(整理)中值定理的应用方法与技巧.
利用微分中值定理解题的一些技巧
利用微分中值定理解题的一些技巧微分中值定理是微分学的理论基础。
它是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理。
可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特例或推广。
熟练应用中值定理真的不容易，尤其是引入辅助函数，更是五花八门。
下面给出微分中值定理在一些证明题中的巧妙运用。
一、微分中值定理的主要应用1. 证明等式;2. 证明恒等式;3. 证明不等式;4.讨论方程实根(或函数零点)的存在性。
二、掌握微分中值定理应用方法的关键——在分析解题思路时，必须紧紧抓住“定理”、“函数”、“区间”三要素“定理” ——适用定理的选择“函数” ——辅助函数的构造“区间” ——讨论区间的确定。
三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法方法一:构造一个辅助函数，在两个不同的区间应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。
方法二:构造两个辅助函数，在相同的区间内应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。
方法:构造两个辅助函数，在两个不同的区间应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。
微分中值定理证明试题范例设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1 第二问最后少打了等号，应该是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1(1)证明：由介值定理知，至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η(2) 证明：构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导F(η)=0, F(0)=0∴由罗尔定理知，必存在ξ∈(0,η), 使F'(ξ)=0即-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0∴f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1。
高考数学冲刺拉格朗日中值定理考点突破
高考数学冲刺拉格朗日中值定理考点突破在高考数学的冲刺阶段，拉格朗日中值定理作为一个重要的考点，常常让同学们感到困惑和棘手。
但只要我们掌握了它的核心概念和解题方法，就能在考试中应对自如，为取得高分增添一份保障。
一、拉格朗日中值定理的定义及内涵拉格朗日中值定理是指：如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，那么在开区间（a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(b) f(a) ＝ f'（ξ)（b a) 。
简单来说，就是在一个连续且可导的函数区间内，一定存在某个点的导数等于区间两端点连线的斜率。
这个定理看似抽象，但实际上蕴含着深刻的数学思想。
为了更好地理解它，我们可以通过一些具体的函数来进行分析。
比如，对于函数 f(x) ＝ x²，在区间 0, 2 上，f(2) f(0) ＝ 4 0 ＝ 4，而 f'（x) ＝ 2x，令2ξ ＝ 2，解得ξ ＝ 1，此时 f'（1) ＝ 2，恰好满足拉格朗日中值定理。
二、拉格朗日中值定理在解题中的应用1、证明不等式在证明不等式的问题中，拉格朗日中值定理常常能发挥重要作用。
例如，要证明当 x ＞ 0 时，x ／（1 ＋ x) ＜ ln(1 ＋ x) ＜ x 。
我们可以令 f(x) ＝ ln(1 ＋ x) ，在区间 0, x 上应用拉格朗日中值定理，得到 ln(1 ＋ x) ln(1 ＋ 0) ＝ f'（ξ)x ，其中 0 ＜ξ ＜ x 。
因为 f'（ξ) ＝ 1 ／（1 ＋ξ) ，且 1 ／（1 ＋ x) ＜ 1 ／（1 ＋ξ) ＜ 1 ，所以可以得到 x ／（1 ＋x) ＜ ln(1 ＋ x) ＜ x 。
2、求函数的取值范围当给定一个函数，要求其在某区间内的取值范围时，拉格朗日中值定理也能提供思路。
比如对于函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1 在区间 0, 2 上，我们可以先求出其导数 f'（x) ＝ 3x² 3 。
05 中值定理证明技巧(2)
-4-
e b f (b) − e a f ( a ) = eη [ f (η ) + f ' (η )] b−a
所以在(a, b)内存在ξ, 使得
eξ =
e b − e a e b f ( b) − e a f ( a ) = = eη [ f (η ) + f ' (η )] b−a b−a
十五. 设 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f ' ( x ) ≠ 0 , 试证: 存在ξ、η ∈ (a, b), 使得
十. 设 f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f(a) = f(b) = 0, g(x) ≠ 0, 试证: 至少存在一 个ξ ∈ (a, b), 使 证明: 令 F ( x ) =
f ' (ξ ) g (ξ ) = g ' (ξ ) f (ξ )
f ( x) , 所以 F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ ∈ (a, b), 使 g ( x)
f (a ) g (a ) f (a ) g (a ) . = (b − a ) f ( b) g ( b ) f ' (ξ ) g ' (ξ )
十二. 设 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个 ξ ∈ (a, b), 使
-3-
(b − a ) 2 a +b f ( b) − 2 f + f ( a ) = f ' ' (ξ ) 4 2
η 2 f ' (η )
ab
十四. 设 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在ξ、η ∈ (a, b), 使 得
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理是微积分中的一个重要定理，描述了一种函数的平均斜率与函数其中一点的斜率之间的关系。
下面将介绍中值定理的应用方法与技巧。
一、介值定理的应用方法1.求函数的零点：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$异号，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，通过寻找$f(a)$和$f(b)$异号的区间，可以确定函数的零点的存在性和位置。
2.确定函数的最值：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$是函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的最小值和最大值，那么在区间$(a,b)$内必然存在一个点$c$，使得$f(c)$是函数的最小值和最大值。
因此，可以通过求解极值点来确定函数的最值。
3.求解方程与不等式：根据介值定理，如果$f(a)<0$且$f(b)>0$，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，可以通过将方程或不等式转化为函数，然后求解函数的零点来求解方程或不等式。
4.判断函数的增减性：根据介值定理，如果函数$f'(x)>0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递增的；如果函数$f'(x)<0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递减的。
因此，可以通过求导并分析导数的符号来判断函数的增减性。
二、中值定理的技巧1.构造辅助函数：有时候使用中值定理计算问题会比较复杂，需要构造辅助函数来简化计算。
辅助函数的选择需要考虑计算的便利性和准确性。
2.利用函数的性质和对称性：中值定理的应用过程中可以利用函数的性质和对称性来简化计算。
例如，如果已知$f(-x)=f(x)$，可以利用这一对称性将问题转化为求解正数情况下的解析表达式。
3.通过作图来理解问题：在使用中值定理计算问题时，可以通过绘制函数的图像来帮助理解问题，辅助解题。
通过图像可以直观地看到函数的变化趋势和函数的性质，更容易理解和判断。
微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧
1柯西中值定理 拉格朗日中值定理 洛尔定理 费马定理 根值（零值）定理 有界定理或最大值与最小值定理 n以下的连续函数在闭区间x ∈[a , b ]的基本定理（只与函数有关）共同条件：闭连续微分中值 8 定理与积分 3 定理及函数的 9 性质的综合证明题型与技巧一) 中值八定理① x ∈[a , b ] ⇒ m ≤ f (x ) ≤ M 。
注意 x ∈[a , b ]是闭区间。
② ●是 介 于 f (a ) 与f (b ) ⎡⎣f (a ) ≠ f (b ), ≠ f (a ),≠ f (b )⎤⎦ 任 一 值 ， 则 必∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 。
注意 ∈ (a , b ) 是开区间。
● 其推论是：当m ≤ ≤ M ，则必∃ ∈[a , b ]⇒ f ( ) = 。
∈[a , b ]。
注意 ∈[a , b ]是闭区间。
③ f (a ) ⋅ f (b ) < 0 ，则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f ( ) = 0 。
注意 x ∈ (a , b ) 是开区间。
④ x ∈ ( x 0 - , x 0 + ), f (x ) ≥ f (x 0 )或 ≤ f (x 0 ) ,如果 f '(x 0 ) 存在，则 f '(x 0 ) =0。
⑤ f (a ) = f (b ), 则 ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f '( ) = 0⑥ ∃ ∈ (a , b ) ⇒ f (b ) - f (a ) = f '( )(b - a )⑦ ∃ ∈ (a , b ) ⇒f (b ) - f (a ) =g (b ) - g (a ) f '( )g '( )⑧ ∞1 ⎛ ∂ ⎫n12f ( x ) = f ( x 0 + h ) = ∑ n ! h ∂x ⎪ f ( x 0 ) + R n = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ' ( x 0 )( x - x 0 ) 2! + ... + R n其中：• R n =f (n +1)() (n + 1)！n = 0⎝ ⎭h n +1 为拉格朗日余项， 介于 x 0 和 x = x 0 + h 之间， 但不等于它们，x 0 ∈ (a , b ), x ∈ (a , b ),令 ∈ (0, 1) ⇒ = x 0 + ( x - x 0 ) = x 0 + h = x 0 + ( x ) h ； 只要求在开区间(a , b )有直到n + 1阶 导数; 它不要求f ( x )及其n 阶导数在[a , b ]上连续， 而且不要求f (n +1)( x )的连续性。
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理和定积分是微积分中的重要概念，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍积分中值定理和定积分的基本概念，以及如何应用这些概念来解决实际问题。
一、积分中值定理积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它与导数中值定理有密切关联。
积分中值定理表明，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，则在[a,b]上至少存在一点c，使得函数的平均值等于函数在c处的导数值。
其数学表达式如下：∫[a,b] f(x) dx = f(c) (b-a)其中，f(x)表示在[a,b]上的连续函数，c为[a,b]上的某一点，b和a 分别为积分上限和下限。
积分中值定理的应用十分广泛。
它可以用于证明其他定理，例如柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
除了数学的理论性应用外，积分中值定理还可用于解决实际问题，如求函数在某个区间上的平均值、证明函数在某个区间上的增减性等。
下面将以一个具体例子来说明积分中值定理的应用。
例子：求函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值。
解：根据积分中值定理，函数f(x)在[1,3]上的平均值等于函数在该区间上某一点的函数值。
首先，我们计算函数f(x)在[1,3]上的定积分：∫[1,3] (2x^2 + 3x) dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 |[1,3] = 24然后，求出函数f(x)在[1,3]上的平均值：平均值 = (1/3 - 1/2) * 24 = 8所以，函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值为8。
通过这个例子，我们可以看到积分中值定理的实际应用，它不仅使我们能够求出函数在某个区间上的平均值，还可以帮助我们判断函数在某个区间上的增减性。
二、定积分的应用定积分是对区间上函数值的累加，可以用于求解曲线下面的面积、体积、平均值等问题。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理的基本形式有三种：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
它们分别适用于不同的函数类型和问题背景。
首先说一下拉格朗日中值定理。
对于一个在闭区间[a,b]上连续并可微的函数f(x)，拉格朗日中值定理给出了这个函数在[a,b]上存在一个点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
也就是说，存在一个点c，这个点的导数等于函数在整个闭区间上的平均斜率。
这个定理的应用方法和技巧如下：1.利用导数等于0来找出函数在闭区间上的极值点。
因为根据导数中值定理，如果函数在闭区间[a,b]上连续并可微，且导数f'(x)在[a,b]的一些内点c处等于0，那么在[a,b]上存在至少一个点c，使得f(x)在c点取得极值。
2.利用中值定理来证明函数在一些区间上的性质。
例如，如果能够证明函数f(x)在闭区间[a,b]上的导数f'(x)始终大于0，则可以得出结论：在该区间上函数是单调递增的。
接下来讨论柯西中值定理。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于两个函数同时存在的情况。
设有两个在闭区间[a,b]上连续并可微的函数f(x)和g(x)，且g(x)≠0。
柯西中值定理给出了存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)。
这个定理的应用方法和技巧如下：1.利用柯西中值定理证明函数的零点存在性。
例如，如果能够证明函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续并可微，且f(a)≠f(b)，f(x)和g(x)在闭区间上无共同的导数零点，则可以得出结论：在[a,b]上存在一个点c，使得f(c)=g(c)。
2.利用柯西中值定理证明函数在一些区间上的性质。
例如，如果能够证明函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续并可微，且f(x)和g(x)的导数始终满足[f'(x)/g'(x)]>0，则可以得出结论：在该区间上函数f(x)和g(x)的增减情况相同。
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中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。
微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。
积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ 成立。
证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a =')(ξϕ。
再令)()(,)()()(21x x g bx x b a x g ϕϕ=-+=，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得a b b a b b a =--+='-'+)0()1()()()()(ϕϕηϕηϕ。
因此有)()()()()(ηϕηϕηϕξϕ'-+='-'+='b b a b b a a ，移项得：b a b a +='+')()(ηϕξϕ。
分析：解1和解2都是应用了柯西中值定理。
鉴于所要证明的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位于分式中，因此考虑须用两次柯西中值定理。
证法1和解2的不同之处是解1分别从,)(ξϕ'a )(ηϕ'b 出发构造相应的函数。
而证法2是先将b a b a +='+')()(ηϕξϕ移项得：)()()()()(ηϕηϕηϕξϕ'-'+='-+='b b a b b a a ，然后从两边出发构造相应的函数。
例二．设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且)()(b f a f ≠，试证明：存在),(,b a ∈ηξ，使得ab f f +'=')(2)(ηξξ。
证法1：根据条件，由拉格朗日中值定理，存在),(b a ∈η，使得))(()()(a b f a f b f -'=-η令2)(x x g =，在[a,b]上对)(),(x g x f 应用柯西中值定理，得存在),(b a ∈ξ，使得 ab f a b a f b f f +'=--=')()()(2)(22ηξξ。
证法2：令2)(x x g =，在[a,b]上对)(),(x g x f 应用柯西中值定理，得存在),(b a ∈ξ，使得 22)()(2)(ab a f b f f --='ξξ。
再令x a b x g )()(+=，在[a,b]上对)(),(x g x f 应用柯西中值定理，得存在),(b a ∈η，使得 22)()()()()()()(a b a f b f a a b b a b a f b f a b f --=+-+-=+'η。
综合两式得到存在),(,b a ∈ηξ，使得a b f f +'=')(2)(ηξξ。
分析：鉴于所要证明的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位于分式中中，因此可考虑用两次柯西中值定理，即证法2。
也可用一次柯西中值定理后，分式中函数值差的部分改用拉格朗日中值定理进行进一步化简，即为证法1的基本思想方法。
例三．设)(),(x g x f 在[a,b]上二阶可导，并且0)(≠''x g ，0)()(==b f a f ，0)()(==b g a g ，试证：（1）在(a,b)内，0)(≠x g ，（2）在(a,b)内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξξg f g f ''''=。
证明：（1）用反证法。
假设存在点),(b a c ∈，使0)(=c g 。
分别在],[],,[b c c a 上对)(x g 运用罗尔定理，可得存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ，使得0)()(21='='ξξg g 再在],[21ξξ上应用罗尔定理，又可得存在],[213ξξξ∈，使得0)(3=''ξg ，这与题设矛盾。
故在(a,b)内，0)(≠x g 。
（2）即证0)()()()(=''-''ξξξξf g g f 。
为此作辅助函数：)()()()()(x f x g x g x f x H '-'=由于0)()()()(====b g a g b f a f ，故0)()(==b H a H 。
在[a,b]上对)(x H 应用罗尔定理得：在(a,b)内至少存在一点ξ，使0)()()()()(=''-''='ξξξξξf g g f H ，从而有)()()()(ξξξξg f g f ''''=。
分析：该题的证明主要运用了罗尔定理。
由于题设中出现了0)()(==b f a f ，0)()(==b g a g ，因此在（1）的证明中可考虑用反证法，通过反复运用罗尔定理导出0)(3=''ξg ，从而推出矛盾，证得结论。
而（2）的证明关键在于首先要将欲证的等式变形成某一函数在中值处的导数为零。
从中选定一函数对其应用罗尔定理导出结论。
例四.设)(x f 在[-a,a]上连续，在0=x 处可导，且0)0(≠'f 。
（1）求证：)1,0(),,0(∈∈∀θa x ，)]()([)()(00x f x f x dt t f dt t f x x θθ--=+⎰⎰-（2）求θ+→0lim x 证明：（1）令⎰⎰-+=x x dt t f dt t f x F 00)()()(，则)()()(x f x f x F --='。
根据拉格朗日中值定理，),0(a x ∈∀，)1,0(∈∃θ，使得)]()([)0)(()0()()(x f x f x x x F F x F x F θθθ--=-'=-=即)]()([)()(00x f x f x dt t f dt t f x x θθ--=+⎰⎰-（2）由于θθθθθ+++→→-→'=--=+⎰⎰002000lim )0(2)()(lim 2)()(lim x x x x x f x x f x f x dt t f dt t f 而运用洛必达法则，)0(2122)()(lim 2)()(lim 02000f x x f x f x dt t f dt t f x x x x '=⋅--=+++→-→⎰⎰。
因此21lim 0=+→θx 。
分析：此题运用的知识点和方法较为综合。
既用到了积分上限的函数特性，又用到了拉格朗日中值定理另一种表达方式，以及洛必达法则、函数极限运算法则、导数概念等等。
因此要求解题者需具备较扎实的微积分知识基础和一定的函数构造技巧。
例五.证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan（2）当1>x 时，ex e x >证明：（1）令],[,a r c t a n )(b a x x x f ∈=，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，因此根据拉格朗日中值定理，有))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，b a <<ξ。
即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ，b a <<ξ，故b a b a -≤-arctan arctan （2）设ex e x f x -=)(，由于)(x f 在],1[x 上连续，在),1(x 内可导，因此根据拉格朗日中值定理，有),1(),1)(()1()(x x f f x f ∈-'=-ξξ。
即)1)((--=-x e e ex e x ξ。
由于),1(x ∈ξ，所以0)1)((>--x e e ξ，从而当1>x 时，ex e x >。
分析：本例是运用拉格朗日中值定理证明不等式的典型实例。
利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤为：（1）从所欲证的不等式中找到含函数值差的表达式，从中选定)(x f 及一闭区间（2）运用拉格朗日中值定理得到一等式（3）利用此等式及b a <<ξ导出欲证的不等式。
例六.设)(x f 在[0,1]上三阶可导，且0)0(,0)1(,1)0(='=-=f f f ，试证：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)(!3)1(1)(22ξf x x x x f '''-++-=， )1,0(∈x 证明：即证至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)(!3)1(1)(22ξf x x x x f '''-=-+。