数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章
篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________ 6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?32xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan2x，则f(x)?_______________18．?f?(x)1f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f(x)连续,那么?xf(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________. 26 若(?f(x)dx)lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dxC,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()A.ln(1?e)?CB.2ln(1?e)?x?CC.x?2ln(1?e)?CD.ln(e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)A.I1?I2?xB.I1?I2?xC.I2I1D.I2?I1 4．当n1时，?xnlnxdx?() nn?1A.xn(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1C.1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C7．?(cosx2?sinx2)dx?()A.2(sinx?cosx)?C B.2(cosxx222?sin2)?CC.sinx?cosxxx22?C D.cos2?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()A.xcotxxxx2?CB.xtan2?CC.x2cotx?CD.2tan2?C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()A.e?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x?cosxD.e?x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。
华东师大数学分析习题解答5
《数学分析选论》习题解答第 五 章 级 数１．下列命题中有些是真命题，有些是伪命题．对真命题简述理由；对假命题举出反例（题中“∑n a ”是“∑∞=1n n a ”的简写）： （１）∑n a ，∑n b 发散⇒∑±)(n n b a 发散； （２）∑n a ，∑n b 收敛⇒∑nn b a 收敛； （３）∑∑n nb a 22,收敛⇒∑nn b a 收敛； （４）∑n a ，∑n b 绝对收敛⇒∑nn b a 绝对收敛；（５）∑n a 收敛，∑n b 绝对收敛⇒∑nn b a 绝对收敛；（６）∑n a 收敛，1lim=∞→n n b ⇒∑nn b a 收敛；（７）∑||n a 收敛，1lim =∞→n n b ⇒∑||n n b a 收敛；（８）0lim =∞→n n a ⇒ -+-+-+-332211a a a a a a 收敛； （９）∑n a 收敛⇒∑na n收敛； （１０）∑n a 收敛⇒0lim =∞→n n a n ；（１１）∑||n a 收敛⇒∑++)(1n n a a a 收敛；（１２）∑na 收敛⇒∑+-||1n n a a 收敛；（１３）{}n a 与∑++)(1n n a a 收敛⇒∑n a 收敛；（１４）∑+||1n n a a 收敛⇒∑n a 收敛；（１５）1||≥n a n ⇒∑n a 发散；（１６）∑na 2收敛⇒∑na 3收敛；（１７）0lim =∞→n n a ⇒∑+-||1n n a a 收敛；*（１８）∑+-||1n n a a 收敛⇒{}n a 收敛；（１９）||n a ～)(∞→n n c p⇒∑||n a 与∑pn 1同敛态； *（２０）∑n a 收敛⇒0)2(1lim21=+++∞→n n a n a a n ． 解 其中有十二个真命题：（３），（４），（５），（７），（８），（９），（１１）， （１３），（１６），（１８），（１９），（２０）；其余八个是伪命题．现依此简述如下：（１）反例：0)(,,=+-==∑n n n n b a n b n a 为收敛．（２）反例：∑-nn)1(收敛，∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n n 1)1(2为发散． （３）因nn n n b a b a 22||+≤． （４），（５） 因∑n a 收敛⇒)(1||0lim N n a a n n n >≤⇒=∞→∑∑⇒⎭⎬⎫≤⇒||||||||n n n n n n b a b b b a 收敛收敛．（６）反例：nb na nn nn )1(1,)1(-+=-=，∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n b a n n n 1)1(为发散．（７）因 1lim =∞→n n b ⇒)(2||N n b n >≤，∑∑⇒⎭⎬⎫≤⇒||||||2||n n n n n n b a a a b a 收敛收敛．（８）因0lim )(0,0122=⇒∞→→==∞→-n n n n n S n a S S ． （９）据阿贝尔判别法，∑n a 收敛，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调有界，故∑na n收敛． （１０）反例：=∑n a ∑-nn)1(收敛，而{}{}n n a n )1(-=不存在极限．（１１）由∑||n a 收敛，∑++⇒≤++⇒≤++≤++⇒.绝对收敛)(||)(||||1111n n n n n n n a a a a M a a a M a a a a（１２）反例：=∑n a ∑-n n )1(收敛，∑∑++=-+)1(12||1n n n a a n n 发散． （１３）{}.收敛收敛已知收敛收敛∑∑∑⇒-⎭⎬⎫+-⇒++n n n n n n a a a a a a 2)()()(11（１４）反例：=∑n a ++++=-+∑10102)1(1n发散，但因01≡+n n a a ，故0||1=∑+n n a a 为收敛．（１５）反例：=∑n a ∑-nn)1(收敛，满足1||≥=n a n n ．（１６）∑∑⇒>≤⇒>≤⇒.绝对收敛收敛3232)(||)(1||n nn n n a N n a a N n a a （１７）反例：同（１２）题．（１８）∑+-||1n n a a 收敛N n N >∈∃>ε∀⇔+当,,0N 时，+∈∀N p ，有.ε<-++-≤-⇒ε<-++-+-++++++++++pn p n n n p n n p n p n n n a a a a a a a a a a 1211121,所以{}n a 满足柯西条件，从而收敛．（１９）||n a ～)(∞→n nc p∞+<=⇔∞→c a n n p n ||lim ．可见∑||n a 与∑pn 1同时收敛，或同时发散． （２０）设∑na 的前n 项部分和为 ,2,1,=n S n ，且S S n n =∞→lim ．则有()..011lim 21lim )(,)()(2212121121112121=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++-=+++⇒+++-=-++-+=+++-∞→∞→--S S n n n S S S S a n a a n S S S S n S S n S S S a n a a n n n n n n n n n n □２．设∑∞=1n n a 为证项级数，试证对数判别法：（１）若存在0>ε和+∈N N ，使得当N n > 时，有ε+≥11ln ln 1n a n.， 则∑∞=1n n a 收敛；（２）若存在+∈N N ，使得当N n > 时，有11ln ln 1≤n a n .，则∑∞=1n n a 发散． 证 把不等式分别改写成： （１）ε+ε+≤≥111,ln 1lnn a n a n n 即； （２）na n a n n 1,ln 1ln≥≤即．根据比较法则，（１）时∑∞=1n n a 收敛；（２）时∑∞=1n n a 发散． □３．利用对数判别法鉴别下列正项级数的敛、散性： （１）∑∞=1ln 31n n； （２）∑∞=1ln ln )ln (1n nn ； （３）)0(1ln >∑∞=x n n x．解 （１）n n a ln 31=，050109813ln 1ln ln 1...+>≈=n a n，故收敛． （２）nn n a ln ln )ln (1=，)16(0101ln ln 1ln ln 1≥+>=n n a nn ..，故收敛． （３）x n n a ln =，由于x n n x a nn 1ln ln ln ln 1ln ln 1=-=.， 故当)0(e 101>ε∀≤<ε+x 时收敛；e1≥x 时发散． □ ４．证明：（１）若∑∞=1n n a n 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；（２）若∑∞=1n p n n a 收敛，则p x >时∑∞=1n x nn a 也收敛． 证 （１）∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111n n n n n a n a .．由阿贝尔判别法，已知∑∞=1n n a n 收敛，而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1 单调有界，故∑∞=1n n a 收敛．（２）同理，由∑∑∞=-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111n px p n n x n n n a n a .，∑∞=1n p n n a 收敛，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-p x n 1当p x >时单调有界，故∑∞=1n xnn a 收敛． □ ５．证明：若{})(x f n 与{})(x g n 都在E 上一致收敛，则{})()(x g x f n n ±在E 上也一致收敛．证 设)(x f n →→)(x f ，)(x g n →→)(x g ，E x ∈．依据定义，+∈∃>ε∀N N ,0，当N n >时，对一切E x ∈，恒有2)()(ε<-x f x f n ， 2)()(ε<-x g x g n ； 于是又有[][]ε<-+-≤±-±)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f n n n n ．所以)()(x g x f n n ±→→)()(x g x f ±，E x ∈．注：本题也可用确界逼近准则（ p .138 定理5.2 ）来证明． □６．设f 在区间I 上一致连续，)(x n ϕ→→)(x ϕ，E x ∈，且)(,)(E I E n ϕ⊂ϕ，,2,1=n ．试证：))((x f n ϕ→→))((x f ϕ，E x ∈．证 因f 在I 上一致连续，故0,0>δ∃>ε∀，只要δ<''-'u u ),(I u u ∈'''， 便有ε<''-')()(u f u f ．对上述δ，由)(x n ϕ→→)(x ϕ，E x ∈，必定+∈∃N N ，当N n >时，对一切E x ∈，均有δ<ϕ-ϕ)()(x x n ．记I x u I x u n ∈ϕ=''∈ϕ=')(,)(，则有ε<ϕ-ϕ=''-'))(())(()()(x f x f u f u f n ．这就证得 ))((x f n ϕ→→))((x f ϕ，E x ∈． □ ７．证明：∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛的必要条件是)(x f n →→E x ∈,0．证 设,)()(1∑==nk k n x f x S )(x S n →→E x x S ∈,)(，则=)(x f n )(x S n )(1x S n --．由题５易知)(x f n →→E x x S x S ∈=-,0)()(． □８．设∑∞=1n n a 收敛，试证),0[e 1∞+-∞=∑在x n n n a 上一致收敛．证 由一致收敛的阿贝尔判别法，数项级数∑∞=1n na 收敛即一致收敛；对每个0≥x ，xn -e 对n 单调（减），且一致有界,),),0[,1e (+-∈∞+∈≤N n x x n 故xn n n a -∞=∑e 1在),0[∞+上一致收敛． □９．判别下列函数序列或函数项级数在指定的区间上是否一致收敛：（１）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n nxsin ，),(∞+∞-∈x ； （２）∑∞=+-1sin )1(n n x n ，),(∞+∞-∈x ； )3(*]1,0[,,)()(,,)()(,)(1121∈===-x x f x x f x f x x f x x f n n ；（４）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+1nn x x ，（ⅰ）]1,0[∈x ，（ⅱ）)10(]1,0[<δ<δ-∈x ； （５）]1,0[,)(12∈+∑∞=+x nn x x n nn ．解 （１）由于0sin lim=∞→nnx n ，且 )(010sin sup),(∞→→=-∞+∞-∈n nnnx x ，因此nnx sin →→0，),(∞+∞-∈x ． （２）由函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法，1)1(1≤-∑=nk k为一致有界；),(∞+∞-∈∀x ，xn sin 1+关于n 单调（减）；且0sin 1lim=+∞→x n n ， )(0110sin 1sup),(∞→→-=-+∞+∞-∈n n x n x ，从而x n sin 1+→→0，),(∞+∞-∈x ．所以，∑∞=+-1sin )1(n nxn 在),(∞+∞-上为一致收敛．（３）事实上，)()()(211∞→=→=-n x x f xx f nn ．记]1,0[,)()()(211∈-=-=-x x xx f x f x g nn n ，由 01211)(21=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-nx x g n n，求出)(x g n 的最大值点nn n x 2211⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，和最大值nn nn n x g 2211121)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．由于 )(0e 0)()(m ax )(sup 1-]1,0[]1,0[∞→=→==∈∈n x g x g x g n n n x n x .，因此)(x f n →→]1,0[,∈x x ．（４）设1111)(+-=+=nnn n x x x x f ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=∈==∞→.1,21,)1,0[,0)()(lim x x x f x f n n （ⅰ）由于)(0\21111sup )()(sup)1,0[)1,0[∞→→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-∈∈n x x f x f nx n x ，因此{})(x f n 在)1,0[上不一致收敛，从而在]1,0[上更不一致收敛．（ⅱ）当)10(]1,0[<δ<δ-∈x 时，由于)(01)1(11)()(sup]1,0[∞→→+δ--=-δ-∈n x f x f nn x ，因此)(x f n →→)(x f ，)10(]1,0[<δ<δ-∈x ．（５）设nn n nn x x x f ++=2)()(．由于]1,0[,0])1([)()(21∈>+++='+-x nn x n n x x f nn n ，因此有2223)11(1)1()1()(0nn n n n f x f nnn n n <+=+=≤≤+．根据优级数判别法，由∑∞=123n n收敛，可知∑∞=++12)(n nn nn x x 在]1,0[上一致收敛． □１０．证明：∑∞=+-122)1(n n nn x 在任何闭区间],[b a 上一致收敛；但对任何x 不绝对收敛． 证 由于1)1(1≤-∑=nk k为一致有界，],[b a x ∈∀，22nn x +关于n 单调（减），0lim22=+∞→nn x n ，,(00sup2222],[∞→→+=-+∈n nn b nn x b a x 设)||||a b ≥，因此根据狄利克雷判别法，该级数在任何],[b a 上一致收敛．又因对任何x ，n n n x n1)1(22≥+-，所以∑∞=+-122)1(n n n n x 发散． □11*．设)(0x u 在],[b a 上可积，,2,1,d )()(1==⎰-n t t u x u xan n ．试证∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛．证 设M x u ≤)(0，],[b a x ∈．则可依次估计得：)(d )(d )()(001a x M t t u t t u x u x axa-≤≤=⎰⎰，.........................,)(!2d )(d )()(212a x Mt a t M t t u x u xax a-=-≤≤⎰⎰n n x an n a b n Ma x n M t a t n M x u )(!)(!d )(!)1()(1-≤-=--≤⎰-．而∑∞=-1)(!n n a b n M易用比式判别法得知它收敛，故级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛． □１２．已知∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛．试讨论：当)(x g 在E 上满足何种条件时，就能保证∑∞=1)()(n n x f x g 在E 上一致收敛？解 这里可用一致收敛的柯西准则来讨论．由于∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛，故+∈∃>ε∀N N ,01，当N n >时，对一切E x ∈和+∈N p ，恒使11)(ε<∑++=p n n i i x f ．而∑∑++=++==p n n i i pn n i i x f x g x f x g 11)()()()(.，因此当设)(x g 在E 上有界，即E x M x g ∈≤,)(时，就有ε=ε<≤∑∑++=++=111)()()(M x f Mx f x g p n n i i pn n i i ．此即表示∑∞=1)()(n n x f x g 在E 上一致收敛． □31*．证明：若对每个,n )(x f n 是],[b a 上的单调函数，且∑∞=1,)(n n a f ∑∞=1)(n n b f 都绝对收敛，则∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上为绝对一致收敛．证 由假设条件，对每一个,n 有{})(,)(max )(a f a f x f n n n ≤[]nn n n n M b f a f b f a f ==-++=def )()()()(21． 由于∑∞=1)(n n a f 与∑∞=1)(n n b f 都收敛，因此[]∑∞=+1)()(n n n b f a f 与[]∑∞=-1)()(n n n b f a f也都收敛，从而∑∞=1n nM 收敛．依据优级数判别法，证得∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上为一致收敛． □１４．设]2,0[,)10(cos )(0π∈<<=∑∞=x r nx r x S n n ．试求⎰π20d )(x x S ．解 由于nnr nx r ≤cos ，而r r n n-=∑∞=110为收敛，因此∑∞=0cos n nnx r 为一致收敛，于是可以逐项求积．据此便可求得⎰π20d )(x x S π=+π==∑∑⎰∞=∞=π20.2d cos 120n n n nr x nx r． □51*．设函数f 在)1,(+b a 内连续可微)(b a <，记,2,1,),(,)()1()(=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n b a x x f n x f n x f n ．试证：（１）{})(x f n 在任何],[βα),(b a ⊂上一致收敛于)(x f '；（２）)()(d )(limα-β=⎰βα∞→f f x x f n n ．证 （１）由于)(x f '在],[βα上连续，从而一致连续．故0,0>δ∃>ε∀，只要∈'''u u ,],[βα 且δ<''-'u u , 便有ε<'''-'')()(u f u f ．而由假设，..],[,)1,(,)(1)()()1()(βα∈+∈ξξ'=ξ'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x n x x f nf n x f n x f n x f n n n n所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡δ=∃1N ，当)1(δ<>n N n 时，对任何∈x ],[βα，恒有ε<'-ξ'='-)()()()(x f f x f x f n n ．这就证得)(x f n →→)(x f '，∈x ],[βα),(b a ⊂．（２）利用逐项积分定理，易得)()(d )(d )(lim d )(lim α-β='==⎰⎰⎰βαβα∞→βα∞→f f x x f x x f x x f n n n n ． □ １６．证明：函数∑∞==13sin )(n nnx x S 在),(∞+∞-上连续，且有连续的导数)(x S '． 证 由于331sin nn nx ≤，∑∞=131n n 收敛，因此∑∞=13sin n nnx 在),(∞+∞-上一致收敛．又 2231cos sin n n nx n nx ≤='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，∑∞=121n n 收敛， 故∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13sin n n nx 在),(∞+∞-上也一致收敛． 因为∑∞=13sin n nnx 在),(∞+∞-上满足定理45'.和定理65'.的条件，所以)(x S 在),(∞+∞-上连续，且有∑∞=='12cos )(n nnx x S ，),(∞+∞-∈x ． 又因为∑∞=12cos n n nx 在),(∞+∞-上也满足定理45'.的条件，所以)(x S '在),(∞+∞-上同样也连续． □１７．试求以下各级数的和函数：（１）)1,1(,11-∈∑∞=+x nx n n ； （２）0,e 1>∑∞=-x n n x n ．解（１）设)()(211211x T x nx x nx x S n n n n ===∑∑∞=-∞=+．由于 21111)1(11)()(x x x x x nx x T n n n n n n -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='==∑∑∑∞=∞=∞=-， 因此求得)1,1(,1)()(22-∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x x x T x x S ．（２）设0,e )(1>=∑∞=-x n x S n x n ．类似地得到 .0,)1e (e1e 1e 1e )e (e )e ()(2111>-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-=--∞=-∞=-∞=-∑∑∑x x S x xx x x n n x n x n n x n □ 上必定不一致收敛；并可知道定理５.６的条件和结论都不成立． □。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
2005年华东师大数分试题及解答
2005年数学分析一．（每题6分，共24分）判断下列命题的真伪（正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例）1．A a n n =∞→lim 的一个充要条件是：存在正整数N ，对于任意正数ε，当N n >时均有ε<-A a n .2.设()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f 在[)+∞,a 上一致连续，那么()()2x f 在[)+∞,a 上一致连续.3.设0>n a ，01lim =∞→na nn ，那么正项级数∑∞=1n n a 收敛. 4.()y x f ,在点()00,y x 沿任意方向导数都存在，则函数()y x f ,在点()00,y x 连续. 二．（每题8分，共64分）计算下列各题；1． 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x n 220sin 11lim 2． 求极限n n n n 22cos 2sin lim +∞→3． 求曲线y x x y 2=，在()1,1处的切线方程. 4． 设()x f 在R 上连续，()()⎰=te t dx xf tg 2，求()t g '.5． 求dxdy y x y x ⎰⎰≤++12243.6． 设()11,1=f ，()a f x =1,1'，()b f y =1,1'，()()()()y x f x f x f x g ,,,=，求()1'g .7． 设S 是有向曲面1222222=++c z b y a x 外侧，求第二型曲面积分⎰⎰S zdxdy .8． 设椭球面0,0,0,1222222>>>=++z y x cz b y a x 的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积.三．（第一题至第四题每题12分，第五题14分，共62分）证明以下个题： 1.设()x f 在有限区间()b a ,上一致连续，求证：()x f 在区间()b a ,上有界.2.已知n a n 112=-，⎰+=121n n n dx x a ，求证：()∑∞=-11n n na 条件收敛.3.设()x f 在区间[]b a ,连续，()0>x f .求证：函数列(){}nx f 在[]b a ,上一致收敛于1.4.设()y x f ,在[][]d c b a ,,⨯上连续，求证：()[]()y x f y g b a x ,max ,∈=在[]d c ,上连续.5.设()x f 在区间[)+∞,a 上的有界连续函数，并且对于任意实数c ，方程()C x f =至多只有有限个解，求证：()x f x +∞→lim 存在.2005年数学分析答案一、判断下列命题的真伪，正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例（每题6分，共24分）：1.错误。
数学分析Ⅲ练习册参考答案
1、平面点集{}22(,)|01E x y x y =<+<的内部为 ,边界为 . 解 {}{}222222int (,)|01,(,)|01E x y x y E x y x y x y =<+<∂=+=+=或2、平面点集11,,E n m n m ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为整数的聚点集为 .解 {}11,00,(0,0)n m n m ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭为整数为整数3、设(,)ln 1f x y x y=--,则函数(,)f x y 的定义域为 .解(){}222,014x y xy y x <+<≤且4、设2222),(y x y x y x f +-=则00limlim (,)x y f x y →→= ,),(lim lim 00y x f x y →→= .解 222200000limlim (,)limlim lim11x y x y x x y f x y x y →→→→→-===+()222200000limlim (,)limlim lim 11y x y x x x y f x y x y →→→→→-==-=-+ 5、函数1(,)sin sin f x y x y =的间断点集为 .解(){},,,x y x k y l k l ππ==∈Z 或二、选择题1、函数f x y x y (,)=-+-1122的定义域是( D ) A 、闭区域 B 、开区域 C 、开集 D 、闭集解 f x y x y (,)=-+-1122的定义域是(){},1,1E x y x y =≤≥E 是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.2、函数y x z -=的定义域是( C )A 、有界开集B 、有界闭集C 、无界闭集D 、无界开集 解 y x z -=的定义域是(){}2,0E x y y x =≤≤E 是无界闭集.3、以下说法中正确的是( A )A 、开区域必为开集B 、闭区域必为有界闭集C 、开集必为开区域D 、闭集必为闭区域 4、下列命题中正确的是( A )A 、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;B 、如果累次极限存在,则二重极限必存在;C 、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在;D 、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.A 、有界点列2}{R P n ⊂必存在收敛的子列;B 、二元函数),(y x f 在D 上关于x ,y 均连续,则),(y x f 在D 上连续;C 、函数),(y x f 在有界区域D 上连续,则),(y x f 在D 上有界;D 、函数),(y x f 定义在点集2R D ⊂上,D P ∈0,且0P 是D 的孤立点,则f 在0P 处连续.三、用ε-δ定义证明22200lim 0.x y x yx y →→=+ 证明 由于当(,)(0,0)x y ≠时2222||0||22x y x y x x x y xy -≤=≤+ 故0,,(,):0|0|,0|0|,x y x y εδεδδ∀>∃=∀<-<<-<有2220||x yx x y ε-≤<+故22200lim 0.x y x yx y →→=+ 四、求下列极限1、222200lim x y x y x y →→+解 当(,)(0,0)x y 时222222222x y y x x x y x y ,而200lim 0x y x →→=所以222200lim 0x y xy x y →→=+. 2、2200x y →→解 因为22222222222211111111x y x y x yx y xyx y所以222222000limlim11211x x y y x y x y xy.1、设xy e z =,则z x ∂=∂ ,z y∂=∂ . 解,xy xy z zye xe x y∂∂==∂∂ 2、设000000(,)0,(,)4,(,)5x y f x y f x y f x y ''===,则000(,)limx f x x y x ∆→+∆=∆ ,000(,)lim y f x y y y∆→+∆=∆ .解 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)4x x x f x x y f x x y f x y f x y x x∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)5y y y f x y y f x y y f x y f x y y y∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 3、设ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则(1,1)dz = .解 21111,()11z z x x x x x y x y y y y x y y y ⎛⎫∂∂=⋅==⋅-=- ⎪∂+∂+⎝⎭++ (1,1)(1,1)11,22z z x y ∂∂∴==-∂∂ (1,1)111()222dz dx dy dx dy ∴=-=- 4、设2sin()z x y =,则dz = .解2222cos(),cos()z zxy x y x x y x y∂∂==∂∂ ()22222cos()cos()cos()2dz xy x y dx x x y dy x x y ydx xdy ∴=+=+ 5、求曲面arctany z x 在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为 ,法线方程 .解 2222,x yy xz z x y x y 11(1,1),(1,1)22x y z z故曲面arctan y z x 在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为11(1)(1)422z x y π-=--+-,即202x y z π-+-=法线方程为11411122z x y π---==--,即202204x y x z π+-=⎧⎪⎨--+=⎪⎩1、设),(y x f 在点(,)a b 处偏导数存在,则lim(,)(,)x f a x b f a x b x→+--0=( C )A 、(,)x f a b 'B 、(2,)x f a b 'C 、2(,)x f a b 'D 、1(,)2x f a b '解 [][]xb a f b x a f b a f b x a f x b x a f b x a f x x ),(),(),(),(lim ),(),(lim00----+=--+→→ [][]000(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim (,)(,)2(,)x x x x x x f a x b f a b f a x b f a b xf a x b f a b f a x b f a b x x f a b f a b f a b →→→+----=+---=+-''=+'=2、设),(y x f 在点00(,)x y 处存在关于x 的偏导数,则00(,)(,)x y f x y x ∂=∂( A )A 、x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000 B 、xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000C 、x y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000D 、xy x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000解 0000000(,)(,)(,)(,)limx x y f x x y f x y f x y x x∆→+∆-∂=∂∆ 3、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000在点(0,0)处有( D )A 、连续且偏导数存在B 、连续但偏导数不存在C 、不连续且偏导数不存在D 、不连续但偏导数存在 解 当(,)x y 沿y x =趋于(0,0)时22200001lim (,)lim (,)lim 2x x x y x f x y f x x x x →→→→===+ 当(,)x y 沿0y =趋于(0,0)时00lim (,)lim (,0)lim 00x x x y f x y f x →→→→===故00lim (,)x y f x y →→不存在,于是函数),(y x f 在点(0,0)处不连续.000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00limlim 0,lim lim 0x x y x f x f f y f x x y y∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在原点存在偏导数且(0,0)0,(0,0)0x y f f ''==4、在点00(,)x y 处的某邻域内偏导数存在且连续是),(y x f 在该点可微的( B ) A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、无关条件解 P175定理25、下面命题正确的是( C )A 、若),(y x f 在00(,)x y 连续,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在;0000C 、若),(y x f 在00(,)x y 可微,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在; D 、若),(y x f 在00(,)x y 处的两个偏导数存在,则),(y x f 在00(,)x y 处可微.解 P172定理1 三、求解下列各题 1、求曲面xy z =上一点,使得曲面在该点的切平面平行于平面093=+++z y x ,并写出这切平面方程和法线方程.解 设所求的点为000(,,)x y z .由于,x y z y z x ''== 故000000(,),(,)x y z x y y z x y x ''==于是曲面xy z =在点000(,,)x y z 的切平面方程为 00000()()()0y x x x y y z z -+---=由已知切平面与平面093=+++z y x 平行,故001131y x -== 于是000003,1,3x y z x y =-=-==,故所求的点为(3,1,3)--.曲面在点(3,1,3)--的切平面方程为(3)3(1)(3)0x y z -+-+--=,即330x y z +++= 法线方程为313131x y z ++-==---,即1333y x z ++==- 2、讨论函数2222222,0(,)0,0x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.解2221(,)(0,0)02x y x y x x y ≠≤≤+当时，且001lim 02x y x →→=. 2220000lim (,)lim 0(0,0)x x y y x yf x y f x y →→→→∴===+(,)f x y ∴在点(0,0)的连续.0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00lim lim 0,lim lim 0x x y y f x f f y f x x y y ∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在点(0,0)存在偏导数且(0,0)(0,0)0x y f f ''==.[]()22223222(,)(0,0)(0,0)(0,0)x y x yf x y f f x f y z dzx yxyρ∆∆⎡⎤''∆∆--∆+∆∆-∆∆===∆+∆当(,)x y ∆∆沿y x ∆=∆趋于(0,0)时()23300222limlimlim x x y z dzx yxyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆+∆ 当(,)x y ∆∆沿0y ∆=趋于(0,0)时()3300222limlimlim0x x y z dzx yx xyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆∆+∆故极限()230222limx y x yxy∆→∆→∆∆∆+∆不存在,从而极限0limz dzρρ→∆-不存在,即(,)f x y 在点(0,0)不可微.1、2ln ,,32,u z x y x y u v v ===-求,.z zu v∂∂∂∂解 22ln 3z z x z y x y x u x u y u v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ 222ln 2z z x z y ux y x v x v y v v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--∂∂∂∂∂ 2、,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭求,,.u u ux y z ∂∂∂∂∂∂解 令,x y s t y z ==,则函数,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭由函数(,),,x yu f s t s t y z ===复合而成,记12,u u f f s t∂∂==∂∂,则11222211,,.u u s u u s u t x u u t y f f f f x s x y y s y t y y z z t z z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅==⋅+⋅=-+=⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 二、求下列函数在给定点沿给定方向的方向导数1、求22(,,)f x y z x xy z =-+在点0(1,0,1)P 沿(2,1,2)l =-的方向导数. 解 由于l 的方向余弦为212cos ,cos ,cos 333αβγ====-==()0000()22,()1,()22x y P z P P f P x y f P xf P z'''=-==-=-==所以()000212()cos ()cos ()cos 123333x y z f f P f P f P l αβγ∂⎛⎫++⋅+-⋅-+⋅= ⎪∂⎝⎭==2 2、求u xyz =在点(5,1,2)A 处沿到点(9,4,14)B 的方向AB 上的方向导数. 解 由于(4,3,12)AB =,故它的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ====()2,()10,()5x y Az A A f A yz f A zxf A xy '''======所以000431298()cos ()cos ()cos 10513131313x y z f f P f P f P l αβγ∂++⋅+⋅+⋅=∂==21、如果 ,则有0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 解 如果函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的某邻域G 内存在二个混合偏导数(,)xy f x y ''与(,)yx f x y '',并且它们在点00(,)P x y 连续,则0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 2、设24z x y =,则2zx y ∂=∂∂ .解 2432,8z z xy xy x x y∂∂==∂∂∂ 3、二元函数xy y x y x f ++=),(在点)2,1(的泰勒公式为 .解 222221,1,0,1,0,0(2)n m n m f f f f f fy x n m x y x x y y x y+∂∂∂∂∂∂=+=+====+>∂∂∂∂∂∂∂∂22()(1,2)3,(1,2)2,(1,2)0,(1,2)1,(1,2)0,(1,2)0(2)m nm n x y xy x y x y f f f f f f n m +''''''''∴======+> (,)f x y x y xy ∴=++在点)2,1(的泰勒公式为 (,)f x y x y xy =++1(1,2)(1,2)(1)(1,2)(2)1!x y f f x f y ''⎡⎤=+-+-⎣⎦ 22221(1,2)(1)2(1,2)(1)(2)(1,2)(2)2!xy x y f x f x y f y ⎡⎤''''''+-+--+-⎣⎦ 53(1)2(2)(1)(2)x y x y =+-+-+--4、函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点 处取得极大值,且极大值是 .解 令(,)420(,)420xy f x y x f x y y ⎧'=-=⎪⎨'=--=⎪⎩得稳定点(2,2)-.由于22(,)2,(,)0,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''=-==-222(2,2)20,(2,2)0,(2,2)2,40xy x y A f B f C f B AC ''''''=-=-<=-==-=-∆=-=-<故函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点(2,2)-取得极大值,且极大值是(2,2)8f -=.5、设),(),(00y x y x f z 在=存在偏导数,且在),(00y x 处取得极值,则必有 .解 0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩二、选择题1、二元函数3322339z x y x y x =+++-在点M 处取得极小值,则点M 的坐标是( A )A 、(1,0)B 、(1,2)C 、(-3,0)D 、(-3,2) 解 令22(,)3690(,)360xy f x y x x f x y y y ⎧'=+-=⎪⎨'=+=⎪⎩得稳定点(1,0),(3,0),(1,2),(3,2)----.由于22(,)66,(,)0,(,)66xy xyf x y x f x y f x y y ''''''=+==+在点(1,0),2120,0,6,720A B C B AC =>==∆=-=-<在点(3,0)-,212,0,6,720A B C B AC =-==∆=-=> 在点(1,2)-,212,0,6,720A B C B AC ===-∆=-=>在点(3,2)--,2120,0,6,720A B C B AC =-<==-∆=-=-<故函数339z x y x y x =+++-在点(1,2)-,(3,0)-不取得极值,在点(1,0)取得极小值, 在点(3,2)--取得极大值.2、二元函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 的极小值点是( C )A 、(-1,-1)B 、(0,0)C 、(1,1)D 、(2,2) 解 令(,)4220(,)220xy f x y x y f x y y x ⎧'=--=⎪⎨'=-=⎪⎩得稳定点(1,1).由于22(,)4,(,)2,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''==-=240,2,2,40A B C B AC =>=-=∆=-=-<故函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 在点(1,1)取得极小值. 3、关于二元函数下列论断①(,)f x y 在),(00y x 取得极值,则),(00y x 是(,)f x y 的稳定点;②),(00y x 是(,)f x y 的稳定点,则(,)f x y 在),(00y x 取得极值; ③(,)f x y 在),(00y x 不存在偏导数,则(,)f x y 在),(00y x 不会取得极值; ④)0,0(以xy z =为极小值点. 其中正确的个数是( A )A 、0B 、1C 、2D 、3解 ①错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)取得极小值,但点(0,0)不是稳定点.②错误:稳定点不一定是极值点,例如在第1题中,点(1,2)-是稳定点,但却不是极值点.③错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)的偏导数不存在,但点(0,0)是该函数的极小点.④错误: 令00xy z y z x ⎧'==⎪⎨'==⎪⎩得稳定点(0,0).由于22(,)0,(,)1,(,)0xy x y z x y z x y z x y ''''''=== 20,1,0,10A B C B AC ===∆=-=>故函数z xy =在点(0,0)不取得极值.4、如果点()00,x y 为(,)f x y 的极值点且()()0000,,,x y f x y f x y ''存在,则它是(,)f x y 的( B ) A 、最大值点 B 、稳定点 C 、连续点 D 、最小值点 解 P200定理35、下列命题中,正确的是( D )A 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点,则它一定是(,)f x y 极值点;B 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的极值点,则它一定是(,)f x y 稳定点;C 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆=,则它不是(,)f x y 极值点;D 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆>,则它不是(,)f x y 极值点. 解 P201定理4 三、求解下列各题 1、求函数333(0)z axyx y a的极值.解 令22330330x yz ay x z ax y得稳定点(0,0)和(,)a a . 226,3,6xy x y z x z a z y对于点(0,0),220,3,0,90A B a C B AC a 故点(0,0)不是极值点. 对于点(,)a a ,2260,3,6,270A a B a C a B AC a 故点(,)a a 是极大点,极大值为3(,)z a a a .2、在xy 平面上求一点,使它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和最小. 解 设(,)x y 为平面上任一点,则它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和为()222216(,)5x y S x y x y +-=++于是问题转化为求函数()222216(,)5x y S x y x y +-=++在2R 上的最小值.令22162054216205xyx y S x xy S y得(,)S x y 在2R 上的唯一稳定点816,55⎛⎫⎪⎝⎭.2212418,,555xy x y S S S 2124180,,,80555A B C B AC 故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭是极小点.根据问题实际意义,函数(,)S x y 在2R 上一定存在最小值,而(,)S x y 在2R 上只有唯一一个极小点,故(,)S x y 在点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最小值.即平面点816,55⎛⎫⎪⎝⎭到三直线0,0x y ==,2160x y +-=的距离平方和最小.1、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定隐函数()y f x =,则dxdy= . 解法一 令2(,)sin x F x y y e xy =+-,则2(,),(,)cos 2x x y F x y e y F x y y xy ''=-=-于是22(,)(,)cos 2cos 2x x x x dy F x y e y y e dx F x y y xy y xy'--=-=-='-- 解法二 方程两边对x 求导得2cos 20x dy dy y e y xy dx dx ⎛⎫⋅+-+⋅= ⎪⎝⎭2cos 2xdy y e dx y xy-=- 2、设方程0z e xyz -=确定隐函数(,)z f x y =,则z x ∂=∂ ,zy∂=∂ . 解法一 令(,,)z F x y z e xyz =-,则(,,),(,,),(,,)z x y z F x y z yz F x y z xz F x y z e xy '''=-=-=- 于是(,,)(,,)(,,)(,,)x z z y zz z F x y z yz x F x y z e xyF x y z z xz y F x y z e xy'∂=-='∂-'∂=-='∂-解法二 方程两边分别对,x y 求偏导得00z z z z e y z x x x z z e x z y yy ∂∂⎧⎛⎫⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂⎪⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩于是,z z z yz z xzx e xy y e xy∂∂==∂-∂-.3、设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r φθφθφ===,则(,,)(,,)x y z r θφ∂∂= .解2(,,)sin (,,)x y z r r φθφ∂=∂4、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==与(,),(,)x x s t y y s t ==均有连续的偏导数,且(,)(,)14,(,)(,)2u v x y x y s t ∂∂==∂∂,则(,)(,)u v s t ∂=∂ .解(,)(,)(,)142(,)(,)(,)2u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅=⨯=∂∂∂ 5、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数且(,)2(,)u v x y ∂=∂,则(,)(,)x y u v ∂=∂ .解(,)(,)2(,)x y u v u v ==∂∂∂ 二、选择题1、下列命题正确的是( D )A 、任何方程都可以确定一个隐函数；B 、任何方程所确定的隐函数是唯一的；C 、任何方程所确定的隐函数一定是初等函数；D 、如果一个方程在某点满足隐函数存在定理的条件,则它确定的隐函数是唯一的. 2、方程0sin 2=++xy y x 在原点(0,0)的某邻域内必可确定的隐函数形式为( A )A 、)(x f y =B 、)(y g x =C 、两种形式均可D 、无法确定 3、隐函数存在定理中的条件是隐函数存在的( A )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件4、方程组22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所确定的隐函数组()()x f z y g z =⎧⎨=⎩的导数为 ( B ) A 、,dx y z dy z xdz y x dz x y --=--＝ B 、,dx y z dy z x dz x y dz x y --==-- C 、,dx y z dy x z dz x y dz x y--==-- D 、,dx y z dy x z dz y x dz x y--==-- 解 方程两边分别对z 求导得102220dx dydz dzdx dy x y z dz dz ⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅+=⎪⎩解方程得,dx y z dy z x dz x y dz x y--==--. 三、证明方程ln 1(0,1,1)xz xy z y e ++=在点的某领域内能确定隐函数(,),x x y z =并求,x x y z∂∂∂∂. 解 令(,,)ln 1,xz F x y z xy z y e =++-则(1) (,,),F x y z (,,),xz x F x y z y ze '=+(,,),y zF x y z x y'=+(,,)ln xz z F x y z y xe '=+都在(0,1,1)的某邻域内连续;(2) (0,1,1)0F =; (3) (0,1,1)20x F '=≠.故方程可确定隐函数(,)x f y z =.2(,,)(,,)y xz xzx z x F x y z x xy z yy y ze y yze F x y z +'∂+=-=-=-∂++' (,,)ln (,,)xzz xzx x F x y z y xe z y ze F x y z '∂+=-=-∂+'四、设方程组⎩⎨⎧=--=--0022xu v y yv u x 确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==,求,u vx x ∂∂∂∂. 解 方程组关于x 求偏导得12020u vu y x xv u v u x x x解此方程组得24u v uy x uv xy ,224v u xx xy uv1、二元函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的存在 (极小值/极大值),其极大(小)值为 .解 由2(1)f xy x x x x ==-=-,令120f x '=-=得稳定点12x =;又由于20f ''=-<,故函数在12x =取得极大值111,224f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2、平面曲线09)(233=-+xy y x 在点(2,1)处的切线方程为 ,法线方程为 . 解 令33(,)2()9F x y x y xy =+-,则22(,)69,(,)69x y F x y x y F x y y x ''=-=-22(,)69(,)69x y dy F x y x y dx F x y y x'-=-=-'- (2,1)54dy k dx ==- 故所求的切线方程为51(2)4y x -=--,即54140x y +-=.法线方程为41(2)5y x -=-,即4530x y --=.3、空间曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线方程为 ,法平面方程为 .解 由于21,2,3x y t z t '''===,则(1)1,(1)2,(1)3x y z '''===,故所求的切线方程为111123x y z ---== 法平面方程为(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.4、空间曲面236222x y z ++=在点()1,1,1P 处的切平面方程为 , 法线方程为 . 解 由于222(,,)236F x y z x y z =++-,则(,,)4,(,,)6,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''=== (1,1,1)4,(1,1,1)6,(1,1,1)2x y z F F F '''===故所求的切平面方程为4(1)6(1)2(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-= 法线方程为111462x y z ---==,即11123x y z --==-. 5、曲面2132222=++z y x 在点 的切平面与平面460x y z ++=平行. 解 设所求的点为000(,,)x y z ,由于222(,,)2321F x y z x y z =++-,则(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===000000000000(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===0002220002461462321x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩ 解方程得000122x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或000122x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,故所求的点为(1,2,2),(1,2,2)---.二、选择题1、在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中与平面24x y z ++=平行的切线( B )A 、只有一条B 、只有二条C 、至少有三条D 、不存在 解 设曲线在0t t =处的切线与平面24x y z ++=平行,由于21,2,3x y t z t '''==-= 则200000()1,()2,()3x t y t t z t t '''==-= 由已知可得2001430t t -+=于是013t =或01t =,故曲线上有两点的切线与平面24x y z ++=平行的点.2、曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线平行于( C )A 、xoy 平面B 、yoz 平面C 、zox 平面D 、平面0x y z ++= 解 令22212(,,)6,(,,)F x y z x y z F x y z x y z =++-=++,则11122211122211122222(,)2(),11(,)22(,)2()11(,)22(,)2()11(,)F F x y x y F F x y F F x y x yF F y z y z F F y z F F y z yzF F z x F F z xz x F F z x z x∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂ 121212(,)(,)(,)6,6,0(,)(,)(,)M M MF F F F F F x y y z z x ∂∂∂==-=∂∂∂故曲线在点(1,2,1)M -处的切线为121606x y z -+-==-,即202x z y +-=⎧⎨=-⎩ 该直线平行于xoz 平面.1、求表面积一定而体积最大的长方体.解 设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ,表面积为20,a a则问题转换为求函数,,,f x y z xyz 在条件22xy yz xza 下的最大值.设()2,,,[2()]L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-,令()()()()220202020x y zL yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩ 解得.6ax y z根据问题实际意义,体积最大的长方体一定存在,且稳定点只有一个,故表面积一定的长方体中正方体的体积最大.2、求曲线2222222393x y z z x y在点(1,1,2)的切线与法平面方程. 解 设222222(,,)239,(,,)3F x y z x y z G x y z z x y ,在点(1,1,2)处有4,6,4x y z F F F ,6,2,4x y z G G G (,)(,)(,)32,40,28(,)(,)(,)F G F G F G y z z x x y所以切线的法向量为(8,10,7),切线方程为1128107x y z法平面方程为8(1)10(1)7(2)0x y z 或8107120x y z .1、=++⎰+∞0284x x dx.解 ()222000(2)1212lim lim arctan lim arctan 4822224822AA A A A dx d x x A x x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞+++⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭++⎰⎰ 2、20x xe dx +∞-=⎰= .解()()2222200111limlim lim 1222AA x x x A A A A xedx xedx e d x e +∞----→+∞→+∞→+∞==--=--=⎰⎰⎰3、无穷积分dxx p 1+∞⎰在 时收敛,在 时发散. 解 无穷积分dxxp 1+∞⎰在1p >时收敛,在1p ≤时发散(课本p263例3). 4、无穷积分1(,0)1mnxdx m n x ∞≥+⎰在 时收敛,在 时发散. 解 由于lim lim 111m n n mn nx x x x x x x -→+∞→+∞⋅==++,故无穷积分⎰∞≥+0)0,(1n m dx x x n m在1n m ->时收敛,在1n m -≤时发散.5、无穷积分1sin p xdx x +∞⎰在 时绝对收敛,在 时条件收敛. 解 无穷积分1sin pxdx x +∞⎰在1p >时绝对收敛,在1p ≤时条件收敛. 二、选择题1、f x dx ()-∞+∞⎰收敛是f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛的( B )A 、无关条件B 、充要条件C 、充分条件D 、必要条件解 如果f x dx ()-∞+∞⎰收敛,则f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛,反之也成立. 2、设()0f x >且⎰+∞)(dx x f 收敛,则e f x dx x -+∞⎰()0( C )A 、可能收敛B 、可能发散C 、一定收敛D 、一定发散解 当0x ≥时,()()xe f x f x -≤,而⎰+∞0)(dx x f 收敛,由比较判别法知e f x dx x -+∞⎰()0收敛.3、设)(x f 在[,)a +∞连续且c a <,则下列结论中错误的是( D )A 、如果 )(dx x f a ⎰+∞收敛,则 )(dx x f c ⎰+∞必收敛.B 、如果 )(dx x f a⎰+∞发散,则 )(dx x f c⎰+∞必发散.C 、 )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.D 、 )(dx x f a⎰+∞收敛, )(dx x f c⎰+∞不一定收敛.解 ,A a ∀>由于)(x f 在[,)a +∞连续,故()x e f x -在[,],[,]a A a c 上连续从而在[,],[,]a A a c 上可积.又由于()()()Ac Ax x x aace f x dx e f x dx e f x dx ---=+⎰⎰⎰故lim ()()lim()x x x aacA A e f x dx e f x dx e f x dx ---→+∞→+∞=+⎰⎰⎰即 )(dx x f a⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.4、设在[,)a +∞上恒有()()0f x g x ≥>,则( A ) A 、⎰+∞a dx x f )(收敛,⎰+∞a dx x g )(也收敛B 、()af x dx +∞⎰发散,()ag x dx +∞⎰也发散C 、⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散D 、无法判断解 由于0()()g x f x <≤,由比较判别法知当⎰+∞adx x f )(收敛时,⎰+∞adx x g )(也收敛(P270定理7).5、⎰∞+adx x f )(收敛是⎰∞+adx x f )(收敛的( B )A 、充分必要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、既不是充分也不是必要条件解 由于无穷积分性质知,果⎰∞+adx x f )(收敛,则⎰∞+adx x f )(也收敛(P267推论2).但逆命题不成立.例如无穷积分sin a xdx x +∞⎰收敛,但无穷积分sin a x dx x+∞⎰发散(P275,例11).三、讨论下列无穷限积分的敛散性(1)+∞⎰(2) 0+∞⎰ (3) 31arctan 1x x dx x+∞+⎰ (4) 11x xdx e +∞-⎰ 解 (1) 由于434lim 1,1,13x x d λ→+∞==>=故无穷积分+∞⎰收敛.(2) 由于121lim 1,,1,12x x d λ→+∞==<= 故无穷积分+∞⎰.(3) 由于23arctan lim ,21,122x x x x d x ππλ→+∞⋅==>=+ 故无穷积分31arctan 1x xdx x +∞+⎰收敛. (4) 由于2lim 0,21,01x x xx d e λ→+∞⋅==>=- 故无穷积分11x x dx e +∞-⎰收敛,从而无穷积分11x xdx e +∞-⎰也收敛. 四、讨论下列广义积分的绝对收敛性和条件收敛性201dx x +0100x + 解 (1) 由于()22sgn sin 111x x x≤++,而2011dx x +∞+⎰收敛,故()20sgn sin 1x dx x +∞+⎰绝对收敛.(2) 令(),()cos 100f x g x x x ==+,由于()f x '= 故当100x >时,()0f x '<.于是()f x 在[100,)+∞上单调递减且lim ()lim0x x f x →+∞→+∞==又由于0()()cos sin A A F A g x dx xdx A ===⎰⎰,()1F A ≤,故由狄里克雷判别法知无穷积分⎰收敛.另一方面)1cos 212(100)2x x +=≥==+⎣⎦可证0⎰发散,而0⎰收敛,故0dx ⎰发散,原积分条件收敛. 五、证明题若无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,则无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.证明 由于函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,故0,[,)M x a ∃>∀∈+∞有()f x M ≤ 从而()()()f x x M f x ϕ≤ 由于无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,故()af x dx +∞⎰收敛.由比较判别法知,无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.1、1=⎰.解 由于1lim x →=∞,故1x =为瑕点,由瑕积分定义知()11120000001lim lim 1lim 2x εεεεεε---→+→+→==--=-⎰⎰⎰0lim 11ε→+⎤=-=⎦2、10ln xdx =⎰= .解 由于0lim ln x x →+=-∞,故0x =为瑕点,由瑕积分定义知1111110000ln lim ln lim ln ln lim ln xdx xdx x x xd x x x dx εεεεεεεε→+→+→+⎡⎤⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ []0lim ln (1)1εεεε→+=---=-3、 是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 解0lim 1,lim sin sin x x x x x xπ→+→-==∞ x π∴=是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 4、瑕积分10(0)q dxq x >⎰在 时收敛,在 时发散.解 瑕积分dxx q 01⎰在01q <<时收敛,在1q ≥时发散(P280例3).5、瑕积分201cos (0)m xdx m xπ->⎰在 时收敛,在 时发散. 解0x =是积分201cos (0)mxdx m x π->⎰的瑕点且 22001cos 1cos 1lim lim 2m m x x x x x x x -→+→+--⋅== ∴瑕积分201cos (0)mxdx m x π->⎰在03m <<时收敛,在3m ≥时发散.二、选择题1、瑕积分⎰-112xdx( D ) A 、收敛且其值为-2 B 、收敛且其值为2C 、收敛且其值为0D 、发散解 11122211001111lim lim 21dx dx dx x x x x x εεεεεεε----→+→+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=--=-=∞⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2、下列积分中不是瑕积分的是( B )A 、⎰e xx dx 1lnB 、⎰--12xdxC 、⎰-11x edx D 、⎰2cos πxdx解 ⎰e x x 1ln ,⎰-101x e ,⎰20cos x是瑕积分. 3、下列瑕积分中,发散的是(C )A 、0⎰B 、11211--⎰x dxC 、2211ln dx x x⎰D 、1⎰解 对于积分10sin dxx⎰,0x =为瑕点,由于 0lim 1sin xx →= 故瑕积分10sin dx x⎰收敛.对于积分11211--⎰xdx ,1x =±为瑕点且12111211lim(1)lim lim (1)limx x x x x x →-→→-+→--==+==故瑕积分010,-⎰⎰均收敛,故原积分收敛;对于积分2211ln dx x x⎰,1x =为瑕点且22222111111(1)2(1)2lim(1)lim lim lim lim 12ln 2ln ln ln 2ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+→-→-→-→----⋅=====+++故该积分发散;对于积分10⎰,0x =为瑕点且 121lim(0)1x x →--= 故该积分收敛.4、若瑕积分⎰badx x f )(收敛(a 为瑕点),则下列结论中成立的是( B )A 、()baf x dx ⎰收敛B 、⎰badx x f )(收敛C 、⎰badx x f )(2收敛D 、⎰badx x f )(2发散解 若瑕积分⎰badx x f )(收敛,则()b af x dx ⎰不一定收敛,例如1011sin dx x x⎰收敛,但111sin dx x x⎰发散(P287例10). 若瑕积分⎰b adx x f )(收敛,则⎰badx x f )(2可能收敛也可能发散,例如取()f x =,则瑕积分⎰b a dx x f )(收敛,⎰b a dxx f )(2发散;取()f x =,则瑕积分⎰b a dxx f )(收敛,⎰a dx x f )(2也收敛.5、当 ( A )时,广义积分10(0)1px dx p x <+⎰收敛. A 、 10p -<< B 、1-≤p C 、0<pD 、1-<p解 当0p <时,⎰+101dx x x p为瑕积分,0x =为瑕点且 001lim lim 111p px x x x x x -→+→+⋅==++ 故当1p -<时,即当10p -<<时,广义积分⎰+101dx x xp 收敛. 三、讨论下列假积分的敛散性(1) 302sin x dx x π⎰ (2) 1⎰ (3) 10ln 1x dx x -⎰ (4)130arctan 1xdx x -⎰解 (1)0x =为瑕点且123002sin sin lim (0)lim 1x x x xx xx →+→+-⋅==故该积分收敛.(2)0,1x =为瑕点,10.5100=+⎰⎰⎰,由于1200111lim (0)lim 0ln lim(1lim 1x x x x x x x →+→+→-→-==-==-于是积分0.50⎰收敛,而1⎰发散,故原积分发散.(3)由于01ln ln lim,lim 111x x x xx x→+→-=∞=---,故0x =为瑕点.又由于 1200ln lim(0)lim 01x x x x x →+→+-⋅==- 故积分10ln 1xdx x-⎰收敛. (4)1x =为瑕点.由于3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π→-→--⋅==-++ 故积分130arctan 1xdx x -⎰发散.1、⎰→100sin lim dy x xyx = . 解 11100000sin sin 1lim lim 2x x xy xy dy dy ydy x x →→===⎰⎰⎰ 2、=-⎰dx x xx a b 10ln .)0(>>a b 解 11100011lnln 11b a b b b y y a a a x x b dx dx x dy dy x dx dy x y a -+====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、Γ函数与B 函数的关系为 .解 ()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+4、12⎛⎫Γ ⎪⎝⎭= ,()1n Γ+=.解 12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭()1!n n Γ+=5、13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解 由于()131313134444,134414444B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪Γ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭,又由余元公式有1344sin 4ππ⎛⎫⎛⎫ΓΓ== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.二、选择题1、21ln()d xy dy dx ⎰=( )A 、0B 、x1C 、xD 、不存在解 []22221111111ln()ln()d d xy dy xy dy dy dy dx dx x x x ====⎰⎰⎰⎰ 2、⎰+∞-→022lim dy e y x x =( B )A 、2B 、41C 、21 D 、 4解 2[1,3],x yyx ee --∀∈≤,而无穷积分0y e dy +∞-⎰收敛,故含参变量无穷积分20x y edy +∞-⎰在{}(,)13,0R x y x y =≤≤≤<+∞上一致收敛.又由二元初等函数的连续性知2x y e -在R 上连续,故2240221lim lim 4x yx yy x x edy edy e dy +∞+∞+∞---→→===⎰⎰⎰3、2x edx +∞-=⎰( )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解 2x e dx +∞-=⎰(课本P316例13)4、22x x e dx +∞--∞=⎰( C )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解 由于被积分函数为偶函数,故222202x x x e dx x e dx +∞+∞---∞=⎰⎰,对积分220x x e dx +∞-⎰,令x=则2112220000111311222242x tt tx e dx te dt t e dt t e dt +∞+∞+∞+∞----⎛⎫⎛⎫=⋅===Γ=Γ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰22x x e dx +∞--∞=⎰5、1122(1)n x dx --⎰=( C )A 、12n +⎛⎫Γ ⎪⎝⎭B 、11,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭C 、111,222n B +⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、112,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭解令x =则1111111222220001111(1)(1)(1),2222n n n n x dx t t t dt B ----+⎛⎫-=-=-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰三、证明下列含参量无穷积分在所指定的区间上一致收敛.(1) 0sin ,(0)tx e xdx a t a +∞-≤<+∞>⎰ (2) 230cos ,110t tx dx t x t +∞≤≤+⎰ 证明 (1) 由于sin ,tx ax e x e a t --≤≤<+∞而无穷积分0ax e dx +∞-⎰收敛,故含参变量积分0sin tx e xdx +∞-⎰在[,)a +∞上一致收敛.(2) 由于232cos 10,1101t tx t x t x ≤≤≤++而无穷积分2011dx x +∞+⎰收敛,故含参变量积分230cos t tx dx x t +∞+⎰在[1,10]上一致收敛. 四、用Γ函数和B 函数求下列积分.(1)⎰ (2)642sin cos x xdx π⎰解 (1)()()111220331113322422(1),22338x x dx B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-==== ⎪ΓΓ⎝⎭⎰⎰(2) ()64207553113111753222222222sin cos ,22265!512x xdx B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓ⋅⋅⋅Γ⋅⋅⋅Γ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎪Γ⎝⎭⎰1、2sin y xdy dx x ππππ-=⎰⎰.解 2000sin sin sin cos 2x y x x dy dx dx dy xdx x x xπππππππππ+-===-=⎰⎰⎰⎰⎰. 2、Ddxdy =⎰⎰ , 其中D 为椭圆19422=+y x 所围区域. 解Ddxdy ⎰⎰表示区域D 的面积,故6Ddxdy π=⎰⎰.3、()22Df x y dxdy '+=⎰⎰ , 其中D 为圆222x y R +=所围区域.解 作极坐标变换,则()()()()22222220012RR Df x y dxdy d f r rdr d f r d r ππθθ'''+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()2221020f R f d f R f πθπ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎰4、将二重积分化为累次积分：221x y fdxdy +≤⎰⎰=.解 作极坐标变换,则()22211x y fdxdy d f r rdr πθ+≤=⎰⎰⎰⎰5、改变累次积分的顺序: ⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y x y dx y x f dy dx y x f dy = .解2422202122(,)(,)(,)y x y y xdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、选择题1、函数(,)f x y 在有界闭域D 上连续是二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰存在的( B )A 、充要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、无关条件解 连续一定可积,但可积不一定连续.2、设(,)f x y 是有界闭域222:a y x D ≤+上的连续函数,则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰=( B )A 、不存在B 、(0,0)fC 、(1,1)fD 、(1,0)f解 由积分中值定理知,(,)D ξη∃∈,使2(,)(,)(,)D Df x y dxdy f S a f ξηπξη=⋅=⎰⎰故 22200011lim(,)lim(,)lim (,)(0,0)a a a Df x y dxdy a f f f a a πξηξηππ→→→=⋅==⎰⎰.3、若(,)f x y 在区域{}41),(22≤+≤=y x y x D 上恒等于1,则二重积分f x y dxdy D(,)⎰⎰=( D )A 、0B 、πC 、2πD 、3π解22(,)213DDDf x y dxdy dxdy Sπππ===⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰.4、设⎰⎰+=D dxdy y x I 22sin ,{}22224),(ππ≤+≤=y x y x D },则I =( B )A 、26πB 、26π-C 、0D 、6π-解 作极坐标变换,则2220sin 6DI d r rdr πππθπ===-⎰⎰⎰⎰5、设D 由曲线1,2,,4xy xy y x y x ====所围成,作坐标变换,yu xy v x==,则二重积分22Dx y dxdy ⎰⎰可化为( B )A 、24211du u dv⎰⎰B 、2241112u du dv v ⎰⎰ C 、42211du u dv ⎰⎰ D 、2421112u du dv v⎰⎰ 解 由于 2(,)1111(,)2(,)2(,)1x y u v y y xu v v x y xy x x∂====∂∂∂- 且坐标变换后积分区域为{}(,)12,14D u v u v '=≤≤≤≤,于是224221112Du x y dxdy du dv v =⎰⎰⎰⎰. 三、求解下列各题1、求2y De dxdy -⎰⎰,其中D 由直线1,y y x ==及x 轴围成.解 选择先对y 后对x 的积分次序,由于 {}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤ 故()2222111110000011122yy y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e e ----===-=-⎰⎰⎰⎰⎰2、求由曲面22222,2z x y z x y =+=+所围立体V 的体积. 解 V 在xy 平面上的投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤于是空间立体V 的体积为()2212DDV x y dxdy =-+⎰⎰作极坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩,则222223000011644233V d r dr d r dr ππππθθπ=-=-=⎰⎰⎰⎰3、求由曲线,,,(0,0)x y a x y b y x y x a b 所围的平面图形面积.解 作坐标变换u x yyv x =+⎧⎪⎨=⎪⎩,则。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案Part-I
a1 = b1 = 1 > 0, an + bn 2 = (an −1 + bn −1 2) 2 . Find the limit lim
n →∞
an . b pn . n →∞ q n
28. Assume p1 > 0, q1 > 0, pn +1 = pn + 3qn , qn +1 = pn + qn . Find the limit lim 29. Assume x1 = a, x2 = b, xn +1 =
41. Prove that (1) (2)
f ( x) = 3 x is uniformly continuous on [0, +∞) ; g ( x) = e x cos 1 is not uniformly continuous on [0,1] . x
42. Suppose that f
is defined on [ a, +∞) . And | f ( x ) − f ( y ) |≤ k | x − y | (k > 0) holds
an =a; n →∞ n
an 1 1 ∈ [a − , a + ] (n = 1, 2L) . n n n
f ∈ C (−∞, +∞) and that | f ( x) − f ( y ) |≤ k | x − y | (0 < k < 1) holds for any
x, y ∈ (−∞, +∞) . Prove that f has the unique fixed point on (−∞, +∞) .
34. Let f ∈ C[ a, b] . And for arbitrary x ∈ [ a, b] , there exists y ∈ [ a, b] such that
《数学分析》（华师大版）课本上习题
《数学分析》（华师大版）课本上习题第二十二章曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分：（1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中?+为顶点的三角形；（2）+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）?L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段；（6）?Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段；（7）+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线??≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分：（１）++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ；（２）+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面；（３），??+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；（４）SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（１）?+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）?Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L=?),(),(00，其中L ?为L 的长．8. 计算dS z S2，其中S 为圆锥表面的一部分：≤≤≤≤??===,20,0:;cos sin sin sin cos :π?θθ?θa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（１）-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）?+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段；（３）++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）?+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（５）++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。
《数学分析》华东师大出版社第三学期期末复习试题3-5
《数学分析》华东师大出版社第三学期期末复习试题3-5一、选择题（每小题3分，共15分）1．设函数某3yf(某,y)某6y20(某,y)(0,0)(某,y)(0,0)，则它在点(0,0)处是（）(A)连续的；(B)(C)二重极限不存在；(D)(某,y)(0,0)limf(某,y)f(0,0)f(某,y)存在，但f(0,0)不存在zy(某,y)(0,0)lim2．zf(某,y)在点(某0,y0)处的偏导数z某及存在且连续是f(某,y)在该点可微的（）(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)以上都不是3．设u2某yz2，则u在点(2,-1,1)处的方向导数的最大值为（）(A)26(B)4(C)(-2,-4,-2)(D)64．设z某33某y2，则它在点(1,0)（）(A)取得极大值；(B)不取得极值；(C)取得极小值；(D)不能确定是否取得极值5．设有空间区域V1{(某,y,z)|某2y2z2R2,z0}，V2{(某,y,z)|某yz222R,某0,y0,z0}，则有2(A)(C)V1某dv4某dvV2(B)(D)V1ydv4ydvV2V1zdv4zdvV2V1某yzdv4某yzdvV2二、填空（每空2分，共20分）1．设E{某|某22}，则upE；infE；E的聚点是2．若fy(a,a)a0，则limf(某,a)f(a,a)某a某a3．设V是锥面z某y22与平面z1围成的区域，在直角坐标系下将下列积分化为三次积分Vf(某,y,z)d某dydz4．设V是锥面z某y22与平面z1围成的区域，将下列积分化为柱面坐标变换的三次积分Vf(某,y,z)d某dydz225．设V是锥面z换的三次积分某y与平面z1围成的区域，将下列积分化为球坐标变Vf(某,y,z)d某dydz6．S为球面某2y2z21，外侧为正侧，则d某dy；S7．设S为球面某2y2z21，则(某2y2z2)dS；S8．第二类曲面积分PdydzQdzd某Rd某dy化成第一类曲面积分是S其中,,为有向曲面S在点(某,y,z)处的方向角.三、求偏导数或全微分（共15分）1．（5分）求函数zf(某)g(y)f(某)0的全微分。
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第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(00='=x f x f ，试求极限 xx x f x ∆+∆→∆)(lim00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f 在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p xy ==7、求下列函数的导函数：⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f x x f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数）， 试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导；（3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何R x x ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
13、证明：若)(0x f '存在，则 )(2)()(lim0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆14、证明：若函数f 在[a,b]上连续，而且f(a)=f(b)=K ，0)()(>''-+b f a f ，则在(a,b)内至少有一点ξ，使K f =)(ξ。
15、设有一吊桥，其铁链成抛物线型，而且端系于相距100米高度相同的支柱上，铁链之最低在悬点下10米处，求铁链与支柱所成的角。
16、在曲线3x y =上取一点P ，过点P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍。
§5.2 求导法则1、求下列函数在指定点的导数：（1）设523)(34++=x x x f ，求),1(),0(f f '' （2）设xx x f cos )(=，求),(),0(πf f ''（3）设x x f +=1)(，求 ),4(),1(),0(f f f '''2、求下列函数的导数： xx xy x x y xx y xxy xxy x x x y x e y x xy xx xm mx y nx x y xx x y x y xn cos si n 1)12(;arctan )1()11(;l n 1l n 1)10(;cos 1)9(;tan )8();1)(13)(1()7(;cos )6(;l og)5(;22)4(;)3(;11)2(;23)1(23233222++=+=-+=-==--+===+++=+=++-=+=3、求下列函数的导函数：;si n si n arcsi n1)26(;)()()()25(;)si n si n(si n )24());n si n(si n(si )23(;)22(;2si n )21(;)20(;)19(;2)18(;)17();arcsi n(si n)16(;11cot )15(;)(arctan )14(;1arcsi n )13(;)(si n )12(;1si n)11(;4cos)10(;)cos (si n )9(;1111l n)8();1l n()7();1l g()6();l n(si n )5();l n(l n)4(;)11()3(;)1()2(;1)1(2221sinsin122332233223232221xb a b x a bay a x a x a x y xx xy x y x x x y x ey xy x y y e y x y xx arc y x y xy xy xy x y x x y xx x x y xx y x xy x y x y xxy xy x x y nxa n a a xxxxx ++-=---===++=======-+====+==+=-++--+=++=++===-+=-=-=-+4、对下列各函数计算),1(),1(),(-'+''x f x f x f 3;33)1()3(;)1()2(;)()1(xx f xx f xx f =-=+=5、已知g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数f 的导数：))(()()4());(()()3());(()()2());(()()1(x xg g x f a xg g x f a g x g x f a g x g x f ==+=+=6、设f 为可导函数，证明：若x=1时有)()(22x f dxd x f dxd =。
则必有0)1(='f 或f （1）=1。
7、定义双曲函数如下： 双曲正弦函数shx=2xx ee --；双曲余弦函数chx=2xx ee -+；双曲正切函数thx=chxshx ；双曲余切函数cothx=shxchx 。
证明：（1）)('shx =chx ； （2）shx chx =')(； （3）xch thx 21)(='； （4）xsh x 21)(coth -='。
8、求下列函数的导数：（1）y=x sh 3； （2）y=ch （shx ）； （3）y=ln （chx ）； （4）y=arctan （thx ）。
9、以x sh 1-，x ch 1-，x th 1-，x 1coth -分别表示各双曲函数的反函数。
试求下列函数的导数：（1）y=x sh 1-； （2）y=x ch 1-； （3）y=x th 1-； （4）y=x 1coth -；（5）y=x th 1--x 1coth-； （6）y=)(tan 1x sh-。
§5.3 参变量函数的导数1、求下列由参变量方程所确定的导数dxdy ：（1）⎩⎨⎧==t y t x 44sin ,cos 在t=0，2π处； （2）⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=t t y t t x 11,1在t>0处。
2、设⎩⎨⎧-=-=).cos 1(),sin (t a y t t a x 求2|π=t dxdy ，π=t dxdy |。
3、设双曲方程x = 1 - 2t ，y = t - 2t ，求它在下列点处的切线方程与法线方程：（1）t=1； （2）t=22。
4、证明曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x上任一点的法线到原点距离等于a 。
5、证明：圆r=)0(sin 2>a a θ上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。
6、求心形线r=)cos 1(θ+a 的切线与切点向径之间的夹角。
§5.4 高阶导数1、求下列函数在指定点的高阶导数：（1）f （x ）=954323--+x x x ，求)1(),1(),1()4(f f f '''''；（2）f （x ）=21xx +，求).1(),1(),0(-''''''f f f 。
2、设函数f 在点x=1处二阶可导，证明：若0)1(,0)1(=''='f f ，则在x=1处有)()(2222x f dxd x f dxd =。
3、求下列函数的高阶导数：（1）f （x ）=xlnx ，求)(x f ''； （2）f （x ）=2xe -，求)(xf '''；（3）f （x ）=ln （1+x ），求)()5(x f； （4）f （x ）=x e x 3，求)()10(x f。
4、设f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数；（1）y=f （lnx ）； （2）y=+∈N n x f n ),(； （3）y=f （f （x ））。
5、求下列函数的n 阶导数：（1）y=lnx ； （2）y=)1,0(≠>a a a x ；（3）y=)1(1x x -； （4）y=xx ln ；（5）f （x ）=xxn-1； （6）y=b a bx eax,(sin 均为实数）。
6、求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数22dxy d ：（1）⎩⎨⎧==;sin ,cos 33t a y t a x （2）⎩⎨⎧==.sin ,cos t e y t e x tt 7、研究函数f （x ）=||3x 在x=0处的各阶导数。
8、设函数y=f （x ）在点x 二阶可导，且0)(≠'x f 。
若f （x ）存在反函数x=)(1y f -，试用)(),(x f x f '''以及)(x f '''表示)()(1y f'''-。
9、设y=arctanx 。
（1）证明它满足方程02)1(2='+''+y x y x ； （2）求0)(|=x n y 。
10、设y=arcsinx（1）证明它满足方程)0(0)12()1()(2)1()2(2≥=-+--++n y n y n y x n n n ； （2）求0)(|=x n y 。
11、证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,0,)(21x x e x f x在x=0处n 阶可导且0)0()(=n f，其中n 为任意正整数。
§5.5 微分1、若x=1，而Δx=0.1，0.01。
问对于y=2x ，Δy 与dy 之差分别是多少？2、求下列函数微分： （1）y =432312x x x x +-+； （2）y = xlnx – x ；（3）y =x x 2cos 2； （4）y =21xx -； （5）y =bx e ax sin ； （6）y =21arcsin x -。