2021年专升本高数章节练习题

高数章节习题练习 第一节函数极限持续1、设()12xf x x=-，求[()]f f x 2、设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩ ，()xg x e =，求[()]f g x ． 3、()ln(1)f x x =+-4、2()arccos(2)2f x x x x =+---． 5、设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试鉴定下列函数奇偶性． （1）()()()()f x f x g x g x +-++- （2）()()()()f x f x g x g x --++-6、鉴定函数()ln(f x x =+奇偶性．7、．22212lim()n nn nn→∞+++8、．21n n →∞++++9、．222lim(1)nn n n→∞++10、23lim()21n n n n →∞-+． ．sin limx xx→∞． 11、．21lim 1n x x x x nx →+++--．12、0sin(1)lim 3x x e x→-． sin 0limsin x xx e e x x →--．13、23lim()2xx x x→∞++．14、11lim(sincos )x x x x→∞+． 【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ． 【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小阶． 1．2x 比1cos x - 2、2x比1-．3、-比x ．4．2x 比tan sin x x -【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处持续性．1．01()1,11,1x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩在1x =处持续性．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处持续性．【例1-9】当常数a 为什么值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 在0x =处持续？【例1-10】求下列函数间断点并判断其类型．1．1()xf x e= ． 2．()sin x f x x=． 3．111()1xxe f x e -=+ ．4．1arctan ,0()0,0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ． 【例1-11】证明方程32410xx -+=在区间(0,1)内至少有一种根．【例1-12】证明方程21xx ⋅=至少有一种不大于1正根．一、选取题1．（，1分）函数1arccos 2x y +=-定义域是（ ）（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]- 2．（，1分）极限0sin3limx xx→等于（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）13 （D ）33．（，1分）极限(1)lim nn n n→∞+-=（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在4．（，1分）若1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则0lim ()x f x →=（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在 5．（，1分）2xπ=是函数tan xy x=（ ） （A ）持续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点6．（，3分）设1()sinf x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（ ）（A ）0 （B ）不存在 （C ）∞ （D ）1 7．（，3分）当0x →时，23x 是2sinx （ ）（A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价 （C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小8．（，3分）当0x →时，tan 2x 是（ ）（A ）比sin3x 高阶无穷小 （B ）比sin3x 低阶无穷小 （C ）与sin3x 同阶无穷小 （D ）与sin3x 等价无穷小9．（，2分）设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（ ）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x -10．（，3分）设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（ ）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）1211．（，3分）设1xy e-=是无穷大，则x 变化过程是（ ）（A ）0x+→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞二、填空题1．（，2分）若函数21,1(),1x x f x x a x -+≤⎧=⎨->⎩ 在1x =处持续，则a = ．2．（，2分）0x=是函数1()cosf x x x=第 类间断点． 3．（，2分）设1,1()0,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，则[(ln 2)]g f = ． 4．（，2分）1sinyx=在0x =处是第 类间断点． 5．（，4分）函数ln arcsin y x x =+定义域为 ．6．（，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．7．（，4分）函数y=反函数为 ．8．（，4分）函数21arcsin3x y -=定义域为 ． 9．（，4分）21lim()xx x x→∞-= ．10．（，2分）若函数2121212(),0()12,0x x x f x x x a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处持续，则a = ．三、计算题1．（，5分）求极限 lim xx x c x c →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭，其中c 为常数．2．（，5分）求极限 30tan lim x x x x →-． 3．（，5分）求极限 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ． 4．（，5分）求极限 0lim sin x xx e e x-→- ．5．（，5分）求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．6．（，5分）求极限 011lim()1x x x e →-- ．7．（，4分）求极限011limcot ()sin x x x x→- ． 8．（，4分）设1cos 20()sin x f x t dt -=⎰，56()56x x g x =+，求0()lim ()x f x g x →．9．（，5分）求极限 111lim()1ln x x x→-- ．第二节、导数与微分【例2-1】如下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表达什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在． 3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．【例2-2】分段函数在分界点处导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 在1x =处可导性．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处可导性． 3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 在1x =处持续且可导，求常数a 和b 值．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩ ，求()f x '． 【例2-4】求下列函数导数． 1．(sin cos )x ye x x =+．2．22sin1xy x =+3．ln cos()x ye =．4．ln(y x =+．【例2-5】求下列幂指函数导数． 1．sin x yx = （0x >）． 2．1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）． 【例2-6】用对数求导法求下列函数导数． 1．xy yx = （0x >）． 2．y =【例2-7】求下列抽象函数导数．1．已知函数()y f x =可导，求函数1sin ()xy f e =导数dy dx． 2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f xg x +≠，试求函数y =dy dx． 【例2-8】求由下列方程所拟定隐函数()y y x =导数．1．220xxy y -+=．2．1y y xe =+．【例2-9】求由下列参数方程所拟定函数()yy x =导数．1．2t tx e y e -⎧=⎨=⎩ ．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．【例2-10】求下列函数微分．1．22()tan (12)f x x =+． 2．()f x =．3．2()arctan f x x =4．22()sin ln(1)f x x x =+．【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处切线方程和法线方程．【例2-12】求曲线224x xy y ++=在点(2,2)-处切线方程和法线方程．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处切线方程和法线方程．【历年真题】一、选取题1．（，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2- 2．（，1分）曲线2yx =在点(1,1)处法线方程为（ ）（A ）y x = （B ）322x y =-+（C ）322x y =+ （D ）322x y =--3．（，1分）设函数()f x 在点0x 处不持续，则（ ）（A ）0()f x '存在 （B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在 （D ）()f x 在点0x 处可微4．（，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（ ）（A ）0()f x ' （B ）02()f x ' （C ）0 （D ）01()2f x '5．（，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （ ）（A ）可导 （B ）间断 （C ）持续不可导 （D ）持续可导 6．（，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（ ）（A ）000()()lim x x f x f x x x →-- （B ）000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆ （D ）000()()lim ()x f x x f x x ∆→-∆--∆7．（，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处导数定义选项是（ ）（A ）001lim [()()]n n fx f x n→∞+-（B ）000()()limx x f x f x x x →--（C ）000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆8．（，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（ ）（A ）(2)x f dx ' （B ）(2)2x x f d ' （C ）[(2)]2x x fd ' （D ）(2)2x x f dx '9．（，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则()ud v=（ ） （A ）du dv （B ）2vdu udv u- （C ）2udv vdu u + （D ）2udv vduu- 10．（，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =---，则(0)f '=（ ）（A ）99!- （B ）0 （C ）99! （D ）99 11．（，3分）设ln y x =，则()n y =（ ）（A ）(1)!nn n x -- （B ）2(1)(1)!n n n x --- （C ）1(1)(1)!n n n x ---- （D ）11(1)!n n n x --+-12．（，3分）2sin ()d xd x =（ ） （A ）cos x （B ）sin x - （C ）cos 2x （D ）cos 2xx二、填空题1．（，2分）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线平行于直线23y x =-，则0()f x '= ．2．（，2分）设cos(sin )yx =，则dy = ．3．（，4分）曲线21y x =+在点(1,2)切线斜率等于 ．4．（，4分）由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩ 拟定dydx = ．5．（，2分）曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处切线方程是 ．6．（，2分）函数2()(1)f x x x x =-不可导点个数是 ．7．（，2分）设1(1)x yx=+，则dy = ．三、计算题1．（，5分）设函数()y y x =由方程2xyx y =+所拟定，求x dydx=．2．（，5分）求函数sin x y x =（0x >）导数．3．（，5分）设22sin1x y x =+，求dy dx．4．（，4分）设()f x可导，且()f x '=，求d f dx ．5．（，5分）已知0sin ,0(),0x tdtx f x x a x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ ．（1）()f x 在0x =处持续，求a ；（2）求()f x '．第三节、微分中值定理与导数应用【例3-1】验证罗尔定理对函数()ln sin f x x =在区间5[,]66ππ上对的性．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上对的性．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----导数有几种零点，这些零点分别在什么范畴．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．【例3-5】求下列函数极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．3．求lnsin 2lim lnsin3x xx+→．4．求 2tan lim tan3x xx π→．5．求2tan limtan x x xx x→-． 6．求 011lim()sin x x x→-．7．求lim xx x +→． 8．求cos limx x xx→∞+．【例3-6】求下列函数单调区间．1．32()29123f x x x x =-+-．2．()f x = ．【例3-7】运用函数单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-． 【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一种实根．【例3-9】求下列函数极值．1．32()395f x x x x =--+．2．233()2f x x x =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上最值．【例3-11】求下列曲线凹凸区间和拐点．1．43()341f x x x =-+．2．()f x =【历年真题】一、选取题1．（，1分）若函数()yf x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x （ ）（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点2．（，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（ ）（A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线 3．（，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中档ξ于（ ）（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 24．（，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴点为（ ）（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0) （D ）(1,2)- 5．（，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（ ）（A ）单调增长，曲线为凸 （B ）单调增长，曲线为凹 （C ）单调减少，曲线为凸 （D ）单调减少，曲线为凹二、填空题 1．（，2分）函数32()2912f x x x x =-+单调减区间是 ．2．（，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是 函数（填“单调递增”、“单调递减”）．3．（，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上最大值点是 ．4．（，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处切线方程为 ．5．（，3分）x yxe -=凸区间是 ．6．（，3分）曲线x yx =通过(1,1)点切线方程为 ．三、应用题或综合题1．（，10分）既有边长为96厘米正方形纸板，将其四角各剪去一种大小相似小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区小正方形边长为多少时做成无盖纸箱容积最大？2．（，10分）设函数()f x 在[0,1]上持续，并且对于[0,1]上任意x 所相应函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（，10分）某工厂需要围建一种面积为2512m 矩形堆料场，一边可以运用原有墙壁，其她三边需要砌新墙壁．问堆料场长和宽各为多少时，才干使砌墙所用材 料最省？4．（，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．5．（，8分）求函数233y x x =-单调区间、极值、凹凸区间与拐点．6．（，8分）求函数11y x x =++单调区间、极值、凹凸区间和拐点．7．（，8分）在周长为定值l 所有扇形中，当扇形半径取何值时所得扇形面积最大？8．（，10分）求函数321y x x x =--+单调区间、极值及凹凸区间、拐点．9．（，10分）设函数()f x 在[0,1]上持续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一种根．10．（，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相似，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 第四节、不定积分【例4-1】计算下列不定积分．1．2x xedx ⎰．2．21x dx x +⎰． 3．221(1)x x dx x x +++⎰ 4．ln x dx x ⎰．5．1ln dx x x ⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．7．2sin xdx ⎰． 8．2cos xdx ⎰． 9．2tan xdx ⎰． 10．2cot xdx ⎰．11．11x dx e +⎰．12．21825dx x x -+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．【例4-2】计算下列不定积分．1．cos x xdx ⎰．2．x xe dx ⎰．3．ln x xdx ⎰． 4．arctan x xdx ⎰． 5．ln xdx ⎰． 6．arctan xdx ⎰．7．cos x e xdx ⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．3．dx x⎰． 4．⎰．【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰．【例4-5】已知sin xx是()f x 一种原函数，求()xf x dx '⎰．【历年真题】一、选取题1．（，1分）下列等式中，对的一种是（ ） （A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2．（，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（ ）（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 3．（，2分）若11()xxf x edx eC --=+⎰，则()f x =（ ）（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -4．（，3分）ln sin tan xd x =⎰（ ）（A ）tan lnsin x x x c -+ （B ）tan lnsin x x x c ++（C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰二、填空题1．（，2分）不定积分()df x =⎰ ．2．（，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰． 三、计算题1．（，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．2．（，5分）求不定积分⎰．3．（，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．4．（，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．四、应用题或综合题1．（，8分）设()f x 一种原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．第五节、定积分【例5-1】计算下列定积分．1．52cos sin x xdx π⎰． 2．1ln exdx x⎰． 3．226cosxdx ππ⎰．4．132l(115)dx x -+⎰．5．22tan xdx π⎰．6．0π⎰．7．0a⎰ （0a >）． 8．4⎰．【例5-2】计算下列定积分．1．cos x xdx π⎰．2．120arcsin xdx ⎰． 3．1ln ex xdx ⎰． 4．4⎰．【例5-3】计算下列广义积分．1．x e dx +∞-⎰．2．2111dx x+∞+⎰． 3．211dx x +∞-∞+⎰．4．2211sin dx x xπ+∞⎰． 【例5-4】计算下列积分上限函数导数．1．0d dx ⎰．2．20x d dx ⎰．3．1sin ln(1)x d t dt dx +⎰．4．32arctan x x d tdt dx⎰． 【例5-5】求下列极限．1．20cos limxx t dt x→⎰．2．02arctan limxx tdt x→⎰．3．22limx x x→⎰．4．2220020()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰．【例5-6】设函数2,0,()1,0,1cos x xe x f x x xπ-⎧≥⎪=⎨-<<⎪+⎩ 计算 41(2)f x dx -⎰．【例5-7】计算定积分121(sin )x x x dx -+⎰．【例5-8】求下列平面图形面积． 1． 计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成平面图形面积．2x =，直线y x =-及1y =所围成平面图形面积．3．计算由曲线22y x =和直线4y x =-所围成平面图形面积．一、选取题1．（，1分）设2()x t x e dt ϕ-=⎰，则()x ϕ'等于（ ）（A ）2x e- （B ）2x e-- （C ）22x xe- （D ）22x xe--2．（，1分）曲线2y x =与直线1y =所围成图形面积为（ ）（A ）23 （B ）34 （C ）43（D ）1 3．（，1分）定积分22cos x xdx -⎰等于（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）12二、填空题 1．（，2分）=⎰．2．（，2分）设21()ln 1x f t dt x x =+-⎰，则()f x = ．3．（，2分）由曲线x y e =，y e =及y 轴围成图形面积是 ．4．（，4分）积分1e⎰值等于 ．5．（，2分）积分211xx e dx e --=-⎰ ．解：6．（，2分）30ln(1)limsin xx t dt t x x→+=-⎰． 7．（，3分）31231(sin )x x x e dx -+=⎰．三、计算题1．（，5分）求定积分1ln ex xdx ⎰．2．（，5分）求定积分10x xdxe e -+⎰．3．（，5分）求定积分2sin x xdx π⎰．4．（，7分）求广义积分2x xedx +∞-⎰．5．（，5分）求定积分xdx ．6．（，4分）设函数1sin ,0()20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ，求0()()xF x f t dt =⎰在(,)-∞+∞内表达式．7．（，4分）求定积分1xx e edx +⎰．8．（，5分）求定积分222sin 4cos d ππθθθ--⎰．9．（，8分）求由曲线ln yx =与直线0y =，1x e=，x e =所围平面图形面积．第六节、微分方程【典型例题】【例6-1】求下列微分方程通解．1．2dy xy dx=．2．11dy ydx x-=+．3．22()()0x xy dx x y y dy +-+=．4．223(1)(1)y x y '=-+．【例6-2】求下列微分方程通解．1．522(1)1dy y x dx x -=++．2．232xy y x x '+=++．3．2(1)2cos 0xy xy x '-+-=．4．sin dy y xdx x x+=． 【例6-3】求下列微分方程通解． 1．230y y y'''--=． 2．8160y y y '''-+=．3．250y y y'''-+=．4．40y y '''-=．【例6-4】解微分方程1dy dx x y=+．【例6-5】求微分方程 22(22)0x dy y xy x dx +--=满足初始条件12x ye==+特解．【例6-6】求2220d y dyy dx dx++=满足初始条件04x y ==，02x y ='=-特解．【例6-7】已知曲线过(0,1)点，且在点(,)x y 处斜率为x y +，求该曲线方程．【例6-8】设可导函数()x ϕ满足0()cos 2()sin 1xx x t tdt x ϕϕ+=+⎰，求()x ϕ．【历年真题】一、选取题1．（，3分）微分方程20y y y '''++=通解为（ ）（A ）12x C C e -+ （B ）12cos sin C x C x + （C ）12()x C C x e -+ （D ）x Ce -2．（，2分）微分方程0y y ''+=通解是（ ）（A ）12(cos sin )xe c x c x + （B ）12sin cos c x c x + （C ）12(cos sin )yec x c x + （D ）12cos sin c x c x x +二、填空题1．（，2分）微分方程450y y y'''--=通解为 ．2．（，2分）微分方程2dyx y dx=满足初值12x y==特解为 ．3．（，4分）微分方程(1)xx edy ye dx +=通解为 ．4．（，2分）方程2dy ydx x y=+通解为 ．5．（，3分）微分方程23y y y x '''--=通解为 ．三、计算题1．（，5分）求微分方程1sin dy y x x dx x-=通解．2．（，5分）求微分方程2dyxy dx=通解．3．（，5分）求微分方程ln y ydx xdy =通解．4．（，7分）求微分方程(sin )0y x x dx xdy -+=通解．第七节、向量代数与空间几何【典型例题】【例7-1】在z 轴上求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离点．【例7-2】已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向单位向量e ．【例7-3】已知两点1M 和2(1,3,0)M ，计算向量12M M 模、方向余弦和方向角 ．【例7-4】设(2,1,1)a =-，(1,1,2)b =-，计算a b ⋅ 和 a b ⨯．【例7-5】已知三角形ABC三个顶点分别是(1,2,3)A =、(3,4,5)B =和(2,4,7)C =，求三角形ABC 面积．【例7-6】已知向量3a =，向量4b =，向量a 和b 夹角3πθ=，求23a b -．【例7-7】求过三点(2,1,4)A -、(1,3,2)B --和(0,2,3)C 平面方程．【例7-8】求平行于平面1π：(6,3,2)A -，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面方程．【例7-9】求平行于平面1π：2340x y z +++=，且与球面2229x y z ++=相切平面方程．【例7-10】求过两点(3,2,4)M -和(2,1,1)N --直线方程．【例7-11】求过点(1,1,1)且平行于直线1221x y -+==直线方程．【例7-12】求直线L ：132321x y z --+==-与平面π：53160x y z -+-=交点．【例7-13】求与两平面43x z -=和251x y z --=交线平行且过点(3,2,5)-直线方程．【例7-14】拟定直线L ：3102230x y z x y z +-+=⎧⎨--+=⎩ 与平面π：250x y z +++=位置关系．【历年真题】一、选取题1．（，1分）已知向量(1,2,1)a=--与向量(1,2,)b t =垂直，则t 等于（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）52．（，1分）直线l ：34273x y z++==--与平面π：42230x y z ---=位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）垂直相交 （C ）l 在π上 （D ）相交但不垂直 3．（，3分）过点(,0,0)a 且垂直于x 轴平面方程为（ ） （A ）z a = （B ）ya = （C ）z y = （D ）x a =4．（，3分）直线121122x y z --+==--与下列 平面垂直（ ） （A ）4100x y z +-+= （B ）2350x y z -++=（C ）24460x y z -+-= （D ）90x y z ++-=5．（，3分）直线221314x y z -+-==-与平面62870x y z -+-=位置关系是（ ）（A ）平行但不共面 （B ）直线垂直于平面 （C ）直线在平面上 （D ）两者斜交二、填空题1．（，2分）通过点(0,0,0)，(1,0,1)和(2,1,0)三点平面方程是 ．2．（，2分）设a ，b 为向量，若2a =，3b =，a 与b 夹角为3π，则a b += ． 3．（，2分）点(1,2,3)到平面236x y z -+=距离是 ．三、计算题1．（，5分）求平行于y 轴且过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -平面方程．2．（，5分）求通过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M 且垂直于平面8310x y z -+-=平面方程．第八节、多元函数与微分学【典型例题】【例8-1】求下列函数在指定点处偏导数． 1．(1)y zx =+，求12x y zx==∂∂ ，12x y z y==∂∂ ．2．22ln()z x x y =+，求11x y zx==∂∂ ，11x y z y==∂∂ ．【例8-2】求下列函数偏导数． 1．arctan1x yz xy+=- ．2．sin sin x z e y = ．3．ln(zx =+ ．4．(1)y z xy =+ ． 5．222u xy yz zx =++ ．6．y zux= ．【例8-3】求下列函数所有二阶偏导数． 1．ln()x y z e e =+ ．2．yxe ze= ．【例8-4】求下列函数全微分．1．x z xy y=+． 2．2sin()z x y =+ ．【例8-5】设sin u ze v =，而u xy =，v x y =+，求z x ∂∂和z y∂∂． 【例8-6】设arcsin()z x y =-，而3x t =，24y t =，求dzdt．【例8-7】求下列函数偏导数（其中f具备二阶持续偏导数）．1．22(,)zf xy x y = ．2．(23,)w f x y z xyz =++ ．【例8-8】求下列方程所拟定函数导数或偏导数．1．方程 2sin 0x y e xy +-= 拟定了函数 ()y y x =，求dydx．2．方程ln arctany x = 拟定了函数 ()y y x =，求dy dx． 3．方程20x y z ++-= 拟定了函数 (,)z z x y =，求z x ∂∂和zy∂∂． 4．方程 3x y z e e e xyz ++= 拟定了函数 (,)z z x y =，求z x ∂∂和z y∂∂．【例8-9】求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-极值．【例8-10】求函数32(,)6125f x y y x x y =-+-+极值．【历年真题】一、选取题 1．（，1分）二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数是(,)f x y 在该点可微分（ ）（A ）必要而不充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要且充分条件 （D ）既不必要也不充分条件 2．（，3分）已知xy ze =，则zx∂=∂（ ） （A ）xyye （B ）xyxe （C ）xyxye （D ）xye3．（，3分）设22x y z e+=，则dz =（ ）（A ）222()x y e xdx ydy ++ （B ）222()x y e xdy ydx ++ （C ）22()x y exdx ydy ++ （D ）22222()x y edx dy ++二、填空题1．（，2分）“函数(,)z f x y =偏导数z x ∂∂、zy∂∂在点(,)x y 存在”是“函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分” 条件． 三、计算题1．（，5分）求由方程0ze xyz -=所拟定二元函数(,)zf x y =全微分dz ．2．（，5分）求函数sin 2y y w x e =++全微分．3．（，5分）求二元函数33z x y xy =+全微分．4．（，5分）设222(,,)u f x y z x y z ==++，2sin z x y =，求u x ∂∂，u y∂∂．5．（，4分）设22sin()ln(2)z xy x xy y =+-+，求(2,0)dz．6．（，4分）求22(,)(2)3x y f x y e x y -=-+极值．7．（，5分）设2y xz =，求dz ．第九节、二重积分【典型例题】【例9-1】计算Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线1y =、2x =及y x =所围成闭区域．【典型例题】【例9-1】计算Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线1y =、2x =及y x =所围成闭区域．【例9-2】求Dσ⎰⎰，其中D 是由直线y x =、1x =-及1y =所围成闭区域．【例9-3】求Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成闭区域．【例9-4】计算22D x dxdy y⎰⎰，其中D 是由直线y x =、y =2y x =所围成闭区域．【例9-5】计算22x y Dedxdy --⎰⎰，其中D 是由中心在原点、半径为a （0a >）圆周所围成闭区域．【例9-6】计算22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周221xy +=及坐标轴所围成在第一象限内闭区域．【例9-7】计算Dσ，其中D 是圆环形闭区域2214x y ≤+≤．【例9-8】互换下列二重积分积分顺序．1．2ln 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰． 2．120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰．3．212(,)x dx f x y dy -⎰ ．4．sin 0sin2(,)xx dx f x y dy π-⎰⎰．【历年真题】一、选取题1．（，3分）设D ：221xy +≤，则Ddxdy ⎰⎰等于（ ）（A ）33x C + （B ）33y C + （C ）π （D ）2π2．（，2分）互换积分顺序10(,)dx f x y dy =⎰⎰（ ）（A）10(,)dy f x y dx -⎰（B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C ）110(,)dy f x y dx -⎰⎰ （D）01(,)f x y dx ⎰⎰3．（，3分）设D ：01x ≤≤，02y ≤≤，则1Dydxdy x=+⎰⎰（ ） （A ）ln 2 （B ）2ln 2+ （C ）2 （D ）2ln 2 二、计算题1．（，5分）求二重积分Dxdxdy y⎰⎰，其中D 是由1y =，2y x =，2x =所围成闭区域．2．（，5分）计算Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2yx =及直线2y x =-所围成闭区域 ．3．（，5分）计算2cos Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线1x =，2y =与1y x =-所围成闭区域．4．（，4分）求xyDe dxdy ⎰⎰，D 由0x =，1y =，2x y =（0y >）围成．5．（，5分）计算二重积分22Dx y dxdy ⎰⎰，D 为222x y x +≤与0y ≥两个区域公共某些．第十节、无穷级数【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式鉴别下列级数敛散性． 1．1n ∞=∑．2．1n ∞=． 3．1352nnnn ∞=-∑ ．4．11sin n n ∞=∑ ．5．11(1cos )n n ∞=-∑ ． 6．32tan n nn π∞=∑ ．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．8．111n n a∞=+∑ （0a >）．【例10-2】运用比值审敛法鉴别下列级数敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 2．213nn n ∞=∑ ．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ． 4．110!nn n ∞=∑ ．5．1212nn n ∞=-∑ ． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ．【例10-3】运用根值审敛法鉴别下列级数敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ．1．11(1)n n ∞-=-∑． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ． 4．11sin 27nn n π∞=∑ ．【例10-5】求下列幂级数收敛半径和收敛域．1．11(1)n n n x n∞-=-∑ ．2．0!nn x n ∞=∑ ．3．0!n n n x ∞=∑ ． 4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 【例10-6】求下列幂级数收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑ ．【例10-7】求下列幂级数和函数．1．11n n nx ∞-=∑ ． 2．2111(1)21n n n x n -∞-=--∑ ．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 4．1(1)nn n n x ∞=+∑ ． 【例10-8】将下列函数展开成相应幂级数．1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 幂级数．2． 将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +幂级数．【历年真题】一、选取题 1．（，1分）lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛 条件（ ）（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）不拟定2．（，1分）幂级数13(1)3n nnn x ∞=+-∑收敛半径是（ ） （A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）133．（，3分）数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（ ）级数 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）敛散性由a 拟定4．（，3分）数项级数1(1)[1cos ]nn an ∞=--∑（其中a 为常数）是（ ）（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）收敛性依照a 拟定 （D ）绝对收敛5．（，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑收敛区间是（ ）（A ）(0,2] （B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞ 二、填空题1．（，2分）幂级数1!nn x n ∞=∑收敛区间为 ．2．（，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开泰勒级数是 ．3．（，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处敛散性是 ． 三、计算题（李松宾你个老熊你会吗！）1．（，5分）求幂级数231(1)23nn x x x x n--+-+-+收敛半径和收敛域．2．（，7分）将函数1()3f x x=-展开成(2)x -幂级数．3．（，7分）求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑收敛区间与和函数．4．（，4分）鉴定级数21(1)(1)nn nn ∞=-+∑敛散性．。