探索多边形的内角和与外角和

探索多边形的内角和与外角和
一、内容综述：
多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。

凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。

凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。

正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

n边形的内角和=(n-2)·180°。

任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。

注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；
(2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。

二、例题分析：
例1．(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？
(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？
(3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？
(4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数．
分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。

解：（1）（22-2）×180°=3600°
3600°÷22=（）°
180°-（）°=（）°
（2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍
则（n-2）×180°=2×（8-2）×180°
n=14
（3）设n边形的内角和是2160°
则（n-2）×180°=2160°
n=14
设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000°
因为n不是整数，不符合题意。

所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000°
(4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。

根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，n=6
例2．(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；
(2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数
分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系
解：（1）因为多边形的每个内角都是135°，
所以它的每一个外角都是45°，
360°÷45°=8，这个多边形是8边形。

（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。

设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，
所以：x+ 9x=180°
x=18°
因为多边形的外角和为360°，
所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。

例3．(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数．
(2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是
几边形？
解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，
所以设这个多边形的边数为n，
2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180°
因为n为整数，所以n=18。

（2）解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐角，
由于n边形个外角和是360°，所以外角中最多有3个钝角，
①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；
②若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；
③若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；
其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形
例4．已知：四边形ABCD中(如图)，∠A与∠B互补，∠C=90°，DE⊥AB，E为垂足．若∠EDC=60°，求
∠B、∠A及∠ADE的度数．
解：因为，∠A+∠B=180°，所以 AD∥BC
所以∠C+∠ADC=180°，
因为∠C=90°，所以∠ADC=90°
又因为∠EDC=60°，所以∠ADE=30°
因为DE⊥AB，所以∠AED=90°
在△ADE中∠ADE=30°，∠AED=90°，所以∠A=60°
因为，∠A+∠B=180°，所以∠B=120°
例5．已知多边形内角和与某一个外角之和为1350°，求这多边形的边数．
解：因为凸多边形的每一个外角α的范围也是：0°＜α＜180°
所以设这个多边形的边数为n，
1350°-180°＜(n-2)×180°＜1350°-0°
因为n为整数，所以n=9。

答：这多边形的边数为9。

例6．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条
数．
解：解：设外角为x则内角为（4x+30°）
因为每一个内角与它的外角互为邻补角
所以：x+(4x+30°)=180°
x=30°
因为多边形的外角和为360°，所以360°÷30°=12
这个多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线
所以对角线的总条数为：×9×12=54
这个多边形的对角线的总条数为×12×（12-3）=54
例7．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°,∠E=80°,试求∠F的度数.
解：连接AD，
在四边形ABCD中，∠DAB+∠B+∠C+∠CDA=360°
因为AB⊥BC，所以∠B=90°
又因为∠C=124°，所以∠DAB+90°+124°+∠CDA=360°，∠DAB+∠CDA=146°
因为CD∥AF，所以∠CDA=∠DAF （1）
又因为∠CDE=∠BAF，所以∠BAD=∠EDA (2)
由（1）,(2)得∠DAF+∠EDA=∠CDA+∠BAD=146°（3）
在四边形ADEF中，∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°（4）
将(3)代入（4）得∠F+∠E=214°
又因为∠E=80°，所以∠F=134°。

例8．如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°角，边长为：AB=2cm，BC=8cm，CD=11cm，DE=6cm.求这个六边形的周长是多少？
分析：应当充分利用“凸六边形ABCDEF的六个角都是120°”，可以得到重要结论：每
个外角都是60°，从而想到可以得到特殊三角形：等边三角形！
解:延长 AB,BA,CD,DC,EF,FE分别交于G,H,I三点。

由凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，得△AGF,△IBC,△DEH,△IGH都是等边三角形
所以BI=CI=BC=8cm，DH=EH=DE=6cm
故GI=GH=IH(=IC+CD+DH)=25cm
GF=AF=AG=IG-AB-BI=15cm
EF=GH-GF-EH=4cm
∴六边形ABCDEF的周长是2+8+11+6+4+15=46(cm)。

例9．多边形内角中，为什么不能有超过3个的锐角？
答：直接证明较困难，因而利用多边形外角和定理，采取反证法．
证法提要：若有n(n≥4)个内角为锐角，则与其对应的外角就有n(n≥4)个钝角，它们的和大于360°，
与外角和定理相矛盾．故得证．
例10．为什么“四边形的周长大于两条对角线长度之和？”
分析：先将问题转化为：“已知，求证”的形式。

已知：四边形ABCD得对角线AC与BD相交于E，
求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD。

证明：在△ABD中:AB+AD>BD (1)
在△ABC中:AB+BC>AC (2)
在△BCD中:BC+CD>BD (3)
在△ACD中:CD+AD>AC (4)
(1)+(2)+(3)+(4)得 AB+BC+CD+DA>AC+BD。

例11．用正多边形铺地面，哪些正多边形可以铺得平整且无空隙？为什么？
答：只有正三角形、正方形、正六边形。

由于要求铺得平整且无空隙，所以若干个正n边形的内角可以组成360°，
即（k为正整数）能够满足上面方程的n只有3，4，6。