2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程

2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程
2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考数学分类汇编》

第十三篇:极坐标与参数方程

一、填空题

1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,

则a =__________.

2.【2018天津卷12】)已知圆22

20x y x +-=的圆心为C ,直线2

1,232

?

=-???

?=-??

x y (t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则ABC △的面积为 . 二、解答题

1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2

2cos 30ρρθ+-=.

(1)求2C 的直角坐标方程;

(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.

2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),

直线的参数方程为

(为参数). (1)求和的直角坐标方程;

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.

3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数),

xOy C 2cos 4sin x θy θ

=??=?,

θl 1cos 2sin x t αy t α

=+??

=+?,

t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=??=?

θ

过点且倾斜角为的直线与交于两点. (1)求的取值范围;

(2)求中点的轨迹的参数方程.

4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中,直线l 的方程为π

sin()26

ρθ-=,曲线C 的方程为

4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长. 参考答案 一、填空题

1.21+

2.

2

1 二、解答题

1.解: (1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.

(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.

由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与

2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两

个公共点.

当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为22

21

k =+,故

4

3

k =-或0k =.

经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当4

3

k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点. (02,

αl O ⊙A B ,αAB P

当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,2

21

k =+,故0

k =或4

3

k =

. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当4

3

k =

时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4

||23

y x =-

+. 2.解:(1)曲线C 的直角坐标方程为

116

42

2=+y x . 当时,的直角坐标方程为, 当时,的直角坐标方程为.

(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程

.①

因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则

又由①得α

αα2

21cos 31)

sin cos 2(4++-

=+t t ,故, 于是直线的斜率.

3.解:(1)

的直角坐标方程为.

当时,与交于两点. cos 0α≠l tan 2tan y x αα=?+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2

απ

=

l O

当时,记,则的方程为.与交于两点当且仅当,解得或,即或.

综上,的取值范围是. (2)的参数方程为为参数,. 设,,对应的参数分别为,,,则,且,满足.

于是,.又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数,

. 4.解:因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ,

所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆.

因为直线l 的极坐标方程为π

sin()26ρθ-=,

则直线l 过A (4,0),倾斜角为

π6

, 2

απ

tan k α=l 2y kx =-l O 2

2

|

|11k <+1k <-1k >(,)42αππ

∈(,)24απ3π∈α(,

)44

π3π

l cos ,

(2sin x t t y t αα

=???

=-+??44απ3π<<)A B P A t B t P t 2

A B

P t t t +=

A t

B t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,

2sin .

P P x t y t αα=???

=-+??P 2

sin 2,22cos 2x y αα

?=

????=--??(α44απ3π<<)

所以A为直线l与圆C的一个交点.

设另一个交点为B,则∠OAB=π

6

连结OB,因为OA为直径,从而∠OBA=π

2

所以

π

4cos23

6

AB==

因此,直线l被曲线C截得的弦长为23

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