模糊集合的基本概念与模糊关系

A B A(x) B (x)
空集
所谓模糊集A是空集，就是指对 x X
有
A(x) 0
记作
即有： A 0
模糊集的包含关系
模糊集的包含关系是指在模糊集A、B中，若A是被包含于
B的子集，表示对于 x X
有: 记为：
A(x) B (x)
A B
即有： A B A (x) B (x)
A
U
A
A I A
6.3 模糊的集的代数运算
代数积 模糊集的代数积，记为AB，其隶属度函数可定义:
AB AB
代数和
模糊集A，B的代数和，记为 A B
其隶属度函数定义： A B
A
B
AB
代数和
A B 用代数和用补的来定义：
——
AB AB
绝对差
模糊集A，B的绝对差，以 表示:
可定义如下：
(AoB) oC Ao(B oC)
性质2
I oR RoI R
O oR R oO O
E oR RoE E
性质3 若有 S T
R oS R oT
S oR T oR
性质4 性质5
U U n n
R o Ri (R oRi ) i1 i1
U U
n
Ri
o
R
n
(Ri oR)
i1
1 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
图7.3布尔矩阵
模糊矩阵表示:
a11 a12 L
A
a21
a22
L
LL
an1
an2
简记:
A aij
7.2模糊矩阵的运算： （1）相等： A aij
（R x2 ,
y1),
（R x2 ,
y2 ),K
,
（R x2,
yn
)
LLLLLLLLLLLLLL
（R xm
,
y1),
（R xm ,
y2 ),K
,
（R xm ,
yn
)
图8.1 模糊关系的矩阵表示
例1 模糊矩阵的例子
{苹果，球，……，四棱锥}7个对象, 用模糊矩阵表示的的“相似”关系
图7.2 模糊关系的矩阵
（7）
（AU（A I B） A
A
I（A
U
B）
A
（8）（AAIU（（BBUI CC））（（AAIUBB））UI（（AAIUCC））
（9） （10） （11）
A A
————
A U B AI
B
————
A I B AU B
(德·莫尔甘定律)
AU ，AI A AU A，AI
（12）
6.1 模糊集的若干基本概念
模糊集
设X为空间，空间中的点或元素 x 以来表示，即: X x
x 模糊集A是一个集合，是由隶属度 A 来表示元素
是否所属于模糊集A的特征。即： 这样的函数，若： A M , x A,
总有： X M M称为隶属度空间
A : 表示x属于模糊集A的程度或等级
M:{0，1}
图6.3 补集
_
A
图6.4 模糊集的并集、交集与代数集
6.2 模糊集运算的基本性质
（1）

A A
（2） A B，B A 则
（3） A B，B C 则
AB AC
（4） （5）
AU A A AI A A AU B B U A A I B B I A
（AU B）UC A U（B UC） （6） （A I B）I C A I（B I C）
i 1
I I n n
R o Ri (R oRi ) i1 i1
I I n
n
Ri oR i (Ri oR)
i1
i 1
第七章 模糊矩阵
7.1模糊矩阵 7.2模糊矩阵的运算 7.3模糊矩阵的基本公式
7.1模糊矩阵 设X×Y中的模糊关系为R ,能用m×n矩阵表示 :
（R x1, y1), （R x1, y2 ),K , （R x1, yn )
就是用n元隶属度函数 R (x1, x2,L xn ) 来表示的模糊集R
其中： xi Xi i 1, 2,L n
例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系
例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系
设: X X1 X2 若X是指实数轴,则“x比y大得多”
隶属度函数:
隶属度函数可表示为： C (x) maxA(x), B (x),x X
模糊集的交集
模糊集A、B的交集记作 A I B
设: 定义被A，B两者包含之内最大的模糊集
C AI B
则其隶属度函数可表示为， ：
C (x) minA(x), B(x),x X
C AI B C (x) minA, B
A: 通常意义下的集合
值
A
(
x)
靠近1，则表示x属于A的程度高， 靠近0， 则表示x属于A的程度低，
图6.1 A x| x ? 0 的示意
模糊集相等
有两个模糊集A、B，所有的x当
xX
有：
A (x) B (x) 记为 A=B
其中： A 与 B 分别是模糊集A、B的隶属度函数
对应为数学关系式表示为：
0
（R x,
y）=
1
(
1 100 x y)2
x y xy
模糊关系的合成
设 R1, R2 为 X 2 中的模糊关系，则
R1, R2 的合成，还是 X 2 中的模糊关系
记为:
R1 oR2
R1
oR2
(
x,
y)
sup
min
X
R1
(
x,
),
R2
(
,
y)
简写:
，
R1
oR2
(
x,
y)
R1
(
x,
)
R2
图6.2
A B
模糊集的补集
模糊集A的补集，定义为对于 x X 有:
A的补集: (x) 1 A(x) A
__
记作: A
即有:
A (x) 1 A(x) A
模糊集的并集
模糊集A、B的并集，定义为包含模糊集A、B两者在内的最小的
模糊集。记为
AUB
即有：
设 C AUB C AUB C (x) maxA, B
A
B
图6.5 模糊集A，B的绝对差
6.4 模糊关系 模糊关系
在直积空间
X Y x, y x X, yY
中的模糊关系R，就是在 X Y 它以隶属度函数
R (x, y)
来表示特征的模糊集R
若 X Y 则把 X X 中的模糊关系称为X上的模糊关系.
更一般地在直积空间 X X1 X2 L Xn 中的n元模糊集R
(
,
y)
例 4 设R为 x ? y 的模糊关系 :
隶属度函数 :
0
（R x,
y）=
1
(
1 100 x y)2
x y xy
R oR 合成模糊关系:
0
合成隶属度函数
:
Ro（R x,
y）=
1
1 100 x y 2
2
x y x y
模糊关系的基本性质： 性质1 模糊关系的合成满足结合律