高中数学高二《反证法》公开课表格式教案设计
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
人教版高中数学反证法教案
人教版高中数学反证法教案
教学内容：反证法
教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和原理；
2. 能够熟练运用反证法证明数学命题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：反证法的基本原理和运用。
教学难点：运用反证法证明数学命题。
教学准备：教案、黑板、粉笔、教学课件等。
教学过程：
Step 1：导入新知识（5分钟）
教师简单介绍反证法的基本概念和原理，引起学生对反证法的兴趣。
Step 2：学习反证法（15分钟）
教师通过具体案例，详细讲解反证法的基本原理和运用方法，引导学生理解反证法的逻辑推理过程。
Step 3：练习应用（20分钟）
教师设计一些练习题，要求学生用反证法证明数学命题，让学生在实践中掌握反证法的运用技巧。
Step 4：总结回顾（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结回顾，并再次强调反证法的重要性和实际应用价值。
Step 5：作业布置（5分钟）
布置相关作业，加深学生对反证法的理解和掌握程度。
教学反思：
本节课通过简单易懂的方式，引导学生了解反证法的基本原理和运用方法，培养了学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
在后续的教学中，应多加练习，提高学生对反证法的应用能力。
高中数学《反证法》教案(北师大版选修
高中数学《反证法》教案(北师大版选修)一、教学目标1.理解并掌握反证法的基本概念和应用方法；2.能够熟练运用反证法解决数学问题；3.培养学生逻辑思维和推理能力；4.培养学生批判性思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点2.1 教学重点1.反证法的基本概念和原理；2.反证法的应用方法；3.反证法解决数学问题的实例。
2.2 教学难点1.理解和掌握反证法的原理；2.运用反证法解决复杂的数学问题。
三、教学内容和教学步骤3.1 反证法的基本概念反证法是一种利用逻辑推理的方法，通过假设命题的否定，推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
3.2 反证法的原理反证法的原理是：如果假设命题的否定，能够推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，则原命题成立。
3.3 反证法的应用方法1.假设命题的否定；2.推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论；3.得出原命题成立的结论。
3.4 反证法解决数学问题的实例示例1：证明根号2是无理数。
解：假设根号2是有理数，即可以表示为p/q（其中p和q互质）。
根据根号2的定义，有（p/q）^2 = 2，即p^2 = 2q^2。
根据整数的奇偶性，可知p为偶数，表示为p = 2m。
代入上述等式，得到(2m)^2 = 2q2，即4m2 = 2q2，简化得到2m2 = q^2。
根据整数的奇偶性，可知q也为偶数，与p、q互质的前提相矛盾。
所以根号2是无理数。
四、教学方法和学时安排4.1 教学方法1.讲解法：通过简洁明了的语言讲解反证法的概念、原理和应用方法；2.实例法：通过实际例子演示反证法的具体应用；3.讨论法：引导学生讨论反证法在数学问题中的应用。
4.2 学时安排本教案预计用时2课时，具体安排如下：第一课时： - 介绍反证法的基本概念和原理（20分钟） - 示例1的讲解和演示（15分钟） - 学生讨论与思考（15分钟）第二课时：- 复习上节课的内容（10分钟）- 示例2的讲解和演示（15分钟）- 学生讨论与思考（20分钟）五、教学评估5.1 自我评估教师可以通过观察学生的学习情况、听取他们的问题和解答，来进行自我评估。
2.2.2反证法（优秀经典公开课比赛教案）.
2.2.2反证法（优秀经典公开课⽐赛教案）.课题：2．3反证法学科：数学年级：⾼⼆班级：⼀、教材分析：本节主要研究反证法的概念以及反证法证明问题的⼀般步骤。
在上⼀节中，我们已经学习了直接证明，但是对于有的题⽬，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；或者如果从正⾯证明，需要分成多种情形进⾏分类讨论，⽽从反⾯进⾏证明，只要研究⼀种或很少的⼏种情形。
所以，教材在直接证明之后安排反证法的内容是很有必要的。
⼆、教学⽬标：1．知识与技能结合实例了解间接证明的⼀种基本⽅法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会⽤反证法证明数学问题．2．过程与⽅法使学⽣经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学⽣归纳、总结、推理论证的能⼒．增强学⽣的数学应⽤意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学⽣积极参与、⼤胆探索的精神以及合作意识．通过让学⽣体验成功，培养学⽣学习数学的⾃信⼼．通过科学家的故事，培养学⽣的耐⼼、恒⼼、⾃信⼼和抗挫折能⼒．从⽽发展学⽣的数学思维能⼒，提⾼思维品质．三、教学重点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．四、教学难点难点：应⽤反证法解决问题，在推理过程中发现⽭盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或⼰知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相⽭盾的地⽅；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学⽣亲⾝体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决⽅法，突出重点、化解难点．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电⼦⽩板六、教学⽅法：建议本节课采取探究式教学法，让学⽣参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学⽣积极参与的热情，开发其论证推理能⼒的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下⼏点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出⽭盾——得出结论．(2)提出反设的⽅式⽅法：引导学⽣弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬⽅法：在归谬过程中要注意假设条件的利⽤，通过例题分析总结归谬的⽅法技巧．(4)反证法的适⽤范围及对象：反证法⼀般适⽤于题⽬条件中含有量词“⾄多”“⾄少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．七、教学过程：1、⾃主导学：阅读课本42—43页回答下列问题：（学⽣课前预习后提出疑惑，⽼师解答）【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎⼩时候，爱和⼩朋友在路上玩耍．⼀天，他们发现路边的⼀棵树上结满了李⼦，⼩朋友⼀哄⽽上，去摘李⼦，独有王戎没动．等到⼩朋友摘了李⼦⼀尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李⼦是苦的呢？”王戎说：“假如李⼦不苦的话，早被路⼈摘光了，⽽这棵树上却结满了李⼦，所以李⼦⼀定是苦的．”王戎的论述运⽤了什么推理思想？【提⽰】实质运⽤了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成⽴(即在原命题的条件下，结论不成⽴)，经过正确的推理，最后得出⽭盾，因此说明假设错误，从⽽证明了原命题成⽴，这样的证明⽅法叫做反证法．2．反证法常见的⽭盾类型2、合作探究（1）分组探究探究点1 反证法的定义和探究点2 反证法的应⽤1.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0⽆整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选⽤反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应⽤．【⾃主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．⽽f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn ＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．⼜a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数⽭盾．∴f(x)＝0⽆整数根．2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再⽤反证法证明零点唯⼀．【⾃主解答】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内⾄少存在⼀个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另⼀个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，⽭盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，⽭盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．（2）教师点拨1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正⾯突破较困难时，可⽤反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后⽤转化后的命题作为条件进⾏推理，推出⽭盾，从⽽达到证题的⽬的．2．常见否定词语的否定形式如下表所⽰：3、巩固训练1.已知⾮零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，⼜a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac，∴(a －c )2＝0，即a ＝c .这与a ≠c ⽭盾．故假设错误，原命题正确.2.已知a 与b 是异⾯直线，求证：过a 且平⾏于b 的平⾯只有⼀个．【证明】如图所⽰．假设过直线a 且平⾏于直线b 的平⾯有两个，分别为α和β，在直线a 上取点A ，过b 和A 确定⼀个平⾯γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d ，由b ∥α，知b ∥c ，同理b ∥d ，故c ∥d ，这与c 、d 相交于点A ⽭盾，故假设不成⽴，原结论成⽴.3.已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x中⾄少有⼀个⼩于2. 【思路探究】明确“⾄少”的含义―→对结论作出假设―→得出⽭盾．【⾃主解答】假设1＋x y ，1＋y x 都不⼩于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2.∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2⽭盾．∴1＋xy，1＋yx中⾄少有⼀个⼩于2.常见结论词与反设词列表如下：。
反证法高中数学教案
反证法高中数学教案
主题：反证法
教学目标：
1. 理解反证法的基本原理和应用方法；
2. 掌握运用反证法证明数学定理的能力；
3. 提高逻辑推理能力，培养思维严谨的数学思维。
教学内容：
1. 反证法的基本原理；
2. 反证法在证明数学定理中的应用；
3. 经典反证法例题分析。
教学步骤：
1. 引入反证法的概念，解释其基本原理；
2. 通过一个简单的例子，让学生体会反证法的思维过程；
3. 结合具体数学定理，教授学生如何运用反证法进行证明；
4. 给学生分发若干反证法相关的练习题，让他们在课堂上进行实践训练；
5. 教师梳理反证法的应用技巧和注意事项，强化学生的学习效果；
6. 结束课堂，布置反证法相关的家庭作业。
教学评估：
1. 基于课堂练习题，检查学生对反证法的理解和掌握情况；
2. 评判学生在应用反证法进行证明时的逻辑推理是否严谨；
3. 针对学生的反证法运用能力进行评估，给予相应的指导和补充。
教学延伸：
1. 拓展反证法在其他领域的应用，如物理学、哲学等；
2. 鼓励学生自主尝试应用反证法解决数学难题；
3. 组织讨论会，分享学生在反证法中的心得体会。
以上是一份反证法高中数学教案范本，希望能够帮助教师更好地设计和开展相关教学工作。
祝教学顺利！。
反证法教案
〔二〕教学重点和难点
重点：1、理解反证法的概念；
2、掌握反证法证明命题的思路方法及答题步骤；
3、用反证法证明简单的命题。
难点：1、理解反证法中的“假设”内在含义及作用
2、理解反证法中的矛盾推导。
〔三〕教学方法
讲授法，比照归纳法，练习法。
〔四〕教学准备
多媒体课件、黑板
学生思考对话中蕴含的反证法思想，并结合自己的生活实际，消化这种思维。
1、方便学生理解反证法思想。
2、实例不仅体会了数学思想在生活中的广泛应用，也让学生明白数学来源于生活实际。
〔六〕、板书设计
反证法
主板副板
概念：…………例1、…………例2、…………思考………
步骤：〔1〕……………………………………
〔2〕……
乙：你说得太对了．要是下雨，肯定是不可能只下在马路上的．你刚刚这种说理的方法用的就是反证法．
甲：啊，这就是反证法．
乙：是的．你想，你刚刚在跟我争论的观点是不是要证明“昨晚没有下雨？”
甲：不错呀！
乙：你知不知道你是用哪一句话来让我心服口服的？
甲：“要是下雨，……”
乙：对．你一开始就用“要是下雨”，也就是说“假设下雨”，然后就会怎么样、怎么样，导出一个奇怪的现象或矛盾．你看，你没有直接说明“因为什么，所以没有下雨”，相反地却是先“假设下雨，然后会怎么样，最后导出一个矛盾”，这就是反证法．
所以 。
显然 与已知条件矛盾。
因此假设不成立。原命题成立。
〔肯定型命题，与条件矛盾〕
教师点明：1、否认的结论作为条件使用，以此进行推理论证。
2、强调反证法的答题步骤及书写标准。
例2、假设函数 在区间 上是增函数，那么方程 在区间 上至多只有一个实根。
人教版高中数学选修2-22.2.2反证法教案
2.2.2 反证法教课建议1.教材剖析本节主要内容是反证法的观点及应用反证法进行证明的一般步骤 ,经过学习本节内容 , 对培育学生的逆向思想是特别有益的 ,反证法是间接证明的一种基本方法 .要点 :认识反证法的含义及思想过程和特色,并能简单应用.难点 :应用反证法解决问题.2.主要问题及教课建议(1)方法的选择 .建议教师要修业生总结何时采纳反证法证明更好.当问题波及否认性,独一性 ,至多 ,起码等字眼或问题很明显从正面没法下手时能够考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展现学生的证明过程,有针对性地更正以下错误现象: 不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设 (若不用反设就不是反证法了 ),对推出矛盾没有预示性或推不出矛盾 ,指引学生学会制造矛盾 .备选习题1.如图 ,设 SA,SB 是圆锥 SO 的两条母线 ,O 是底面圆的圆心,C 是 SB 上一点 .求证 :AC 与平面 SOB 不垂直.证明 :如图 ,连结 AB ,OB,假定 AC⊥平面 SOB.∵直线 SO 在平面 SOB 内 ,∴AC⊥ SO.∵SO⊥底面圆 O,∴SO⊥ AB.又 A B∩AC=A ,∴SO⊥平面 ABC,∴平面 ABC∥底面圆 O.这明显与 AB? 底面圆 O 矛盾 ,∴假定不建立 .故 AC 与平面 SOB 不垂直 .2.设{ a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n 项和 .(1)求证 :数列 { S n} 不是等比数列 ;(2)数列 { S n} 是等差数列吗 ?为何 ?(1)证明 :反证法 :假定 { S n} 是等比数列 ,则 =S1S3,即 (1+q )2=a 1·a1(1+q+q 2).∵a1≠ 0,∴(1+q )2= 1+q+q 2,即 q= 0,与 q≠0矛盾 ,∴{ S n} 不是等比数列 .(2)解 :当 q= 1 时 ,{ S n} 是等差数列 .当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列 .假定 q≠1时 ,{ S n} 是等差数列 ,则 S1,S2,S3成等差数列 ,即 2S2=S1+S 3.∴2a1(1+q )=a 1 +a 1(1+q+q 2 ).因为 a1≠ 0,∴2(1+q )= 2+q+q 2 ,q=q2. ∵q≠1,∴q= 0,与 q≠0矛盾 .∴当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列.。
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逐步探究、明确反证的思考过程和特点
讲练结合,提高学生的逆向思维能力，分析问题、解决问题的能力。
通过小结,使学生理清这节课的重难点,深化对知识的理解
布置作业
1.P91： 4
2、思考：A,B,C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A,B都撒谎，则C必定是在撒谎，为什么？
分析：假设C不是地撒谎，即C真，则A假且B假，由A假得B真，这与B假矛盾，所以假设不成立。
3、定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
启
发
与
归
纳
例
题
解
析
练
习
课
堂
小
结
一、例题：
例1．已知直线a,b和平面 ，如果说 ， 且，求证：
证明：假设 不Leabharlann 立， ， a与 相交,不妨设 ,若0 b,则 ,这与a//b矛盾；若 ,则a与b异面，也与a//b矛盾，假设不成立，
例2．已知 ，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证明： , 方程至少有一根x= ，假设方程不只一个根，则至少有两根，不妨设 是它的两个不同的根，则a =b,a =b， a = a , a( - )=0, , ( - ) 0, a=0,这与已知条件a 0矛盾， 假设不成立，因此，当 时方程ax=b有且只有一个根。
例题的分析是本节的关键，教学中，引导学生积极参与，认真考虑为什么要采用反证法，如何从假设出发，推出矛盾，让学生从中体验反证法的思考过程和特点。因为反证法证明数学问题是学生学习的一个难点，所以例题分析要关注学生的参与，学生的领会情况。
由于学生对反证法不太熟悉，因此教学中安排比较多的时间让学生练习，使学生在动手的过程中逐步体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。
4、反证法的基本步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立。（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾。（3）从矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
5、应用反证法的情形：（1）直接证明困难。（2）需分成很多类进行讨论。（3）结论中含有“至少”、“至多”、“有无穷多个”、“唯一”等字眼。
5．能应用反证法证明比较简单的数学问题。
过程与方法
通过数学问题的证明提高学生的逆向思维能力，分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观
1.让学生感受间接证明在数学以及日常生活中的作用。
2.让学生养成言之有理，论证有据的习惯。
教学重点
应用反证法证明比较简单的数学问题。
教学难点
1．根据具体问题选择适当的证明方法。
2.《优化》P47：例2 ，P48：1-8 ，9-13 选做
巩 固
板书设计
课题: 反证法
一、知识回顾 二、例题
教学反馈
教学反思
学生以前已经接触过反证法，而且反证法的逻辑规则并不复杂，所以直接从简单的“思考”出发，和学生一起回顾、归纳反证法的定义、步骤、应用情形。
本节从“思考”引出反证法，解决这个问题产关键是懂得从结论的反面入手，将问题转化为简单逻辑推理。教学中，引导学生试着用直接法分析，比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点。
课 题
反证法
授课类型
公开课
授课班级
高二(7)班教室
教材分析
学生从初中开始就对反证法有所接触。反证法的逻楫规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
三维目标
知识与技能
1.了解反证法的思考过程与特点。
2.掌握反证法的基本步骤。
3.了解应用反证法的几种情形。
4．能根据具体问题选择适当的证明方法。
2．应用反证法证明比较简单的数学问题。
教学方法
启发式、探究式、讲练结合
教具准备
多媒体设备，制作课件等
教学环节
教学过程与设计
教法与学法
知
识
回
顾
一、反证法的概念与步骤：
1、引入：同学们以前有没有接触到反证法？在哪里？
（反证法的理论依据是原命题和逆否命题是等价命题。通过证明逆否命题是真命题得到原命题是真命题。）
三、练习: 1、如果a>b>o，那么
2、已知a,b,c是一组勾股数，即 ，求证：a,b,c不可能都是奇数。
3、若a,b,c均为实数，且 ， , 求证：a,b,c中至少有一个大于0。
4、求证： 是无理数。
四、课堂小结：
1、反证法的基本步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立。（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾。（3）从矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确。