数学人教版七年级下册相交线与平行线辅助线

相交线与平行线添加辅助线
教学目的：
使学生掌握添加辅助线的方法 教学重点与难点：
如何添加辅助线 教学过程：
说明：利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况； 1. 缺角补角
在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。

2. 缺线补线
如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。

例题解析：
例1. 如图所示，AB//CD ，∠A=∠C 。

求证；AD//BC 。

C
分析：由AB//CD 知它所对应的图形应是三线八角，而在图中，没有完全显露出来，为了更好地使用已知条件，可以将某些线段延长。

证法1：如图所示，延长CD 和AD 。

AB CD C //（已知）
（两直线平行，同位角相等）（已知）
∴∠=∠∠=∠414
∴∠=∠1C
∴AD BC //（内错角相等，两直线平行）
证法2：延长CD 和AD 。

AB CD //（已知）
（两直线平行，内错角相等）∴∠=∠42
∠=∠A C （已知）
∴∠=∠∴2C
AD BC //（同位角相等，两直线平行）
证法3：延长CD 和AD
AB CD A C C AD BC ////（已知）
°（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
°
（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠+∠=∠=∠∴∠+∠=∴431803180
小结：
延长AD ，CD 是为了更好地认识和使用图形——三线八角，但没有决定性作用，可以不作为添加辅助线的必要部分。

本题虽然不添置辅助线也能够证明，但思路狭隘，不利于培养逻辑思维能力。

例2. 如图所示，已知：∠B+∠D=∠BED ，求证：AB//CD 。

A B
E
C D
分析：由条件和结论可以发现，要证明AB//CD ，缺少第三条直线，怎样添加第三条直线呢？
如图1中，DM 是第三条直线；图2中，BN 是第三条直线；图3中，BD 是第三条直线，按这三种方法添置辅助线，都可以进行证明，只是在证明过程中，要用到三角形内角和定理。

A B
C N D
图1 图2 图3
由已知图形及条件∠B+∠D=∠BED 可以意识到，AB ，CD 分别在两组“三线八角”中，而且BE ，DE 分别是第三条直线，基于上述认识，过E 点应存在一条平行于AB 的直线，这就挖掘出了添置辅助线“过E 作EF//AB ”的背景。

如图4，也是过E 作EF//AB ，图5也是过E 作EG//AB ，只是方向不同。

A
B
F
C D
A B
C D
图4 图5
证法1：如图4，过E 作EF//AB
∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴∴B BED BED B D B D D
EF CD AB CD 112122（两直线平行，内错角相等）（等量代换）（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）（平行于同一条直线的两直线平行）
////
证法2：如图5，过E 作EG//AB 请同学自己完成证明。

【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1. 如图所示，已知AB//CD ，求证：∠+∠=∠B D BED
A B
E
C D
2. 如图所示，已知MN l ABC //，°，°∠=∠=13040α，求证：AB MN ⊥。

A
M F N B
α
l D
C
3. 如图所示，AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于G 、H ，GK 平分∠HGB ，HK 平分∠GHD 。

求证：GK HK ⊥。

E
A G B
K
C H D
F
【试题答案】
1. 提示过E点作平行于AB的平行线;
2. 提示过B点作平行于MN的平行线;
3 提示过K点作平行于AB的平行线;。