多边形的定义及内角和、外角和
多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题
第二十四讲 多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形 凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。
多边形的内角和外角平面中的角度求和
多边形的内角和外角平面中的角度求和多边形是平面几何中一种重要的图形，它由若干条边和相应的内角和外角组成。
本文将讨论多边形的内角和外角的求和问题。
一、多边形的定义多边形是由一系列连续的线段组成的封闭图形。
它的每一条边都与相邻的两条边相交，并且每个内角都在多边形的内部。
多边形的边数可以是任意的，常见的有三角形、四边形、五边形等。
二、多边形的内角和外角1. 内角多边形的内角是指多边形内部相邻两条边所夹的角。
对于n边形（n≥3），可以通过以下公式计算其内角和：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n代表多边形的边数。
例如，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°。
2. 外角多边形的外角是指多边形内部某一条边所对的角。
对于n边形，每个外角与相邻的内角互补，即外角 + 内角 = 180°。
因此，多边形的外角和可以通过以下公式计算：外角和 = n × 180°例如，三角形的外角和为180°，四边形的外角和为360°，五边形的外角和为540°。
三、实例分析以五边形为例，假设五边形的内角分别为角A、角B、角C、角D、角E。
根据多边形内角和的性质，我们有以下等式：角A + 角B + 角C + 角D + 角E = 540°同时，五边形的外角和为540°，即：外角A + 外角B + 外角C + 外角D + 外角E = 540°根据外角与内角的关系，每个外角都与相邻的内角互补，因此可以得到以下等式：外角A + 内角A = 180°外角B + 内角B = 180°外角C + 内角C = 180°外角D + 内角D = 180°外角E + 内角E = 180°将上述等式相加，可以得到：外角A + 内角A + 外角B + 内角B + 外角C + 内角C + 外角D + 内角D + 外角E + 内角E = 900°由于外角和等于内角和，所以：内角和 + 内角和 = 900°解方程，可以得到五边形的内角和为：内角和 = 450°四、结论总结根据以上分析，多边形的内角和可以通过公式 (n - 2) × 180°计算，而外角和为 n × 180°。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是数学中一个重要的概念，它是由若干条线段组成的封闭曲线。
每个多边形都有内角和与外角和，本文将详细介绍这两个概念以及它们之间的关系。
1. 多边形的内角和内角是指多边形内部相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形（n≥3），其内角和可以用公式 (n-2) × 180°计算。
这是因为一个n边形可以被分割成n-2个三角形，而每个三角形内角和为180°。
所以，n 边形的内角和为 (n-2) × 180°。
2. 多边形的外角和外角是指多边形外部与相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形，其外角和等于360°。
这是因为多边形的每个外角都与其相邻内角互补，而一个完整的圆周角为360°。
3. 内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和有一个重要的关系，即它们的和等于n个直角。
这可以通过数学归纳法来证明。
对于一个三角形来说，它的内角和为180°，外角和为360°，两者的和正好等于一个直角。
假设对于任意一个n边形，其内角和与外角和的关系成立，即内角和加上外角和等于n个直角。
现在考虑一个n+1边形，我们可以通过在原来的n边形的任意一个顶点处添加一个顶点来构造它。
根据我们的假设，原来的n边形的内角和与外角和的和等于n个直角。
对于新添加的顶点，它对应的内角为180°，外角为360°。
所以，我们可以得到新的n+1边形的内角和为原来n边形的内角和加上180°，外角和为原来n边形的外角和加上360°。
将它们相加，得到新的内角和加上外角和为原来n个直角加上180°加上360°，即n+1个直角。
综上所述，对于任意一个多边形，它的内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
因此，内角和与外角和是有确定关系的，可以相互转换。
总结起来，多边形的内角和等于顶点数目减去2乘以180°，外角和等于360°，而内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
《多边形的内角和与外角和》知识清单
《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。
比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。
二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。
这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。
2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。
3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。
所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。
例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。
不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。
例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。
四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。
例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。
2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。
多边形的内角和外角计算
多边形的内角和外角计算多边形是几何学中的重要概念，它由若干条边和相应的顶点组成。
在研究多边形的性质时，我们经常会遇到内角和外角的计算问题。
本文将介绍多边形内角和外角的定义和计算方法。
一、多边形的内角和外角定义多边形的内角是指由多边形的两条边所夹角度，而外角是指多边形内一条边的延长线和下一条边所夹角度。
二、多边形内角和外角的计算方法1. 内角的计算方法：对于n边形，内角和的计算公式为：(n-2)×180°。
例如，三角形的内角和为(3-2)×180°=180°，四边形的内角和为(4-2)×180°=360°。
2. 外角的计算方法：外角和的计算公式为360°。
每个外角可通过360°除以n来得到。
例如，对于正五边形，每个外角为360°/5=72°。
三、多边形内角和外角的举例说明1. 三角形的内角和：三角形是最简单的多边形，由三条边和三个顶点组成。
根据前述计算方法，三角形的内角和为180°。
2. 四边形的内角和：四边形是常见的多边形，例如矩形、正方形和平行四边形等。
根据前述计算方法，四边形的内角和为360°。
3. 五边形的内角和和外角：五边形是一种五边形多边形，常见的有正五边形和不规则五边形。
根据前述计算方法，五边形的内角和为540°，每个外角为72°。
四、多边形内角和外角计算的意义1. 内角和：多边形的内角和是多边形几何性质的重要指标，它能反映出多边形的形状和结构。
通过计算多边形的内角和，我们可以判断多边形是凸多边形还是凹多边形，并进一步研究多边形的各种性质和规律。
2. 外角和：多边形的外角和也是多边形几何性质的重要指标，它与内角和之间存在着一定的数学关系。
通过计算多边形的外角和，我们可以推导出内角和与外角和的关系公式，并应用于解决复杂的多边形计算问题。
多边形的内角和与外角和
三、多边形的内角和与外角和学前热身自学提示1.了解多边形及多边形的内角、外角等概念，2.掌握多边形的内角和与外角和定理，并会利用它们进行有关计算.释疑解惑1．多边形的定义一般地，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．2．正多边形的定义如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形．3．多边形的内角和定理n边形的内角和等于（n－2）·180°．4．多边形的外角和定理注意任何多边形的外角和都为360°．5．多边形的对角线条数公式n边形，从一个顶点出发可引（n－3）条对角线，共有3)n(n21－条对角线．6．研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题资料查阅将多边形“转化”成三角形来研究“转化”的方法，是一种化繁为简﹑化难为易﹑化未知为已知的重要数学方法.比如我们在熟知了三角形的许多性质后，就可将四边形﹑五边形﹑…﹑n边形的问题，转化为三角形问题来研究.如图，连接AC，四边形ABCD的内角和就转化成△ADC﹑△ABC这两个三角形内角之总和；或如图，在四边形的一边上任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD ﹑△DPC﹑△CPB的内角总和减去平角∠APB（或△APB的内角和）：或如图，在四边形外任取一点P，将四边形的四个内角和化成△APD﹑△DPC﹑△CPB的内角之和与△APB 的内角和的差：或如图，在四边形内任取一点P，则四边形的内角和等于四个三角形的内角总和减去周角∠P. 不论用哪一种方法，都容易求出四边形的内角和为360°.尽管这些方法各有不同，但都具有一个共同点：将四边形问题转化成三角形问题来研究.其中以第一种转化方法最简易.类似地不难求出五边形﹑六边形﹑七边形﹑…n边形的内角和分别为540°﹑720°﹑900°﹑（n-2）180°.又比如，三角形没有对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，那么六边形﹑七边形﹑…n边形有多少条对角线呢？我们可以知道，当n＞3时，从多边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，这样n个顶点就有n（n-3）条对角线，但其中有重复的对角线，如AC与CA实际上是一条，所以n边形总共有n（n-3）/2条对角线。
多边形内角和和外角和的公式
多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。
在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。
本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。
1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。
每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。
举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。
对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。
对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。
依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。
2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。
对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。
根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。
因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。
对于一个四边形，其外角和为360度。
对于一个五边形，其外角和为360度。
可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。
这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。
根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。
因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。
由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。
举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。
什么是多边形的内角和外角和
什么是多边形的内角和外角和？
多边形是指由多个线段连接而成的封闭图形。
每个多边形都由一系列顶点和边组成。
在多边形中，内角和外角是两个重要的概念。
下面将分别介绍多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法。
1. 多边形的内角：
多边形的内角是指多边形内部两条相邻边所夹的角度。
在一个n边形中，内角的总和等于(n-2) * 180°。
具体地，每个内角的度数可以通过以下公式计算：
内角度数= (n-2) * 180° / n
多边形的内角性质：
-内角和定理：在一个n边形中，内角的和等于(n-2) * 180°。
-内角的平均值：在一个n边形中，每个内角的平均值等于(n-2) * 180° / n。
2. 多边形的外角：
多边形的外角是指多边形内部一条边的延长线与另一条边所夹的角度。
在一个n边形中，外角的总和等于360°。
具体地，每个外角的度数可以通过以下公式计算：
外角度数= 360° / n
多边形的外角性质：
-外角和定理：在一个n边形中，外角的和等于360°。
-外角与内角关系：在一个n边形中，外角和对应的内角之和等于180°。
多边形的内角和外角计算方法：
-已知内角求外角：通过内角和定理，可以根据内角的个数计算外角的度数。
-已知外角求内角：通过外角和定理，可以根据外角的个数计算内角的度数。
通过掌握多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法，我们可以在几何中计算多边形的内角和外角，并在实际问题中应用这些概念进行推导和解题。
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多边形相关定义：
多边形：在平面内，有一些线段首尾顺序依次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都是在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
一个n变形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，所有对角线的数量是n(n-3)/2条。
多边形的内角和、外角和
设多边形有n条边，
N边形内角和公式：(N-2)×180°（注n边形可分成（n-2）个三角形，（n-2）个三角形没有内角是重合的）
正n边形的每个内角等于n-2/n×180°，每个外角等于360°/n
任何多边形外角和为360度，与多边形的边数无关。
设多边形的边数为N
则其内角和＝（N－2）*180°
因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的外角和＝N*180°－（N－2）*180°
＝N*180°－N*180°＋360°
＝360°
即N边形的外角和等于360°
设多边形的边数为N 则其外角和＝360°
因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的内角和＝N*180°－360°＝N*180°－2*180°＝（N－2）*180°
即N边形的内角和等于（N－2）*180°。