拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明某些函数在特定区间内一定存在一个点，使得函数的导数在该点处等于函数在区间两个端点处的函数值之差与区间长度的商，或者具体而言，用数学符号来表示就是：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，那么存在一个数$\xi$，使得：
$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$
我们现在来证明这个定理以及其一些应用。

首先，我们构造一个新的函数$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，即将函数$f(x)$从$(a,b)$上向下平移直到$f(a)$为$0$，然后将其缩放使得其端点斜率与$f(x)$相同，也就是变换后的函数$g(x)$在$a$和$b$处与$f(x)$相等，并且其导数可以表示为：
由此，我们可以发现，$g(x)$在$[a,b]$上的平均值为$0$，也就是：
$$\frac{1}{b-a}\int_a^bg(x)dx=0$$
然后，我们根据魏尔斯特拉斯中值定理可以得到，存在一个$\xi\in(a,b)$，使得$g(\xi)=0$。

将$g(\xi)$展开，我们可以得到：
移项后即可得到拉格朗日中值定理的公式：
证毕。

应用：
我们可以用拉格朗日中值定理来推导一些函数的性质，例如：
1. 证明$\sin(x)<x<\tan(x)$当$x>0$时成立。

设$f(x)=\tan(x)-x$，则$f'(x)=\sec^2(x)-1=\tan^2(x)\geq 0$，因此$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调增加，故
$f(x)<f(\frac{\pi}{4})=\tan(\frac{\pi}{4})-\frac{\pi}{4}=0$，即$\tan(x)<x$。

同理，设$g(x)=\sin(x)-x$，则$g'(x)=\cos(x)-1\leq 0$，因此$g(x)$在
$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，故$g(x)<g(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1<0$，即$\sin(x)<x$。

2. 证明$e^x>1+x$。

考虑函数$f(x)=e^x-x-1$，则$f'(x)=e^x-1>0$，因此$f(x)$在
$(-\infty,\infty)$上单调增加，故$f(0)=0$，即$e^0-0-1=0$，又因为$f(x)>0$，故$e^x-x-1>0$，即$e^x>1+x$。

总结：
拉格朗日中值定理是微积分中一个重要的定理，可以用于证明某些函数在某些区间内一定存在特定的点，也可以推导出一些函数的性质，是微积分的基础内容之一。