2017_2018学年高中数学第一章直线多边形圆1第三课时直角三角形的射影定理学案北师大版选修4_1

第三课时 直角三角形的射影定理对应学生用书P9][自主学习]射影定理[合作探究]在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高．应用射影定理可以得到AC 2＋BC2＝AD ·AB ＋BD ·AB ＝(AD ＋BD )·AB ＝AB 2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁．对应学生用书P9]利用射影定理解决计算问题[例1] 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ABC 为直角三角形，进一步由射影定理求CD .[精解详析] 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°， ∴∠C ＋∠B ＝90°，∴∠BAC ＝90°， ∴在Rt △ABC 中，AD ⊥BC .由射影定理可知，AD 2＝BD ·CD ，∴62＝8×CD ，∴CD ＝92.利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．1.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，CD 是斜边上的高，AC ＝5，BC＝8，求S △CDA ∶S △CDB .解：∵△CDA 和△CDB 同高， ∴S △CDA S △CDB ＝AD BD.又AC 2＝AD ·AB ，CB 2＝BD ·AB ， ∴AC 2CB 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD . ∴S △CDA S △CDB ＝AC 2CB 2＝5282＝2564.2.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt△BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt△BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ， 所以CD 2＝16， 因为BD 2＝BE ·BC ， 所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝164 3＝4 33.[例2] 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC于F ，DE ⊥AB 于E .求证：(1)AB ·AC ＝AD ·BC ； (2)AD 3＝BC ·BE ·CF .[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题．[精解详析] (1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ，∴AB ·AC ＝AD ·BC .(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC . ∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC . ∴AD 4＝BD 2·DC 2，∴AD 4＝BE ·CF ·AB ·AC . ∴AD 3＝BE ·CF ·AB ·AC ·1AD.又AB ·AC ＝BC ·AD ， ∴AD 3＝BE ·CF ·BC .在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影定理的表达式．同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC交AC 于E ，EF ⊥BC 于F .求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC . 证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， 由射影定理知AC 2＝CD ·BC ， 即AC CD ＝BC AC.∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF .∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD . ∴AE DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝BC AC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC .4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AFGF，所以AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt△ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题．[考题印证]如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝4 3，则CD ＝ .[命题立意]本题主要考查利用射影定理计算线段长问题． [自主尝试] 由射影定理知CD 2＝AD ·BD ，BC 2＝BD ·AB∴BC 2＝(AB －AD )·AB . 即AB 2－2AB －48＝0.∴AB ＝8，∴BD ＝6，故CD 2＝2×6＝12， ∴CD ＝2 3. 答案：2 3对应学生用书P11]一、选择题1．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD＝( )A ．34 B ．43 C ．169D ．916解析：选C 由射影定理知，BD ＝AB 2BC ，CD ＝AC 2BC ，所以BD CD ＝AB 2AC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AC 2又AC AB ＝34，所以BD CD ＝169. 2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C ．3∶ 2D ．2∶ 3解析：选C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， 又∵AD ＝3，BD ＝2，∴AB ＝AD ＋ BD ＝5. ∴AC 2＝3×5＝15，BC 2＝2×5＝10. ∴AC BC＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶ 2. 3．在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，下列不能确定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．AC ＝2，AB ＝22，CD ＝ 2 B ．AC ＝3，AD ＝2，BD ＝2 C ．AC ＝3，BC ＝4，CD ＝125D ．AB ＝7，BD ＝4，CD ＝2 3解析：选B 在A 中，AD ＝2，AC 2＝AD ·AB ，故△ABC 为直角三角形；在B 中，CD ＝5，CD 2＝5≠AD ·DB ＝4，故△ABC 不是直角三角形，同理可证C ，D 中三角形为直角三角形．4．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2＝BD ·DC ，则∠BAC ( ) A ．大于90° B ．等于90° C ．小于90°D ．不能确定解析：选D 如图(1)， 由AD 2＝BD ·CD ，有AB 2＋AC 2＝BD 2＋CD 2＋2AD 2＝BD 2＋CD 2＋2BD ·CD ＝(BD ＋CD )2， 即AB 2＋AC 2＝BC 2， 可得∠BAC ＝90°，如图(2)，显然AD 2＝BD ·CD ，D 点在△ABC 外， 则∠ACB >90°，所以△ABC 是直角或钝角三角形． 二、填空题5.如图所示，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，点C 在AB 上的正射影为D ，且AC ＝3，AD ＝2，则AB ＝ .解析：∵AC ⊥BC ，又D 是C 在AB 上的正射影， ∴CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .又AC ＝3，AD ＝2，∴AB ＝AC 2AD ＝92.答案：926.(湖北高考)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CE EO的值为 ．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .；∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO ＝8.答案：87．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD ＝ . 解析：如图，由射影定理得：图1图2CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ∶AD ＝1∶4，设BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：128.如图，在△ABC 中，D ，F 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，则AC ＝ .解析：；在△ABC 中，设AC ＝x ，因为AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1.所以AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ， 因为BD ＝DC ＝1，所以BE ＝EC . 又因为AF ⊥BC ，所以DE ∥AF ，所以DE AF ＝DC AC ，所以DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，因为DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＝12， 所以x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4.所以x ＝32. 所以AC ＝32. 答案：32 三、解答题9．如图所示，在△ABC 中CD ⊥AB ，BD ＝AB －12AC ，求∠BAC .解：因为BD ＝AB －12AC ，所以AB －BD ＝12AC ＝AD .因为CD ⊥AB ，所以∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中， cos ∠CAD ＝AD AC ＝12AC AC ＝12.∴∠BAC ＝60°.10.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x .因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ，所以BC ＝12m ，又因为CD ⊥AB ，所以BC 2＝BD ·AB ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m ，所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316m 2，得CD ＝34m .因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m . 11．如图，已知BD ，CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G ，H ，交CE 于F ，且∠H ＝∠BCF.求证：GD 2＝GF ·GH .证明：因为∠H ＝∠BCF ，∠EBC ＝∠GBH ， 所以△BCE ∽∠BHG ， 因为CE ⊥BH ，所以∠BGH ＝90°，所以HG ⊥BC . 在Rt△BCD 中，因为BD ⊥DC ， 所以GD 2＝GB ·GC . ①在△FCG 和△BHG 中，因为∠FGC ＝∠HGB ＝90°，∠BCF ＝∠H ， 所以△FCG ∽△BHG ，所以GF GB ＝GCGH，即GB ·GC ＝GF ·GH ，②由①②得，GD 2＝GF ·GH .。