小值为( )A.4B.8C.9D. 137.若函数()f x 对,a b R ∀∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为( )①()sin f x x x =-，②()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩， ③()x xf x e e -=+， ④()f x x x =A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8.定义:若函数()y f x =在区间[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足()1()()'f b f a f x b a-=-,()2()()'f b f a f x b a -=-,则称函数()y f x =是在区间[,]a b 上的一个双中值函数.已知函数326()5f x x x =-是区间[0,]t 上的双中值函数,则实数t 的取值范围是( )A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、填空题9.若“[]1,2,0x x a ∃∈+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是_________.10.已知()f x 为偶函数,当0x <时, ln()()x f x x-=,则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程是______.11.5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)12.已知函数()()()201210xx x f x e x x x ⎧≥⎪=+⎨⎪++<⎩，则方程()20212020f x =的实根的个数为_______.若函数()()1y f f x a =--有三个零点，则a 的取值范围是_______.三、多项选择题13.某地某所高中 2020 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2020年的高考升学情况，得到如下柱图,则下列结论正确的是( )2016年高考数据统计 2020年高考数据统计 A. 与 2016 年相比，2020 年一本达线人数有所增加 B. 与 2016 年相比，2020 年二本达线人数增加了0.5 倍 C. 与 2016年相比，2020 年艺体达线人数相同 D. 与 2016 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 14.若()()20212320210123202112x a a x a x a x a x x R -=++++⋅⋅⋅+∈，则( )A. 01a =B. 20211352021312a a a a ++++⋅⋅⋅+=C. 20210242020312a a a a -+++⋅⋅⋅+=D.320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 15.已知定义(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x =-，若 (1)1f =，则( ) A ．()31f =B. 4是()f x 的一个周期C. (2018)(2019)(2020)1f f f ++=-D. ()f x 的图像关于1x =对称16.已知正数,,x y z 满足312x y z y ==，下列结论正确的有( ) A. 623z y x >> B.121x y z+=C. (3x y z +>+D. 28xy z >四、解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①234,,4a a a -成等差数列.②123,2,S S S +成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.在公比为2的等比数列{}n a 中，_______. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2(1)log n n b n a =+，求数列2222n n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.已知定义域为R 的函数()()1x xf x a k a -=--（0a >且1a ≠）是奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若()10f <，判断函数单调性，并求不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立时t 的取值范围 19.为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，且成绩分布在[]0,60的范围内，规定分数在50以上(含50）的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中,,a b c 构成以2为公比的等比数列．（1）求,,a b c 的值；（2）填写下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理（3）从获奖的学生中任选2人,求至少有一个文科生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中()0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 20.一动圆与圆21:11O x y -+=外切，与圆22:19O x y ++=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹L 的方程.（2）设过圆心1O 的直线:1l x my =+与轨迹L 相交于A B ,两点，请问2ABO △ (2O 为圆2O 的圆心)的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的费用为500元. （1）求系统G 不需要维修的概率；（2）该电子产品共由3个完全相同的系统G 组成，设Y 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求Y 的分布列与数学期望；（3）为提高系统G 正常工作概率，在系统G 内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个系统G 的正常工作概率 22.已知函数(),x f x xe ax a R =+∈．(1)设()f x 的导函数为()f x '，求()f x '的最小值；(2)设()ln ln (1)a g x ax x a x a x =++-，当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.参考答案1.答案：D 解析：2.答案：C解析：因为x y c =为增函数，且a b >,所以a b c c >，故选：C 3.答案：D解析：令24xx>，即21x<,解得0x <,若(1)1f x x -+有意义，则1010x x -<⎧⎨+≠⎩，即(,1)(1,1)x ∈-∞-⋃-4.答案：B解析：因为阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10， 所以从阴数和阳数中各取1个的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为3的有：()(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),9,6共7个，则725P =.故选：B5.答案：A解析：{}2(1)0{(1)()0}A xx a x a x x x a =-++≤=--≤∣∣当0a A <<时，[],1A a =,当1a =时，{}1A =,当15,[1,]a A a <<={}2{ln 2}0B x x x x e =<=<<∣∣因为A B 所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A6.答案：C 解析：7.答案：D 解析：8.答案：A解析：由题意知,在区间[0,]t 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足()()322126()(0)65'5't t f t f f x f x t t t t --====-.326()5f x x x =-,212()3'5f x x x ∴=-.∴方程22126355x x t t -=-在区间(0,)t 上有两个解.令22126()3(0)55g x x x t t x t =--+<<,则2222126120,556(0)0,56()20,50,t t g t t g t t t t ⎧⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪=->⎨⎪⎪=->⎪⎪>⎩解得3655t <<.∴实数t 的取值范围是36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选A. 9.答案：()1,-+∞ 解析：10.答案：10x y +-=解析： 因为()f x 是偶函数,令0x >,则0x -<,所以ln ()()x f x f x x -=-=,即ln 0,()xx f x x>=-,则()1,0在满足解析式，又2ln 1()x f x x'-=,所以斜率(1)1k f '==-,所以切线方程为()1y x =--，即10x y +-=. 故答案为：10x y +-=.11.答案：310解析： 五人排成一排有55120A =(种)排法, 若甲乙两人之间恰好有一人,由先从其余三人中选一个排在甲乙之间,且甲乙要全排,共有12326C A =(种)排法, 再将这三人作为一个整体与余下的两人全排,有336A =(种)排法, 所以甲乙两人之间恰好有一人的排法有6636⨯=(种),所以甲乙两人之间恰好有一人的概率36312010P == 12.答案：3; 111,1(2,3]3e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭解析： 当0x <时，由()10f x -=得2211x x ++=，得2x =-或0x =当0x ≥时，由()10f x -=得110ex x+-=，得0x =由(())10y f f x a =--=得()0f x a -=或()2f x a -=-即()f x a =或()2f x a =-作出函数()f x 的图象如图111(0),e e x xx xy x y -=+≥≥='当()0,1x ∈时，0y '>，函数是增函数，()1,x ∈+∞时，0y '<，函数是减函数1x =时，函数取得最大值：11e +当1121e a <-<+时，即13,3e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，(())1y f f x a =--有4个零点当121e a -=+时，即13e a =+时，(())1y f f x a =--有三个零点，13ea >+时，(())1y f f x a =--有2个零点，当11e a =+时，则(())1y f f x a =--有2个零点，当112120a e a a ⎧>+⎪⎪-≤⎨⎪->⎪⎩时，即(]2,3a ∈时，(())1y f f x a =--有三个零点，当11,1e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，(())1y f f x a =--有三个零点，当1a <时，(())1y f f x a =--有两个零点或无零点综上，111,1(2,3]3e e a ⎛⎫⎧⎫∈++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，函数有3个零点故答案为：3,；111,1(2,3]3e e ⎛⎫⎧⎫++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭13.答案：AD解析：依题意，设2016年高考考生人数为x ，则2020年高考考生人数为1.5x ， 由24%1.528%8%0x x x ⋅-⋅=⋅>，故选项A 正确；由7(40%1.532%)32%8x x x ⋅-⋅÷⋅=，故选项B 不正确；由8%1.58%4%0x x x ⋅-⋅=⋅>，故选项C 不正确； 由28%1.532%42%0x x x ⋅-⋅=⋅>，故选项D 正确。