有趣的分形图
谢尔宾斯基曲线
谢尔宾斯基曲线谢尔宾斯基曲线，又称Sierpinski Curve，是一种基于谢尔宾斯基三角形变形而来的曲线。
谢尔宾斯基三角形是可重复分割、无限精细的几何图形，这种图形宛如一个平面中的漏斗，尖端朝上，下面被三条边等分。
谢尔宾斯基曲线则是将这个几何图形中的三条边变成曲线，从而形成一条无限缠绕的分形曲线。
谢尔宾斯基曲线最早由波兰数学家瓦迪斯瓦夫·谢尔宾斯基(1876-1969)提出。
他提出了谢尔宾斯基三角形，谢尔宾斯基曲线则是建立在这个基础之上的。
谢尔宾斯基曲线的生成过程十分有趣，它是通过不断地将谢尔宾斯基三角形中的三个角切除部分曲线得到的。
具体包括以下几个步骤：1. 将谢尔宾斯基三角形的三条边都变成曲线。
2. 再将三个角的部分切除，使得每个角只剩下一个等于180度的弧度，从而形成了三段切断的曲线。
3. 将三段切断的曲线按照一定的顺序和方向缠绕在一起，使其形成一条连续的曲线。
4. 将缠绕曲线的终点和起点相连，即可得到谢尔宾斯基曲线。
谢尔宾斯基曲线的生成过程可以用递归算法来实现。
例如，对于一个谢尔宾斯基三角形，我们可以将它递归地分成四个子三角形，然后将每个子三角形的三个角切除曲线生成谢尔宾斯基曲线，并将这四个谢尔宾斯基曲线分别绕成一个缠绕曲线，最后将这四个缠绕曲线拼接在一起，即得到原始谢尔宾斯基曲线。
谢尔宾斯基曲线的特性和应用十分广泛。
它是一种自相似和无限精细的分形曲线，具有较好的数据压缩能力和密码学应用。
这种曲线可以通过对其进行不同的变形来应用于图像识别、模式识别及其它各种数据处理领域。
此外，一些艺术家还将谢尔宾斯基曲线运用在他们的作品中。
谢尔宾斯基曲线的独特几何美感，以及其自相似、无限精细的属性，为艺术创作提供了广泛的想象空间。
总之，谢尔宾斯基曲线是一种神奇的分形曲线，它的独特特性和广泛应用使得它成为了数学、计算机科学、密码学和艺术领域的重要研究对象和创作素材。
自然界中的数学
自然界中的数学你是否曾经停下来环顾四周，注意到我们周围世界中的神奇的形状和图案？数学构成了自然世界的基石，并以惊人的方式展现出来。
下面是一些自然界数学的例子。
斐波那契序列(The Fibonacci Sequence)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。
它是一个简单而深奥的数列。
序列从数字1和1开始，然后每个后续的数字通过将前面的两个数字相加来找到。
因此，在1和1之后，下一个数字是2(1 + 1)。
下一个数字是3(1+ 2) ，然后是5(2 + 3) ，如此类推。
值得注意的是，序列中的数字在自然界中经常可以看到。
一些例子包括松果的螺旋数，菠萝或向日葵的种子数，或一朵花的花瓣数。
上图：向日葵的两条螺旋线符合斐波那契数列的数字规律上图：松果的螺旋数斐波那契数列中的数字还形成了一个独特的形状，被称为斐波那契螺旋，我们在自然界中看到它的形式是贝壳和飓风的形状。
上图：贝壳的形状自然界的分形(Fractals in Nature)：分形是我们在自然界中看到的另一种有趣的数学形状。
分形是一种相似的、重复的形状，这意味着同样的基本形状在形状本身中反复出现。
换句话说，如果你要放大或缩小，整个形状都是一样的。
上图：蕨类植物的叶子分形构成了我们世界的许多方面，包括蕨类植物的叶子、树枝、我们大脑中的神经元分支和海岸线。
上图：神经元分支自然界的六边形(Hexagons in Nature)：自然界的另一个几何奇观是六边形。
跨学科实践活动案例范文精选29篇
跨学科实践活动案例范文精选29篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
谢尔宾斯基三角形
谢尔宾斯基三角形在数学的奇妙世界中，有一种图形令人着迷，那就是谢尔宾斯基三角形。
要理解谢尔宾斯基三角形，咱们得先从它的外观说起。
它看起来就像是一个不断被细分、镂空的三角形。
最开始，我们有一个实心的大三角形。
然后，把这个大三角形分成四个完全相同的小三角形，接着把中间那个小三角形去掉，剩下的就是一个由三个小三角形组成的图形。
接下来，对这三个小三角形重复同样的操作，不断细分下去，就形成了谢尔宾斯基三角形。
谢尔宾斯基三角形的特点十分有趣。
首先，它具有自相似性。
啥叫自相似性呢？就是说无论你把它放大或者缩小，它的形状看起来都差不多。
就好像是一个无限复制的图案，无论怎么看，都能在局部找到和整体相似的结构。
这种图形不仅仅是看起来好看，它在数学里还有着重要的意义。
比如说，在分形几何中，谢尔宾斯基三角形可是个典型的例子。
分形几何是研究那些不规则、复杂但又具有某种内在规律的图形和结构的学科。
谢尔宾斯基三角形通过不断重复的细分过程，展现了分形的基本特征。
而且，谢尔宾斯基三角形还和数学中的递归概念紧密相关。
递归就是在一个函数或者操作中，不断地调用自己来完成更复杂的任务。
在构建谢尔宾斯基三角形的过程中，我们就是通过一次次地递归操作，从一个大三角形逐步得到越来越复杂的图形。
在实际应用中，谢尔宾斯基三角形也有着不少用途。
在计算机图形学中，它可以用来生成有趣的图像和特效。
比如，一些游戏或者动画中的场景，可能就会用到基于谢尔宾斯基三角形的算法来创造出独特的视觉效果。
在物理学中，谢尔宾斯基三角形的结构也能帮助我们理解一些复杂的现象。
比如在研究材料的微观结构或者某些复杂的物理系统时，谢尔宾斯基三角形的模型可以提供一些有用的思路。
再来说说谢尔宾斯基三角形的数学性质。
它的面积和周长都有着独特的规律。
随着细分次数的增加，它的面积会逐渐趋近于零，而周长却会趋向于无穷大。
这听起来是不是有点不可思议？但这正是它奇妙的地方。
如果我们从数学计算的角度来看，要计算谢尔宾斯基三角形的面积和周长，需要用到一些高等数学的知识。
生活中的数学——有趣的分形
有趣的分形
让我们动手来画图。
(1)先画一个正三角形，每一边的长度是1；
(2)在每个边的三等份的中间一等份处再凸出造一个正三角形，小三角形在三个边上出现，使原三角形变成六角形；
(3)再在六角形的12条边上重复进行三等份的中间一等份处凸出造一个正三角形的过程，得到4×12=48边形；
……
每边三等分的中间一等分处凸出一个小正三角形，如此至于无穷。
其外缘曲线的构造越
来越精细，它好象是一片理想的雪花。
整体地
看，它仍具有对称性；部分地看，它们每一个
自身内部结构间具有相似性(叫自相似性)，我科克雪片的前三个阶段的构造们把这样的曲线叫做科克曲线(雪花曲线)，它是1904年瑞典科学家科克所描述的。
雪花曲线的产生过程充分展现了它具有自相似的特点。
数学家芒德勃罗创造了一个词“fractal”，中文译为“分形”，来描述这样的图形特点。
留意观察，我们会发现大自然中充满着这种“分形”现象，如，天空中云彩、天体的分布、闪电、雪花……地球的表面、绵延不断的山脉、河流的分布、蜿蜒曲折的海岸线、崎岖的道路、人体肺气管和血管的分布、正常人的脑电脑图……
人们认识分形，在于探索事物的自相似结构，自相似是跨越不同尺度的对称性。
通过认识分形，人们能更好地认识事物的结构，还可以指导我们创造出令人赏心悦目的艺术品……。
有意思的闭合曲线
有意思的闭合曲线
1. 莫比乌斯带：这是一种单侧、无间断的闭合曲面，由德国数学家莫比乌斯发现。
它只有一面，但可以通过扭曲一个纸条来制作。
2. 克莱因瓶：这是一种无定向的二维图形，看起来像一个瓶子。
在三维空间中，克莱因瓶是一个无底的、自身相交的曲面。
3. 曼德布罗集：这是一组无穷的复杂分形集合，其形状像一个树状的分形。
它可以产生一些美丽的图案和形状。
4. 康托尔集：这是另一种无穷的复杂分形集合，由德国数学家康托尔发现。
它可以产生一些有趣的视觉效果。
5. 玫瑰线：这是一种几何图形，表示平面上的某些点按照一定的规律连接所形成的曲线。
因为这些曲线在极坐标下呈现出玫瑰花般的形状，所以被称为玫瑰线。
分形杂色参数
分形杂色参数什么是分形？分形是一种数学概念，指的是具有自相似性质的几何形状。
它们在各个尺度上都呈现出相似的结构，无论是放大还是缩小，都能看到相似的形状。
分形广泛应用于计算机图形学、自然科学、金融等领域，具有许多有趣的特性和应用价值。
分形杂色参数的意义分形杂色参数是指在分形图像中引入杂色的参数。
传统的分形图像通常是单色的，只有黑白灰度。
而引入杂色参数后，图像会呈现出多种颜色，使得分形图像更加丰富多样，更具艺术感。
分形杂色参数的实现方法实现分形杂色参数的方法有很多种，下面介绍几种常见的方法。
1. 随机颜色映射一种简单的方法是通过随机生成颜色，并将颜色与分形图像的不同部分进行映射。
可以使用随机函数生成RGB颜色值，然后将每个像素点的灰度值与颜色映射表进行对应，从而实现分形图像的杂色效果。
2. 色彩渐变另一种方法是通过色彩渐变来实现分形图像的杂色效果。
可以选择两种或多种颜色作为起始色和终止色，然后在图像中的不同部分进行渐变。
可以使用线性插值或其他渐变算法来实现颜色的平滑过渡。
3. 色彩映射函数还可以通过定义一个色彩映射函数来实现分形图像的杂色效果。
色彩映射函数可以根据分形图像的特征来确定颜色的分布规律。
可以根据像素的位置、灰度值等参数来计算对应的颜色值，从而实现分形图像的杂色效果。
4. 着色算法一种更高级的方法是使用着色算法来实现分形图像的杂色效果。
着色算法可以根据分形的几何特征来确定颜色的分布规律。
可以使用光照模型、阴影效果等技术来实现更加逼真的杂色效果。
分形杂色参数的应用分形杂色参数在艺术、设计、科学等领域有广泛的应用。
1. 艺术创作分形杂色参数可以用于艺术创作，使得分形图像更加丰富多样。
艺术家可以根据自己的创作需求，选择合适的杂色参数来实现想要的效果。
分形杂色参数可以帮助艺术家创造出独特的艺术作品，展现出分形图像的美感和神秘感。
2. 设计领域分形杂色参数也可以应用于设计领域，如平面设计、产品设计等。
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活动内容
探究有趣的分形图
指导教师
活动时间
2013年月日至月日
活动地点
活动目标
（三维目标）
1、认识分形图，了解分形图的奇妙性质
2、通过分形图的欣赏和绘制，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，体验获得成功的乐趣，启迪学生的创新意识
3、通过自主探究与合作交流，发现解决 问题的策略，积累数学活动的经验，体会数学与现实生活的联系，感受数学与大自然的完美结合
【学生活动】首先细读第一段，然后做出图（1）图（2）
小组内讨论解决
思考问题：1、在图1（2）中，有没有全等三角形？有没有不全等的相似三角形？如果有，请把它们找出来。
2、如果把图1（1）中的三角形的面积作为1，那么图1（2）中的中点三角形的面积等于多少？周长之比等于多少？
3、发现一下涂色的三角形有什么特点。
展示：
【课堂小结】同学们，前面我们所画的图形都具有自相似性，即这种图形的局部和它的整体具有一定程度的相似关系，我们把具有这种性质的图形叫做分形图，分形图是几何学的一个分支----分形几何的研究对象。
1、让学生回忆本节教材内容，从整体上感知和把握所学知识。
2、让学生口头表述自己的收获。
在自然界当中有许多美丽的图案都是由一个简单的图形经过分形得到的。比如：百思论坛：分形――自然界的几何学---艺术图片欣赏
（二）画正方形“地毯”
【教师活动】同学们掌握了画三角形的方法，现在我们在画一个有趣的图形，按照图3的形式。
【学生活动】分步画出ຫໍສະໝຸດ 大小小的正方形，然后将这些正方形涂上红色，罪的的红色正方形画在“地毯”的正中央，讨论它的边长是地毯的边长的。
【教师活动】通过折纸和计算可知，图1（2）中的中点三角形的面积等于，由中点三角形与原三角形相似，故它与原三角形的周长比为 。图1（3）中所有涂色三角形的面积为 ，设原来三角形的周长与原三角形的周长为l，涂色三角形的周长比为 。
我们把这个美丽的图形叫做三角形分形图，它是由数学家希尔宾斯基发现的。
展示：
活动过程
（一）创设情境，引入新课
【教师活动】同学们，经过我们大家的努力，已经将全等形与相似形学习完了，我们学习知识的目的是利用所学来解决一些未知的问题和现象。现在我们就利用全等与相似来研究一个有趣的问题
板书：课题学习 有趣的分形图
什么是分形图呢？现在大家先拿出一张纸按照课本58页的要求来做一下，看有什么发现。请同学们将画出的三角形涂上颜色。
（三）探究雪花曲线
【教师活动】现在再来画第三幅有趣的图形，注意仔细阅读课本59页的要求与步骤。
巡视学生在作图过程当中的失误与好的方法并及时点评。
【学生活动】小组成员之间团结协作完成，并且比较哪个小组画的质量高。
【教师活动】通过观察发现同学们画的都非常的认真，很好。其实这个图形叫做雪花曲线。问题（1）（2）是分形图的自相似性，问题（3）是探究雪花曲线在形成过程中的周长与面积的变化。