福建省厦门外国语学校2018届高三上学期第三次阶段考试(1月)数学(文)

厦门外国语学校2018届高三上学期第三次阶段考试（1月）文科数学试题1.已知}3|{},032|{22+==≤--=x y y B x x x A ，则=⋂B A （ ） A ．]2,1[ B ．]3,2[ C ．]3,3[ D ．]3,2[2. 设1(z i i =+是虚数单位），则复数22z z +在平面内对应 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+≥；命题:q 若33a b <，则a b <，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∨⌝4．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g =（ ）A ．2 C. D ．05.已知R 上的奇函数)(x f 满足：当0x >时，1)(2-+=x x x f ，则()[]=-1f f （）A. 1 B ．1- C. 2 D. 2-6.已知数列}{n a 为等比数列，且6427432-=-=a a a a ，则=⋅)32tan(5πa （ ）A ．3-B ．3 C.3± D ．33-7．执行下面的程序框图，如果输入的02.0=t，则输出的n 为 （ ）A ．7B ．6C ． 5D ．48. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO AB AC =+ ，且OA AB= ，则向量CA 在向量CB方向上的投影为 （ ）A ．12B ．32-C ．12-D ．329. 实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z x my =+的最大值等于5，则实数m 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5 ( )10．已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面,BCD BC CD ⊥，且2,AC BC CD ===O 的表面积为 （ ） A ．12π B ．7πC.9πD ．8π11．已知抛物线22x y =的焦点为F ，其上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=， 则221122y x y x +--=（ ） A ．4B ．6C.8 D ．1012．已知()0,2x ∈ ，关于x 的不等式2122x x ek x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围为（） A ． [)0,1e + B ． [)0,e C.10,2e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)0,1e - 13．已知53sin -=α，α是第三象限角，则()tan πα-=.14．已知正项等比数列{}n a 满足222log log 2n n a a +-=，且34a =，则数列{}n a 的前n 项和为n S =.15.已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a -+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为．16. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若R C c C B a 2sin 23cos sin =+，则ABC ∆面积的最大值为 .17.设函数()2sin()cos 3f x x x π=+(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C，若()22A f =，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.18. 如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，M BC PA AC AD AB BC AD ,4,3,//=====为线段AD上一点，MD AM 2=，N 为PC 的中点. （1）证明：;//PAB MN 平面 （2）求四面体BCM N -的体积.19. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且2115,(1)n n a nS n S n n +=-+=+．（Ⅰ）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）若()121n n b n a =+，判断{}n b 的前n 项和n T 与16的大小关系，并说明理由．20.设椭圆2221(3x y a a +=的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OA OF -=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程及离心率e 的值；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.21. 设函数()()f x mx n =+ln x .若曲线()y f x =在点(,())P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）.（2）若关于x 的不等式2()(1)f x x λ≤-恒成立，求实数λ的取值范围. 22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．23. 已知函数()21f x x a=--，()g x x m=-+（,a m R ∈），若关于x 的不等式()1g x >-的整数解有且仅有一个值为3-.（1）求实数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象上方，求实数a 的取值范围.答案： 1-12C A AC BBBD B DB C1343—14 12-n152 16.55217 解：(Ⅰ)1()2sin()cos sin 2232f x x x x x π=+-=+sin(2)3x π=+ 5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈(Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+- 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，则b c a +-=222(b c b c bc +-=+-4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅ 的最小值为6.18解（1）由已知得232==AD AM ，取RP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知,221,//==BC TN BC TN ，即,AM TN =又BC AD //，即,//AM TN 故四边形AMNT 为平行四边形，于是,//AT MN 因为,,PAB MN PAB AT平面平面⊄⊂所以,//PAB MN 平面（2）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为,21PA取BC 得中点E ，连接AE ，由3==AC AB 得,5,22=-=⊥BE AB AE BC AE由BC AM //得M 到BC 的距离为5，故5421⨯⨯=∆BCM S ， 所以四面体BCM N -的体积为.354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N 19解：（Ⅰ）∵211(1),(), 5.n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=∴111(1)(1),1,511n n n n S S SnS n S n n n n ++-+=+-==+数列{}nS n 是首项为5,公差为1的等差数列, （Ⅱ）25(1)4,4,nn S n n S n n n=+-=+=+当2n ≥时,123,1n n n a S S n n -=-=+=时也符合, 故23,()n a n n *=+∈N1111().(21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<+++.20.解：（1）设(,0)F c ，∵1a c -=，∴1a c =+，2212a c c =++又222a b c =+，∴312c =+，1c =，∴2a =， 所以21c =，因此24a =.所以，椭圆的方程为22143x y +=.12c e a ==. （2）解：设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ，由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+. 由（1）知，(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =- ，2229412(,)4343k kBF k k -=++ . 由BF HF ⊥，得0BF FH ⋅= ，所以222124904343H ky k k k -+=++，解得29412H k y k -=.因此直线MH 的方程为219412k y x k k -=-+. 设(,)M M M x y ，由方程组2(2)19412y k x k y x k k =-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+，在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即2222(2)M M M M x y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得k ≤，或k . 所以，直线l的斜率的取值范围为(,)-∞+∞ .21解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.()ln mx nf x m x x +'=+.依题意得()f e e =，()2f e '=，即0,2,me n me n m e +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩所以1,0m n ==. 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e ，单调递增区间是1(,)e +∞.（2）设函数2()ln (1)H x x x x λ=+-，故对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H ≤=恒成立.又()ln 12H x x x λ'=+-，当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 12x x λ+≤恒成立时， 函数()H x 单调递减，设ln 1()x r x x +=，则2ln ()0xr x x -'=≤，所以max ()(1)1r x r ==，即1122λλ≤⇔≥，符合题意；当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增. 于是，不等式()(1)0H x H ≥=对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；当102λ<<时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-，则1()20q x x λ'=-=112x λ⇒=>；当1(1,)2x λ∈时，1()20q x x λ'=->，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()ln 12H x x x λ'=+-(1)120H λ'>=->，故当1(1,)2x λ∈时，函数()H x 单调递增.于是当1(1,)2x λ∈时，()0H x >成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为：1[,)2+∞.22解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈． 联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ==所以122sin 2cos 2tan 2cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈，即OA OB⋅的取值范围是解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈． 联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ==所以122sin 2cos 2tan 2cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈，即OA OB⋅的取值范围是23 3=m ()4,∞-。