2014考研数学一真题及答案解析
2014年考研数一真题及答案解析
2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x x yln（12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】（16）【答案】x y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，所以21-=)(y 为极小值。
（17）【答案】令u y cos e x =，则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214-+=-由,)(f ,)(f 0000='=得（18）【答案】 补{}∑=11z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，（19）【答案】（1）证}a {n 单调 由20π<<n a ，根据单调有界必有极限定理，得n n a lim ∞→存在， 设a a lim n n =∞→，由∑∞=1n n b 收敛，得0=∞→n n b lim ， 故由n n n b cos a a cos =-，两边取极限（令∞→n ），得10==-cos a a cos 。
解得0=a ，故0=∞→n n a lim 。
（20）【答案】①()1,2,3,1T - ②123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫ ⎪--+ ⎪= ⎪--+ ⎪⎝⎭()123,,k k k R ∈ （21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
2014年考研数学(一)真题与解析(完整版)
1
1
应该选（D）
４． 若函数
( x a1 cos x b1 sin x ) 2 dx min ( x a cos x b sin x ) 2 dx ，则 a1 cos x b1 sin x
a ,bR
（Ａ） 2 sin x 【详解】注意
1 y 1 ，可知 lim 1 且 lim ( y x ) lim sin 0 ，所以有斜渐近线 y x x x x x x x
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )
（Ｂ） 2 cos x
（Ｃ） 2 sin x
（Ｄ） 2 cos x
x
2
2 dx 3 ， cos 2 xdx sin 2 xdx ， x cos xdx cos x sin xdx 0 ， 3 2
x sin xdx 2 ，
如果换成直角坐标则应该是
0
1
dx
1 x 2
0
f ( x , y )dy dx
0
1
1 x
0
（ A） ， （B） f ( x , y )dy ，
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为
2 0
d cos sin f ( r cos , r sin )rdr d cos sin f ( r cos , r sin )rdr ．
2 2
其中 :
2014年考研数学一真题及答案解析
(B)充分非必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
1 0 【解析】由 (α 1 + kα 3, α 2 + lα 3) = (α 1, α 2, α 3) 0 1 知， k l
当 α 1, α 2, α 3 线性无关时，因为
1 0 ≠0 0 1
所以 α 1 + kα 3, α 2 + lα 3 线性无关 反之不成立 如当 α 3 = 0 ,
}
， 则
a1 cos x + b1 sin x =
（A） 2π sin x . 【解析】 解析】令 Z ( a, b) = (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .
∫
π
−π
( x − a cos x − b sin x) 2 dx
π Za ′ = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− cos x)dx = 0 π ′ Zb = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− sin x)dx = 0
针方向，则曲面积分 [ ] zdx + ydz =___________.
∫
x = cos t 【解析】 解析】令 y = sin t z = − sin t
∴
t : [0,2π]dz =
∫ [− sin t (− sin t ) + sin t (− cos t )]dt
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完 整精准版)
一、选择题： 选择题：1~8 小题， 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中， 下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的， 符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 （1）下列曲线中有渐近线的是 （A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin
2014考研数一真题答案及详细解析
令y'=O,得y = -2x,或y =O (不适合方程 ， 舍去）．
将y =-2x代入方程得-6 x 3 +6 =0,解得x=l,J(l) =-2.
在3y
2
I
y
+y
2
I
+ 2x y y
+2xy +X
2
I
y
=0两端关于x求导
，得
(3y 2 +2xy +x 勹 y"+2(3y +x) (y') 2 +4(y+x)y'+2y =0.
l
cosb
b
2
n
an
•
l -cosb n
= — 2l nl-im00
1
an -cosb n
1 2
ln-im00
a
n
an +l -cosa
n
2，
00
00
2 且级数 n = l 从收敛，所以: n = l 生 bn 收敛．
(2 0)解 C I)对矩阵A施以初等行变换
。 。01 0
A�(�-; -0� �n-(� 1
(8) D
解
厂 [f EY 1 = _00Yfy1(y)dy = 了
+■a
_00Yf1(y)dy+f_=yj、z(y)dy]
=
(EX
了
1
+EX2
),
EY2=— 2 ECX1 +Xz)
=
—(EX
2
1
+EX2
),
故EY1 =EY2 , 又因为
DY 1 =E(Y�)-(EY 1 凡DY2 = ECY!) -(EY2 凡
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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。
（1）下列曲线中有渐近线的是 （A ）sin y x x =+.(B)2sin y x x =+.(C)1sin y x x =+.(D)21sin y x x=+.【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]limsin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线【答案】C(2)设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ） (A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥. (B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(D)当0f '≥时，()()f x g x ≤【解析】当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()() f x g x ≤ 【答案】D(3)设(),f x y是连续函数，则110(,)ydy f x y -=⎰⎰（A）11110(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰.（B）1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰.（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【解析】积分区域如图 0≤y ≤1.1x y ≤≤-用极坐标表示，即：D 1:,012r πθπ≤≤≤≤ D 2: 10,02cos sin r πθθθ≤≤≤≤+【答案】D （4）若{}2211,(cos sin )(cos sin )mina b Rx a x b x dx x a x b x dxππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（A ）2sin x π.(B)2cos x .(C) 2sin x π. (D)2cos x π. 【解析】令2(,)(cos sin )Z a b x a x b x dx ππ-=--⎰2(cos sin )(cos )0(1)2(cos sin )(sin )0(2)a b Z x a x b x x dx Z x a x b x x dx ππππ--⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩⎰⎰由（1）得 202cos 0axdx π=⎰故10,0a a ==由（2）得 0120sin 22sin x xdx b b xdxππ===⎰⎰【答案】A(5)行列式00000000a b abc d c d= （A ）（ad-bc ）2（B ）-（ad-bc ）2。
2014年考研数一真题及答案解析(完整版)
2014年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2014年考研数学一真题答案
一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A） y x sin x （C） y x sin 1
【答案】A
【考点】向量组的线性无关的充要条件
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1 0
【解析】
(1
k 3 , 2
l 3 )
(1,2 ,3)
0
1
k l
1 0
记 A (1 k3,2 l3), B (1,2,3),C r( A) r(BC) r(C) 2 1 k3, 2 l3 线性无关.
cd
cd
cd cd
(bc ad ) a b (ad bc) 2 .故选 B. cd
（6）设1,2 ,3 均为 3 维向量，则对任意常数 k, l ，向量组1 k3 ,2 l3 线性无关是
向量组1,2 ,3 线性无关的（ ）
（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
f (x, y)dx （ ）
0
1 y2
1
x 1
0
1 x 2
（A） dx f (x, y)dy dx
f (x, y)dy
0
0
1
0
1
1 x
0
0
（B） dx f (x, y)dy dx
f (x, y)dy
0
0
1
1 x2
（C）
2 d
1
cos sin f (r cos ,r sin )dr
考研复习资料 2014考研数一真题及解析
y
f ( ex
cos
y )ex( cos
y)
2E x 2
2E y 2
f ( ex
cos
y )e2x
( 4E ex
cos
y )e2x
f ( ex cos y ) 4 f ( ex cos y ) ex cos y
令 ex cos y u ，
则 f ( u ) 4 f ( u ) u ，
（9） 2x y z 1 0
（10） f ( 1) 1 （11） ln y 2x 1
x （12）
（13）[-2,2] （14）
◆
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
（15）【答案】
1
x [ t 2( e x 1) t ]dt
lim 1
x
x2 ln(1 1 )
x
1
( e x 1) x t 2dt
x
tdt
lim
1
1
x
x
lim x2( e 1) x x
令u 1 , x
则 lim x2( e 1) x x
lim
u0
eu
1 u2
u
lim eu 1 1 u0 2u 2
（16）【答案】
3y2 y y2 x 2 yy 2xy x2 y 0 y2 2xy 0 y( y 2x ) 0
2014 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. （1）C （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7）（B） （8）（D） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
2014年数学一真题与答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+ 【答案】(C)【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=，又 11lim[sin ]lim sin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选(C).(2) 设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 ( )(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】(D)【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选(D).2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一(3) 设()f x 是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰( )(A) 1100010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰ (B)1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰(C)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ(D)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ【答案】(D) 【解析】1101101(,)(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ---=+⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr +=+⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ.故选(D). (4) 若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=32260y xy x y +++= ( )(A) 2sin x (B) 2cos x (C) 2sin x π (D) 2cos x π 【答案】(A) 【解析】2222(cos sin )(sin )2cos (sin )cos x a x b x dx x b x a x x b x a x x dx --⎡⎤--=---+⎣⎦⎰⎰ππππ22222(2sin sin cos )x bx x b x a x dx -=-++⎰ππ2222202(sin cos 2sin )x dx b x a x bx x dx -=++-⎰⎰πππ223124()422223a b b =+⋅-⋅+πππ 2232(4)3a b b =+-+ππ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2232(2)43a b ⎡⎤=+--+⎣⎦ππ当0,2a b ==时，积分最小. 故选(A).(5) 行列式0000000a b abc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc - (D)2222b c a d - 【答案】(B)【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.故选(B).(6) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组()123=B ααα线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】(A) 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，A . 若123,,ααα线性无关，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()2r A r BC r C ===，故()0.3P A B -=线性无关.()P B A -= 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数402Q p =-，向量p 线性无关是向量D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).(7) 设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则()P B A -= ( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】(B)【解析】 已知a =，A 与()2123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++独立，a ，()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=-()0.5()0.5()0.3P A P A P A =-==，则 ()0.6P A =，则()()()()()()0.50.50.60.50.30.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=-=.故选(B).(8) 设连续性随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则( )(A) 12EY EY >，12DY DY > (B) 12EY EY =，12DY DY =(C) 12EY EY =，12DY DY < (D) 12EY EY =，12DY DY > 【答案】(D)【解析】 用特殊值法. 不妨设12,(0,1)X X N ，相互独立. 22212221())2y y y Y f y ---==，1(0,1)Y N .2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2121()2Y X X =+，212212111()(()())0,()(()())242E Y E X E X D Y D X D X =+==+=. 12121()()0,()1()2E Y E Y D Y D Y ===>=.故选(D).二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲面22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-在点(1,0,1)处的切平面方程为__________. 【答案】21x y z --=【解析】由于22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-，所以22(1sin )cos x z x y x y '=--⋅，(1,0)2x z '=；2cos 2(1sin )yz x y y x '=-+-，(1,0)1y z '=-. 所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为{2,1,1}n =--. 故切平面方程为2(1)(1)(0)(1)0x y z -+----=，即21x y z --=.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】由于()f x '2(1)x =-，[0,2]x ∈，所以2()(1)f x x C =-+，[0,2]x ∈.又()f x 为奇函数，(0)0f =，代入表达式得1C =-，故2()(1)1f x x =--，[0,2]x ∈.()f x 是以4为周期的奇函数，故2(7)(18)(1)(1)[(11)1]1f f f f =-+=-=-=---=.(11) 微分方程(ln ln )0xy y x y '+-=满足条件3(1)y e =的解为y =__________.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【答案】21(0)x y xe x +=>【解析】(ln ln )0xy y x y '+-=ln()y y y x x'⇒=. 令yu x=，则y x u =⋅，y xu u ''=+，代入原方程得 ln xu u u u '+=(ln 1)u u u x-'⇒=分离变量得，(ln 1)du dxu u x=-，两边积分可得 ln |ln 1|ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=.故ln1y Cx x -=. 代入初值条件3(1)y e =，可得2C =，即ln 21yx x=+. 由上，方程的解为21,(0)x y xe x +=>.(12) 设L 是柱面221x y +=与平面0y z +=的交线，从A 0x =轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ __________.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得0Ldydz dzdx dxdyzdx ydz dydz dzdx x y z z y∑∑∂∂∂+==+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰xyD dydz dzdx =+=⎰⎰π，其中22{(,)|1}xy D x y x y =+≤.(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.(14) 设总体X 的概率密度为()22,2,;30,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩θθθθ其他,其中θ是未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，若221()nii E cX==∑θ，则c =_________.【答案】25n【解析】 222222()(;)3x E X x f x dx x dx +∞-∞==⋅⎰⎰θθθθ 2422215342x =⋅=θθθθ，222215[]()2ni i n E cX ncE X c ===⋅=∑θθ， 25c n∴=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim [(e 1)]xx x x →+∞=--2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值. 【解析】对方程两边直接求导：2223220y y y xyy x y xy '''++++= ①令1x 为极值点，则由极值必要性知：1()0y x '=，代入①式得：2111()2()0y x x y x +=.即1()0y x =或11()2y x x =-. 将其代入原方程知：1()0y x =（舍去），即11()2y x x =-. 代入，有 33311184260x x x -+-+=，∴11x =. 即(1)2y =-，(1)0y '=.对①式两边再求导：22226()322()222220y y y y yy x y xyy yy xy x y y xy ''''''''''''+++++++++=.将(1)2y =-，(1)0y '=代入得：4(1)09y ''=>. ∴()y f x =在1x =处取极小值，(1)2y f ==-.(17)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，()cos xz f e y =满足()222224cos .x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂若()()00,00f f '==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂，2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos 4[cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+,即()()cos 4cos 4cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,x e y t 得()()44f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+ 设特解*y at b =+，代入方程得1,0a b =-=，特解*y t =- 则原方程通解为()2212=tty f t c e c et -=+-由()()'00,00f f==，得1211,44c c ==-, 则()2211=44u uy f u e e u -=-- (18)(本题满分10分)设∑为曲面22z x y =+(z 1)≤的上侧，计算曲面积分33(1)(1)(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.【解析】∑非闭，补1∑：平面1z =，被22z x y =+所截有限部分下侧，由Gauss 公式，有 133+(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑∑--+-+-⎰⎰223(1)3(1)1x y dV Ω⎡⎤=-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 223()667x y dV xdV ydV dV ΩΩΩΩ=+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一∑和1∑所围立体为Ω，Ω关于yoz 面和zox 面对称，则0xdV ydV ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221221()x y x y x y dV dxdy dz +Ω+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=21220(1)d r r rdr -⎰⎰πθ461011112()2()46466r r =-=-=πππ22112x y zdV dzdxdy zdz Ω+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ173746222∑+∑∴-=⋅+⋅=+=⎰⎰πππππ 14∑+∑∴-=⎰⎰π又22111(1)(11)0x y z dxdy dxdy ∑∑+≤=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1114I ∑+∑∑∴=-=-⎰⎰⎰⎰π(19)(本题满分10分)设数列{}{},n n a b 满足02n a <<π，02n b <<π，cos cosb n n n a a -=，且级数1nn b∞=∑收敛.(I) 证明：lim 0n n a →∞=.(II) 证明：级数1nn na b ∞=∑收敛. 【解析】(I )1nn b∞=∑收敛 lim 0n n b →∞∴=cos cos 2sinsin 022sin 02n n n n n n n n n a b a ba ab a b+-=-=->-∴<又424nn a b --<< ππ，042n n a b-∴-<<π2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一即：n n a b <又0,n n a b << lim 0n n b →∞= lim 0n n a →∞∴=(II )证明：由(I )2sinsin 22n n n n n a b a ba +-=- 2sin sin 22n n n nn n na b a b a b b +--∴= 222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<= 又 1n n b ∞=∑收敛 ∴12nn b ∞=∑收敛,1n n na b ∞=∑收敛(20)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(21)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=， 则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n =λ的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B . (22)(本题满分11分)设随机变量X 的概率分布为{}{}112,2P X P X ====在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布()0,,(1,2)U i i =.（I ）求Y 的分布函数()Y F y ； （II ）求EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为(y)Y F ，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一{}{}{}{}{}()1|12|2Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X =≤==≤=+=≤={}{}11|1|222P Y y X P Y y X =≤=+≤= 当0y <时，()0Y F y =；当01y ≤<时，13()(y )224Y y yF y =+=； 当12y ≤<时，1()(1)22Y yF y =+；当2y ≥时，()1Y F y =. 所以Y 的分布函数为0,03,014()1(1),12221,2Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩(II) Y 的概率密度为3,01,41(y),12,40,Y y f y ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.120131()=()d 44Y E Y f y y y dy y dy +∞-∞=+⎰⎰⎰ =31113(41)42424⨯+⨯-=(23)(本题满分11 分)设总体X 的分布函数为21(;)0,0,0,x x x e F x -≥<⎧⎪-=⎨⎪⎩θθ其中θ是未知参数且大于2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一零.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（I ）求()E X ，2()E X ；（II ）求θ的最大似然估计量nθ；（III ）是否存在实数a ，使得对任何0>ε，都有{}lim 0n n P a →∞-≥=θε？【解析】X 的概率密度为22,0(;)(;)0,xx e x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩θθθθ其它 （I ）22()(;)x xE X xf x dx xedx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222[]x x x xdexeedx ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰θθθ2x edx -+∞=⎰θ12==22222()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222220[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ22x xedx -+∞=⎰θθθ=θ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一（II ）似然函数2112,0()(;)0,ix n i ni i i x e x L f x -==⎧⎪∏>=∏==⎨⎪⎩θθθθ其它当0(1,,)i x i n >=⋅⋅⋅时，212()i x nii x L e-==∏θθθ，21ln ()[ln 2ln ]ni i i x L x ==--∑θθθ222211ln ()11[][]0n ni i i i x d L x n d ===-+=-=∑∑θθθθθθ 解得 211n i i x n ==∑θ所以，θ的最大似然估计量为211ˆnni i X n ==∑θ （III ）依题意，问ˆnθ是否为θ的一致估计量. 2211ˆ()()()nni i E E X E X n ====∑θθ 242211ˆ()()[()()]nD D XE X E X n n==-θ 24442()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ2224430[4]x x x x dex eex dx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ2304x x edx -+∞=⎰θ22222022[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθθθ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一24x xedx -+∞=⎰θ2222()x x ed -+∞=--⎰θθθ22=θ2221ˆ()[2]nD n n∴=-=θθθθ ˆlim ()0n n D →∞=θˆn∴θ为θ的一致估计量 a ∴=θ。
2014年考研数学一答案解析(只有答案解析)
2014年考研数学一答案解析1、C()1sin1sinlimlim 11lim lim sin 01sin x x x x y x xx yx k x xy x xy x y xx→∞→∞→∞→∞=++===-==∴=+=存在斜渐近线 2、D解：令()()()()(0)(1)(1)F x f x g x f x f x f x =-=---有(0)(1)0F F ==，()()(0)(1)F x f x f f ''=+-，()()F x f x ''''= 当()0f x ''≥时，()F x 在[0,1]上是凹的，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤ 3、D区域如图： 选择极坐标：()()()()112cos sin 020111cos ,sin cos ,sin ,,xd f r r rdr d f r r rdrdx f x y dy dx f x y dyππθθπθθθθθθ+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰若为直角坐标4、A 解析：222222222220322I (cos sin )(cos sin 2cos 2sin 2sin cos )2(cos sin 2sin )2(2)322a 0,2I x a xb x dxx a x b x ax x bx x ab x x dxx a x b x bx x dxa b b b πππππππππ--=--=++--+=++-=++-==⎰⎰⎰当时，最小故 a, cosx+b, sinx=2sinx5、B 解析：2141332320a 000000000(1)0(1)0000(1)(1)()()b a b c d c d a b a b a c d c b d cd ab a b a dc b cd cda b a b adbc c d cd ab bc ad cdad bc ++++=⨯-+⨯-=-⨯⨯--⨯⨯-=-+=-=--6、A 解析：1231132231122123121213231323123123+k )()0++k )00+k ++k +100=0=1=0000l l k l l l αααλααλααλαλαλλαλλλλαααααααααααααα++=+=⇒==+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知，，无关设（即（从而，无关反之，若，无关，不一定有，，无关例如，，，7、B(AB)(A)P(B)[P(A B)P(AB)]P(B)(0.3P(AB))0.5P(AB)0.3(B A)P(B)P(AB)0.50.30.2P P P ==-+=+⇒=-=-=-=8、（D ） 解：2121()2Y X X =+，2121211[()]()22EY E X X EX EX =+=+， 2121211[()]()24DY D X X DX DX =+=+。