第1章 模糊集合的基本概念_m
合集下载
模糊集合
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
模糊集理论及其应用_第一章
1 μA
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊集合及其运算
40
31 0.78 110 85 0.75
50
39 0.78 120 95 0.79
60
47 0.78 129 101 0.78
70
53 0.76
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别： 模糊统计：变动的圆盖住不动的点 概率统计：变动的点落在不动的圆内
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u 0 对A的隶属度：
* u A 的次数 0 A ( u )lim 0 n n
例 取年龄作论域 X，通过模糊试验确定 x0= 27(岁)
对模糊集“青年人” A 的隶属度。
张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求
每个被调查者按自己的理解确定“年青人” (即 A)
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
（3）模糊矩阵的转置
T ( a ) , 定义：设 A 称 A (aji )nm为A的 ij m n
转置矩阵。 （4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A 对任意的 称 [ 0 , 1 ], ( a ) , ij m n
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .8
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
第一章模糊集合的一般概念
A B A Bc Ac U A
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射：记号f ：U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ，叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0，变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10}， 则：
表~A示“接近5的整数”的模糊子集，
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射：记号f ：U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ，叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0，变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10}， 则：
表~A示“接近5的整数”的模糊子集，
模糊集理论及应用讲解
CA(u)= 0 当u=2,4
经典集合与特征函数
4、隶属度 特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
1、隶属函数
[0 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为 ，1]上某个值的函数，
即：
：U→[ μA
0，1的一个隶属函数。
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
λ水平截集
解： （1）λ水平截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性 质：
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
经典集合与特征函数
4、隶属度 特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
1、隶属函数
[0 设U是论域，μA是将任何u∈U映射为 ，1]上某个值的函数，
即：
：U→[ μA
0，1的一个隶属函数。
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
λ水平截集
解： （1）λ水平截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性 质：
2、模糊集
设A={ μA (u) | u∈U } ，则称A为论域U上的一个模糊集。 3、隶属度
μA (u)称为u对模糊集A的隶属度。
模糊集合与隶属函数
模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等 价的。
可以看出 对于模糊集Ａ，当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时，则Ａ就是个空 集； 当全为1时，Ａ就是全集Ｕ； 当仅取0和1时，Ａ就是普通子集。
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义1 10 设 [0,1], A F (U ), 定义( A ) F (U )， 它的隶属函数为 ( A )(u )
A(u )
模糊集 A 称为数与模糊集 A的乘积.
特别的:
若A P(U ), 则
( A )(u)
A(u)
, ( A)(u ) A(u ) 0, 这里的 A也是一模糊集.
定义1.2 设U 为给定的论域，称 U 上的模糊集子集的全 体为模糊幂集，记为 F (U )
F (U ) {A | A : U [0,1]}
~
~
显然P(U ) F (U ) 注意F (U )是一个普通集合，它的元素是U的模糊集.
1.1.2 模糊集的表示方法 1.U 为有限集时, 设U = u1,u2, , un A(un ) un
uA uA
1.4分解定理与表现定理
1.4.1分解定理
定理1 1 (分解定理) 设 A F (U )，则有
~
A
~
[0,1]
A
或 A(u ) A (u ) ( A (u )) ~ [0,1] [0,1] 其中A (u )是A的特征函数
若u U , A(u ) 0, 则称A为空集. 若u U , A(u ) 1，则称A为全集U .
例: 设U [0， 200]，年老O，年轻Y 是两个模糊集
0， 2 1 O(u ) u 50 1 5 , 1， 2 1 Y (u ) u 25 ~ , 1 5 0 u 50 50 u 200 0 u 25 25 u 200
~ ~
u对于 A的隶属度,记为 A (u ), 简记 A， A (u )
~ ~ ~
为 A(u ).
~
几点说明:
1).模糊集 A 完全由 A(u ) 确定.不同的隶属函数确定 着不同的模糊集. 2).一般不能说u是否属于 A , 只能说u在多大程度 上属于 A , 这正是模糊集与普通集的区别. 3).当 A(u ) 的值只取0和1时， A 就退化为一个普通 子集. 这表明普通子集是模糊子集的特殊形态. 4).
~
1
(A )( u)
A( u)
A(u )
o
A
U
A(u ) A (u ) ( A )(u) ~ [0,1] [0,1]
分解定理的直观表示如图所示
1
3
2
A( u) 3 A3 ( u)
1
01 A1ຫໍສະໝຸດ ( u)2 A2 ( u)
如上例中，
1, x [- ln4 , ln 4] A0.5 x 0, x [- ln4 , ln 4]
1.3.2
截集的性质
~ ~
性质1 ( A B ) A ( A B ) A
~ ~
B , B
性质2 设、 [0，，且 1] ， 则A A 特别 A0 U
C C C C
性质3 ( A ) ( A1 ) , ( A ) A1
~ ~
性质4 设 A F (u )(t T),则
~
(t )
(
tT ~
A )
(t )
tT
A , (
(t )
tT ~
A )
(t )
tT
A
(t )
证: 仅证第一式 设
u
tT
1.3.1 截集
定义1 8 设A F (U )，对于任意 [0,1]，记 A 称为A的 截集 或水平集 ， 称为阈值或置信水平 A { A u } 称为A 的 - 强截集，相应地A也称为A 的 - 弱截集. (A) A {u | A }
~ ~ ~
Ker A ={u|A(u ) 1}=A1
~ ~
A0称为 A的支集(或支撑集)，记为Supp A ,即
~ ~
Supp A { |A(u ) 0} A0
~ ~
而Supp A A1称为 A的边界.若A1非空， A 称为正规模糊集.
~ ~ ~
关于支集与核有如下性质
1 Supp Ker , SuppU KerU U ) Supp A, Ker ( Ker A) Ker A 2 Supp( Supp A ~ ~ ~ ~ B Supp A Supp B 3 A ~ ~ ~ ~
~ ~
A(u ) B(u ) 成立，则称 A 包含 B ，记作 A B .
~ ~ ~ ~
定义1- 4 设A、B F (U )，若对于u U , 有 A(u ) B(u ) 成立，则称 A与 B相等，记作A B.
模糊集的交、并、余运算
定义1-5 设A、B、C F (U )，若对于u U , 有 C (u ) A(u ) B(u )
（3）向量表示法
A ( A(u1 ), A(u2 ),
~ ~ ~
, A(un ))
~
（4）Zaheh与向量式的结合表示法
A(u1 ) A(u2 ) A(un ) A , ，， u u u 2 n 1
2. U 为无限可列集
设无限可列集U u1 , u2 , un 此时把上述四种表示法 略加修改，都可拿来使用。
(1) Zadeh表示法 A(u1 ) A(u2 ) A u1 u2
A(ui ) 其中 不表示分数，而是U 中的元素ui与其隶属于 ui A 的程度之间的对应关系，+也不表示求和，而是表示 模糊集在论域U 上的整体，且当某元素的隶属度为零时， 可略去不写。
(2) 序偶表示法
A {( A(u1 ), u1 ),( A(u2 ), u2 ), ,( A(un ), un )}
(5) 吸收律(A B) A A，(A B)
A A
(6) 0 1律 A U U，A U A，A A，A
(7) 对偶律 ( A B)C AC (8) 复原律 (AC )C A BC， (A B)C AC BC
1.2.3模糊集的其它定义
两模糊集A、B的并、交运算，实际上是[0， 1]中的二元运算， 即逐点对隶属度A(u )、B(u )进行相应的运算，其定义的一般 形式如下：
例 设U u1 , u2 , u5 ，A、B F (U )，且 0.9 0.8 1 0.1 B u1 u2 u3 u5
1 0.9 0.4 0.2 A , u1 u2 u3 u4 求 A B, A B, AC .
1 0.9 1 0.2 0.1 0.9 0.8 0.4 解: A B , A B u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 0.1 0.6 0.8 1 A u2 u3 u4 u5
证:
A (u ) ( A )(u ) [0,1] [0,1] ( A (u ))
[0,1] [0,1] [0,1]
~
A
~
[0,1]
A
( | A (u ) 1) ( | A(u ) )
~ ~
成立，则C称为A与B的并，记作C A B.
设 A、 B、 C F (U )，若对于u U , 有
~ ~ ~
C (u ) A(u ) B(u )
~ ~ ~
成立，则 C 称为 A 与 B 的交，记作 C A B .
~ ~ ~ ~ ~ ~
余集：定义1- 6 设 A、B F (U )，若对于u U , 有 B(u ) 1 A(u ) 成立，则B称为A的余集，记作B Ac
定义1-7 设A、B F (U )，定义交、并运算的一般形式为 (A B)(u ) A(u ) B(u ) (A B)(u ) A(u ) B(u ) 其中 ， 均为[0， 1]中的二元运算，通常简称为模糊算子.
“”、“”这对算子外，还有一些其它算子. 除了
1.3模糊集的截集
3. U 为无限不可列 集
A
U
A(u ) A(u ) , 其中 ~ 不是积分式，更不是分数，只是 u u
元素与其隶属度之间的对应；符号“ ”既不表示积分， 也不表示求和，而是U 上的元素与其隶属度对应的一个总结.
1.2 模糊集的运算及其性质 1.2.1模糊集的运算
定义1- 3 设 A、 B F (U )，若对于u U , 有
n n 1
另外由A0.5 ，可知
A0.5 ，
n
故
n n A A n 1 0.5 n 1 0.5
1.3.3 核及支集
定义1 9 设 A F (U )，A1成为 A的核，记为Ker A, 即
A ( t ) 存在t0 T使u A (t0 )，于是 A 0 (u ) A (u )
t (t ) tT
即 故有
( (
tT tT
A( t ) )(u ) u ( A (t ) )
tT
tT
A( t ) )
A ( t )
注意:
上式一般不能写成等式.例如
对u U , 设 1 1 A(u) 1 2 n
(
tT
A t0 )
)
tT
A t0
(n 1, 2,
于是
从而
1 n A ( u ) 2 n 1 n A U n 1 0.5
原因是：普通集合描述的概念具有非此即彼性，而模糊概念不具 有非此即彼性. 因此有必要将普通集合进行推广，使之能够表达 模糊概念，以解决具有模糊性现象的实际问题。
A(u )
模糊集 A 称为数与模糊集 A的乘积.
特别的:
若A P(U ), 则
( A )(u)
A(u)
, ( A)(u ) A(u ) 0, 这里的 A也是一模糊集.
定义1.2 设U 为给定的论域，称 U 上的模糊集子集的全 体为模糊幂集，记为 F (U )
F (U ) {A | A : U [0,1]}
~
~
显然P(U ) F (U ) 注意F (U )是一个普通集合，它的元素是U的模糊集.
1.1.2 模糊集的表示方法 1.U 为有限集时, 设U = u1,u2, , un A(un ) un
uA uA
1.4分解定理与表现定理
1.4.1分解定理
定理1 1 (分解定理) 设 A F (U )，则有
~
A
~
[0,1]
A
或 A(u ) A (u ) ( A (u )) ~ [0,1] [0,1] 其中A (u )是A的特征函数
若u U , A(u ) 0, 则称A为空集. 若u U , A(u ) 1，则称A为全集U .
例: 设U [0， 200]，年老O，年轻Y 是两个模糊集
0， 2 1 O(u ) u 50 1 5 , 1， 2 1 Y (u ) u 25 ~ , 1 5 0 u 50 50 u 200 0 u 25 25 u 200
~ ~
u对于 A的隶属度,记为 A (u ), 简记 A， A (u )
~ ~ ~
为 A(u ).
~
几点说明:
1).模糊集 A 完全由 A(u ) 确定.不同的隶属函数确定 着不同的模糊集. 2).一般不能说u是否属于 A , 只能说u在多大程度 上属于 A , 这正是模糊集与普通集的区别. 3).当 A(u ) 的值只取0和1时， A 就退化为一个普通 子集. 这表明普通子集是模糊子集的特殊形态. 4).
~
1
(A )( u)
A( u)
A(u )
o
A
U
A(u ) A (u ) ( A )(u) ~ [0,1] [0,1]
分解定理的直观表示如图所示
1
3
2
A( u) 3 A3 ( u)
1
01 A1ຫໍສະໝຸດ ( u)2 A2 ( u)
如上例中，
1, x [- ln4 , ln 4] A0.5 x 0, x [- ln4 , ln 4]
1.3.2
截集的性质
~ ~
性质1 ( A B ) A ( A B ) A
~ ~
B , B
性质2 设、 [0，，且 1] ， 则A A 特别 A0 U
C C C C
性质3 ( A ) ( A1 ) , ( A ) A1
~ ~
性质4 设 A F (u )(t T),则
~
(t )
(
tT ~
A )
(t )
tT
A , (
(t )
tT ~
A )
(t )
tT
A
(t )
证: 仅证第一式 设
u
tT
1.3.1 截集
定义1 8 设A F (U )，对于任意 [0,1]，记 A 称为A的 截集 或水平集 ， 称为阈值或置信水平 A { A u } 称为A 的 - 强截集，相应地A也称为A 的 - 弱截集. (A) A {u | A }
~ ~ ~
Ker A ={u|A(u ) 1}=A1
~ ~
A0称为 A的支集(或支撑集)，记为Supp A ,即
~ ~
Supp A { |A(u ) 0} A0
~ ~
而Supp A A1称为 A的边界.若A1非空， A 称为正规模糊集.
~ ~ ~
关于支集与核有如下性质
1 Supp Ker , SuppU KerU U ) Supp A, Ker ( Ker A) Ker A 2 Supp( Supp A ~ ~ ~ ~ B Supp A Supp B 3 A ~ ~ ~ ~
~ ~
A(u ) B(u ) 成立，则称 A 包含 B ，记作 A B .
~ ~ ~ ~
定义1- 4 设A、B F (U )，若对于u U , 有 A(u ) B(u ) 成立，则称 A与 B相等，记作A B.
模糊集的交、并、余运算
定义1-5 设A、B、C F (U )，若对于u U , 有 C (u ) A(u ) B(u )
（3）向量表示法
A ( A(u1 ), A(u2 ),
~ ~ ~
, A(un ))
~
（4）Zaheh与向量式的结合表示法
A(u1 ) A(u2 ) A(un ) A , ，， u u u 2 n 1
2. U 为无限可列集
设无限可列集U u1 , u2 , un 此时把上述四种表示法 略加修改，都可拿来使用。
(1) Zadeh表示法 A(u1 ) A(u2 ) A u1 u2
A(ui ) 其中 不表示分数，而是U 中的元素ui与其隶属于 ui A 的程度之间的对应关系，+也不表示求和，而是表示 模糊集在论域U 上的整体，且当某元素的隶属度为零时， 可略去不写。
(2) 序偶表示法
A {( A(u1 ), u1 ),( A(u2 ), u2 ), ,( A(un ), un )}
(5) 吸收律(A B) A A，(A B)
A A
(6) 0 1律 A U U，A U A，A A，A
(7) 对偶律 ( A B)C AC (8) 复原律 (AC )C A BC， (A B)C AC BC
1.2.3模糊集的其它定义
两模糊集A、B的并、交运算，实际上是[0， 1]中的二元运算， 即逐点对隶属度A(u )、B(u )进行相应的运算，其定义的一般 形式如下：
例 设U u1 , u2 , u5 ，A、B F (U )，且 0.9 0.8 1 0.1 B u1 u2 u3 u5
1 0.9 0.4 0.2 A , u1 u2 u3 u4 求 A B, A B, AC .
1 0.9 1 0.2 0.1 0.9 0.8 0.4 解: A B , A B u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u3 0.1 0.6 0.8 1 A u2 u3 u4 u5
证:
A (u ) ( A )(u ) [0,1] [0,1] ( A (u ))
[0,1] [0,1] [0,1]
~
A
~
[0,1]
A
( | A (u ) 1) ( | A(u ) )
~ ~
成立，则C称为A与B的并，记作C A B.
设 A、 B、 C F (U )，若对于u U , 有
~ ~ ~
C (u ) A(u ) B(u )
~ ~ ~
成立，则 C 称为 A 与 B 的交，记作 C A B .
~ ~ ~ ~ ~ ~
余集：定义1- 6 设 A、B F (U )，若对于u U , 有 B(u ) 1 A(u ) 成立，则B称为A的余集，记作B Ac
定义1-7 设A、B F (U )，定义交、并运算的一般形式为 (A B)(u ) A(u ) B(u ) (A B)(u ) A(u ) B(u ) 其中 ， 均为[0， 1]中的二元运算，通常简称为模糊算子.
“”、“”这对算子外，还有一些其它算子. 除了
1.3模糊集的截集
3. U 为无限不可列 集
A
U
A(u ) A(u ) , 其中 ~ 不是积分式，更不是分数，只是 u u
元素与其隶属度之间的对应；符号“ ”既不表示积分， 也不表示求和，而是U 上的元素与其隶属度对应的一个总结.
1.2 模糊集的运算及其性质 1.2.1模糊集的运算
定义1- 3 设 A、 B F (U )，若对于u U , 有
n n 1
另外由A0.5 ，可知
A0.5 ，
n
故
n n A A n 1 0.5 n 1 0.5
1.3.3 核及支集
定义1 9 设 A F (U )，A1成为 A的核，记为Ker A, 即
A ( t ) 存在t0 T使u A (t0 )，于是 A 0 (u ) A (u )
t (t ) tT
即 故有
( (
tT tT
A( t ) )(u ) u ( A (t ) )
tT
tT
A( t ) )
A ( t )
注意:
上式一般不能写成等式.例如
对u U , 设 1 1 A(u) 1 2 n
(
tT
A t0 )
)
tT
A t0
(n 1, 2,
于是
从而
1 n A ( u ) 2 n 1 n A U n 1 0.5
原因是：普通集合描述的概念具有非此即彼性，而模糊概念不具 有非此即彼性. 因此有必要将普通集合进行推广，使之能够表达 模糊概念，以解决具有模糊性现象的实际问题。