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2020 年高考理科数学《考试大纲》新解

《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据. 国家教育部有关部门每

年都邀请专家，依据高校人才选拔需求、国家课程标准调整以及考生实际水平变化，对《考试大纲》进行

修订，以适应高校对新生基本能力和综合素质的要求.

日前教育部考试中心函件《关于 2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函﹝2020﹞ 179 号），公布了 2020 年高考各学科考试大纲的修订内容，其中数学学科的修订内容如下：

1．在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求，同时

对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体. 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第二点内容. 2．在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余 2 个选考模块的内容和范围都不变，考生从“坐

标系与参数方程”“不等式选讲” 2 个模块中任选 1 个作答 . 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第三点内容 .

“一不变”：核心考点不变

2020 年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率

与统计、选考内容等.

在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数

列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频

考点 . 在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选

考内容仍然是必考内容 .

备考锦囊

1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系. 首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；

3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在

对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；

4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类

讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；

5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不

求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方

程及根的判别式；

6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、 b、 c 之间的关系等式即可；

7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三

角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；

8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n 项和公式，体会方程的思想；

9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者

前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；

10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的

详略；

“二变”：数学文化解读

名师解读

教育部考试中心函件《关于2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考

核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. 比如，在数学中增加数学文化的内容”因此我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深

度解读，希望能够给广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.

样题展示

一、数学文化与算法

【例 1】在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”

记该寺内的僧侣人数为S0，运行如图所示的程序框图，则输出的

S 的值为

A． 414B． 504

C． 462D． 540

【答案】 C

【例 2】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的

程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m

的值为

，则输入

的a

的值为

214593189 A．8B．16C．32D．64【答案】 C

【解析】起始：m2a 3 ， i 1 ，第一次循环：m2(2a3)34a 9

， i 2 ；第二次循环：

m2(4 a9)38a 21

， i

3

；第三次循环：m2(8a21)3 16 a

45

， i 4 ；接着可得

93

m2(16a45)332a 93，此时跳出循环，输出m

的值为

32a

93 ．令 32a93

，解得

a

32 ，

故选 C．

二、数学文化与数列

【例 3】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为

5345

A．3 钱B．2 钱C．3钱D．4钱

【答案】C

【例 4】《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九

堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”则这个数学问题中

动物有 ______________只．（数字作答）

【答案】 590490

【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项

a 1

9

，公比

q 9

的等比数列

a n

，其通项公式为 a n 9 9n 1

9n

a 5 a 6 95 96 95

1 9 590490

（只）．

，则动物的数量为

三、数学文化与概率统计

【例 5】欧阳修《卖油翁》中写到： （翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，

而钱不湿．可见 “行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为 1.5cm

的圆，中间有边长

为

0.5cm

的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为

4

9

A ． 9

B ． 4

4

C ． 9

D ． 4

【答案】 A

r

2

(1.5)2

9 (cm 2 )

0.52

0.25

1

(cm 2 )

【解析】圆的面积为

2

16 ，正方形的面积为

4

，所以油（油滴

1

4

P

4

9 9

的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为

16

，故选 A.

【例 6】南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 π

3.1415927之间，

的值在 3.1415926与 成为世界上第一个把圆周率的值精确到

7 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值 的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平 . 我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内

切圆随机投掷豆子，在正方形中的 80 颗豆子中，落在圆内的有

64 颗，则估算圆周率的值为

A ． 3.1

B ．3.14

C ． 3.15 D

．3.2

【答案】 D

四、数学文化与立体几何

【例 7】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）

的专用术语。关于“刍童”体积计算的描述， 《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。”，其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的

长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个

1 数值相加，与高相乘，再取其六分之一。依此算法，现有上、下底面为相似矩形的棱台，相似比为

2 ，高

为 3，且上底面的周长为

6，则该棱台的体积的最大值为

A ． 14

B ．

56

63

C ．

4

D ．

63

【答案】 C

【解析】 依算法， 设棱台的上底面的长、 宽分别为 x 、 y( x 0, y

0)

，则下底面的长、 宽分别为 2x 、

2 y

，

V

1

[( 2x 2x) y (4x x) 2 y] 3 7 xy

， 又

x y 3

， 由 基 本 不 等 式 得

则 棱 台 的 体 积

6

7xy 7 (

x y

)2

63 x y 3 2

4 ，当且仅当 2 时取得最大值，故选

C ．

【例 8】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 334 年商鞅造的一种标准量器 ____商鞅铜方升，其

三视图如图所示（单位

: 寸） . 若

取 3 ，其体积为

12.6

（立方寸），则三视图中的 x 为

A ． 3.4

B ． 4.0

C ． 3.8

D ． 3.6

【答案】 C

【解析】由三视图可知，商鞅铜方升由一个圆柱和一长方体组合而成，由题意得

3 x 1

1 2 (5.4 x) 12.6

3.8 ，故选 C.

2

，解得 x 五、数学文化与三角函数

【例 9】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为

a, b, c

，三角形的面积 S 可由公式

Sp p a p b

p

c

求得， 其中

p

为三角形周长的一半， 这个

公式也被称为海伦 - 秦九韶公式， 现有一个三角形的边长满足

a

b 12,

c 8

，则此三角形面积的最大值为

A. 4 5

B.

8 5

C. 4 15

D. 8 15

【答案】 B

六、数学文化与推理与明

【例 10】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖，有一列数：，，，，，?．数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人把的一列数

成的数列{ a

n

}

称“斐波那契数列”，(a1a3a22 )( a2 a4a32 )(a3a5a42 )( a2015a2017a20162)

A. 1

B. 1

C.2017

D.2017【答案】 B

【解析】由意得，根据斐波那契数列可知，

(a1a3 a22 ) 1,( a2 a4a32 )1

，

(a

3

a

5a42 )1,( a4a6a52 )

1

，?

所以根据算的律可得，当n 偶数，( a

n

a

n 2a n21

)1

，当 n 奇数，

(a

n

a

n 2a n2 1

)

1，

所以 (a1a3 a22 )( a2 a4a32 )(a3a5 a42 ) (a2015a2017a20162)1

，故 B.

考囊

弘中国文化，尤其是数学文化，是2020 年高考数学命的新的“考向”

增加数学文化的要求，是践行社会主核心价、弘中国秀文化的具体体，通些

的解答使考生深刻到中民族秀的博大精深和源流. 相信2020 年在数学命中，仍会适

当增加中国文化行考的内容，如将四大明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作背景材料，遵循

承、弘、新的展路径，注重文化在中的造性化和新展，体中

国科技文化人展和社会步的献，从而考的社会意和目的.

“三”：考模的整

名解

在考内容与范方面，去了修 4-1 里的“几何明” . 去的理由是几何明考的是初中平面几何的知，作基知，可以在立体几何、解析几何知中考，不需要再独置考，

同在以前的教学大和 2020 年修的程准中都不包含 . 考模的由三道两道，可以减了生考的担，于大多数学生来，可以从原来面平面几何尬的境地解放了出来！可

以更具有性的复考另外两个考模.

最后一个大题的选择性减少，这就要求我们在备考阶段的聚焦点只能在“坐标系与参数方程” 、“不等式选讲”两部分上下功夫 .

样题展示

x x

x22cos2

C1 :

y sin y y C2【例 1】在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲线为，

以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（ 1）求曲线C

2的极坐标方程；

AOB

π

（ 2）若A, B

是曲线

C

2上的两点，且 3 ，求

OA OB

的取值范围 .

x22cos x22

2

1

【解析】（1）曲线C

1的参数方程y sin4

y

化为普通方程为，

x x

x2x

2

2

y2

1

，即 x2y2

又y

y 即y y

C

2的方程为

x12x ，，代入上式，可知曲线

故曲线C

2的极坐标方程为2cos .

（ 2）设A

1

,B 2 ,π

π,π

， 3 （ 2 6 ），

OA OB2cos2cos π

23cos

π

12

36

则，ππ π

,

，所以OA OB

的取值范围是

3, 23

因为633.

【例 2】已知函数f

x x2x 1 .

（ 1）解不等式f

x5；

f x 2

log 2 a

（ 2）若log 2a

对任意实数

x

恒成立，求

a

的取值范围 .

x11x2x2

【解析】（1）原不等式可化为12x 5 或35或2x15，

解得x

2 或 x

3

，所以不等式f x

5

的解集为,2U 3,．

（ 2）因为

x 2

x 1 x 2 x 1

3

，所以

f

x

3 ，即 f

x

min

3 ．

log 2 a

2

3

log 2 a

2

3

01 log 2a 3

由题意知

log 2 a

2log 2a

，

1

8

a

得 2

．

备考锦囊

坐标系与参数方程中主要的考查点有三个：

（ 1）极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的相互转化，此内容相对比较容易，在备考的时候熟记公 式，以及各个曲线的参数方程即可得到满分

.

（ 2）极坐标的几何意义（即对应的点到极点的距离）

，由于有时利用极坐标的几何意义能快速求解，降低

解题难度，提高解题效率，所以理解极坐标的几何意义就刻不容缓 .

（ 3）参数方程的几何意义，由于有时在解决最值问题时，利用三角知识能够快速求解，尤其是对圆锥曲线 上的动点问题（ 2020 年高考新课标Ⅲ卷有所涉及） ，直线参数方程中参数“ t ”的考查非常频繁，考生备考

时应注重了解参数“

t ”的含义和应用方法，特别地，应用直线的参数方程时，需先判断是否为标准形式，

再考虑参数 t

的几何意义

.

对于不等式选讲，从历年全国高考中进行分析，绝对值不等式的解法与证明、恒成立问题，用基本不等式

证明不等式是高考考查的热点和重点，难度中等 . 预计 2020 年，仍会考查绝对值不等式的求解、证明及恒成立问题 .

高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能挖掘思维和知识的潜能，

考出最佳成绩 .

一、“内紧外松” ，集中注意力，消除焦虑怯场

集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制

思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松 .

二、一“慢”一“快” ，相得益彰

有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结

果是思维受阻或进入死胡同，

导致失败 . 应该说， 审题要慢， 解答要快 . 审题是整个解题过程的

“基础工程” ，

题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识， 为形成解题思路提供全面可靠的依据 . 而思路一旦形成，则可尽量快速完成

.

三、确保运算准确，立足一次成功

时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算

( 关键步骤，力求准确，宁慢勿快

) ，

立足一次成功 . 解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，

而且从“性质”上影响着后继各步的解答 . 所以，在以快为上的前提下，

要稳扎稳打， 层层有据， 步步准确，

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤

.

四、讲求规范书写，力争既对又全

考试的又一个特点是以卷面为唯一依据

. 这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范

. 会而不对，令

人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学非智力因素失分的一大方面. 字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬，“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”. “书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理.

五、执果索因，逆向思考，正难则反

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的

进展 . 顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证. 如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件；

用反证法，从否定结论入手找必要条件.

六、面对难题，讲究策略，争取得分

会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，

下面有两种常用方法：

1.缺步解答 . 对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一

系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行

一步就可得到这一步的分数 .

2.跳步解答 . 当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不

出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过

渡环节 . 若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答.