基于数学建模的停车场优化设计

基于数学建模的停车场优化设计

张伟

江西旅游商贸职业学院江西南昌330000

摘要：停车场的优化设计就是在停车场大小确定的情况下，对停车区域进行优化设计，以便容纳更多的车辆。文章通过数学建模方法探讨停车场的优化设计，的目的就是希望找出缓解停车困难的有效办法。

关键词：数学建模；停车场优化；应用数学

一、引言

假设某公共场所附近有一块空地，如果不考虑建设地下或多层结构，我们该如何有效的设计停车位置呢？一般来说，想尽可能的把车塞进停车场，最好的办法就是以垂直停靠的方式将车一辆挤一辆地排成行，但是这样停放的后果就是车辆不能自由出入，只有后进入的车辆全部先出去了，先进入的车才可以离开停车场，显然不符合实际的需求。因而，为了使汽车能够自由地出入停车场，必须设立一定数量具有足够宽度的通道，并且每个通道都应该有足够大的“转弯半径”，而通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。

我们先来看看生活中非货运车辆大小的种类。根据实际调查和经验数据，这类车辆一般可分为小轿车，中型客车和大型客车三类。其中小轿车约占九成，大型客车约占一成，而中型客车一般不多于1%。根据这样的情况，我们可以免去对中型客车的车位设计，即便有中型客车停车的需要，可以使用大型车的车位，这也符合现实生活中绝大多数停车场的车位设计情况。我们设小轿车所占的比例为0.9α=,大型客车所占的比例为10.1α−=。

再来看看车位的大小。根据实际的调查，城市内比较普通的小轿车长度一般不超过4.7米，宽度一般不超过1.7米，而一般大型客车长度不超过12米，宽度不超过2.2米。另外，经实际考察可知，停车场中标志线的宽度大约为0.1米，所以我们可以假设停车场中停放轿车需要的车位长5L C =米，宽 2.5W C =米，这其中包括了0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距。设停放大客车需要长12.5L B =米，宽3W B =米，其中包括0.1米的标志线宽度和必要的汽车之间的横向间距。

考虑到汽车从通车道驶入车位一般得转弯，所以车辆的最小转弯半径也是停车场设计所要考虑的重要参数。所谓最小转弯半径，就是汽车转弯时转向中心到汽车外侧转向车轮轨迹间的最小距离。根据实际调查，可设小轿车的最小转弯半径为1 5.5C =米，与此同时，汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 1.7 3.8C C =−=米，如图1所示。

图1

对于大客车，我们设其最小转弯半径为110B =米，与此同时，大型车转弯时转向中心到内侧转向车轮轨迹间的最小距离为21 2.27.8B B =−=米。

二、具体停车场车位设计

图2为某公共场所附设的停车场，它是一个长90米，宽45米的矩形区域，该矩形区域的四个角落有照明灯设置，其占据矩形角上的形状为边长2.5米正方形，见图2的星号区域。区域南边，西边，北边是围墙，东边是马路，这是可以作为停车场出入口的唯一的一条边。根据对当地实际情况的调查，该停车场位设计应考虑5至6个大型客车车位，其余都作为小轿车车位设计。现在我们就按照上述要求来对这块停车场进行车位的具体安排。

图2

90米的停车场长边可以当作足够长的边来看待，我们将90米为一排来设计小轿车的车位，即每排车位与矩形的长边平行。在理想情况下，根据第一部分讨论可知，最佳设计下的车位长度为：

1sin cos 5sin 76.33 1.25cos 76.33 5.1542

L W L C θθ°°=+=+=（米）停车场通道宽度为：12cos 5.5 3.8cos 76.33 4.602R C C θ°=−=−=（米），所以，理想

情况下的一组（即两排车位中间加一条行通车道）的宽度约为：214.91L R +=（米）于是，45米宽可以考虑安置三组这样的车位，如图2的Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ。

剩下的事情就是得解决出入口问题了，由于只能在东边设置出入口，并且Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三组区域为相互能借助对方区域的车位排列位置设置，通道形式方向应该间隔，即Ⅰ向东，Ⅱ向西，Ⅲ向东，或者Ⅰ向西，Ⅱ向东，Ⅲ向西。为此，必须在停车场的最西边设置南北走向的一排通道，以便让Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区车位的车辆都能够换向出入，具体可以参照图2的设置。

最后，考虑到既然在最西边已经设置了南北走向的一排通道，我们可以在该通道的西边设置一排车位，此时该车位设计的车辆出入可以占用南北通道，所以这排车位的设计是最合理的，如图2中的区域Ⅳ。

根据如上的分析，我们对该停车场的车位大致设计成图2。东边的中部为入口，北部和南部为出口，这样，即使在车辆较多的时候不至于难以驶出，通道方向也如图2所示。大型

客车的车位已经确定为6个，小轿车车位的个数我们将根据Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的车位角度θ进行变化。

由于东西走向的通道和南北走向通道已经是垂直拐弯，所以毫无疑问，区域Ⅳ的车位将垂直排列，去掉两边照明灯设置后西边宽度为40米，正好可以设置16个车位（2.5米宽和5米长），垂直于西边。我们可以计算出西边通道的宽度为12cos 5.52R C C π

=−=（米）。考虑

到对称性质，我们设横向的6排的小轿车位个数分别是1X ，2X ，2X ，2X ，2X ，1X 个，并建立如下的小轿车车位个数模型：12max 2416

X X X =++1020325 2.5905 5.5290..63cos 450,1,202W L W i B L X W L X W L B s t L R C X i θπθ≤⎧⎪+++≤⎪⎪++++≤⎪⎨++≤⎪>=⎪⎪≤≤⎪⎩且为整数

（1）将公式sin W C W θ=，1sin cos 2L W L C C θθ=+，01(cot )cos 2

L W L C C θθ=+，12cos R C C θ=−和数据5L C =, 2.5W C =,1 5.5C =，2 3.8C =，12.5L B =，3W B =分别代人（1）式，化简后可得：

12max 2416

X X X =++21

221820sin 5cos 33sin 2sin cos 0.5cos 26.8sin 4sin cos cos ..300sin 14cos 2850,1,202i X X s t X i θθθθθθθθθθθθπθ≤+⎧⎪≤−−⎪⎪≤−−⎪⎨−≤⎪>=⎪⎪≤≤⎪⎩且为整数（2）

对于模型（2），如直接利用计算机编程求解会遇到一些麻烦，先是涉及θ的变化，然后又涉及1X 和2X 。为此，我们先用微积分知识来讨论一下。对于第一个限制条件1820sin 5cos θθ≤+，设()120sin 5cos f θθθ=+，易求得()120cos 5sin f θθθ

′=−当1tan 4θ=时，函数有唯一的驻点，所以()1f θ在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

内的最大值为()1111max 0,arctan ,1844f f f π⎧⎫⎛⎞⎛⎞≥⎨⎬⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎩

⎭于是，θ的取值范围应限制在区间,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦内，容易发现当,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

时，20sin 5cos θθ+，233sin 2sin cos 0.5cos θθθθ−−226.8sin 4sin cos cos θθθθ−−，300sin 14cos θθ−，都为严格单调递增函数，这是求上面模型解的关键所在。只要求出1820sin 5cos θθ≤+和300sin 14cos 285θθ−≤的解集的交集，然后选取该交集中最大