多边形内角和与外角和(提高)知识讲解
专题7.18 多边形的内角和与外角和(知识梳理与考点分类讲解)
专题7.18 多边形的内角和与外角和（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】多边形及其相关概念1．多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形，如三角形，四边形，五边形，·····，三角形是最简单的多边形．2．多边形的相关概念（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．特别提醒：1．多边形的边数、顶点数及角的个数相等；2．把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线．【知识点二】正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等．【知识点三】凸多边形与凹多边形多边形分为凸多边形和凹多边形．如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形．【考点目录】．．．【变式2】（2024上北京朝阳·八年级统考期末）．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为︒的凸多边形纸片，则n的值为【变式1】（2023上·广西南宁5．五边形的外角和为（A．180︒【变式2】（2024上·广东汕头6．如图是由射线AB【考点3】正多边形内角和问题；【例3】（2023上·河南商丘7．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为接一圈后，中间会形成一个正多边形．(1)求1∠的度数；(2)求2∠的度数；(3)求n的值．【变式1】（2023·全国·八年级课堂例题）8．如图所示，在正五边形ABCDEA．26︒【变式2】（2023下·全国9．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则∠+∠+∠=123【考点4】正多边形外角和问题；【例4】（2023上10．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的(1)它是几边形？A．6【变式2】（202412．若一个正n边形的每个内角为【考点5】多边形外角和实际应用；【例5】（2023上13．亮亮从点M(1)亮亮______（填“能”或“不能(2)亮亮走过的路线围成了______(3)求（2）中图形的周长．【变式1】（2023上·河南许昌A．65︒B．70︒【变式2】（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）15．一个多边形的每一个外角都等于①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，综上所述，原多边形的边数为5或6或7，故答案为：5或6或7．4．180︒【分析】根据多边形的外角和进行解答即可．【详解】解：∵六边形的外角和为360︒，∠+∠+∠+∠+︒+︒=︒，∴12349090360∠+∠+∠+∠=︒．∴1234180【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为360︒．5．B【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和均为360︒即可得出答案．【详解】解：五边形的外角和为360︒，故选：B．6．190【分析】本题考查多边形的外角和，结合已知条件，利用多边形的外角和列式计算即可．【详解】解：由图形可得123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，，∠+∠+∠=︒135170∴∠+∠+∠=︒-︒=︒，246360170190故答案为：190．∠=︒7．(1)1108∠=︒(2)2120n=(3)6【分析】本题考查了正多边形的内角．（1）根据正五边形的内角和公式即可求解；（2）由（1）知正五边形内角为108︒，利用周角为360︒即可求解；（3）根据题意得围成的多边形为正多边形，由（2）知该正多边形内角为120︒，根据内角和定理求解即可．a b⊥，90ABC∴∠=︒，∴正多边形的一个外角为∴360845n︒==︒，故选：C．60230︒÷=︒，正五边形的每一个内角()521805108=-︒÷=︒ ，∴图3中的五角星的五个锐角均为：1086048︒-︒=︒．故答案为：48︒．。
小学数学知识归纳多边形的内角和与外角性质
小学数学知识归纳多边形的内角和与外角性质多边形是数学中一个重要的概念，指的是由多个线段组成的封闭图形。
在小学数学中，我们常常研究多边形的内角和与外角性质。
在本文中，我们将对多边形的内角和外角进行归纳总结。
一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形内部所有内角的和。
下面我们就不同类型的多边形进行内角和的归纳总结。
1. 三角形的内角和性质三角形是最简单的多边形，它有三个内角。
根据数学定理，三角形的内角和等于180度。
这是因为，三角形可以被看作是平面上的三个点所确定的图形，其中每个角占据了1/3的空间，因此三角形的内角和为180度。
2. 四边形的内角和性质四边形是指具有四条边的多边形。
常见的四边形有矩形、正方形、梯形等。
不同类型的四边形内角和存在一定的规律。
- 矩形：矩形有四个内角，其中每个角都是90度。
因此，矩形的内角和为360度。
- 正方形：正方形也有四个内角，每个角也都是90度。
因此，正方形的内角和也为360度。
- 梯形：梯形的内角和等于180度。
但需要注意的是，梯形的两边并不平行，因此无法像三角形、矩形和正方形那样简单地计算内角和。
3. 多边形的内角和公式对于n边形，我们可以使用以下公式计算其内角和：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式适用于所有的多边形，包括三角形、四边形以及更多边的多边形。
二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边与其相邻的两条边所围成的角。
而多边形的外角和是指多边形内部所有外角的和。
下面我们将对多边形的外角性质进行归纳总结。
1. 多边形的外角和公式与内角和类似，多边形的外角和也存在一个公式可供计算。
外角和 = 360度这个公式适用于所有的多边形，不论边数多少，均满足外角和等于360度的性质。
2. 内角与外角的关系内角和与外角和之间有一定的关系。
我们可以发现，一个内角与相邻的一个外角相加等于180度。
这是因为，内角与外角之间相当于两个互补角。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是一种有多个直角或不是直角的边的几何图形。
它由一系列线段组成，这些线段的端点称为顶点。
在一个多边形中，内角和与外角和是两个重要的概念。
一、内角和内角是多边形内部两条边所形成的角，可以通过计算多边形的内角和来了解多边形的性质。
多边形的内角和可以通过以下公式来计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。
可以看出，内角和与多边形的边数呈线性关系，边数越多，内角和也会增加。
例如，对于三角形（三边形），它有3个内角，内角和为180°。
对于四边形（四边形），它有4个内角，内角和为360°。
同理，五边形（五边形）的内角和为540°，六边形（六边形）的内角和为720°。
二、外角和外角是多边形内部一条边与其相邻边的延长线之间所形成的角。
多边形的外角和可以通过以下公式来计算：外角和 = 360°不论多边形的边数是多少，其外角和总是等于360°。
这是因为多边形的各个外角之间构成了一个完整的圆周角。
三、内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在一定的关系。
根据数学原理，多边形内角和与外角和相差180°。
证明如下：设多边形的边数为n，每个内角为a°，每个外角为b°。
多边形的内角和为 (n - 2) × 180°，外角和为360°。
根据角度的差值关系，可以得到：(n - 2) × 180° = n × a° - n × b°化简得到：360° = n × (a° - b°)因此，a° - b° = 180°，即内角和与外角和相差180°。
这个关系在解决一些几何问题时非常有用。
通过计算内角和和外角和，我们可以推导出多边形的各种性质和特点。
专题04 多边形及其多边形内角和(知识点串讲)(解析版)
专题04 多边形及其多边形内角和知识网络重难突破知识点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn（重点）凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）典例1 （2018春富顺县期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.典例2 （2018秋桥北区期中）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】设多边形有n条边，n－2＝9，则n＝11，故答案选B.典例3 （2018春道里区期末）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( ) A．6 B．9 C．14 D．20【答案】B【详解】由题意可知n=6，所以对角线条数为9知识点二多边形的内角和外角（重点）n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（重点）n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
典例1 （2019春安庆市期中）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.典例2 （2019春南阳市期中）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B典例3 （2018春菏泽市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春龙安区期末）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为540 ，那么原多边形的边数为（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．4或5或6【答案】D【详解】设新多边形的边数为n,则(n−2)⋅180°=540°,解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6.故选：D.此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式.2．（2019春闻喜县期末）下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【详解】A. 正六边形的每个内角是120°,能整除360°，能密铺；B. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°,不能整除360°，不能密铺；C. 正方形的每个内角是90°,能整除360°，能密铺；D. 正三角形的每个内角是60°,能整除360°，能密铺.故选B.【名师点睛】此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握计算法则.3．（2018春南昌县期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得(n-2)×180°=2×360°，解得：n=6，即这个多边形为六边形，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（2019春道外区期末）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.5．（2018春东坡区期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】C【详解】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【名师点睛】主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数）．6．（2018春金安区期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．100米B．110米C．120米D．200米【答案】A【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．7．（2018春小店区期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．8．（2017秋民勤县期中）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【名师点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．（2016春荔湾区期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，故选C．10．（2018春德州市期末）一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.故选：B【名师点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.二、填空题（共5小题）11．（2018春天水市期末）如图，五边形是正五边形，若，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.[名师点睛]题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019春海淀区期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.13．（2018春金东区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．14．（2018春延边市期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.【名师点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.15．（2019春东阳市期末）若一个多边形的内角和比外角和多900，则该多边形的边数是_____．【答案】9，【解析】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．详解：设这个多边形的边数是n，则 (n−2)⋅180°−360°=900°，解得n=9.故答案为： 9.【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.三、解答题（共2小题）16．（2018春云岩区期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【详解】（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+=180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+=180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【名师点睛】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.17．（2017春黄岩区期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由见解析；（2）（2）BE∥DF；理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．试题解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是指由若干直线段连接而成的封闭图形，其中的每个直线段被称为边，相邻两个边交汇的点称为顶点。
多边形的内角和与外角和是几何学中关于多边形角度性质的重要定理之一，本文将详细论述这一定理的推导及其应用。
首先，我们来看一下多边形的内角和。
对于一个n边形（n≥3），我们可以通过连接其中的每一对顶点得到n个三角形。
由于三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和可以表示为180度的n-2倍。
即内角和 = (n-2) × 180度。
接下来，我们来探讨一下多边形的外角和。
对于一个n边形，我们可以在每个顶点处延长一条边，从而形成一些外角。
显然，每个外角等于其对应的内角的补角。
由于一个完整的圆周角是360度，因此n 边形的外角和可以表示为360度减去各个内角。
即外角和 = 360度 - 内角和。
综上所述，我们可以得出多边形的内角和与外角和的关系：内角和 + 外角和 = (n-2) × 180度 + 360度 - 内角和化简得：内角和 + 外角和 = (n-2) × 180度 + 360度这个定理的一个重要推论是：n边形的外角和等于360度。
由于每个外角等于其对应的内角的补角，因此外角和一定等于内角和的补角和。
即外角和 = 内角和的补角和 = 360度。
多边形的内角和与外角和的关系在几何学中有广泛的应用。
以正多边形为例，正n边形的内角和等于(n-2) × 180度，而每个内角又相等于360度除以n。
因此可以计算出正n边形的每个内角大小。
同时，正多边形的外角和等于360度，即每个外角的大小也可以计算出来。
除了正多边形，对于任意的n边形，我们也可以利用内角和与外角和的关系来计算其中的角度。
通过测量或计算几个已知角度，我们可以推导出其他未知角度的大小，从而解决与多边形角度相关的问题。
总结起来，多边形的内角和为(n-2) × 180度，外角和为360度，这个定理为我们研究和解决多边形角度问题提供了重要的理论基础，并在实际应用中发挥着重要的作用。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是数学中一个重要的概念，它是由若干条线段组成的封闭曲线。
每个多边形都有内角和与外角和，本文将详细介绍这两个概念以及它们之间的关系。
1. 多边形的内角和内角是指多边形内部相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形（n≥3），其内角和可以用公式 (n-2) × 180°计算。
这是因为一个n边形可以被分割成n-2个三角形，而每个三角形内角和为180°。
所以，n 边形的内角和为 (n-2) × 180°。
2. 多边形的外角和外角是指多边形外部与相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形，其外角和等于360°。
这是因为多边形的每个外角都与其相邻内角互补，而一个完整的圆周角为360°。
3. 内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和有一个重要的关系，即它们的和等于n个直角。
这可以通过数学归纳法来证明。
对于一个三角形来说，它的内角和为180°，外角和为360°，两者的和正好等于一个直角。
假设对于任意一个n边形，其内角和与外角和的关系成立，即内角和加上外角和等于n个直角。
现在考虑一个n+1边形，我们可以通过在原来的n边形的任意一个顶点处添加一个顶点来构造它。
根据我们的假设，原来的n边形的内角和与外角和的和等于n个直角。
对于新添加的顶点，它对应的内角为180°，外角为360°。
所以，我们可以得到新的n+1边形的内角和为原来n边形的内角和加上180°，外角和为原来n边形的外角和加上360°。
将它们相加，得到新的内角和加上外角和为原来n个直角加上180°加上360°，即n+1个直角。
综上所述，对于任意一个多边形，它的内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
因此，内角和与外角和是有确定关系的，可以相互转换。
总结起来，多边形的内角和等于顶点数目减去2乘以180°，外角和等于360°，而内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
知识点多边形的内角和与外角性质
知识点多边形的内角和与外角性质知识点：多边形的内角和与外角性质多边形是几何学中的基本概念之一，它由若干条直线段首尾相连而成，形成一个封闭的图形。
根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等等。
在多边形中，我们关注的一个重要性质就是多边形的内角和与外角性质。
一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形中所有内角的度数之和。
对于n边形，其内角和可以通过以下公式计算：内角和 = (n-2) × 180°以三角形为例，三角形是由三条边组成的多边形。
根据内角和性质，三角形的内角和恒为180°。
即三角形的三个内角的度数之和始终等于180°。
对于四边形，四边形是由四条边组成的多边形。
根据内角和性质，四边形的内角和恒为360°。
即四边形的四个内角的度数之和始终等于360°。
同样地，我们可以推广到多边形的情况。
对于任意n边形，其内角和恒为(n-2) × 180°。
多边形的每个内角的度数之和始终等于(n-2) ×180°。
二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边和其相邻的一条边所组成的角。
相邻边是指连接同一个顶点的两条边。
对于n边形，每个外角的度数可以通过以下公式计算：每个外角的度数 = 360° / n以正多边形为例，正多边形是指边长和内角都相等的多边形。
对于正n边形，每个内角的度数为(180° × (n-2)) / n，每个外角的度数为360°/ n。
可以发现，正多边形的每个内角和每个外角的度数之和均为180°。
三、内角和与外角的关系多边形的内角和与外角有着特殊的关系。
对于任意n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = 360°这个关系可以通过推导得到。
由于多边形的每个外角的度数为360°/ n，n个外角的度数之和为360°。
《多边形的内角和与外角和》知识清单
《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。
比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。
二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。
这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。
2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。
3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。
所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。
例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。
不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。
例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。
四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。
例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。
2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。
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多边形内角和与外角和（提高）知识讲解
【学习目标】
1.理解多边形的概念；
2.掌握多边形内角和与外角和公式；
3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.
【要点梳理】
知识点一、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。
如图：
要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2
n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．
知识点二、多边形内角和定理
n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．
要点诠释：
(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
凸多边形 凹多边形
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180
n
n
°
；
知识点三、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360
n
°
；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
【典型例题】
类型一、多边形的概念
1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?
【答案与解析】
解：这个问题，我们可以用图来说明．
按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．
按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．
按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．
答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．
【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．
举一反三：
【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。
【答案】220°
【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】C.
类型二、多边形内角和定理
2.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【思路点拨】由于∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数都不能直接求出．因此求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的结果只能实施整体求值．
【答案与解析】
解：连接DE，用对顶三角形的性质，可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，
所以∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F
＝∠BED+∠ADE+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F
＝∠C+∠EDC+∠FED+∠F．
因为四边形CDEF的内角和为360°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【总结升华】如图所示为对顶三角形．利用∠A+∠B＝∠C+∠D“转移”角．
举一反三：
【高清课堂：多边形及其内角和例5（2）（3）】
【变式】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= .
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= .
【答案】（1）360°；（2）540°
3.(山东莱芜)一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为 ( )．
A．15 B．16 C．17 D．15或16或17
【思路点拨】一个多边形截去一个角后的多边形的边数不确定，要分类讨论．
【答案】D
【解析】
解：本题可设新多边形为n 边形，由题意可知，原多边形可以为n 边形；(n+1)边形；(n -1)边形：
即(n -2)×180°＝2520° 解得n ＝16．
故n -1＝15，n+1＝17．
因此原多边形可以是十五边形，也可以是十六边形，也可以是十七边形，所以选D ．
【总结升华】此问题比较抽象，可以利用四边形类比发现其规律，然后再推广到一般．
【高清课堂：多边形及其内角和 例2、3】
举一反三：
【变式1】（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数。
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570 ，求这个没有计算在内的内角的度数.
【答案】（1）用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13．
（2）用2570÷180=14余50，180o -50o =130o
【变式2】若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.
【答案】七
类型三、多边形的外角和
4.科研人员为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ( )
A ．6米
B ．8米
C ．12米
D ．不能确定
【答案】B
【解析】
解析：先按照程序的步骤画图(如图所示)，发现一次转弯后不能回到出发点，从画出的图形，可以发现要使机器人回到点A 处，那么机器人走过的路径应该是一个多边形，每次转弯的角就是这个多边形的外角．利用多边形的外角和为360°，而45°×8＝360°，所以经过8次转弯即可到达点A 处．又因为每次走1米，所以该机器人所走的总路程为8米．
【总结升华】解决此题的关键同样是把生活实际问题转化为数学问题，在散步之中感悟数学知识．其中蕴含了多边形的外角和为360°的有关知识．本例为“设计程序”类考题，读懂程序，画出图形，理解很重要．
举一反三：
【变式】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE. 按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测那一个角吗？说明理由.
A B
C
D
E F
【答案】
解：测∠A或∠C的度数，只需∠A=100°或∠C=100°，
即知模板中AB、CD的延长线的夹角是否符合规定.
理由如下：连接AF，∵AB∥CF，
∴∠BAF+∠AFC=180°.
又∵∠EAF+∠E+∠AFE=180°，
∴∠BAE+∠E+∠EFC=360°.
若∠C=100°，
则AB、CD的延长线的夹角=540°－ 360°－ 100°= 80°，
即符合规定.
同理：若连接CE，可得∠AEF+∠F+∠DCF=360°.
若∠A=100°，则也符合规定.。