多元函数的偏导数和全微分
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数和全微分
6．2 多元函数的偏导数和全微分6．2．1 偏导数的概念与计算1．偏导数定义对于二元函数),(y x f z =，如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数),(y x f z =对于x 的偏导数。
定义：设函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+ 如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数, 记作：0y y x x xz ==∂∂，0y y x x xf ==∂∂，00y y x x xz ==，或),(00y x f x 。
即：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地，函数),(y x f z =在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为：yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作：0y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf ==∂∂，00y y x x yz ==，或),(00y x f y 。
偏导函数：如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂， xf ∂∂， x z ， 或),(y x f x 。
偏导函数的定义式：x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.类似地, 可定义函数),(y x f z =对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf∂∂, y z ，或),(y x f y 。
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用
多元函数的偏导数与全微分的概念及应用多元函数是指存在于多元空间中的函数，其自变量个数大于等于2个。
对于多元函数，我们需要引入偏导数和全微分的概念来描述其变化情况和应用。
概念：偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向的变化率，可以理解为函数对于某一个自变量的变化的敏感程度。
对于二元函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
其中，∂f/∂x表示函数f对x的偏导数，y视为常数；∂f/∂y表示函数f对y的偏导数，x视为常数。
全微分是描述多元函数在某个点附近的变化的线性逼近。
对于二元函数f(x, y)，全微分可以用df表示。
全微分df包含两部分：一部分是偏导数对自变量的改变的斜率；另一部分是自变量的微小变化引起的函数的增量。
全微分df可以表示为df= (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
应用：1. 最值判定：偏导数可以帮助我们找到多元函数取得最值（极大值或极小值）的点。
根据拉格朗日乘子法、极值判定条件等方法，通过计算偏导数和求解方程组可以找到函数取得最值的点。
2. 曲面方程：通过求偏导数，我们可以得到曲面在某个点的切线方程和法向量。
这对于研究曲面的性质和描述其形态十分重要。
3. 实际问题的建模：多元函数的偏导数和全微分在数理物理、经济学、工程学等学科中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过求函数关于某个变量的偏导数，得到该变量对函数的影响程度，从而分析经济关系和做出合理决策。
4. 方向导数与梯度：偏导数和全微分还可以帮助我们研究函数在某个点上沿着某个方向的变化情况。
方向导数可以通过偏导数和方向向量的内积来求取。
梯度则是一个向量，包含了函数在某个点上沿着变化最快的方向和变化率。
梯度的方向是函数值增长最快的方向，大小则表示了函数值增长的速度。
总结：多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数的重要工具，可以帮助我们理解函数的变化规律、寻找最值、建立模型和分析实际问题。
在实际应用中，熟练掌握多元函数的偏导数和全微分的计算方法和性质，对于解决实际问题具有重要的意义。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
多元函数的偏导数与全微分计算
多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用，研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。
一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数，其定义如下：对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$z$ 是函数的因变量。
函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为：$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时，可以将多元函数看作其他变量不变，只对某一变量求导的单变量函数。
常用的计算方法有以下几种：1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法计算偏导数。
通过对方程两边同时求导，并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。
2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时，可以直接对每个变量求导，其他自变量视作常数。
逐个变量求导后得到各个偏导数。
3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数，在参数的每个分量上分别求导，并利用链式法则计算出各个偏导数。
二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质：1. 交换性对于偏导数来说，次序并不重要，即换序后得到的偏导数结果相同。
$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续，那么该点处的偏导数存在。
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导多元函数是指含有多个自变量的函数，偏导数是研究这类函数时常用的工具，而全微分则是近似表示函数的变化率。
本文将介绍多元函数的偏导数与全微分的概念，并进行相应的推导。
一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对于含有多个自变量的函数，我们在求解函数变化率时，只关注一个自变量的变化而将其他自变量视为常数。
具体而言，对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其关于自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partialx_i}$，表示$f$对$x_i$的变化率。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数分为偏导数和混合偏导数两种情况。
偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$z$对$x$的变化率，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$z$对$y$的变化率。
混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$表示先对$x$求偏导再对$y$求偏导。
对于多元函数的偏导数计算，可以通过求偏导的方式逐个计算。
具体而言，对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，求关于$x_i$的偏导数时，将其他自变量视为常数，对$x_i$进行求导即可。
重复这个过程，可以得到所有的偏导数。
二、多元函数的全微分多元函数的全微分是函数的微小变化量。
对于二元函数$z=f(x,y)$，其全微分$\mathrm{d}z$表示$z$的微小变化量。
全微分可以通过偏导数来表示，即$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partialy}\mathrm{d}y$。
全微分的求解可以用来计算函数的变化率及其对应的方向，通过对全微分展开可以得到函数的线性逼近形式。
因此，全微分在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分多元函数是指含有多个自变量的函数。
在研究多元函数时，我们经常需要考虑函数在各个自变量上的变化情况。
而偏导数就是用来描述多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义如下：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在某个点P(x1,x2, ..., xn)处，对第i个自变量求导得到的导数称为偏导数，记作∂f/∂xi。
偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
如果函数f是可微的，那么全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
偏导数与方向导数之间存在一定的联系。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率，偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例。
具体来说，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点P(x1, x2, ..., xn)处的方向向量为d，则方向导数可以表示为Df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... +∂f/∂xn * dxn。
当d为坐标轴方向(例如d = (1, 0, 0, ..., 0))时，方向向量的每个分量只有一个非零分量，其他分量为0，此时方向导数就变成了偏导数。
在求解多元函数的偏导数时，常常使用链式法则和求导法则。
链式法则用于求解复合函数的导数，求导法则则是求解一些特定函数的导数公式。
多元函数偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常研究生产函数来描述生产过程中的变化率；在物理学中，偏导数可以用来表示速度、加速度等物理量的变化率。
总结一下，多元函数的偏导数是用来描述函数在某个自变量上的变化率。
全微分则是将多个自变量的偏导数通过线性组合得到的。
偏导数与方向导数密切相关，是方向导数在坐标轴方向上的特例。
在实际问题中，偏导数有着重要的应用价值。
以上就是关于多元函数的偏导数与全微分的相关内容，希望能够帮助你更好地理解和应用多元函数的求导方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x2 y2 x y 2 2 , ( x, y ) (0, 0) 求 f yx (0, 0) . 例 6. 设 f ( x, y ) x y 0, ( x, y ) (0, 0) f ( x , y ) f ( x , 0) x2 y2 解：f y ( x , 0) lim x. lim x 2 2 y 0 y y 0 x y d f y ( x ,0) f yx (0, 0) 1 . 可见 f x y 和 f y x 未必相等. dx
第 14 讲
多元函数的偏导数和全微分
一. 多元连续函数的性质
多元连续函数具有类似一元连续函数的性质。 1. 多元连续函数作有限次加、减、乘、除（分母不 为零）及复合运算后所得函数仍然连续。 2. 有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值。 3. 有界闭区域上的连续函数能取得介于最大值和最 小值间的任何值。
三. 高阶偏导数
定义 3. 多元函数 f 的偏导数的偏导数称为 f 的二阶 二元函数 f ( x, y) 的二阶偏导数有四种： 偏导数。
fx fx 2f 2f fx y , fx x 2 , x y x y x fy fy 2f 2f fy x , fy y . 2 x y x y y 其中 f x y 和 f y x 称为混合偏导数。
定义2. 设函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内任一点处都存在 对 x ( 或 y ) 的偏导数, 则可得 f ( x, y ) 对 x ( 或 y ) 的 偏导函数（简称偏导数）, 记作 f x ( x, y ) ; z x . f ( x , y ) x 3 2 x 2 y y 2 , 求 f y , f x (1, 0). 例 2. 设 解： x 视为常数， y 求导得 f y 2 x 2 2 y . 将 对 将 y 视为常数， x 求导得 f x 3 x 2 4 x y . 对
x0
定理： f x y 和 f y x 都在点 ( x0 , y0 ) 处连续,则 若
f x y ( x 0 , y0 ) f y x ( x 0 , y0 ) .
四. 偏导数和可微性
定义 4. 设函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域 U ( P0 ) 内有定义。 若对任意 P ( x0 x, y0 y) U ( P0 ) , 函数 在点 P0 处的全增量 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 可以表示为 z A x B y o( ) , 其中A, B 是只与 P0 有关的常数， ( x )2 ( y )2 , 则称 f ( x, y) 在 P0 处可微。 A x B y 为 f ( x, y) 在 P0 处的全微分， 称 记作 d z P A x B y .
z y x ( z y ) x 2e 2 x y . z yxx ( z yx ) x 4e 2 x y .
x2 y2 f ( x , y ) f (0, y ) lim y 2 解：f x (0, y) lim y. 2 x 0 x 0 x x y d f x (0, y ) f xy (0, 0) 1. dy y0
类似可得 f y ( x0 , y0 ) B . 因此有 定理： 若函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则在 P0 存 在一阶偏导数, 且 d z P0 f x ( P0 ) x f y ( P0 ) y . 上式也习惯地写成 d z P0 f x ( P0 ) d x f y ( P0 ) d y .
当 0 时, 上式右端趋于 0 , 即函数在该点连续。 可微 各偏导数存在 连续
f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y o( ) .
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
xy 2 2, 函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
例 7. 求 z sin( x y) 在点 (0, 0) 处的全微分。 z x ( 0, 0 ) 1 , 解： z x cos(x y) ,
z y cos( x y
因此 d z
( 0, 0 )
d xd y.
例 8. 求 f ( x, y ) x y 在点 (0, 0) 处的偏导数, 并讨论 f 在该点的可微性。
f x (1, 0) 3 . u 2 z 练习. 设 u( x , y, z ) sin( x y e ), 求 y , uz (0, 1, 0). u 答： 2 y cos( x y 2 e z ), uz (0, 1, 0) 1. y
x ln( x 2 y 2 ) , ( x , y ) (0, 0) 求 f y ( x, y) . 例 3. 设 f ( x , y ) 0, ( x , y ) (0, 0) 2x y 解：若 ( x, y) (0, 0) , 则 f y ( x , y ) 2 2 , x y 若 ( x, y) (0, 0) , 则 f (0, y ) f (0,0) f y (0, 0) lim 0, y 0 y 2xy 2 2 , ( x , y ) (0, 0) 因此 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0)
类似可定义更高阶偏导数。
z e 2 x y , 求 z x y , z y x , z yxx . 例 4. 设 2x y , z x y ( z x ) y 2e 2 x y . 解：z x 2e 2 x y , z y e
x2 y2 x y 2 2 , ( x, y ) (0, 0) 求 f (0, 0) . 例 5. 设 f ( x, y ) x y xy 0, ( x, y ) (0, 0)
f . 此偏导数也记作 x ( x 0 , y0 )
类似可定义关于y 的偏导数.
sin( x 3 2 y 3 ) , ( x , y ) (0, 0) 2 2 求 f x (0, 0) . 例 1. 设 f ( x, y ) x y 0 , ( x , y ) (0, 0) sin x 3 , x0 f ( x, 0 ) x 2 解： 0, x 0. 2 3 f ( x ,0) f (0,0) (sin x ) x 1. lim f x (0, 0) lim x 0 x 0 x x 类似可求 f y (0, 0) 2 .
二. 多元函数的偏导数
定义 1. 设函数 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定 义。若一元函数 f ( x, y0 ) 在 x x0 处可导, 则称此导 数为 f ( x, y) 在点 P0 处关于x 的偏导数, 记作 f x ( x0 , y0 ) .
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 即有 f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) lim . x x0 x x0
练习. 考虑
1 2 2 ( x y ) sin 2 2 , ( x , y ) (0, 0) f ( x, y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0)
在原点的可微性及偏导数的连续性。 答：可微，偏导数存在但不连续。
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。 上述关于偏导数、可微的概念和结论也可以推广到 n 元函数。 n 元函数 z f ( x1 , x2 , xn ) 在点 ( x1 , x2 , xn ) 处的全微分为 d z f1' dx1 f 2 ' dx2 f n ' dxn , 其中
因此 f 在原点不可微。
x h 2 lim lim 0. 与假设矛盾。 2x, 0 x 0 2 x 2
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。
f i ' f x i ( x1 , x2 , , xn ) .
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
一元函数： 可导 可微 连续
多元函数：若 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则在某 U ( P0 ) 内有 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
f ( x,0) f (0,0) 0 ,类似可得 f y (0, 0) 0 . 解：f x (0, 0) lim x 0 x z f ( x, y) f (0, 0) x y . 设 f 在原点可微，
令 h z ( f x (0, 0) x f y (0, 0) y ), ( x )2 ( y )2 , 则由定理有 h o( ) . 但若取 x y , 则 h x ,
0
考虑 A,B 是否与偏导数有关。
若函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则在某 U ( P0 ) 内有
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) A x B y o( ) . 令 y 0 , 则上式成为 z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) A x o( | x | ) . f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) A , 即 f x ( x0 , y0 ) A . 由此得 lim x 0 x