福建省莆田一中数学(理科)
福建省莆田第一中学2019届高三下学期第四次月考数学(理)试题附答案
莆田一中2018-2019学年度高三年级第四次月考试卷理科数学(满分:150分，考试时间:120分钟)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{lg ,|A x y x B y y ====，则A B =A.[0,)+∞B.()0,+∞C.()1,+∞D.[1,)+∞ 2.设复数z 满足i 11=-z，则下列说法正确的是 A.z 为纯虚数 B.z 的虚部为i C.在复平面内，z 对应的点位于第一象限 D.2||=z3.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的AQI 指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是 A.整体上看，这个月的空气质量越来越差.B.整体上看，前半月的空气质量优于后半个月的空气质量.C.从AQI 数据上看，前半月的方差大于后半个月的方差.D.从AQI 数据上看，前半月的平均值小于后半个月的平均值. 4.下列命题中正确的是A. 若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题.B. 在△ABC 中，“A<B”是“sinA<sinB”的充要条件.C. 命题“0232=+-x x ，则1=x 或2=x ”的逆否命题为“若1≠x 或2≠x ，则0232≠+-x x ”.D. 命题p ：R x ∈∃，使得012<-+x x ，则p ⌝：R x ∈∀，使得012>-+x x . 5．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．356B ．5683π-C ．364D ．6483π-6.已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2y x +的最小值为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 5 7.已知向量a 与a b +的夹角为60°，3||,1||==b a ，则a b ⋅=A.0B.23-C.23-或0D.23- 8．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)0,(0)2f x f x f -++==，则20191()k f k ==∑A.－2019B.－2C.0D.20199.在空间直角坐标系O-xyz 中，已知点)1,0,0(),1,2,0(),1,2,2(),1,2,2(D C B A -都在同一个球面上，则该球的表面积是A.π16B.π12C.π34D.π610.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点()3A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+0,0,2t πωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭.则下列叙述错误的是 ． A.6,,306R ππωϕ===-B ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当[]10,25t ∈时，函数()y f t =单调递减D ．当20t =时，PA =11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a b b >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，12122//,5MN F F MN F F =，俯视图正视图侧视图线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =，则E 的离心率为AB．12.若函数2)(x e x f x+=和x kx x g ln )(+=的图像有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 A.)1,0( B.)1,(+e e C.),(+∞e D.),1(+∞+e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点)1,2(-P ，则)2sin(απ-的值为_______14．在52)1(x x ++的展开式中，3x 的系数为 ．15.已知椭圆E:22143x y +=与圆C:22(1)4x y -+=相交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB 上异于A,B 的动点，与x 轴平行的直线PQ 交E 于点Q(点Q 在第一象限)，则||2||PQ QC +的取值范围是________ 16.若ABC ∆的面积为3，且2AB AC =，则BC 的最小值为_____三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.（本小题满分12分）设数列}{n a 满足1221,2,4n n a a a a +===.(1)证明：}{n a 是等比数列，并求}{n a 的通项公式； (2)设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明：1162n S ≤<.18.（本小题满分12分）如图1，四边形PBCD 是等腰梯形，BC//PD ，PB=BC=CD=2，PD=4，A 为PD 的中点，将△ABP 沿AB 折起，如图2，设M 为PD 的中点.(1)证明：PC⊥平面ABM ；(2)若PC=2,求二面角B －CD －M 的余弦值.19.（本小题满分12分）某种规格的矩形瓷砖（600 mm×600 mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量X （kg ）都服从正态分布2,)N μσ（，并把质量在3,3)μσμσ-+（之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品.（1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a (mm)、b (mm)，则“尺寸误差”(mm)为600600a b -+-，按行业生产标准，其中“优等” 、“一级” 、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[00.2]，、(0.20.5]，、(0.51.0]，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0 mm 的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如图. 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率. （i ）记甲厂该种规格的的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元），求ξ的分布列. （ii ）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率. 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-+=＜＜; 100.99740.9743≈.40.80.4096=, 50.80.32768=20.（本小题满分12分）已知点)1,0(),1,0(N M -，平面上的动点P 满足||||NP MN MP MN ⋅=⋅， (1)设点P 的轨迹为曲线E ，求E 的方程；(2)过点N 的直线交E 于,A C 两点，E 在点C 处的切线为1l , 经过点A 的直线2l 交E 于点B (B 与C 不重合)，且1l //2l ，求ABC ∆面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)cos ,R xf x x ax x a =++--∈.(1)若1a ≤，证明：()f x 是定义域上的增函数；(2)是否存在a ，使得()f x 在0x =处取得极小值？并说明理由.22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos ,:()2sin ,x C y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数. 以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程；(2)射线l 的极坐标方程为(0)θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点， 求||||OB OA 的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|3|)(-=x x f . 求不等式的解集；|1|2)(++<x x f (2)已知正数,m n 满足112mn m n+=，证明：()()6mf n nf m +-≥.莆田一中2018-2019学年度高三年级第四次月考试卷理科数学 参考答案选择题 ADCBD BABBC BD 填空题13.54-14.30 15.(4,5) 16.3 17.解(1)证明：由已知得数列}{n a 的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；数列}{n a 的偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列.………………………………………..1分122121*2112242,42,k k k k k k a a a a k N -----=⋅==⋅=∈…………………………………………..3分 ∴对任意正整数n 都有12n n a -=，则12n na a +∴=…………………………………………………..5分 则}{n a 是等比数列,}{n a 的通项公式为1*2,n n a n N -=∈…………………………………………..6分(2)1111211(1)(1)(12)(12)1212n n n n n n nn n a b a a ---+===-++++++…………………………………..8分 则1201121111111()()()121212121212n n n nS b b b -=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-++++++………..9分 即11212n n S =-+……………………………………………………………………………………..10分 则12n S <,又{}n S 是递增数列，则116n S S ≥=,………………………………………………….. 11分从而1162n S ≤<.……………………………………………………………………………………..12分18. 解：取AB 的中点E ，连结PE ，由已知PA=PB=2，则PE⊥AB………………………………..1分 连结AC ，由已知△PAB 是等边三角形，则∠ABC=∠PAB=60°，所以△ABC 是边长为2的正三角形，连结CE ，则CE⊥AB.………………………………………..2分 又CE∩PE=E，则AB⊥平面PCE ，所以AB⊥PC……………………………………………………..3分 取PC 中点N ，连结MN,BN.则2MN//CD//AB ，从而A,B,N,M 四点共面.…………………………………………………………………………………..4分 又PB=BC=2，则BN⊥PC.………………………………………………………………………………..5分 又AB∩BN=B，AB,BN ⊂平面ABM ，则PC⊥平面ABM……………………………………………..6分(2)连结AC ，BD ，设其交点为O ，由已知，四边形ABCD 是菱形，则AC ⊥BD, 设BO ∩CE=M ，则M 为△ABC 的中心.因为PA=PB=PC=2,则PM ⊥平面ABC ，以O 为原点，以,,OB OC MP 为x 轴，y 轴，z 轴正方向如图建立空间直角坐标系………7分又因为223BM OB OM PM =====则P，且(0,1,0),(C D ……………………………..8分 326(,1,),(3,1,0)CP CD =-=--………………………………………………………….9分 设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量，则0nCD n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0330x y z y -+=⎨⎪-=⎩令1x =，得(1,3,n =-……………………………………..10分 设(0,0,1)m =为平面ABCD 的法向量……………………………………………………………11分则2cos ,||6m n m n m n ⋅-===⋅ 由图知二面角B －CD －M 为锐角，则二面角B －CD －M …………………12分 19.解：（1）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在3,3)μσμσ-+（之内的概率为 0.9974，则这10片质量全都在3,3)μσμσ-+（之内(即没有废品)的概率为 100.99740.9743≈；则这10片中至少有1片是废品的概率为10.97430.0257-=. ……3分（2）(ⅰ)由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、 0.1.ξ的取值可能为15, 14， 12.5， 13， 11.5， 10元.-------------------4分 49.07.07.0)15(=⨯==ξP ； 28.022.07.0)14(=⨯⨯==ξP 14.021.07.0)5.12(=⨯⨯==ξP 04.02.02.0)13(=⨯==ξP04.021.02.0)5.11(=⨯⨯==ξP01.01.01.0)10(=⨯==ξP ………7分得到分布列如下：…………8分（ⅱ）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有n 片“优等”品，则有n -5片“一级”品，由 已知36)5(5.65.7≥-+n n ，解得5.3≥n ，n 取4或5.故所求的概率为=+⨯⨯=54458.02.08.0C P +4096.032768.073728.0=. ………12分20.解：（1）设(,)P x y则(0)0(1)2x y =-⋅++⋅………………………2分化为24x y =………………………………………………………………4分（2）21122(2,),(,)(,)C m m A x y B x y ，，242x x y y '=∴=，，∴点C 处的切线斜率为m .……………………5分设直线AB ：y=kx+1，代入E:24x y =，得2440x kx --=，11224x m x m∴⋅=-⇒=-，……………………………………………6分 211214x y m ==，所以221(,)A m m-.……………………………………7分又12//l l ，所以直线2l 的斜率k m =，∴直线2l 的方程为212y mx m =++， 代入24x y =得：224480x mx m ---=，221616320m m∆=++>显然成立， 1212244,(8)x x m x x m ∴+=⋅=-+，…………………………………8分1214AB x x m m∴=-==+又点C 到直线2l的距离21()m d +==，…………………10分 32311112()222162S AB d m m m m m m∴=⋅⋅=+⋅+=+≥⋅=，当且仅当1m m=，即1m =±时，取等. 综上，三角形ABC 面积的最小值为16.……………………………………12分22.(1)221:44,cos ,sin C x y x y ρθρθ+===故1C 的极坐标方程为22(3sin 1)4ρθ+=…………………2分 故2C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=…………………3分2C 的极坐标方程为4cos ρθ=…………………5分(2)直线l 分别与12,C C 联立得22(3sin 1)4ρθθα⎧+=⎨=⎩，则224||3sin 1OA α=+ 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则22||16cos OB α=………………6分 2222||4cos (3sin 1)||OB OA αα∴=+………………7分 224(1sin )(3sin 1)αα=-+………………8分2422||12sin 8sin 4||OB OA αα∴=-++则当21sin 3α=时，||||OB OA ………………10分23. 解：(Ⅰ)依题意得213<+--x x ， ··················· 1分当3>x 时，2)1(3<+--x x ，∴24<-，满足题意， ······ 2分 当31≤≤-x 时，2)1(3<+--x x ，即0>x ∴30≤<x ， ···· 3分 当1-<x 时，2)1(3<++-x x ，∴24<，无解， ········ 4分 综上所述，不等式的解集为{}0x x >. ·············· 5分（2）因为(),0,m n ∈+∞，所以11m n +≥=， ········· 6分 则2mn≥1mn ≥， ·················· 7分 所以()()3333mf n nf m m n n m mn n mn m +-=-+--=-++(3)(3)mn n mn m ≥--+·········· 9分m n≥+≥≥361.............................................. 0分。
福建省莆田一中期中考试高三数学理科.doc
莆田一中201X-2012上学期期中考试题高三数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在题后的括号内． 1.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的（ ）A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.2．为了得到函数x y 2cos =的图象，可以将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 的图象（ ）A. 向右平移6πB. 向右平移3πC. 向左平移6πD.向左平移3π3．积分2112()ex dx x+⎰的值是（ ） A. 1 B. e C. e +1 D. e 2 4．定义运算()(){,12112x aa b a b b a b ≤*=*=*>例如：，则的取值范围是（ ）A ．(0, 1)B ．(-∞, 1)C ．(0, 1]D ．[1, +∞)5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A.y=x 1B.y=2-xC.y=lg xx +-11 D.y=-|x|6． 函数()1f x Inx x=-的零点所在的区间是（ ）A ()0,1B ()1,eC (),3eD ()3,+∞7．若2,3A B +=π则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）3131.1.,.1.,12222A B C D -++8．点()0,02x M a b y x y ≥⎧⎪≥⎨+≤⎪⎩在由不等式组确定的平面区域内，则点()N a b a b +-，所在平面区域的面积是 （ ）A ． 1B ． 2C ． 4D ．89. 设命题P ：函数f(x)=ax x+(a>0)在区间(1, 2)上单调递增；命题Q ：不等式|x －1|－|x+2|<4a 对任意x ∈R 都成立。
若“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．43<a ≤1 B.43≤a<1 C ．0<a ≤43或a>1 D.0<a<43或a ≥110.若关于x 的不等式x 2＜2﹣∣x ﹣a ∣至少有一个负解，则参数a 的取值范围为（ ）A （-45 ，2 ）B （-49 ，2 ）C （-47 ，2 ） D.（-47，3 ）第Ⅱ卷（填空题和解答题，11小题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在题中横线上.．11．给出下面的3个命题：（1）函数|)3x 2sin(|y π+=的最小正周期是2π；（2）函数)23x sin(y π-=在区间)23,[ππ上单调递增； （3）45x π=是函数)25x 2sin(y π+=的图象的一条对称轴. 其中正确命题的序号是 ．12．平面向量,a b 的夹角为060，(2,0),||1,|2|a b a b ==+=则 13、若函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ω= ， ϕ= 。
福建省莆田一中高三数学第五次月考试题 理
参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；每题只有一个正确答案）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
请把答案填在答题纸的相应位置）15.已知数列{} na，{}nb满足11a=，22a=，12b=，且对任意的正整数,,,i j k l，当i j k l+=+时，都有i j k la b a b+=+，则201011()2010i iia b=+∑的值是▲．(说明:1231...ni nix x x x x==++++∑)三．解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 .(本题满分13分)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且tan21tanA cB b+=．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若m(0,1)=-，n()2cos,2cos2CB=，试求|m+n|的最小值．17．（本小题满分13分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。
(Ⅰ)请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；(Ⅱ)为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX ”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？（Ⅲ）在(Ⅱ)的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 18．（本题满分13分）如图，五面体ABCD 中，ABCD 是以点H 为中心的正方形，EF//AB ，EH 丄平面 ABCD ，AB=2，EF=EH=1. (Ⅰ)证明：平面ADF 丄平面ABCD;(Ⅱ)求五面体EF —ABCD 的体积；（Ⅲ）设N 为EC 的中点,若在平面ABCD 内存在一点M,使MN 丄平面BCE ，求MN 的长.19．（本小题满分13分）如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；(Ⅲ)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21.本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为：2253cos 280ρ-ρθ-=，直线的参数方程为：x 1y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线上有一定点(1,0)P ，曲线1C 与交于M ， N 两点，求.PM PN 的值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(． (Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2011-2012学年莆田一中高三数学理科模拟试卷参考答案2012-05-04一选择题1.B 2．C 3． A 4．．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9、 C 10． A 二、填空题：11. 15. 12．（1）处应填30i >（2分）；（2）处应填p p i =+（2分） 13．．[1,2] 14．1±. 15..2012.17．（本小题满分13分）解：（1）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率为0.3， 即①处的数字为0.3； ……1分总的频数为100，因此第4组的频数为20，即②处数字为20 ……2分频率分布直方图如下： 4分成绩1851801751701651600 0.010.020.030.040.050.060.070.08频率组距（2）第345、、组共60名学生，现抽取12人，因此第3组抽取的人数为：3012=660⨯人，第4组抽取的人数为：2012=460⨯人，第5组抽取的人数为：1012=260⨯人. ……7分 公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，每个人被抽到的概率是相同的. …………8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）（3）ξ的可能取值为0123.、、、 3831214(0)55C P C ξ===218431228(1)55C C P C ξ===128431212(2)55C C P C ξ=== 343121(3)55C P C ξ===ξ的分布列为：…12分14281210123155555555E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= ……13分18．19．【解析】（Ⅰ）∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417，∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2．………………3分（Ⅱ）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-，设11(,)E x y ，22(,)F x y ，∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-. ······················· 6分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． ················ 8分法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=HA k ，3-=HB k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=x y x y 22343，得023432=+--y y ， ∵323E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ． ·················· 6分同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ． ········ 8分（Ⅲ）设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ·· ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ····················· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． ··· 9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增，∴11min -=t ····························· 12分故在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a=-=--. 由1()0,f a <即ln 10a --<,解得:1a e>.故所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分21.本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 解： (Ⅰ) 法一：设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在A 的作用下变为),(y x ''则133a x x ay x b y bx y y '-⎛⎛-+⎛⎛⎫⎫⎫⎫== ⎪⎪⎪⎪'+⎝⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝3x x ay y bx y '=-+⎧⇒⎨'=+⎩ -----------------3 分 代入23x y ''-=得：3)32()2(=-++-y a x b 其与32=-y x 完全一样得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=--1413222a b a b 则矩阵1143A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭----------------------5分法二：在直线32=-y x 上任取两点（2、1）和（3、3），-------------1分 则1223123a a b b -⎛⎛-+⎛⎫⎫⎫= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎭⎭⎝⎝,即得点)32,2(+-b a ,13333339a a b b -⎛⎛-+⎛⎫⎫⎫= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎭⎭⎝⎝,即得点)93,33(+-b a , ------------------3 分 将)32,2(+-b a 和)93,33(+-b a 分别代入32=-y x 得 2(2)(23)312(33)(39)34a b a a b b -+-+==⎧⎧⇒⎨⎨-+-+==-⎩⎩ 则矩阵1143A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.-----5 分用心 爱心 专心 11 (Ⅱ)因为11143-=-，所以矩阵M 的逆矩阵为13141A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭. -----7分（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程解：（Ⅰ）由2253cos 280ρ-ρθ-=得222253(cos sin )80ρ-ρθ-θ-=即2222253cos 3sin 80ρ-ρθ+ρθ-=，从而22225(x y )3x 3y 80+-+-= 整理得2214x y +=………………………………… 3分（Ⅱ）把直线的参数方程代入到曲线1C的直角坐标方程，得2730t --=1237t t =-.由t 的几何意义知1212.(2).(2)7PM PN t t ==-……………… 7分（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-， 即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ················· 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ··········· 7分。
福建省莆田市荔城区莆田第一中学2020届高三联考数学(理)试卷
理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上；2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则|z|＝（）A．B．3C．5D．252．设集合，N＝{x|≥4}，则M∩N（）A．B．C．[2，3]D．[2,3）3．在等比数列{a n}中，，，则（）A．6B．7C．8D．154．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则的值为（）A． B. C. D．5. 某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（）A．2B.C. 1D．6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征.如函数的图像大致是（）A．B．C．D．7．在梯形中，，若，则AE BC 的值为（ ）A ． B. C. D ． 08．设，则（ ）A ． B.C. D ．9．关于函数有下述四个结论：①的图象关于轴对称； ②在有3个零点；③的最小值为； ④在区间单调递减.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①③C ．①④D ．③④10．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国。
2019届福建省莆田市第一中学高三上学期第一次月考数学(理)试题 含解析
2019届福建省莆田市第一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．若集合0，，，集合，则集合A．，，B．C．D．2．设复数满足，则的共轭复数为A．B．C．D．3．在下列四个命题中：①命题“，总有”的否定是“，使得”；②把函数的图象向右平移得到的图象；③甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800件；④“”是“直线与圆相切”的必要不充分条件错误的个数是A．0 B．1 C．2 D．34．函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称5．设函数，则使得成立的的取值范围是A．B．C．D．6．已知函数的部分图象如图所示，则A．，B．，C．，D．，7．在中，内角所对边的长分别为，且满足，若，则的最大值为A．B．3 C．D．98．已知等比数列中，，，为方程的两根，则A．32 B．64 C．256 D．9．袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是姓名准考证号考场号座位号A ．B ．C ．D ．10．已知函数的图象关于点对称，且当时，成立其中是的导函数，若，，，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是A ． 4B ． 6C ． 8D ． 16()()ln a xf x a R x =∈20x y -=()()()g x f f x t =-t{}0[]0,1[)0,1(),0-∞二、填空题13．在()()5211x x +-的展开式中含4x 项的系数是__________．（用数字作答）14．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是____________ .15．已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，，点在抛物线上，则的最小值为___________.16．已知函数在区间内是增函数，函数其中为自然对数的底数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则实数_________.三、解答题17．设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，（1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18．如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中的值； （2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？ （3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是、以为圆心、以3为半径的圆与以为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．21．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.23．[2018·佛山质检]已知函数，．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围．2019届福建省莆田市第一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先根据集合中的元素求出集合，再求交集.【详解】,,选.【点睛】本题主要考查集合的运算，属简单题.2．D【解析】【分析】先根据公式化简复数，再利用共轭复数的概念求解.【详解】，则共轭复数为.选.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念.3．C【解析】【分析】①中全称命题的否定将全称量词改为存在量词并否定结论；②利用函数图象平移规律判断.③根据分成抽样方法计算即可.④判断由条件可以得出结论，则错误.【详解】四个命题中②③正确，①④错误.①中命题的否定应为：，使得”.②中函数平移得，结论成立.③中乙设备生产产品数位，结论正确.④中圆心到直线的距离，若，则，直线与圆相切，故满足充分性.故结论不正确.选.【点睛】函数图象左右平移要注意解析式中只对做加减；注意充分必要条件与必要不充分条件的区别：若条件推导结论则具有充分性，结论推导条件则具有必要性.全称命题和特称命题的否定：4．C【解析】【分析】由函数的最小正周期得，由函数图像平移后为奇函数可得，得到函数的解析式,结合正弦函数的性质求函数的对称中心和对称轴.【详解】函数的最小正周期为，则.其图象向左平移个单位可得,平移后函数是奇函数，则有,又，则.函数的解析式为,令,解得,则函数的对称中心为.选项错误.令，解得函数的对称轴为.当时，.选C.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，根据函数解析式求函数的对称轴和对称中心时利用了整体代换的思想，解题中注意把握.求解过程中不要忽略了三角函数的周期性.5．B【解析】【分析】可判断是偶函数，且在单调递增，则可转化为，利用函数的单调性求解即可【详解】，则,故为偶函数.当时，为增函数.则可变为，所以.则,化简得，解得，故选B.【点睛】利用函数的奇偶性和单调性将复杂的具体函数运算转化为抽象函数比较大小是本题解题思路中的一个亮点.偶函数比较大小时注意的应用.6．A【解析】【分析】先根据函数图象得到周期求出，然后带特殊点求值即可.【详解】由图可知函数的周期为，则.则,将代入解析式中得,则或者，解得或者.因为，则.选.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质.解题中注意给定三角函数值求角的问题中，除最大最小值其它情况在一个周期内均有两个角与之对应.7．A【解析】【分析】将化简可得,再利用余弦定理结合基本不等求解的最大值.【详解】，则，所以，,.又有，将式子化简得，则，所以.选.【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用以及基本不等式在求最值问题中的应用.在利用正弦定理做边角转化中要注意三角形内角和这个隐含的已知条件.8．B【解析】【分析】由根与系数的关系可得，再利用等比中项的性质求.【详解】，为方程的两根,则，数列是等比数列，则，又，所以.选.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用.9．A【解析】【分析】找出五个数中成等差数列的数组数，求出基本事件个数，求比值即可.【详解】“1”“2”“3”“4”“6”这五个数中成等差数列的数有“1,2,3”，“2,3,4”，“2,4,6”三组，从五个数中随机选取三个小球有，故所求概率为.【点睛】本题考查主要考查古典概型的应用.10．B【解析】【分析】根据函数图象平移解析式的变换情况可知的图象关于原点对称，根据构造函数，可得的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性比较大小.【详解】已知函数的图象关于点对称,则的图象关于原点对称，是奇函数.令,则是偶函数.当时，成立，则在上是减函数.又有是偶函数，则且在上是增函数.由，可得，所以，选.【点睛】抽象函数常常利用函数的单调性来比较大小，根据构造函数是本题解题的关键.11．C【解析】【分析】由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由已知条件结合椭圆双曲线的定义推出，由此得出的最小值.【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由椭圆和双曲线定义分别有，①，②③，得，④将④代入③得则，故最小值为8.【点睛】本题是圆锥曲线综合题，解题中注意椭圆与双曲线的交点的位置处理，由于椭圆和双曲线都具有很好的对称性，因此解题中可适当选择的位置求解即可.12．A【解析】设切点为ln ,a u P u u ⎛⎫⎪⎝⎭，由题设可得()2ln a a xf x x -'=，则由题设2ln 12a a u u -=，即22l n u a u a u +=，与2ln 0a u u u -=联立可得22222{222u a alnuu a u alnu =-⇒==，则0a >。
福建省莆田第一中学2020届高三10月月考数学(理)试题
莆田一中2019-2020学年高三理数10月份月考试卷一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分)1．已知全集U R =，集合1{|30},{|2}4xA x xB x =-<=>，则=)(BC A U I （ ）A ．{|23}x x -≤≤B ．{|23}x x -<<C ．{|2}x x ≤-D ．{|3}x x < 2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3-3．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+,0,1,33y y x y x 则y x z +=2的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．485．下列说法中正确的是（ ）A ．若样本数据1x ，2x ，L ，n x 的平均数为5，则 样本数据121x ＋，221x ＋，L ，21n x ＋的平均数为10B ．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C ．某种圆环形零件的外径服从正态分布()4,0.25N (单位：cm )，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若892S =，且24713a a a -+=，则9a =（ ）A ．15B ．22C ．25D ．277．下列说法正确的是（ ）A．若0xy ≥，则x y x y +>+B ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C ．“2a bx +>”是“x ab >”的充分不必要条件 D ．“0x ∀>，e 1x x >+”的否定形式是“0x ∃≤，e 1x x ≤+”8．已知函数)cos 1(sin )(x x x g -=，则|)(|x g 在],[ππ-的图像大致为（ ）9．如图，在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，AB AD ⊥，BD CD ⊥．将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A BD C --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．23π B ．3π C ．2π D ．3π 10．设函数()22,,6,x x x a f x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是 （ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,411．函数()sin 2sin f x x k x x =-+在区间,则k 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．[)0,+∞D ． []3,3-12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=0,1640,)(23x x x x e x f x，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题(本大题共有4个小题,每题5分,共20分)13．已知向量()1,1a =r，()1,0b =r ，且()a b a -⊥r r r λ，则=λ__________． 14．若sin 4x ⎛⎫+=⎪⎝⎭π，则sin 2x 的值为________． 15．若实数1,0x y >>，22x y +=，则121x y+-的最小值是__________． 16．已知函数()()1ln 112f x x ⎡⎤=++⎣⎦，()1e x g x -=，若()()f mg n =成立，则m n -的最小值是__________．三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时要求写出必要文字说明或步骤) 17．已知函数)cos()(ϕ+=x x f （0<<-ϕπ），)(')()(x f x f x g +=是偶函数． （1）求ϕ的值；（2）求函数)()(x g x f y ⋅=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π的最大值．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，2AB =，4AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 的中点．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若二面角A PB C --的大小为45︒，求三棱锥P ABC -的体积．19．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，且焦距为2，直线l交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥． （1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，若点P 满足2OP OE OF =+u u u r u u u r u u u r，求直线AP 的斜率的取值范围．20．已知函数()()1xf x x e =-（e 为自然对数的底数）．（I ）证明：当0a >时，方程()f x a =在区间()0,+∞上只有一个解；（II ）设()()()ln 1h x f x a x ax =---，其中0a >．若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围．21. 已知函数()21e 2xf x a x b =⋅--有两个极值点． （1）求实数a 的范围；（2）设函数()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，且212x x ≥，求实数a 的取值范围．请从下面所给的22、23中选定一题作答,多答按所答第一题评分. 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x ty at =⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点． （1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C 两点，若BC ≥a 的取值范围．23．【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．莆田一中2019-2020学年高三理数10月份月考答案一、选择题： CDCBC CBCBD BB 二、填空题：13. 12 14. 89- 15. 9 16. ln21- 三、解答题：17.解（1）依题意，)sin()cos()(')()(ϕϕ+-+=+=x x x f x f x g ……2分)4cos(2πϕ++=x ．………3分因为)(')()(x f x f x g +=是偶函数，所以1)4cos(±=+πϕ．……5分又因为0<<-ϕπ，所以4πϕ-=．……6分（2）由（Ⅰ）得，)4cos()(π-=x x f ，x x f x f x g cos 2)(')()(=+=．……8分21)42sin(22cos )4cos(2)()(++=-=⋅=ππx x x x g x f y ．………10分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈++=212,121)42sin(22πx y ，故函数)()(x g x f y ⋅=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π的最大值为212+．………12分 18.解：（1）在ABC △中，由余弦定理得2416224cos12028BC +-⨯⨯⨯︒==，则BC =D 为BC的中点，则BD CD ==(2分)因为()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则()()222211244AD AB ACAB AC AB AC =+=++⋅u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r ()1416224cos12034=++⨯⨯⨯︒=，所以AD ．(4分) 因为222437AB AD BD +==+=，则AB AD ⊥．(5分)因为PA ⊥底面ABC ，则PA AD ⊥，所以AD ⊥平面PAB ，从而AD PB ⊥．(6分)（2）分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设PA a =，则点()2,0,0B ，()3,0D ，()0,0,P a ．所以()3,0BD =-u u u r ，()2,0,BP a =-u u u r ．(8分)设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ，则00BD BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m ，即23020x x az ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =2y =，23z =，所以233,2,⎭m =．(9分) 因为()0,1,0n =为平面PAB 的法向量，则2cos ,cos 45〈〉=︒=m n 2⋅=⋅m n m n ．22127a +，解得212a =，所以23PA a ==(11分)所以11124sin120234332P ABC ABC V S PA -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯△．(12分) 19.解：（1）依题意，2a =，22c =，则1c =，解得23b =，所以椭圆Γ的标准方程为22143x y +=．（2）当直线l 垂直于x 轴时，由2223412y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=， 解得27x =或2，此时2,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0；当直线l 不垂直于x 轴时，设11(,)E x y ，22(,)F x y ，直线l ：(2)y kx t t k =+≠-，由223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()2223484120k x ktx t +++-=，依题意()()2222644344120k t k t ∆=-+->，即()22430k t -+>*，且122834kt x x k +=-+，212241234t x x k -=+，又AE AF ⊥，∴()()()()()()2212121212274162222034t k ktAE AF x x y y x x kx t kx t k ++⋅=--+=--+++==+u u u r u u u r ， ∴2274160t k kt ++=，即()()7220t k t k ++=，解得27kt =-满足()*， ∴()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，故2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．故直线AP 的斜率22223313447846872834APt t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当0k <时，78414k k+≤-，此时14056AP k -≤<； 当0k >时，78414k k+≥，此时14056AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为1414,5656⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 20. （I ）设，.，当0x >时，()0g x '>，因此函数在区间上单调递增.且，.所以，在区间上只有一个零点，方程在区间上只有一个解.（Ⅱ）设，，定义域为，，令，则，由（I ）知，在区间上单调递增，且只有一个零点，不妨设的零点为，则，所以，与在区间上的情况如下：﹣ 0 +所以，函数的最小值为，，由，得，所以.依题意，即，解得。
莆田一中高三下学期月考理科数学试卷及答案
n=1 s=1WHILE_条件 s = s+n n = n+1 WEND PRINT s END（第3题）程序莆田一中2012-2013学年下学期高三第五次月考数学（理）试卷2013-5-2(满分150分，考试时间120分钟，祝你考试成功！)一、选择题(每题只有一个正确答案,每题5分,共10小题，共50分)1. 已知集合A={}2,1，则满足{}3,2,1=⋃B A 的集合Ｂ有（ ）个A.1B.2C.3D.42. 下列叙述中错误的是( )A ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假B ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠” C ．对命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈则210x x ++≥D ．若x 、y R ∈，则“x y =”是“22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”成立的充要条件3.已知数列}{n a ，n a a a n n +==+11,1，若利用如图所示的程序计算该数列的第10项，则程序WHILE 后应填的条件是（ ）A ．9<nB ．10<nC ．11<n D.12<n 4.在nxx )3(+的展开式中，各项系数之和为A ,各项的二项式系数之和为B ，且72=+B A ，则展开式中常数项为( )A.6B.9C.12D.185.已知三个数2,8m ，构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为（ ） A.22B.3C.22或3D.22或626.已知函数sin (0)y ax b a =+>的图像如图所示，则函数log ()a y x b =+的图像可能是()A. B. C. D. 7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）8.已知正方形ABCD 边长为2,在正方形ABCD 内任意取一点M ，则点M 到边BC 的距离大于M 到点A 的距离的概率为( )A.61 B.31 C.32 D.65 9.在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分别为6π和23π，向量OC 满足0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是( )A.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭10.对于定义域和值域均为[0，1]的函数)(x f ，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，*N n ∈，满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为)(x f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则)(x f 的n 阶周期点的个数是( )A.n 2B.)12(2-nC.22nD.n2 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11.已知)4,2(~N X ，且2.0)(=<a X P ，则=-<)4(a X P ________12.如图,正方体1111D C B A ABCD -中,M,N 分别是棱1BB 、11C B 的中点．则直线MN 与平面11ACC A 所成角的正切值为________13.某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：现按分层抽样的方法从位于[70，80)，[80，90)和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，则成绩位于[70，80)分数段的份数为_______14.“求方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。
2018-2019学年福建省莆田第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题
莆田一中2018-2019学年度下学期期末考试试卷高二理科数学范围：选修2-2、2-3、4-4、4-5、立体几何命题人：高二数学备课组审核人：高二数学备课组第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}0107{2<+-=x x x A ，}41{<<=x x B ，则=B A ()A ．}21{<<x x B ．}54{<<x x C ．}42{<<x x D ．}51{<<x x 2.已知复数i i z )1(+-=，则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若命题p ：R x ∈∀，01ln <+-x x ，则p ⌝是（）A ．R x ∈∀，01ln ≥+-x xB ．R x ∈∃0，01ln 00≥+-x xC ．R x ∈∀，01ln =+-x x D ．R x ∈∃0，01ln 00<+-x x 4.在一组样本数据为（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若这组样本数据的样本相关系数为－1，则所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）满足的方程可以是（）A ．121+-=x y B ．1-=x y C ．1+=x y D ．2x y -=5.某运动队有男运动员4名，女运动员3名，若选派2人外出参加比赛，且至少有1名女运动员入选，则不同的选法共有（）A ．种6B ．种12C ．种15D ．种216.右图是某陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A .3πB .πC .37πD .π37.在底面为正方形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则异面直线PB 与AC 所成的角是（）A ．90B ．60C ．45D ．︒308.设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是（）A ．l 1⊥m ，l 1⊥nB ．m ∥n ，l 1⊥nC ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ⊥l 1，m ⊥l 29.函数x x y ln =的大致图象是（）A B C D10.某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布)04.0,10(N ，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.8cm 和10.9cm ，则可认为（）A ．上、下午生产情况均正常B ．上午生产情况异常，下午生产情况正常C ．上、下午生产情况均异常D ．上午生产情况正常，下午生产情况异常11.线段8=AB ，点C 在线段AB 上，且2=AC ，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转与点B 绕点P 旋转交于点D （如右图所示）．设x CP =，CPD ∆的面积为)(x f ，则)(x f 的最大值为（）A ．2B ．22C ．3D ．3312.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF Rt ∆、CDE Rt ∆分别沿BF 、DE 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误的是（）A .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为 90B .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为 60C .C A 、两点都不可能重合D .存在某个位置，使得直线AB 垂直于直线CD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.5)21(x +的展开式中2x 的系数为________．14.随机变量ξ的分布列如下表：ξ-11Pa21b且31)(=ξE ，则=)(ξD ________．15.某次考试结束后，甲、乙、丙三位同学讨论考试情况.甲说：“我的成绩一定比丙高”.乙说：“你们的成绩都没有我高”.丙说：“你们的成绩都比我高”.成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，则这三人中成绩最高的是________．16.已知点P ，A ，B ，C 均在表面积为π81的球面上，其中ABC PA 平面⊥，30=∠BAC ，AB AC 3=，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．（12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”，否则称其“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从采访的女性用户中按分层抽样的方法选出10人，再从中随机抽取3人赠送礼品，求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考数据：()2P K k≥0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中d c b a n +++=.18．（12分）如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2=AB ，120ABC ∠=︒.平面BDEF ⊥底面ABCD ，//DE BF ，BD DE ⊥，22==DE BF .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的正弦值.19．（12分）甲、乙两队进行防溺水专题知识竞赛，每队3人，首轮比赛每人一道必答题，答对者则为本队得1分,答错或不答得0分.已知甲队每人答对的概率分别为43，32，21，乙队每人答对的概率均为32.设每人回答正确与否互不影响，用ξ表示首轮比赛结束后甲队的总得分.（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求在首轮比赛结束后甲队和乙队得分之和为2的条件下，甲队比乙队得分高的概率.20．（12分）如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA ，PM ，PB .水滑道的下端点A 、B 、M 在同一条直线上，m CM 10=， 120=∠BCA ，CM 平分BCA ∠，假设水滑梯的滑道可以看成线段，A 、M 、B 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ∆∆∆≤+2.（1）求滑梯的高PC 的最大值；（2）当 30=∠PBC 时，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值.图（1）图（2）21．（12分）已知函数x a a x x ax x f )(21ln )(22+-+=.（1）当1-=a 时，证明：0)(>x f ；（2）若)(x f 只有一个极值点，求a 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin 2cos y x .以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为08cos 62=++θρρ.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为1C ，2C 上的动点，求MN 的取值范围.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知a ，b ，c 均为正数.（1）若1=++c b a ，证明：9111≥++cb a ；（2）若1=abc ，证明：cb ac b a 111++≤++.。
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） B.3 ) C． (0, C. 2 2 D. 3 3
2．抛物线 y 4 x 的焦点坐标为 ( A． (0,1) B． (1,0)
1 ) 16
D． (
1 ,0 ) 16
3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为（ A. ） C.
2 3
B.
3
6
12.40
13． P
1 . 3
14.
x | x 1, 或 1 x 0
15. 3, 2
中 最
则 X ~ B (3, ) ， P ( X 0) ( )
1 12 1 4 1 2 ， P ( X 1) C 3 ( ) 125 5 5 125 4 1 48 4 64 3 P ( X 2) C32 ( ) 2 ( ) ， P ( X 3) ( ) ……………9 分 5 5 125 5 125
页 3第
1 EB
2
(Ⅱ)设 g x f x
t ，且 A(x1，y1)、B(x2， y2)(x1≠x2)是曲线 y=g(x)上任意两点，若对任意的 t ex ≤-1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围；
n n n n
（Ⅲ）求证： 1 2 n 1 ≤ n (n∈N*). 21． （本题满分 14 分） 本题有（1） 、 （2） 、 （3）三个选答题，每题 7 分，请考生任选两题做答，满分 14 分．如果多做，则按 所做的前两题记分．作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填 入括号中． （1） （本小题满分 7 分）选修 4－2：矩阵与变换 如图，矩形 OABC 在变换 T 的作用下变成了平行四边形 OA ' B ' C ' ， 所对应的矩阵为 M ， 矩阵 N 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原 倍，纵坐标伸长到原来的 3 倍所对应的变换矩阵。 (Ⅰ)求 ( MN ) ； 断矩阵 MN 是否存在特征值。 （2） （本小题满分 7 分) 选修 4—4：极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数）,M 是 C1 上的动点，P 点满足 (Ⅰ)求 C2 的方程； (Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
A. PF1 PF2 8
D. PF1 PF2 8
8．在高校自主招生中，某校获得 5 个推荐名额，其中清华大学 2 名，北京大学 2 名，复旦大学 1 名，并 且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同推荐 方法的种数是 ( ) A．20 B.22 C.24 D. 36 9．已知 a, b, c 均为单位向量，且满足 a b 0 ，则 ( a b c) ( a c) 的最大值为（
1
变换 T 来的 2 (Ⅱ) 判
x 2 cos y 2 2sin
OP 2O M ,P 点的轨迹为曲线 C2，
与 C1 的异于极点的交点为 A，与 3
C2 的异于极点的交点为 B，求 AB .
（3） （本小题满分 7 分) 选修 4—5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式： 2 x m 1 的整数解有且仅有一个值为 2. （Ⅰ）求整数 m 的值; （Ⅱ）已知 a, b, c R ，若 4a 4b 4c m ，求 a b c 的最大值
样本数据 x1 ， x2 ， ， xn 的标准差 锥体体积公式：
1 2 2 2 x1 x x2 x x n x n 其中 x 为样本平均数 s
柱体体积公式
V
1 Sh 3
其中 S 为底面面积， h 为高
球的表面积、体积公式
V Sh
2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 在 x 轴上是否存在一定点 E，使得对椭圆 C 的任意一条过 E 的弦 AB， 为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由。 20． （本小题满分 14 分） x 已知 f(x)=e -t(x+1). (Ⅰ)若 f(x)≥0 对一切正实数 x 恒成立，求 t 的取值范围；
2 9
D.
16 9
4. 设随机变量 服从正态分布 N (3,4) , 若 P ( 2a 3) P ( a 2) ,则 a ( A．3 B． )
5 3
C．5
D．
5. 设函数 f ( x ) log 2
x ，等比数列 an 中， a 2 a 5 a8 8 ，则 4
17． （本小题满分 13 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC ， AC 为 PC 的中点， M 为 AH 的中点， PA （Ⅰ）求证： AH 平面 PBC ； （Ⅱ）求 PM 与平面 AHB 成角的正弦值； （Ⅲ）设点 N 在线段 PB 上，且 求实数 的值.
其中 S 为底面面积， h 为高
S 4R 2 ， V
4 3 R 3
其中 R 为球的半径
第Ⅰ卷 （选择题
共 50 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合 题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． ） 1.如图，在复平面内，复数 Z1 , Z 2 对应的向量分别是 OA, OB, 则 | Z1 Z 2 | =（ A．2
BC ，
H
AC 2 ， BC 1 .
PN ， MN // 平面 ABC ， PB
18. (本秒）的变化规律大致 可用 y (1 4sin
2
t 2 t ) x 20(sin ) x （ t 为时间参数， x 的单位： m ）来描述，其中地面可作为 x 轴 60 60 所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为 y 轴。
页 2第
1 3 的最大值 AB AC
题 卡
城 试 〜 价
市 行 用 收
费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了 频率分布直方图， (I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整； (II)用样本估计总体，如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少 吨，并说明理由； (III)若将频率视为概率， 现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量(看作有放回的抽样） ， 其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为 x，求 x 的分布列和均值.
） D. -10
7 3
f (a1 ) f (a2 ) ... f (a9 ) （
A. -9 B. -8
2
C.
-7
6． 若函数 f ( x ) x x a ，则使得“函数 y f ( x ) 在区间 ( 1,1) 内有零点”成立的一个必要非充分条 件是（
页
）
1第
( A)
（Ⅰ）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值； （Ⅱ）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和 两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
19．(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x2 y2 2 5 2 2 1 ( a b 0 )的离心率为 ,点(1, 5 )在椭圆 C 上. 2 a b 5 5 1 EA
4 4 4 2 2 2
2014 届莆田一中高三理科数学模拟试卷参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. A 2. C 3. D 4. D 5. A 6. A 7. D 8. C 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．
页 4第
9. C
3
4 5
4 ， 5
1 5
分布列为
X P
…11 分
0
1
2
3
1 125
12 125
48 125
64 125
.………………13 分
E( X ) 3
4 12 5 5
答：人数 x 均值为
（本小题满分 13 分） 17．
PA 底面 ABC ， BC 底面 ABC ， 所以 PA BC ， ………… 1 分 又因为 AC BC ， PA AC A ， 所以 BC 平面 PAC ，………… 2 分 又因为 AH 平面 PAC ， 所以 BC AH . ……… 3 分 因为 PA AC ， H 是 PC 中点，所以 AH PC ， 又因为 PC BC C ，所以 AH 平面 PBC . …………… 5 分 （Ⅱ）解：在平面 ABC 中，过点 A 作 AD // BC ， 因为 BC 平面 PAC ，所以 AD 平面 PAC ， 由 PA 底面 ABC ，得 PA ， AC ， AD 两两垂直， 所以以 A 为原点， AD ， AC ， AP 所在直线分别为 x 轴， 轴如图建立空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0) ， P (0, 0, 2) ，
）
A.1 2 3 B.3 2 2 C.2 5 D.2 2 2
2 x 1( x 0) 10.已知函数 f ( x) ，把函数 g ( x) f ( x) x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列， f ( x 1) 1( x 0) 则该数列的通项公式为 ( ) n(n 1) (n N* ) A． an B． an n (n 1)(n N* ) 2
福建省莆田一中数学（理科）
（完卷时间：120 分钟；满分：150 分） 注意事项： 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、 班级、准考证号、姓名； 2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 参考公式：