用凯特摆测量重力加速度实验报告 (7)

用凯特摆测量重力加速度
化学物理系04级龚晓李PB04206002
2005-12-5
实验目的：学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理：1、当摆幅很小时，刚体绕O轴摆动的周期：
刚体质量m，重心G到转轴O的距离h，绕O轴的转动惯量I，复
摆绕通过重心G的转轴的转动惯量为I G 。

当G轴与O轴平行时，有I=I G+mh2
∴
∴复摆的等效摆长l=( I G+mh2 )/mh
2、利用复摆的共轭性：在复摆重心G旁，存在两点O和O´，可使
该摆以O为悬点的摆动周期T₁与以O´为悬点的摆动周期T₂相同，
可证得|OO´|=l，可精确求得l。

3、对于凯特摆，两刀口间距就是l，可通过调节A、B、C、D四摆
锤得位置使正、倒悬挂时得摆动周期T₁≈T₂。

∴4π²/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l) = a + b
实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节
选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l，使两刀口相对摆杆基本
对称，并相互平行，用米尺测出l的值，粗略估算T值。

将摆杆悬挂到支架上水平的V形刀承上，调节底座上的螺丝，借
助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒挂也如此。

将光电探头放在摆杆下方，让摆针在摆动时经过光电探测器。

让摆杆作小角度摆动，待稳定后，按下reset钮，则测试仪开始
自动记录一个周期的时间。

2、测量摆动周期T₁和T₂
调整四个摆锤的位置，使T₁和T₂逐渐靠近，差值小于0.001s，
测量正、倒摆动10个周期的时间10T₁和10T₂各测5次取平均
值。

3、计算重力加速度g及其标准误差σg 。

将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G。

测出|GO|即h₁，代入公式计算g。

推导误差传递公式计算σg 。

实验数据处理：1、l的值
l=⅓(l₁+l₂+l₃)=74.17cm
σ＝0.03055cm，u A =σ/=0.01764cm，
∴ΔA ＝t P·u A =1.32*0.01764=0.02328cm
u B=ΔB /C=0.1/3=0.03333cm
∴u L ==0.04066cm
T e ==1.729s
2、T₁和T₂的值
T₁＝1.72746s
σ＝2.525*10¯⁴s，u A =σ/=1.129*10¯⁴s
∴ΔA ＝t P·u A =1.14*0.0001129=1.287*10¯⁴s
u B=ΔB /C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s
∴u T1 ==1.329*10¯⁴s
T₂=1.72751s
σ＝1.469*10¯⁴s，u A =σ/=0.6570*10¯⁴s
∴ΔA ＝t P·u A =1.14*0.00006570=0.7489*10¯⁴s
u B=ΔB /C=0.0001/3=0.3333*10¯⁴s
∴u T2 ==0.8197*10¯⁴s
3、重力加速度g
h₁=44.46cm
∴g=4π²/[(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h₁-l)]
=4π²/{(1.72746²+1.72751²)/(2*74.17*10¯²)
+(1.72746²-1.72751²)/[2*(2*44.46*10¯²-74.17*10¯²)]}
=9.813m/s²
∴u g0.68 =g·{l¯²* u L²+[2 T₁/(T₁²+T₂²)]²·u T1²
+[2 T₂/(T₁²+T₂²)]²·u T2²}
=9.813*{(74.17*10¯²)¯²*(0.04066*10¯²)²
+[2*1.72746/(1.72746²+1.72751²)]²*(1.329*10¯⁴)²
+[2*1.72751/(1.72746²+1.72751²)]²
*(0.8197*10¯⁴)²}
=0.00545m/s²
∴u g0.95 =2* u g0.68 =0.011 m/s²
∴g=(9.813±0.011) m/s² P=0.95
思考题：1、凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？实验上如何来实现?
答：凯特摆测重力加速度在实验设计上把不可测的量转换成可测的量，利用复摆上两点的共轭性，对难以精确测定的量，有些避免了对其的测量，不能避免的则降低了其测量精度。

避免了对复摆转动惯量I G 的测量，降低了对重心G到悬点O的距离h₁的测量。

实验上利用复摆上两点的共轭性，通过调节四个摆锤的位置，使得两刀口共轭，则两刀口距离即为等效摆长l，避免了对I G 的测量，此时正、倒悬挂的摆动周期基本相等，从而使4π²/g=a+b中不易精确求得的b项远小于a项，这样b项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

2、结合误差计算，你认为影响凯特摆测g精度的主要因素是什么？将所得的实验结果与当地的重力加速度的公认值相比较，你能得到什么结论？若有偏差，试分析之。

答：从误差计算中，易得知影响凯特摆测重力加速度精度的主要因素是对等效摆长l的测量，因为是用米尺测l,所以测量误差较大。

所得实验结果与当地重力加速度公认值相比：g0 ＝9.7947m/s²,相对误差d=(g-g0)/g0=1.9‰,可知凯特摆法得精度较高。

此法的误差来源于：两刀口间距l的米尺测量误差，h₁的测量误差，摆锤在测量过程中受重力作用可能有所滑动，摆角的影响。

3、摆的角振幅（即摆杆的偏转角）的大小，对实验结果有无影响？能否进行理论修正。

答：有影响，且摆角越大影响越大。

可以进行理论修正。

单摆周期公式为，令l为复摆的等效摆长，则复摆周期公式为：,若正、倒悬挂时，摆的角振幅相等，则由T₁和T₂的公式消去I G ，可得：4π²(1+θ²/16)/g=(T₁²+T₂²)/2l + (T₁²-T₂²)/2(2h ₁-l) = a + b
4、到本实验为止，你用了哪些方法测重力加速度？试比较其优缺点。

从原理上讲，哪个方法最准确？为什么？答：单摆法测重力加速度、凯特摆法测重力加速度。

单摆法的优点是实验装置简单、原理直接、直接测量量较少且容易测量，缺点是受悬线质量、悬线弹性、空气浮力影响较大，精度不高，有较大误差。

凯特摆法的优点是用光电探头测周期误差较小，摆杆各部分处于对称状态可抵消空气浮力的影响和减小阻力的影响，缺点是实验中调节复摆的过程较为麻烦。

从原理上讲，凯特摆法最准确，因为实验中用的凯特摆是刚体，不易形变，而单摆法中受装置影响太大，实验所测的量并不能很好的满足公式。