2013年考研数一真题答案解析
考点：矩阵分块、等价向量组及逆矩阵的理论．
解 将矩阵 A, C 按列分块，令 A (a1, a2,…, an ),C (c1, c2,…, cn ),
b11, b12 …b1n
由于
AB
C
，故(
a1,
a2
…an
)
b21
,
b22
……
…b2
n
=( c1, c2 …cn )
注：此题如果作为解答题出现，使用洛必达法则来讨论严格地说是错误的．
2.曲面 x2 cos(xy) yz x 0 在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为（ ）
A. x y z 2 B. x y z 0 C. x 2y z 3 D. x y z 0
解 当 x 0 时， y 1，将方程两端对 x 求导，有 y '1 (1 y)ex(1y) ，故 y '(0) 1，从而
lim n(
f
(1) 1)
lim
f
(1) n
f
(0)
f
'(0)
y '(0)
1
n
n
n
1
n
典型错误：没有发现 lim n( f (1) 1) f '(0)
n
n
10.已知 y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解， 则该方程的通解 y= 。
答： C1ex C2e3x xe2x 考点：线性常微分方程解的结构．
解 由题意， y2 y3 ex 为该二阶常系数非齐次线性微分方程所对应的齐次方程的一个解，
P Y c2 ( )
（ Ａ） α ． （ Ｂ） １ －α ． （ Ｃ） ２α ． （ Ｄ） １ －２α ． 答：（C）． 考点： X 2 分布与 F 分布的关系及上分位数的概念． 解 由于 X ~ t(n),Y ~ F(1, n), 所以 Y X 2 ．故
P{ Y 2c} P{ 2 X 2 c} {P X c( X }．c2 a
1 a 1 2 0 0
6.矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为（
）
1 a 1 0 0 0
A. a 0,b 2 B. a 0,b 为任意常数
C. a 2,b 0 D. a 2,b 为任意常数
答：（B）． 考点：对称矩阵、相似对角矩阵的充分必要条件． 解 由于题中所给的矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充分必要条件是有相同的特征值．由
11.设
x y
sin t t sin
t
cos
t
(t为参数)，则
d2y dx2
t
。
4
答： 2 ．
考点：参数方程求导．
dydx=dydtdxdt=t
dd 又
2y 2x
d ( dy ) dx dx
dt dx
1 cos
t
.
，从而
d2y dx2
t 4
2
典型错误：颠倒了参数方程求导公式的形式．
12.
ln x 1 (1 x)2
dx
。
答： ln 2 ．
考点：反常积分的计算． 解
5
(1x) 1
ln x
2dx
ln xd (
1
)
ln x
1
1 x 1 x 1
1 dx 1 x(1 x)
(1 1 )dx ln x ln 1 ln 2
答：（A）． 考点：多元函数微分学的几何应用．
解 设 F(x, y, z) x2 cos(xy) yz x, 由题意，切平面的法向量为
[F′x,F′y,F′z]|(0,1,−1),又 F′x(0,1,−1）=[2x−ysin(xy)+1]|（0,1，−1）=1 F′y（0,1，−1）=−xsinxy+z|（0,1，−1）=-1 F′z（0,1，−1）=y|（0,1，−1）=1
2013 考研数学一真题答案解析
一、选择题(第1~8 小题,每小题4 分,共32 分。下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的. )
1.已知极限 lim x arctan x c ，其中 k，c 为常数，且 c 0 ，则（ ）
x0
xk
A. k 2, c 1 B. k 2, c 1 C. k 3, c 1 D. k 3, c 1
1 x 1 x
1 x 1
2
13.设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵，A 为 A 的行列式，Aij 为 aij 的代数余子式.若 aij+Aij=0(i，j=1,2,3），
则｜A｜＝
。
答：-1．
代数余子式和伴随矩阵的概念，抽象矩阵行列式的求法.
A∗ =−AT,AA∗ =-AAT=|A|E
两边再取行列式，得 A 2 A 3 ，于是 A 0 或 A 1．
P2
X
2
2
P 1
X
0
2
2
1
(1) (1),
p P 3
2 X 3 2
P
7 3
X
3
3
5
1
(1)
(
7 3
),
根据标准正态分布的概率密度图形，可以看出 p1 p2 p3 ．
8.设随机变量 X : t(n) ,Y : F(1, n) ，给定 a(0 a 0.5) ，常数 c 满足 PX c a ，则
注：解答本题的关键是找到 X 和 Y 的概率分布的关系，将事件{Y c2}转化为关于 X 的 事件．
二、填空题(第9 ~14 小题,每小题4 分,共24 分。)
9.设函数 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y) 确定，则 lim n[ f ( 1 ) 1] ＝ 。
n
n
答：1．
4
考点：导数的定义与隐函数求导．
y y (Q P)d (1
x )d (
2
Di
2
2 2 )d 其中 SDi 表示区域 Di 的面积．
利用极坐标和二重积分的对称性与换元法，可得
2
y π ( 2
)d π 3
2π
d
1
3dr 5π ,
I x r 1 D1
x
1
F
(x)
1 2
1
x, 0 x,
x 1
1 2
x
0
2
2
1
x,
1
x
1
2
2
94)=F(-14)= -14
典型错误：将 f (x) 做奇延拓时，没有准确写出 F(x) 的表达式．
4.设 L1 : x2 y2 1 ，L2 : x2 y2 2 ，L3 : x2 2 y2 2 ，L4 : 2x2 y2 2 为四条逆时针
如果 A 0 ，则 AAT 0 ，此时 A 0 ，这与已知矛盾，故 A 1.
注：本题也可以用行列式展开定理， A (a112 a122 a132 ) 0 ，从而确定 A 1．
14.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，a 为常数且大于零，则 P{Y≤a+1|Y＞a}=______
注：本题也可以直接利用条件概率计算公式求出，但比较繁琐．
A. P1 P2 P3
B. P2 P1 P3
C. P3 P2 P2
D P1 P3 P2
答：（A）． 考点：计算服从正态分布的随机变量所表示的事件的概率． 解
p 1
P2
X
1
2
P 2
X 10
1
2 (2) (2),
p 2
y1 y3 e3x 为该二阶常系数非齐次线性微分方程所对应的齐次方程的另一个解，且两个解线性 无关，显然 y* xe2x 该方程的一个特解．
由线性常微分方程解的结构，该二阶常系数非齐次线性微分方程的通解可以表示为
y C1ex C2e3x xe2x ． 典型错误：不能确定二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解．
的特征值为 2,b,0 ．此时两个矩阵相似，与 b 的取值无关，故选（B）．
注：不是对称矩阵的相似矩阵有相同的特征值，而特征值相同的不一定相似．
7. 设 X1, X2, X3 是 随 机 变 量 ， 且 X1 : N(0,1) ， X2 : N(0, 22 ) ， X3 : N (5,32 ) ，
Pi P2 Xi 2(i 1, 2,3) ，则（ ）
2
40
0
8
y 2π ( I x r 2
D2
2
2
)d 2π 3
2π
d
2
2
40
0
3dr π 2
I3
2π
(x2
D3
y2
)d 2
2π
2
2π
0
(1
cos2
)d
1
0
2013考研数一真题及解析
【答案】1 − 1 e
【解析】
f
(y)
=
e− y， y > 0， 0， y ≤ 0，
{ { { ∫∫ P
Y
≤ a +1Y
> a} =
P
Y
> P
a,Y Y>
≤a
a}
+
1}
=
a +1
a +∞
f ( y)dy f ( y)dy
=
e−a
− e−(a+1) e−a
=1− 1 e
a
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证
1
f (x)d
0x
0
x = 2 f (x)
x
1 0
−2
1 0
x f ′(x)dx
= 2 f (1) − 2∫1 ln(x +1) xdx = −2∫1 ln(x +1) dx = −4∫1ln(x +1)d x
0x
0x
0
∫ ∫
= −4 ln(x +1)
x
1 0
−
1
x
dx = −4 ln 2 + 4
【答案】A
【解析】曲面在点 (0,1,-1) 处的法向量为
→
n =(Fx′,Fy′,Fz′) (0,1,-1) =(2x-y sin (xy)+1,-x sin (xy)+z,y) (0,1,-1) =(1,-1,1) 故曲面在点 (0,1,-1) 处的切面方程为 1⋅ (x-0)-(y-1)+(z+1)=0, 即 x − y + z = −2 ，选 A
考研数学一二维随机变量及其分布历年真题试卷汇编2_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（二维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编2(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ数F(z)的间断点的个数为( )．ZSSS_SINGLE_SELAB1C2D3分值: 7.5答案:BF(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)=P(XY≤z｜Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)P(Y=1)Z=[P(XY≤z｜Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)]／5．又X，Y相互独立，故 F(z)=[P(X·0≤z)+P(X≤z)]／2．Z(z)=[+ф(z)]／2=ф(z)／2．当z＜0时， FZ(z)=[P(Ω)+P(X≤z)]／2=[1+ф(z)]／2．当z≥0时， FZ综上所述，得到因(z)只有一个间断点z=0．仅B入选．所以FZ2.[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=( )．SSS_SINGLE_SELA1／5B1／3C2／5D4／5分值: 7.5答案:A由题设有而X与Y相互独立，故f(x，y)=fX (x)fY(y)=则P(X＜Y)= f(x，y)dxdy=∫0+∞∫x+∞4e-(x+4y)dxdy=一∫+∞e-x dx∫x+∞e-4y d(一4y)=∫0+∞e-x·e-4x dx=∫+∞e-5x dx=仅A入选．3.[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则( )．SSS_SINGLE_SELAa=0．2，b=0．3Ba=0．4，b=0．1Ca=0．3，b=0．2Da=0．1，b=0．4分值: 7.5答案:B由=(a+0．4)+(b+0．1)=a+b+0．5=1(归一性)知，a+b=0．5．又由事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故 a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4．从而b=0．5一a=0．1．填空题4.[2003年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P(X+Y≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:首先求出积分区域D ∩ G．D ∩ G实质上是G={(x，y)｜0≤x≤y≤1}与D={(x，y)｜x+y≤1}交集．可知，0≤x≤y≤1是在y=x上方的区域，而x+y≤1是直线x+y=1下方的区域．两者之交即为D ∩ G(见图)，故5.[2015年] 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY—Y＜0}=_______．SSS_FILL分值: 7.5答案:因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，故X，Y相互独立，则P{XY—y＜0}=P{(X一1)Y＜0}=P{X一1＜0，Y＞0}+P{X一1＞0，Y＜0}=P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1}=P{X＞1}=．因Y～N(0，1)，故P{Y＞0}=P{Y＜0}=．所以6.[2006年] 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max{X，Y}≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:1/9P(max(X，Y)≤1)=P({X≤1}{Y≤1})=P(X≤1，Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=[(1一0)／(3—0)][(1一0)／(3一0)]=(1／3)×(1／3)=1／9．解答题[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=一1，0，1)，Y的概率密度为记Z=X+Y．SSS_TEXT_QUSTI7.求P(Z≤1／2｜X=0)；分值: 7.5答案:由于X，Y相互独立，有P(Z≤1／2 ｜X=0)=P(X+Y≤1／2｜X=0)=P(y≤1／2｜X=0)SSS_TEXT_QUSTI8.求Z的概率密度fZ(z)．分值: 7.5答案:因X的可能取值为一1，0，1，而fY(y)取非零值的自变量的变化范围为0≤y≤1，一1≤z=x+y≤2．(1)当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，故F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1．(2)当z=x+y＜一1时，X，Y的取值为空值，则P(X+Y≤z)==0．(3)当一1≤z＜2时，下面用全概率公式求出FZ(z)的表示式：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z｜X=一1)P(X=一1)+P(X+Y≤z｜X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z｜X=1)P(X=1)(Fy(z)为y的分布函数)，则fZ (z)=F'Z(z)=[FY(z+1)+fY(z)+fY(z—1)]．当0＜z+1＜1或0＜z＜1或0＜z—1＜1，即一1＜z＜2时，FZ(z)=；其他情况下，fZ(z)=0．[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，，Y的概率密度为fY(y)=SSS_TEXT_QUSTI9.求P{Y≤E(Y)}；分值: 7.5答案:因E(Y)=∫-∞+∞yfY(y)dy=∫1y·2ydy=，故SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=X+Y的概率密度．分值: 7.5答案:Z的分布函数FZ(Z)=P{X+Y≤z，X=0}+P{X+Y≤z，X=2} =P{X=0，Y≤z}+P{X=2，Y+2≤z}=，故Z的概率密度函数为[2014年] 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=P(X=2)=，在给定X=i的条件下，随机变量y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)．SSS_TEXT_QUSTI11.求Y的分布函数F(y)；Y分值: 7.5答案:记U(0，i)的分布函数为F(x)(i=1，2)，则i(y)=p(Y≤Y)=P(x=1)P(Y≤y｜X=1)+P(X=2)P(Y≤y｜X=2)于是FY因在X=i的条件下，Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)，故当y≤0时，(y)=0．Fi当0＜y≤1时，当1＜y＜2时，当y≥2时，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求期望E(Y)．分值: 7.5答案:(y)可得概率密度函数为由Y的分布函数FY+∞yfy(y)dy=故E(Y)=∫-∞[2013年] 设随机变量X的概率密度为令随机变量，SSS_TEXT_QUSTI13.求y的分布函数；分值: 7.5答案:+∞f(x)dx=，得到a=9．此时，X的利用概率密度函数的归一性，由1=∫-∞概率密度为(y)．由题设知，Y的取值范围为1≤Y≤2，故设Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}=0；P(1≤Y≤2)=1．因而当y＜1时，FY当1≤Y＜2时，F(y)=P{Y≤y}=P{Y＜1}+P{Y=1}+P{1＜Y≤y}Y=0+P{X≥2}+P{1＜X≤Y}=(y)=P{Y≤y}=P{Y≤2}=1．当Y≥2时，FY综上得到y的分布函数为SSS_TEXT_QUSTI14.求概率P{X≤Y}．分值: 7.5答案:由随机变量y的分段表示式易看出，满足x≤y的x的取值范围为x＜2．因而所求概率为P{X≤Y}=P{X＜2}=[2016年]设二维随机变量(X，Y)在区域D=((x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜)上服从均匀分布．令SSS_TEXT_QUSTI15.写出(X，Y)的概率密度；分值: 7.5答案:易求得区域D的面积，故(X，Y)的概率密度SSS_TEXT_QUSTI16.问U与X是否相互独立?并说明理由；分值: 7.5答案:考查事件{U=0}与乘积的概率是否与事件{U=0}的概率的乘积相等．事实上，它们不相等．易求得显然，故U与X不独立．SSS_TEXT_QUSTI17.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．分值: 7.5答案:下面用全集分解法求f(u，v)的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(U+X≤z)．FZ(z)=P(U+X≤z)=P(U=0，U+X≤z)+P(U=1，U+X≤z)=P(U=0，X≤z)+P(U=1，U≤z—1)=P(X＞y，X≤z)+P(X≤Y，X≤z一1)注意到x取值的边界点为0，1，而U取值边界点也为0，1，因而z的取值的分段点为0，1，2．于是应分下述四种情况分别求出FZ(z)的表示式．①z＜0时，则P(X≤z)==0，P(X≤z—1)==0，故FZ(z)=0．②0≤z＜1时，③1≤z＜2时，④z≥2时，FZ(z)=P(X＞Y)+P(X≤y)=P(U=0)+P(U=1)=1．综上所述，Z的分布函数为[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个白球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球个数．SSS_TEXT_QUSTI18.求P(X=1｜Z=0)；分值: 7.5答案:(I)用缩减样本空间的方法求之．求时应注意两次取球取到的是不同类的球，要讲次序．因而两次都没取到白球(Z=0)的条件下，只能取红、黑两种球，且每次都要取到一个红球，其可能性为C11×C21+C21×C11=4，总的可能性为C 31×C31=3×3=9，故SSS_TEXT_QUSTI19.求二维随机变量(X，Y)的概率分布．分值: 7.5答案:由题设知X与Y的所有可能取值均为0，1，2，而取值的概率可由古典概率的计算公式得到．计算时要注意两次取球取到的是不同类的球要讲次序，取到的是同类的球不讲次序．故(X，Y)的概率分布为20.设随机变量X的概率密度为f(x)=e-｜x｜／2，一∞＜x＜+∞，问随机变量X 与｜X｜是否相互独立?为什么?SSS_TEXT_QUSTI分值: 7.5答案:因X和｜X｜为两个随机变量，下面证明对于给定的a(0＜a＜+∞)，式P(X＜x，Y＜y)=P(X＜x)P(Y＜y)不成立，从而X与｜X｜不相互独立．事实上，因事件{｜X｜＜a}包含在事件{X＜a}之中，即{X＜a} {｜X｜＜a}，故P(X＜a，｜X｜＜a)=P({X＜a}∩{｜X｜＜a})=P(｜X｜＜a)．又P(X＜a)＜1，P(｜X｜＜a)＞0，因而P(X＜a)P(｜X｜＜a)＜P(｜X｜＜a)．于是P(X＜a，｜X｜＜a)=P(｜X｜＜a)＞P(X＞a)P(｜X｜＜a)，故P(X＞a，｜X｜＜a)≠P(X＜a)P(｜X｜＜a) (0＜a＜+∞)．可知，X与｜X｜不相互独立．1。
2013考研数学一真题解析
则｜A｜＝
。
【考点分析】：伴随矩阵。
【求解过程】：-1
从题目条件 aij + Aij = 0 得知 Aij = −aij ，根据 A 和它的伴随矩阵之间的关系得知
A* = −AT （1）
再根据公式 AA* =| A | E = −AAT ，两边取行列式 − | A |2 =| A |3 解得：
| A |= 0 或| A |= -1
得 y(0)=1，因此极限的值为 1.
【方法总结】： lim n[ f ( 1) −1] 为 0* 型的极限，此类极限求法为先将其化作 0 型或者
n→
n
0
型，然后使用洛必达法则，等价无穷小代换或者泰勒公式求得。
10.已知 y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解， 则该方程的通解 y= 。 【考点分析】：二阶常系数微分方程求解。
【求解过程】：1− 1 。 e
PY a +1 Y a
dy dx
=
dt dx
=
sin t
+ t cos t cos t
− sin t
=t，
dt
d2y dx2
=
d (dy ) dx dx
=
d(dy ) dx dt
•
dt dx
=
sec t
，带入
t
的值，原式=
2。
【方法总结】：对于参数方程求导和反函数求导的题目，需要掌握求导的过程，特别对于其
中二阶倒数甚至更高阶导数的求法，更需认真对待。
x→ 1+ x
1
= 0 − 0 + 0 − (− ln 2)
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 （2）设函数()y f x =由方程确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价更多免费资料请关注微信公众号：xzwendu QQ 群：329760225（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()1xt f x e dt -=-⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线2arctan ln 1x ty t=⎧⎪⎨=+⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)历年真题试卷汇编1(题后含
考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：由题设有Aα=λα，且AT=A．令B=(P-1AP)T，则B=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1，A=(PT)-1BPT．故Aα=(PT)-1BPTα，即(PT)-1B(PTα)=λα．两边乘以PT得到B(PTα)=λPTα．如能证明PTα≠0，则PTα为B的属于λ的特征向量．事实上，如PTα=0，则由P为可逆矩阵知，PT也为可逆矩阵，于是有(PT)-1PTα=(PT)-10=0，即a=0．这与a≠0矛盾．仅B 入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．A．AT与BT相似B．A-1与B-1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A-1与B+B-1相似正确答案：C解析：因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P-1AP．①在式①两边取转置，得到BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=[(PT)-1]-1AT[(PT)-1]故AT与BT相似，选项A正确．在式①两边求逆运算得到B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P，②故A与A-1相似，选项B正确．由式①+式②得到B+B-1=P-1AP+P-1A-1P=P-1(A+A-1)P，故A+A-1～B+B-1，选项D正确，仅C 入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．[2017年] 已知矩阵，则( )．A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C相似正确答案：B解析：显然A，B，C的特征值都为λ1=λ2=2，λ3=1．由2E—A=得秩(2E —A)=1，则A可以相似对角化，故A与C相似．由2E—B=得秩(2E—B)=2，则B不可相似对角化，故B与C不相似．综上，仅B入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．[2018年] 下列矩阵中，与矩阵相似的为( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：记矩阵，则｜λE—M｜==(λ一1)3=0，所以矩阵M的特征值为λ1=λ2=λ3=1，且秩(λE—M)=秩(E—M)=2．设选项A，B，C，D的矩阵分别记为A，B，C，D，容易计算出其特征值均为1，且秩(λE—A)=秩(E—A)=2，秩(E —B)=秩(E—C)=秩(E—D)=1，若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似，故秩相等．所以可以判断选项A正确．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．[2013年] 矩阵与相似的充分必要条件为( )．A．a=0，b=2B．a=0，b为任意常数C．a=2，b=0D．a=2，b为任意常数正确答案：B解析：令，则=λ[λ2一(b+2)λ+2b—2a2]，=λ(λ—2)(λ—b)．因λ=2为B的特征值，故λ=2也必为A的特征值，则｜2E一A｜=2[22一(b+2)·2+2b—2a2]=2(一2a2)=0，所以a=0．因λ=b为B的特征值，故λ=b也必为A的特征值，则｜bE—B｜=b[b2一(b+2)b+2b]=b·0=0，即b可为任意常数．仅B入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．[2010年] 设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A 相似于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：设λ为A的特征值，则由A2+A=O得到λ2+λ=(λ+1)λ=0，于是A 的特征值为一1或0．又因A为实对称矩阵，故A必与对角矩阵A相似．因A 的秩为3，知，A的非零特征值个数为3，故对角矩阵A的秩也为3．于是A=diag(一1，一1，一1，0)．仅D入选．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题7．设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．正确答案：n解析：因秩（A）=1，知A有n一1个零特征值λ1=λ2=…=λn-1=0，另一特征值为λn=a11+a22+…+ann=1+1+…+1=n．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．[2009年] 若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为______．正确答案：2解析：(βαT)T=(βαT)(βαT)=β(αTβ)αT=2βαT，则βαT的任意特征值λ满足λ2=2λ，故矩阵βαT的特征值λ只能为0或2．若λ只能取零，则A为零矩阵，故αTβ=0．这与αTβ=2矛盾，故βαT有非零特征值2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．[2008年] 设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，A α1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______．正确答案：λ=1解析：因矩阵A满足矩阵等式，可用定义求出A的非零特征值．事实上，因Aα1=0，故A(2α1+α2)=2Aα1+Aα2一Aα2=2α1+α2=1·(2α1+α2)．又因α1，α2线性无关，故2α1+α2≠0，由定义知λ=1为A的非零特征值．知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．[2018年] 设二阶矩阵A有两个不同的特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由A2(α1+α2)=α1+α2可知(A2一E)(α1+α2)=0．α1，α2线性无关，因此方程(A2一E)x=0有非零解，从而｜A2一E｜=0，所以特征值λ满足方程λ2一1=0，即λ=1或λ=一1．又A有两个不同的特征值，所以｜A｜=1·(一1)=一1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2013年考研数学一真题及答案全集解析
2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论............................................................. 错误!未定义书签。
1.1项目提要........................................................... 错误!未定义书签。
1.2结论与建议....................................................... 错误!未定义书签。
1.3编制依据 .......................................................... 错误!未定义书签。
第二章项目建设背景与必要性............................. 错误!未定义书签。
2.1项目背景........................................................... 错误!未定义书签。
2.2项目建设必要性 .............................................. 错误!未定义书签。
第三章市场与需求预测......................................... 错误!未定义书签。
3.1优质粮食供求形势分析 .................................. 错误!未定义书签。
3.2本区域市场需求预测 ...................................... 错误!未定义书签。
3.3服务功能 .......................................................... 错误!未定义书签。
3.4市场竞争力和市场风险预测与对策.............. 错误!未定义书签。
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。
2012年考研数一真题及答案解析(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x xn x y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<- (16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),c o s2x ft L t y t π=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2013年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1. 已知极限0arctan lim k x x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（）A. 12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x c x kx kx x k x ---→→→→--+-+====+ 因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ） A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。
2013年考研数学一真题及答案解析
aij Aij 0(i, j 1, 2,3),则 A ____
（14）设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布, a 为常数且大于零，则 P{Y a 1| Y a} ________。
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
1 a 1 2 0 0
（6）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（A） a 0, b 2
（B） a 0,b为任意常数
（C） a 2,b 0
（D） a 2,b为任意常数
（7）设 X1，X2，X3 是随机变量，且 X1~N(0,1)，X2 ~N(0,22），X3 ~ N(5,32 ) , Pj P{2 X j 2}( j 1, 2,3), 则（ ）
（B） 1 4
（C） 1 4
（D） 3 4
（ 4 ） 设 l1 : x2 y2 1 , 2l : 2x 2y 23, l : 2x 22y 42 ,l : 22x 2 y为 四2条, 逆 时 针 的 平 面 曲 线 ， 记
Ñ Ii
li
(y
y3 )dx (2x 6
存在 (0,1),使得f '() 1
（II） 存在 1,1 ，使得 f ''() f '() 1
（19）（本题满分 10 分）
设直线 L 过 A(1, 0, 0), B(0,1,1) 两点，将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面 , 与平面 z 0, z 2 所围题