关于热传导问题
五年级上册科学教材中问题解答-第2单元《热传递》苏教版
苏教版科学五年级上册教材中问题解答第2单元《热传递》第5课热传导1、他们是怎么让身体暖和起来的?(P14)答∶暖手宝传热让手暖和是固体与固体接触;哈气使手暖和是气体与固体接触;泡温泉使身体暖和是液体与固体接触;喝热水使身体暖和也是液体与固体接触。
2、热是怎么传到衣物、板栗上的?(P14)答∶熨衣服时，加热电熨斗的金属底板，金属底板的热量传递给与其接触的衣服，使衣服变热，变得平整。
炒板栗时，沙子吸收大量的热量，再把热均匀地传给板栗，板栗很快就被炒熟了。
3、下图中，烧杯里的热水温度会怎样变化?水槽里的冷水温度又会怎样变化?(P15 )答︰热水的温度越来越低，冷水的温度越来越高，当温度差不多时，热水和冷水的温度变化很慢，最后二者温度达到一致。
4、生活中有许多热传导的事例，你能说说它们的传热过程吗?(P16) 答∶烙饼、量体温、电烙铁作画、吹头发、冷敷或热敷等都是生活中常见的热传导现象。
第6课热对流1、将一小瓶红色热水放到冷水里，会出现什么现象?(P17 )答∶红色的热水会上升，到达冷水顶部会向四周流动，然后沿着水槽壁向下流动。
2、在研究热在水中的传递和研究热在空气中的传递这两个实验中，实验现象有什么相同之处?( P18 )答︰水和空气受热之后都上升，遇冷下降。
第7课热辐射1、夏天，站在烈日下你有什么感觉﹖在哪些情况下还会有类似的感觉﹖(P19 )答︰夏天，站在烈日下会感觉很热。
当人的身体或身体的某个部分(如手）靠近篝火、燃烧的蜡烛（或火柴）热水袋、火炉等也会有类似的感觉。
2、怎样才能使太阳灶的加热速度变快? (P20 )答∶可以通过改变受热物体颜色的深浅、太阳灶的材料、形状、大小，反光板聚焦的位置等使太阳灶的加热速度变快。
3、说说这些产品运用了哪种热的传递方式，它们是如何传热的。
(P21)答∶电烙铁是运用热传导的方式传热。
电水壶是运用热传导、热对流两种方式传热。
烤箱、电暖器是运用热对流和热辐射两种方式传热。
热传导问题的边界条件
热传导问题的边界条件
1. 嘿，你知道吗，绝热边界条件就像给热传导围了一道墙！比如说，冬天你穿着厚厚的棉袄，那棉袄就相当于绝热边界，热量很难跑出去呀。
2. 恒温边界条件呀，就好比是给热传导设定了一个固定的温度关卡呢！就像你在恒温游泳池里，水温一直保持不变。
3. 对流边界条件，这可不得了，就像热在和空气“打架”一样！比如吹风扇的时候，风带走热量不就是这样嘛。
4. 周期性边界条件，哇哦，这不就像钟表的指针一样有规律地循环嘛！像四季的更替，热传导也在这样有规律地变化呢。
5. 辐射边界条件，嘿呀，这不就是热在“放光”嘛！太阳光照在大地上就是个很好的例子呀。
6. 混合边界条件，哎呀呀，这就像是各种情况的大杂烩呀！比如一个物体一部分绝热，一部分又有对流，不就是混合边界条件嘛。
7. Neumann 边界条件，这就好像是给热传导规定了一个特定的流动方向呢！想想水流沿着一定方向流，差不多就是这样啦。
8. Dirichlet 边界条件，这简直就是给热传导一个明确的目标呀！就像你要去一个特定的地方一样。
9. 第三类边界条件，哇塞，这感觉就像是综合了前面几种呢！像在一个复杂的环境中，热传导有多种情况交织在一起。
10. 移动边界条件，哈哈，这就像热在跟着什么东西跑一样！比如一辆移动的汽车，它周围的热传导情况不就一直在变嘛。
我的观点结论就是：这些边界条件真的太有意思啦，它们让我们对热传导有了更深入的理解和认识呀！。
热传导中的常见难题与挑战
热传导中的常见难题与挑战热传导是热力学领域中的一个重要概念，它描述了热量在物质间传播的过程。
在实际应用中，热传导常常涉及到一些常见的难题和挑战，这些问题的解决对于优化能源利用和设计高效的热管理系统至关重要。
首先，热界面热阻是研究热传导过程中常见的问题之一。
在实际传导中，往往存在不同材料的接触，例如热管中的蒸发段和冷凝段。
由于接触面之间存在微观间隙和表面粗糙度，这会导致热传导的阻力增加，从而影响整个系统的热传导效率。
为了解决这个问题，科学家们采用了各种方法，如使用导热接触剂来填充界面间隙和增加接触面积，以降低热阻。
其次，热传导中常见的难题之一是非均匀性。
在许多实际应用中，热传导常常发生在非均匀的材料中，例如复合材料和多相材料。
因此，在这些复杂的材料中，热传导的分析和建模变得困难。
为了解决这个问题，研究者采用了各种方法，如有效介质理论和多尺度分析方法，来描述和预测非均匀材料中的热传导行为。
此外，远距离热传导也是一个常见的挑战。
在传统的导热材料中，热量通常通过晶格振动的方式传导，这种方式的传导距离有限。
然而，在某些特殊情况下，需要在长距离内实现热量的传导，如太阳能电池板和热电发电机，这就需要突破远距离热传导的难题。
为了解决这个问题，研究者采用了各种方法，如使用纳米结构和界面工程来增强材料的热导率，以实现更远距离的热传导。
此外，热传导中的常见挑战还涉及到界面热传导和界面热阻。
在许多热管理系统中，界面热传导是一个关键问题。
例如，散热器和电子元器件之间的接触热阻可以导致温度升高，从而影响系统的性能和可靠性。
为了解决这个问题，研究者采用了各种方法，如表面处理和界面改性，以减小界面热阻，提高热传导效率。
总之，热传导中存在许多常见的难题和挑战，这些问题的解决对于优化能源利用和设计高效的热管理系统具有重要意义。
通过不断的研究和创新，我们可以更好地理解和控制热传导过程，提高热管理系统的性能。
随着科技的进步，相信在未来我们可以克服这些难题，实现更加高效和可持续的能源利用。
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》范文
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》篇一一、引言热传导现象是物理学中常见的问题，正问题求解涉及到在给定热源、边界条件和材料属性的情况下，计算物体的温度分布。
而反问题则是在已知物体温度分布的情况下，推断出热源、边界条件或材料属性等未知参数。
本文将探讨求解热传导正问题和反问题的数值方法，并分析其优缺点。
二、热传导正问题的数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的求解热传导正问题的数值方法。
该方法通过将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，从而求解出温度分布。
有限差分法的优点是计算简单、速度快，但需要合适的网格划分和步长选择，否则可能导致解的精度不高。
2. 有限元法有限元法是一种更为精确的数值方法，适用于复杂的几何形状和材料属性。
该方法将物体划分为有限个单元，每个单元内温度分布近似为线性，通过求解线性方程组得到温度分布。
有限元法的优点是精度高、适用范围广，但计算量相对较大。
三、热传导反问题的数值方法1. 优化算法反问题的求解常采用优化算法。
其中，最常用的算法包括梯度法、牛顿法和遗传算法等。
这些算法通过不断迭代优化目标函数（如误差函数），从而得到未知参数的估计值。
优化算法的优点是通用性强，但需要合适的初始参数和迭代策略，否则可能导致解的不稳定或收敛速度慢。
2. 贝叶斯推断法贝叶斯推断法是一种基于概率论的反问题求解方法。
该方法通过利用已知的先验信息和新的观测数据，推算出未知参数的后验概率分布。
贝叶斯推断法的优点是可以充分利用先验信息，提供更多的信息性结果，但需要较多的先验信息输入和假设条件。
四、应用实例分析以某金属板热传导问题为例，通过对比有限差分法和有限元法求解正问题的结果，分析两种方法的优劣；然后采用优化算法和贝叶斯推断法求解反问题，对比两种方法的精度和效率。
实验结果表明，在已知热源和初始温度的情况下，有限元法求解正问题的精度更高；而优化算法在反问题的求解中表现更佳，能较快地收敛到最优解。
但贝叶斯推断法能提供更多的不确定性信息，对实际应用有更好的指导意义。
热传导练习题
热传导练习题热传导是热量在物体之间通过分子或原子之间的碰撞传递的过程。
熟悉热传导的概念和理论是理解热力学以及热学相关问题的关键。
下面是一些热传导练习题，旨在帮助你加深对热传导的理解以及应对不同场景的热传导问题。
练习题1：热传导方程问题：某一绝缘材料的热传导方程为：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度分布随时间的变化，α是绝缘材料的热传导率。
请问，在给定初始温度分布和边界条件的情况下，如何求解上述热传导方程？练习题2：导热系数问题问题：某实验室进行了一次关于导热系数的实验，结果如下：- 热流量：10W- 温度差：5℃- 材料厚度：0.5m- 材料面积：2m²请问，该材料的导热系数是多少？练习题3：多层传导问题问题：一个复合材料由三层材料构成，每层厚度相同。
已知各层的导热系数分别为k₁、k₂和k₃（k₁ > k₂ > k₃），且顶部和底部的温度分别为T₁和T₃，中间层的初始温度分布为T₂(x) = 100x²，其中x为距离。
请问，当时间趋向于无穷大时，中间层的温度分布如何？练习题4：水的热传导问题问题：一杯热水温度为70℃，在室温下放置一段时间后，温度降到了40℃。
已知水的热传导系数k = 0.6 W/m·K，容器底面积为0.1m²，容器的热导率可以忽略不计。
请问，若在温度降到40℃后，将水杯置于温度为20℃的环境中，请问多久后水的温度会降到20℃？练习题5：电子器件的散热问题问题：一台电脑处理器的表面温度为80℃，其热传导面积为0.05m²，热传导系数为20 W/m·K。
假设环境温度为25℃，请问多久后处理器的温度会降到40℃？以上是一些关于热传导的练习题，通过解答这些问题，可以加深对热传导理论的理解，并学会应用热传导方程来解决实际问题。
热传导是热学中的重要概念，在工程领域和日常生活中都有许多实际应用，例如散热器、绝缘材料和冷却系统。
热传导实验中的常见问题及解决方法
热传导实验中的常见问题及解决方法在热传导实验中，我们常常会遇到一些问题，这些问题可能会干扰我们的实验结果或者影响我们的研究进展。
本文将介绍一些常见问题，并提供解决方法，帮助读者更好地开展热传导实验。
问题一：温度测量不准确在热传导实验中，准确测量温度是十分重要的。
如果温度测量不准确，将直接影响实验结果的可信度。
导致温度测量不准确的因素有很多，例如测温仪器的不准确、环境温度波动、热辐射等。
解决这个问题的方法有：1. 使用高精度的温度仪器：选择精度高、稳定性好的温度计或者热电偶来进行温度测量，以尽量减小仪器误差。
2. 校准测温仪器：定期对温度测量仪器进行校准，将测得的温度与标准温度进行比对，纠正温度仪器的偏差。
3. 控制环境温度：在实验过程中，尽量维持实验环境的稳定，减小环境温度的波动对温度测量的影响。
问题二：材料的热散尽在热传导实验中，材料的热散尽是一个重要的问题。
如果材料的热散尽较快，会导致热传导过程无法达到稳态，影响实验结果。
解决这个问题的方法有：1. 选择低热散尽材料：选择热散尽较慢的材料，如具有较低热导率的绝缘材料，以减小热散尽的影响。
2. 增大实验时间：由于热散尽是一个随时间逐渐减小的过程，延长实验时间可以减小热散尽对实验结果的影响。
3. 增大测量点数量：在材料中设置更多的测温点，以便更全面地探测材料的温度分布，避免因局部热散尽导致实验结果不准确。
问题三：热边界条件的确定在热传导实验中，热边界条件的确定对于实验结果的准确性至关重要。
如果热边界条件设定不当，会导致实验结果与实际情况不符。
解决这个问题的方法有：1. 参考文献和已有研究：通过查阅相关文献和已有研究，了解研究对象的热边界条件，参考已有研究方法进行实验。
2. 进行预实验：在进行正式的实验前，进行预实验来确定最佳的热边界条件，以确保实验结果的准确性。
3. 推导计算模型：根据实验对象的特点和结构，利用热传导理论推导相应的计算模型，以确定热边界条件。
热传导问题分析
热传导问题分析热传导是热能从高温区域向低温区域传递的过程。
它在我们日常生活和工业生产中都起着至关重要的作用。
了解热传导问题的原理和机制，有助于我们更好地理解热的传导过程，并为解决相关问题提供指导。
热传导的机制热传导是通过分子之间的热振动实现的。
物质内部的能量传递通过分子之间的碰撞和传输完成。
热量在材料中传递的速度取决于材料的物理特性，例如导热系数、材料的密度和比热容。
导热系数是一个重要的参数，它描述了材料传导热量的能力。
导热系数越高，材料传热能力越强。
不同材料的导热系数相差很大。
比如金属具有较高的导热系数，而绝缘材料则具有较低的导热系数。
影响热传导的因素除了材料的导热系数之外，还有一些其他因素会影响热传导的过程。
1.温度差异：热从高温区域向低温区域传递，温度差异越大，传导速度越快。
2.材料的导热性能：材料的导热系数决定了热量传递的速度和能力。
3.材料的物理结构：不同材料的物理结构也会对热传导过程产生影响。
例如，金属的结晶结构导致其较高的导热能力。
4.材料的厚度：传热过程中，材料的厚度也会影响热传导的速度。
应用和问题热传导机制广泛应用于各个领域，从我们日常生活中的热水器、电磁炉到工业生产中的冷却系统和热交换器。
然而，在某些情况下，热传导可能会导致问题。
例如，在一些绝热材料的设计中，我们希望尽量减少热传导。
但是，由于材料的导热系数无法完全为零，热传导仍然会发生并可导致能量损失。
在工业生产中，一些设备因为热传导而产生过热问题。
这不仅会降低设备的效率，还可能导致设备的损坏。
因此，针对这些问题，需要采取一些措施，如加装绝缘层、改进传热结构，以降低热传导。
随着科技的发展，我们对热传导问题的理解也越来越深入。
热传导模型的建立和计算方法的改进，使得我们能够更准确地预测和控制热传导过程。
因此，研究热传导问题在发展新材料、设计新设备和改进生产工艺方面具有重要意义。
总结热传导是热能从高温区域向低温区域传递的过程，通过分子之间的热振动实现。
大学物理-热传导方程的定解问题
在各向同性的介质中，热流强度 q 与温度的负梯度成正比， 即
(k：热传导系数)
|q|：单位时间垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 的方向：等温面的法线方向 (由高温指向低温) 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 / 流出 V 的热量为
单位时间内热源在 V 中释放 / 吸收的热量为
单位时间内，V 中介质温度升高/降低所需/放出的热量为
能量守恒定律：Q3 = Q1 + Q2 则 由 V 的任意性，得到
若介质均匀，即 k 为常量，有来自定义：，因此得到
当 V 内无热源，即 f = 0，故有
二、扩散方程 1. 扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子
从高浓度处流向低浓度处。(浓度：单位体 积中的粒子数) 2. 方程的推导 设：空间中任一小体积 V，其边界面为 S
粒子源强度：F (x, y, z, t) ——单位时间，单位体积 内产生的粒子数
求：空间各点粒子浓度 u(x, y, z, t) 的方程 V 内粒子数增加的来源：扩散 + 粒子源
扩散浓度：N ——单位时间通过垂直于 v (粒子定向运动速 度) 的单位面积的粒子数 N=uv，方向：v 的方向
对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数
扩散导致 V 内粒子增加的数量：
粒子源 V 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：
因粒子数守恒，有 由 V 的任意性，得到 若 D 为常量，且设 D = a2，则
若 V 内无粒子源，即 F = 0，因而
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。
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本科毕业论文论文题目：关于热传导问题学生姓名：姜丽丽学号：200600910058专业：物理学指导教师：李健学院：物理与电子科学学院2010年5月20日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题目关于热传导问题选题时间2010.1.10 完成时间2010.05.20 论文（设计）字数8000关键词热传导，热量，温度论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源：基础研究。
理论和实践意义：在了解热传导的概念基础之上，通过系统地分析热传导的过程，得出热传导的微分方程，从量上对热传导过程有了一个深刻的认识；并且将热传导微分方程应用于解决各种几何形状的固体材料，得出温度分布的情况，以及简单的应用于气体、液体。
热传导是深入学习和研究各种传热现象乃至工程热物理各学科的重要基础之一。
论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：本文主要通过对热传导过程的理论分析，总结出热量与温度的关系，然后分析各种热传导现象温度的变化规律。
创新点：1、总结了不同传热条件下热传导过程中热量与温度的关系；2、分析了不同条件下热传导温度的变化规律。
附：论文（设计）本人签名：2010年5月20日目录摘要 (1)ABSTRACT (1)一、引言 (2)二、热传导理论基础 (2)（一）热传导的概念 (2)（二）温度场与温度梯度 (3)（三）热传导方程 (4)三、固体、液体、气体热传导及热源的影响 (8)（一）无源热传导温度的变化规律 (8)（二）有源热传导温度的变化规律 (10)四、影响热传导的因素 (12)五、热传导的应用 (12)六、总结 (13)参考文献 (13)关于热传导问题姜丽丽（山东师范大学物理与电子科学学院济南250014）摘要：传热是普遍的自然现象。
只要有温差的存在，热量的传递就是不可避免的。
或者有热量输入或输出时，总会引起温度响应，造成温度的不均匀分布。
热传导的基本理论就是确定介质内的温度分布。
分析求解所提供的结果有助于人们去理解影响传热过程的各种因素。
本文主要通过对热传导过程的理论分析，总结出热量与温度的关系，然后分析热传导温度的变化规律。
关键词：热传导，热量，温度Problems on the heat conductionJiang Lili(College of Physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan, 250014) Abstract: Heat is a common natural phenomenon. As long as the existence of temperature, the heat transfer is inevitable. Or a heat input or output, will cause the temperature response, causing the temperature of the uneven distribution. Heat conduction of the basic theory is to determine the temperature distribution within the solid. Analysis of the results provided by the solution helps people to understand the impact of heat transfer process of the role of various factors. In this paper, the heat conduction through the process of theoretical analysis, summed up the relationship between heat and temperature, and then analysis the changing law of temperature.Keywords: heat conduction; calories; temperature一、引言热传导研究介质内部的热量传输，主要是固体内的热量传输，分析固体表面与环境进行热交换时，其内部的温度变化规律。
研究各种导热现象的规律与发展国民经济有着直接的联系。
例如，研究大地的温度变化，食品的冷冻过程，金属材料在铸造, 焊接，锻压等热加工过程中内部温度分布；材料结构热应力计算等。
学习与研究导热的重要意义还在于：它是深入学习与研究各种导热现象乃至工程热物理各专门学科的重要基础之一。
为了对热传导中热量和温度之间的关系有一个更深刻的认识，本文从理论方面给出一些分析。
热量传递是在温差作用下出现的能量转移现象。
自然界中到处都存在着温差,因此传热现象随时随地都可能发生。
众多的传热现象中,热量传递被归纳为热传导、热对流和热辐射三种基本方式。
热传导是热量传递的基础,热传导理论在科学研究与工程技术各领域有着广泛的应用。
它的重要意义在于：通过对各类热传导问题的求解，可得到有实用价值的结果。
热传导理论最基本的任务就是确定介质内的温度分布。
这就需要一个可求解的方程，而确定的这个方程要想有解必须有确定的边界条件。
对于一个给定的问题，我们可以先确定边界条件，然后代入热传导方程，进而求出温度的宏观分布情况。
这些问题包括齐次非齐次问题等。
将这些结果应用于一维，二维等实际情况，从而解决实际中遇到的问题。
二、热传导理论基础（一）热传导的概念1.由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。
热传导是热传递三种基本方式之一。
它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中层层传递，在流动情况下往往与对流同时发生。
2.固体、液体以及气体热传导热传导实质是由大量物质的分子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。
在固体中，热传导的微观过程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。
在低温部分，微粒振动动能较小。
因微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传递。
在固体中热的传导，就是能量的迁移。
在金属物质中，因存在大量的自由电子，在不停地作无规则的热运动。
自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用。
在液体中热传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层层传递，引起了热传导现象。
由于热传导系数小，传导的较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量迁移，从而形成宏观上的热量传递。
（二）温度场与温度梯度物体或系统内各点间的温度差的存在是产生热传导的必要条件。
由热传导方式引起的传热速率（称为导热速率）决定于物体内温度的分布情况。
1、温度场：任一瞬间物体或系统内各点的温度分布总和。
一般),,,(θz y x t =,即某点的温度是空间和时间的函数。
稳定温度场 ),,(z y x t t =，0=∂∂θt不稳定温度场 ),,,(θz y x t =一维稳定温度场 ）x t (=， 0=∂∂θt ，0=∂∂=∂∂z ty tt 仅沿等温面：温度场中同一时刻下相同温度各点所组成的面，彼此不相交。
（同一瞬间内空间任一点不可能同时有二个不同的温度值）。
2、温度梯度Δt —两面温差 Δn —两面间垂直距离n t n t gradt n ∂∂=∆∆=→∆ρ0lim （2-1）温度梯度是矢量，既有大小，又有方向（正法线方向，即指向温度增加的方向） 对于一维稳定温度场：dx dt gradt = （2-2） （三）热传导方程热传导的起源是温度的不均匀，温度不均匀可用温度梯度表示。
对均匀的各向同性材料，在热稳定条件下，根据实验结果，Fourider 定律是T k q ∇-=ρ （2-3）其中k 热传导系数。
热传导系数是材料固有的属性。
在热力学第一定律基础上，结合Fourider 定律，即可得到导热方程式，介质内部导热过程中的热力学第一定律可写成简明的数学形式：321Q Q Q =+ （2-4）其中1Q 为单位时间体系通过界面获得的热量，2Q 为单位时间体系内部产生的热量，3Q 为单位时间体系内能的变化量。
⎰⎰-=-=11S 1S 11..s d q ds n q Q ρρρρ⎰''=112V dV q Q1V 3V 1⎰∂∂=cTd Q ρτ将Q 1，2Q ，3Q 分别代入热力学第一定律可得1V 3V 1⎰∂∂=cTd Q ρτ（2-5） 运用高斯定理，⎰1S 1.s d q ρρ=⎰1V 1dv )q (div ρ 则2-5式可改为：-⎰1V 1dv )q (div ρ+⎰''11V dV q =1V V 1⎰∂∂cTd ρτ （2-6）由于1V 不随时间τ而变化，2-6式可写为1V V 1⎰∂∂cTd ρτ=1V 0])cT ()cT [(1lim 1dV ττττρρτ-∆∆+→∆⎰ （2-7）根据微分的中值定理（Lagrange 定理）可知：cT cT cT ρττρρτττ∂∂∆=-∆+)()( （2-8）代入2-7式即得：11V 11V cTdV cTd V ρτρτ⎰⎰∂∂=∂∂可写为： 1V V 1V 1111dv q dv )q (div cTdV ρτ⎰⎰⎰∂∂=''+-ρ （2-9）再根据积分的中值定理，上式可写成：0V ]cT q )q (div [1=∂∂-''+-ρρτρ 即：ρρρτ]cT []q )q (div [∂∂=''+-ρ （2-10）在各向同性物体内、温度场连续的点上，Fourier 定律成立，将Fourier 公式代入，得：cT q )div(kgradT ρτ∂∂=''+ 对一般固体材料而言，ρ与c 影响远小于k 因此，方程可简写成：τρ∂∂=''+T c q )div(kgradT （2-11）当导热系数随温度不很敏感的条件下，才能近似地认为导热系数在整个区域内为常数，所以上式可以写成：τρ∂∂=''+T c q )kdiv(gradT 或τα∂∂=''+∇T k q T 12 （2-12）其中α=k c ρ 在稳定导热问题中，物性量α失去了作用：02=''+∇kq T ，若温度场内没有热源，0=''q ，则式可进一步化简成： 02=∇T （2-13）称为Laplace 方程。