基于数学建模的停车场优化设计

基于数学建模的停车场优化设计
张伟
江西旅游商贸职业学院江西南昌330000
摘要：停车场的优化设计就是在停车场大小确定的情况下，对停车区域进行优化设计，以便容纳更多的车辆。

文章通过数学建模方法探讨停车场的优化设计，的目的就是希望找出缓解停车困难的有效办法。

关键词：数学建模；停车场优化；应用数学
一、引言
假设某公共场所附近有一块空地，如果不考虑建设地下或多层结构，我们该如何有效的设计停车位置呢？一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。

因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”，而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。

我们先来看看生活中非货运车辆大小的种类。

根据实际调查和经验数据，这类车辆一般可分为小轿车，中型客车和大型客车三类。

其中小轿车约占九成，大型客车约占一成，而中型客车一般不多于1%。

根据这样的情况，我们可以免去对中型客车的车位设计，即便有中型客车停车的需要，可以使用大型车的车位，这也符合现实生活中绝大多数停车场的车位设计情况。

我们设小轿车所占的比例为0.9α=,大型客车所占的比例为10.1α−=。

再来看看车位的大小。

根据实际的调查，城市内比较普通的小轿车长度一般不超过4.7米，宽度一般不超过1.7米，而一般大型客车长度不超过12米，宽度不超过2.2米。

另外，经实际考察可知，停车场中标志线的宽度大约为0.1米，所以我们可以假设停车场中停放轿车需要的车位长5L C =米，宽 2.5W C =米，这其中包括了0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距。

设停放大客车需要长12.5L B =米，宽3W B =米，其中包括0.1米的标志线宽度和必要的汽车之间的横向间距。

考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。

所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。

根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为1 5.5C =米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 1.7 3.8C C =−=米，如图1所示。

图1
对于大客车，我们设其最小转弯半径为110B =米，与此同时，大型车转弯时转向中心到内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 2.27.8B B =−=米。

二、具体停车场车位设计
图2为某公共场所附设的停车场，它是一个长90米，宽45米的矩形区域，该矩形区域的四个角落有照明灯设置，其占据矩形角上的形状为边长2.5米正方形，见图2的星号区域。

区域南边，西边，北边是围墙，东边是马路，这是可以作为停车场出入口的唯一的一条边。

根据对当地实际情况的调查，该停车场位设计应考虑5至6个大型客车车位，其余都作为小轿车车位设计。

现在我们就按照上述要求来对这块停车场进行车位的具体安排。

图2
90米的停车场长边可以当作足够长的边来看待，我们将90米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的长边平行。

在理想情况下，根据第一部分讨论可知，最佳设计下的车位长度为：
1sin cos 5sin 76.33 1.25cos 76.33 5.1542
L W L C θθ°°=+=+=（米）停车场通道宽度为：12cos 5.5 3.8cos 76.33 4.602R C C θ°=−=−=（米），所以，理想
情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度约为：214.91L R +=（米）于是，45米宽可以考虑安置三组这样的车位，如图2的Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ。

剩下的事情就是得解决出入口问题了，由于只能在东边设置出入口，并且Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三组区域为相互能借助对方区域的车位排列位置设置，通道形式方向应该间隔，即Ⅰ向东，Ⅱ向西，Ⅲ向东，或者Ⅰ向西，Ⅱ向东，Ⅲ向西。

为此，必须在停车场的最西边设置南北走向的一排通道，以便让Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区车位的车辆都能够换向出入，具体可以参照图2的设置。

最后，考虑到既然在最西边已经设置了南北走向的一排通道，我们可以在该通道的西边设置一排车位，此时该车位设计的车辆出入可以占用南北通道，所以这排车位的设计是最合理的，如图2中的区域Ⅳ。

根据如上的分析，我们对该停车场的车位大致设计成图2。

东边的中部为入口，北部和南部为出口，这样，即使在车辆较多的时候不至于难以驶出，通道方向也如图2所示。

大型
客车的车位已经确定为6个，小轿车车位的个数我们将根据Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的车位角度θ进行变化。

由于东西走向的通道和南北走向通道已经是垂直拐弯，所以毫无疑问，区域Ⅳ的车位将垂直排列，去掉两边照明灯设置后西边宽度为40米，正好可以设置16个车位（2.5米宽和5米长），垂直于西边。

我们可以计算出西边通道的宽度为12cos 5.52R C C π
=−=（米）。

考虑
到对称性质，我们设横向的6排的小轿车位个数分别是1X ，2X ，2X ，2X ，2X ，1X 个，并建立如下的小轿车车位个数模型：12max 2416
X X X =++1020325 2.5905 5.5290..63cos 450,1,202W L W i B L X W L X W L B s t L R C X i θπθ≤⎧⎪+++≤⎪⎪++++≤⎪⎨++≤⎪>=⎪⎪≤≤⎪⎩且为整数
（1）将公式sin W C W θ=，1sin cos 2L W L C C θθ=+，01(cot )cos 2
L W L C C θθ=+，12cos R C C θ=−和数据5L C =, 2.5W C =,1 5.5C =，2 3.8C =，12.5L B =，3W B =分别代人（1）式，化简后可得：
12max 2416
X X X =++21
221820sin 5cos 33sin 2sin cos 0.5cos 26.8sin 4sin cos cos ..300sin 14cos 2850,1,202i X X s t X i θθθθθθθθθθθθπθ≤+⎧⎪≤−−⎪⎪≤−−⎪⎨−≤⎪>=⎪⎪≤≤⎪⎩且为整数（2）
对于模型（2），如直接利用计算机编程求解会遇到一些麻烦，先是涉及θ的变化，然后又涉及1X 和2X 。

为此，我们先用微积分知识来讨论一下。

对于第一个限制条件1820sin 5cos θθ≤+，设()120sin 5cos f θθθ=+，易求得()120cos 5sin f θθθ
′=−当1tan 4θ=时，函数有唯一的驻点，所以()1f θ在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内的最大值为()1111max 0,arctan ,1844f f f π⎧⎫⎛⎞⎛⎞≥⎨⎬⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎩
⎭于是，θ的取值范围应限制在区间,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦内，容易发现当,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，20sin 5cos θθ+，233sin 2sin cos 0.5cos θθθθ−−226.8sin 4sin cos cos θθθθ−−，300sin 14cos θθ−，都为严格单调递增函数，这是求上面模型解的关键所在。

只要求出1820sin 5cos θθ≤+和300sin 14cos 285θθ−≤的解集的交集，然后选取该交集中最大
的θ即可，记此最大的θ为0θ，取21000033sin 2sin cos 0.5cos 31X θθθθ⎡⎤=−−=⎣⎦
和22000026.8sin 4sin cos cos 23
X θθθθ⎡⎤=−−=⎣⎦模型的解就得到了（式中[]...表示取整运算）。

利用数值计算或者计算机编程容易求出1820sin 5cos θθ≤+的解集为
46.78890θ°°≤≤，300sin 14cos 285θθ−≤的解集为4574.288θ°°≤≤，于是
454.78874.288θ°≤≤，取74.288θ°=，21000033sin 2sin cos 0.5cos 31
X θθθθ⎡⎤=−−=⎣⎦，22000026.8sin 4sin cos cos 23
X θθθθ⎡⎤=−−=⎣⎦，所以最后得到小轿车车位数目应该为170个，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域的停车位方位角可取74°左右。

三、结束语
停车场的优化设计实际上是一个比较复杂的非线性整数规划问题。

我们从最理想的情况出发，建立了一个一般停车场大致可以参考的布局和模型，然后又给出了一个具体的案例分析来加以说明。

现实生活中，对于给定范围的停车场设计，可以根据特定的需要，结合理想情况下的基本布局，并加以调整，进行局部修改而得出较好的设计方案。

参考文献：
[1]何文章.数学建模与实验[M].哈尔滨工程大学出版社，2002
[2]宋作忠.基于遗传算法的交易中心停车场优化设计[J].数学的实践与认识，2004，1。