部分习题及其解答

本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0yσ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=试求法线方向余弦为112n =，122n =，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。

解：应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-总应力111.8T a 。

正应力26.04n i i T n a σ==。

剪应力108.7n a τ。

过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。

证：利用应力张量的对称性，可得12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。

证毕。

某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。

解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=上式有两个解：20n =或1yσ=。

若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得1n =30n =，这是不可能的。

所以必有1y σ=。

将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得=n基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 22(arctg )x y xyA C x x yσ=--++ 22(arctg )yy xyA B x x yσ=-+++0z yz xz σττ===，222xy y A x y τ=-+满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。

解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。

在0y =的边界上，有边界条件 0()y y q σ==-，0()0xy y τ==所给的应力分量xy τ自动满足上面的第二个条件。

将y σ的表达式代入上面的第一个条件，得AB q =- (1) 在上斜面上，有tg y x β=-，所以斜面上的应力分量可以简化成(sin cos )x A C σβββ=++，(sin cos )x A B σβββ=-+，2sin xy A τβ=-，0z yz xz σττ=== (2)斜面上的外法向方向余弦为1sin n β=-，2cos n β=-，30n = (3) 将式(2)和(3)代入边界条件0ij j n σ=，得(sin cos )cos 0C A AB βββββ+=--=⎧⎨⎩ (4)联立求解(1)和(4)，得tg qA ββ=-，tg B ββ=-，C β=-图表示一三角形水坝，已求得应力分量为 x ax by σ=+，ycx dy σ=+，0z σ=，0yz xz ττ==，xy dx ay x τγ=---γ和1γ分别是坝身和水的比重。

求常数a 、b 、c 、d ，使上述应力分量满足边界条件。

解：在0x =的边界上，有边界条件 01()x x y σγ==-，0()0xy x τ==将题中的应力分量代入上面两式，可解得：0a =，1b γ=-。

在左侧的斜面上，tg x y β=，外法向方向余弦为 1cos n β=，2sin n β=-，30n =把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件0ij jn σ=，可解得：21ctg d γβγ=-，21ctg (2ctg )c βγγβ=-。

物体的表面由(,,)0f x y z =确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷(,,)p x y z ，试写出其边界条件。

解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为n 或in按题意，边界条件为 p ⋅=σn n 因此即 f p f ⋅∇=∇σ上式的指标形式为 ,,ijj i f pf σ=。

如图所示，半径为a 的球体，一半沉浸在密度为ρ的液体内，试写出该球的全部边界条件。

解：球面的外法向单位矢量为i ix a a ==r n e 或 i i x n a= 当0z ≤时，有边界条件⋅=σn 0 即 ⋅=σr 0 或 0ij j x σ=。

当0z ≥时，球面上的压力为gz ρ，其中g 为重力加速度，边界条件为 gz σρ⋅=-n n 即 gz ρ⋅=-σr r 或 ij j i x gzx σρ=-。

物体的应力状态为ijij σσδ=，其中σ为矢径r 的函数。

(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数ψ，使ψ=-∇f ；(2)写出物体表面上的面力表达式。

解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以,,i i i i σσσσ=-∇⋅=-∇⋅=-⋅=-=-∇f σI I e e所以，只要令ψσ=，就有ψ=-∇f 。

(2)表面上的面力为 σσ=⋅=⋅=T n σn I n 或 i j T n σ=。

已知六个应力分量ij σ中的30i σ=，求应力张量的不变量并导出主应力公式。

解：应力张量的三个不变量为：1x y I σσ=+，22x y xy I σστ=-，30I =。

特征方程是3212122()0I I I I σσσσσσ-+=+=- 上式的三个根即三个主应力为0σ=和2x yσσσ+=已知三个主应力为1σ、2σ和3σ，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为1n ，2n ，3n = 求八面体各个面上的正应力0σ和剪应力0τ。

解：01231()3ij i j n n σσσσσ==++，ij j i n σ=T e ，2221232223i i T n σσσσ++=⋅==T T ，0τ某点的应力分量为1122330σσσ===，122331σσσσ===，求： (1)过此点法向为123)++n e e e 的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。

解：(1)123)ij j in σ=++T e e e e ， 224T σ=⋅=T T 。

正应力为2n σσ=⋅=T n 。

剪应力为0n τ。

由此可知，2σ是主应力，123)++n e e e 是和其对应的主方向。

(2)用λ表示主应力，则2()(2)0λσσσλσλσλσσσλ--=-+-=-所以，三个主应力是12σσ=，23σσσ==-。

由上面的结论可知，和1σ对应的主方向是n ，又因为23σσσ==-是重根，所以和n 垂直的任何方向都是主方向。

第五章把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为ijijkl kl C εσ=，试写出柔度系数张量ijkl C 的具体表达式。

解：橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q 作用，如图所示。

设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。

试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。

解：取压力q 的方向为z 的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x 、y 的方向。

按题意有证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。

非各向同性体是否具有这样的性质试举例说明。

解：对各向同性材料，设i n 是应力的主方向，σ是相应的主应力，则 ij j i n n σσ= (1)各向同性的胡克定律是2ijij ij σλθδμε=+将上式代入式(1)，得2i ij j i n n n λθμεσ+=，即1()2ij ji n n εσλθμ=- 由此可知，i n 也是应变的主方向。

类似地可证，应变主方向也是应力主方向。

因此，应力主方向和应变主方向一致。

下面假定材料性质具有一个对称面。

设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于Oxy 平面对称。

因为0xyγ=，所以从式得414243xyx y z C C C τεεε=++若应变主坐标系也是应力主坐标系，则0xy τ=，即4142430x y zC C C εεε++=上式只能在特殊的应变状态下才能成立。

总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。

对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。

解：由式可得主应力和主应变之间的关系 2i i σλθμε=+ (1)……第六章为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的 解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。

设2122()fg y g A B α=∇-+∇+∇⨯+u e e e其中f 、g 、A 、B 为调和函数，问常数α为何值时，上述的u 为无体力弹性力学的位移场。

解：11,1,1()()0ki k i i j j ij ji k i kA A A e A e x x x ∂∂∂∂∂∂∇∇⨯=⨯===⋅⋅⋅e e e e e e同理2()0B ∇∇⨯=⋅e 。

由上面两式及f 和g 是调和函数可得,2(1)g θα=∇=-⋅u,2(1)g θα∇=-∇ (1) 因f 、g 、A 、B 为调和函数，所以2,22g ∇=∇u (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier 方程，得 ,2[()(1)2]0g λμαμ+-+∇= 上式成立的条件是()(1)20λμαμ+-+= 即 3λμαλμ+=+。

已知弹性体的应力场为 2x x σ=，2yy x σ=+，22xy x y τ=--，0zx zy ττ==，2z z σ=-。

(1) 求此弹性力学问题的体力场；(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。

解：证明下述Betti 互易公式i ii ii ii iSVSVTu dS f u dV Tu dS f u dV +=+⎰⎰⎰⎰%%%%蜒， 其中i T 、i f 、i u 和i T %、i f %、i u %分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。

证：如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程01()4(1)P ν=-∇+-⋅u p p r其中2∇=p 0，200P ∇=。

证：无体力的Lam é-Navier 方程为2()()λμμ+∇∇+∇=⋅u u 0又112λμμν+=-，所以Lam é-Navier 方程可以写成21()12ν∇+∇∇=-⋅u u 0 ……设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为x 轴，弯矩所在的主平面为Oxy 平面。