河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学试题(含答案解析)
2021河北衡水中学高三上学期二调数学试卷(解析版)
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，那么〔C U B〕∩A=( )A、〔﹣∞，﹣1]B、〔﹣∞，﹣1]∪〔0，3〕C、[0，3〕D、〔0，3〕2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，那么的最小值是( )A、B、2 C、D、3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，假设存在实数λ，使得与﹣λ垂直，那么λ=( )A、B、1 C、2 D、34．函数y=Asin〔ωx+φ〕+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，那么符合条件的解析式是( )A、B、C、D、5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，假设S △ABC=2，a+b=6，=2cosC，那么c=( )A、2B、4C、2D、36．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC 中点，那么的值为( )A、B、C、1 D、27．锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，假设sin2A﹣cos2A=，那么以下各式正确的选项是( )[来源:学&科&网Z&X&X&K]A、b+c=2aB、b+c＜2aC、b+c≤2aD、b+c≥2a8．函数g〔x〕=a﹣x2〔≤x≤e，e为自然对数的底数〕与h〔x〕=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，那么实数a的取值范围是( )A、[1，+2]B、[1，e2﹣2]C、[+2，e2﹣2]D、[e2﹣2，+∞〕9．S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，那么S25=( )A、232B、233C、234D、23510．函数f〔x〕=cosπx与函数g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( )A、2B、4C、6D、811．向量是单位向量，，假设•=0，且|﹣|+|﹣2|=，那么|+2|的取值范围是( )A、[1，3]B、[]C、[，]D、[，3] 12．定义在〔0，+∞〕上的单调函数f〔x〕，对∀x∈〔0，+∞〕，都有f[f〔x〕﹣log2x]=3，那么方程f〔x〕﹣f′〔x〕=2的解所在的区间是( )A、〔0，〕B、〔1，2〕C、〔，1〕D、〔2，3〕【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．假设tanα+=，α∈〔，〕，那么sin〔2α+〕+2cos cos2α的值为__________．14．函数f〔x〕〔x∈R〕满足f〔1〕=1，且f〔x〕的导数f′〔x〕＜，那么不等式f〔x2〕＜的解集为__________．15．S n是等差数列{a n}〔n∈N*〕的前n项和，且S6＞S7＞S5，有以下五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确的命题是__________〔写出你认为正确的所有命题的序号〕16．函数f〔x〕为偶函数且f〔x〕=f〔4﹣x〕，又f〔x〕=，函数g〔x〕=〔〕|x|+a，假设F〔x〕=f 〔x〕﹣g〔x〕恰好有4个零点，那么a的取值范围是__________．【三】解答题〔本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1〔1〕求{a n}的通项公式；〔2〕记b n=log2〔a n+1〕，求数列{b n•a n}的前n项和为S n．18．△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且〔1〕求tanA•tanB的值；〔2〕求的最大值．19．函数的最小正周期为3π．〔I〕求函数f〔x〕在区间上的最大值和最小值；〔II〕在△A BC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b ＜c，，求角C的大小；〔Ⅲ〕在〔II〕的条件下，假设，求cosB的值．20．函数f〔x〕=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性，并写出对应的单调区间；〔2〕设b∈R，假设函数f〔x〕≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．21．设函数f〔x〕=〔1+x〕2﹣mln〔1+x〕，g〔x〕=x2+x+A、〔1〕当a=0时，f〔x〕≥g〔x〕在〔0，+∞〕上恒成立，求实数m 的取值范围；[来源:]〔2〕当m=2时，假设函数h〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；〔3〕是否存在常数m，使函数f〔x〕和函数g〔x〕在公共定义域上具有相同的单调性？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由．22．函数f〔x〕=ln〔x+1〕+ax2﹣x，a∈R．〔Ⅰ〕当a=时，求函数y=f〔x〕的极值；〔Ⅱ〕假设对任意实数b∈〔1，2〕，当x∈〔﹣1，b]时，函数f〔x〕的最大值为f〔b〕，求a的取值范围．【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}，那么〔C U B〕∩A=( )A、〔﹣∞，﹣1]B、〔﹣∞，﹣1]∪〔0，3〕C、[0，3〕D、〔0，3〕【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=〔0，4]，B={x|〔x﹣3〕〔x+1〕≥0}=〔﹣∞，﹣1]∪[3，+∞〕，∴C U B=〔﹣1，3〕，∴〔C U B〕∩A=〔0，3〕，应选：D【点评】此题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．[来源:学科网]2．正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，那么的最小值是( )A、B、2 C、D、【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出那么的最小值．【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1〔舍去〕，∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=〔〕=，当且仅当，即n=2m时取等号．应选：A、【点评】此题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．3．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，假设存在实数λ，使得与﹣λ垂直，那么λ=( )A、B、1 C、2 D、3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，∴==2×1=2．∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直，∴==0，∴22﹣2λ=0，解得λ=2．应选：C、【点评】此题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4．函数y=Asin〔ωx+φ〕+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，那么符合条件的解析式是( )A、B、C、D、【考点】由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．【解答】解：由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin〔ωx+φ〕+m=±2sin〔2x+φ〕+2．再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin〔2x+〕+2，应选B【点评】此题主要考查利用y=Asin〔ωx+∅〕的图象特征，由函数y=Asin〔ωx+∅〕的部分图象求解析式，属于中档题．5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，假设S △ABC=2，a+b=6，=2cosC，那么c=( )A、2B、4C、2D、3【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，假设S △ABC=2，那么absinC=2，即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=〔a+b〕2﹣2ab﹣ab=〔a+b〕2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．应选C、【点评】此题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．6．设M是△ABC所在平面上的一点，且++=，D是AC 中点，那么的值为( )A、B、C、1 D、2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．【解答】解：如下图，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴==〔+〕；又∵++=，∴=﹣〔+〕=﹣3；∴==．应选：A、【点评】此题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意画出图形，结合图形解答问题，解题的关键是画出平行四边形MAEC，得出与的关系．7．锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，假设sin2A﹣cos2A=，那么以下各式正确的选项是( )A、b+c=2aB、b+c＜2aC、b+c≤2aD、b+c≥2a【考点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理．【专题】解三角形；不等式的解法及应用．【分析】等式左边变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos2A的值，由A为锐角求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出关系式，即可做出判断．【解答】解：由sin2A﹣cos2A=，得cos2A=﹣，又A为锐角，∴0＜2A＜π，∴2A=，即A=，由余弦定理有a2=b2+c2﹣bc=〔b+c〕2﹣3bc≥〔b+c〕2﹣〔b+c〕2=，即4a2≥〔b+c〕2，解得：2a≥b+c，应选：C、[来源:学&科&网Z&X&X&K]【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解此题的关键．8．函数g〔x〕=a﹣x2〔≤x≤e，e为自然对数的底数〕与h〔x〕=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，那么实数a的取值范围是( )A、[1，+2]B、[1，e2﹣2]C、[+2，e2﹣2]D、[e2﹣2，+∞〕【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f〔x〕=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f〔x〕=2lnx﹣x2，求导得：f′〔x〕=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′〔x〕=0在x=1有唯一的极值点，∵f〔〕=﹣2﹣，f〔e〕=2﹣e2，f〔x〕极大值=f〔1〕=﹣1，且知f〔e〕＜f〔〕，故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．应选B、【点评】此题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．9．S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，那么S25=( )A、232B、233C、234D、235【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由可得a n+3﹣a n=〔a n+1+a n+2+a n+3〕﹣〔a n+a n+1+a n+2〕=2，故a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案．【解答】解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，∴a n+3﹣a n=〔a n+1+a n+2+a n+3〕﹣〔a n+a n+1+a n+2〕=2，∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S25=〔a1+a4+a7+…+a25〕+〔a2+a5+a8+…+a23〕+〔a3+a6+a9+…+a24〕=++=233，应选：B【点评】此题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，根据得到a n+3﹣a n=2，是解答的关键．10．函数f〔x〕=cosπx与函数g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为( )A、2B、4C、6D、8【考点】函数的零点；函数的图象．【专题】作图题．【分析】由图象变化的法那么和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法那么可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g〔x〕=|log2|x﹣1||的图象；又f〔x〕=cosπx的周期为=2，如下图：两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2故所有交点的横坐标之和为4，应选B[来源:Z。
河北省衡水中学2021-2022学年高三上学期六调考试数学试题(含答案解析)
河北省衡水中学2022届上学期高三年级六调考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录，根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面函数模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是A ．)0(>+=m n x m yB ．)0(>+=m n mx yC ．)0(2>+=m n mx yD ．)10,0(=/>>+=a a m n ma y x且2．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πx y 的图象A ．向上平移4π个单位 B ．向下平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为47，面积为π12，则椭圆C 的方程为 A ．136422=+y x B ．14322=+y x C ．1321822=+y xD ．116922=+y x4．某函数图象如图所示，下列选项中的函数最适合的是A ．xe y x 2||=B ．x e x y x)1(2+= C ．|2|x e y x=D ．22x e y x =5．在正方体1111D C B A ABCD -中，过点D 作直线l 与异面直线AC 和1BC 所成的角均为θ，则θ的最小值为A ．15oB ．30oC ．45oD ．60o6．对于函数)(x f ，若在定义域内存在实数0x ，满足)()(00x f x f -=-，则称)(x f 为“局部奇函数”．已知4)(--=xae x f 在R 上为“局部奇函数”，则a 的取值范围是 A ．),4[+∞-B ．]4,(--∞C ．)0,4[-D ．]4,(-∞7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 A ．60种 B ．78种 C ．84种 D ．144种8．在矩形ABCD 中，1=AB ，2=AD ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若=AP AD AB μλ+，则μλ+的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年河北省衡水中学高考数学三调试卷
2021年河北省衡水中学高考数学三调试卷一、单项选择题（每小题5分，共40分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且UM N ⊇，则必有( )A ．UM N ⊆B ．UM N ⊇C ．UUM N =D ．M N ⊆2．（5分）哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为( )A ．11B ．13C ．15D ．173．（5分）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是( ) A ．星期六B ．星期日C ．星期一D ．星期二4．（5分）复数z C ∈，在复平面内z 对应的点Z ，满足11||21z i-+，则点Z 所在区域的面积( ) A ．πB ．2πC ．3πD ．4π5．（5分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是( )A ．[6，12]B ．[6，16]C ．[8，12]D ．[8，16]6．（5分）已知函数2()f x x =，设5log 4a =，151log 3b =，152c =，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为( )A ．f （a ）f >（b ）f >（c ）B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（b ）f >（a ）D ．f （c ）f >（a ）f >（b ）7．（5分）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“007-”，478密位写成“478.1-周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为( ) A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500- 8．（5分）已知实数x ，y 满足221x y +=，01x <<，01y <<，当41x y +取最小值时，x y的值为( ) A ．34B ．33C ．3D ．1二、多项选择题（每小题5分，共20分．下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9．（5分）下列命题中为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则B ．若ac 2≥bc 2，则a ≥bC ．若c ＞a ＞b ＞0，则D ．若a ＞b ，则10．（5分）据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是( )A ．到2050已经退休的人数将超过30%B ．2050年中国4655-岁的人数比1625-岁的人数多30%C ．2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍D ．若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在3645-岁之间的概率为5519()()1010⨯11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且12EF =，则下列结论中正确的是( )A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D ．三棱锥E ABF -的体积为定值 12．（5分）已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +++=⋅-，其前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，则下列说法正确的是( ) A ．m 为定值 B ．1m a +为定值C ．20191S a -为定值D ．1ma 有最大值三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13．（5分）已知α，β均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+= ． 14．（5分）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：)h 如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要 h ．15．（5分）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”： 22,,*22,,a b a b a b b a a b -⎧=⎨-<⎩则函数()sin *cos f x x x =的值域为 ．16．（5分）已知点M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>在第一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，4||4||7||MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为 ；若MF ，MO 分别交双曲线C 于P ，Q 两点，记直线PM 与PQ 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k = ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{}n a 是等差数列，设*()n S n N ∈为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，0n b >，若13a =，11b =，3212b S +=，5232a b a -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和．18．（12分）如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30︒，俯角为30︒的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60︒，俯角为60︒的C 处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）．（Ⅰ）求证：平面EMN ⊥平面PBC ；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66？若存在，确定N 点位置；若不存在，说明理由．20．（12分）甲、乙、丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：①按照甲、乙、丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；②选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，记0分，换下一个选手进行投篮．甲、乙、丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7．（1）求甲、乙、丙三人一共投篮5次的概率；（2）设甲、乙、丙三人得分总和X ，若1X ，则该团队无奖品；若23X ，则该团队获得20元的奖品；若47X ，则该团队获得50元的奖品；若8X ，则该团队获得200元的奖品．求该团队获得奖品价值Y 的期望．21．（12分）已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B 47b C 过点23(2)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当△2PA Q 与PEQ ∆的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．22．（12分）已知函数()3(1)f x x a lnx =-+，2()4g x x ax =-+．（1）若函数()()y f x g x =+在其定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切？若存在，求满足条件的a 的个数，请说明理由．2021年河北省衡水中学高考数学三调试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题5分，共40分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且UM N ⊇，则必有( )A ．UM N ⊆B ．UM N ⊇C ．UUM N =D ．M N ⊆【解答】解：全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且UM N ⊇，所以M N =∅， 所以UM N ⊆．故选：A ．2．（5分）哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为( )A ．11B ．13C ．15D ．17【解答】解：根据题意，如图：假设在图2的哥隆尺中，从左到右，依次有点A 、B 、C 、D 、E 、F ，BE 之间的距离为11，可以一次性度量11，CF 之间的距离为13，可以一次性度量13，AF 之间的距离为17，可以一次性度量17，任意两点间的距离不会等于15，不能一次性度量15， 故选：C ．3．（5分）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是( ) A ．星期六B ．星期日C ．星期一D ．星期二【解答】解：因为2021202102021120202020202120212021202120218(71)777C C C C =+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+, 故它除以7的余数为1，所以经过7天后还是星期日，那么经过20218天后是星期一． 故选：C ．4．（5分）复数z C ∈，在复平面内z 对应的点Z ，满足11||21z i-+，则点Z 所在区域的面积( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【解答】解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， 1||11z i -=+，2分别表示以1(2，1)2-为圆心，1，2为半径的圆，因此有11||21z i-+，点Z 所在区域的面积22213πππ=⨯-⨯=， 故选：C ．5．（5分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是( )A ．[6，12]B ．[6，16]C ．[8，12]D ．[8，16]【解答】解：由正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2， 故正六边形ABCDEF 的内切圆半径为sin 604sin 6023r OA =︒=︒=4R =．而222()()||4PM PN PO OM PO ON PO OM PO ⋅=+⋅+=-=-． 易知||r PO R ，即||[23,4]PO ∈． 所以PM PN ⋅的取值范围是[8，12]． 故选：C ．6．（5分）已知函数2()f x x =，设5log 4a =，151log 3b =，152c =，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为( )A ．f （a ）f >（b ）f >（c ）B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（b ）f >（a ）D ．f （c ）f >（a ）f >（b ）【解答】解：函数2()f x x =在[0，)+∞上是增函数， 15551log log 3log 413b a ==<=<， 105221c ∴=>=，c a b ∴>>，f ∴（c ）f >（a ）f >（b ）．故选：D ．7．（5分）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“007-”，478密位写成“478.1-周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为( ) A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-【解答】解：面积为76π，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为277622412S r ππθππππ=⋅=⋅=，由题意可知，其密位大小为712600017502ππ⨯=，所以用密位制表示为1750-． 故选：B ．8．（5分）已知实数x ，y 满足221x y +=，01x <<，01y <<，当41x y +取最小值时，x y的值为( ) A ．34 B ．33C ．3D ．1【解答】解：令41z x y=+，由221x y +=， 所以2222222222216181618()()()z x y x y x y x y xy x y xy=++=+++++ 2222171688y x x yx y y x=+⋅++⋅+⋅，令x t y =，则222168()178z f t t t t t==++++， 所以32328()28f t t t t '=-++-， 通过题中选项给出的数据，可得当34t =时，()0f t '=， 故当34t =时，()f t 取得最小值，即当x y的值为34时，41x y +取最小值．故选：A ．二、多项选择题（每小题5分，共20分．下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9．（5分）下列命题中为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则B ．若ac 2≥bc 2，则a ≥bC ．若c ＞a ＞b ＞0，则D ．若a ＞b ，则【解答】解：若a ＞b ，可令a ＞0，b ＜0，此时，故选项A 错误；ac 2≥bc 2等价于ac 2＞bc 2或者ac 2＝bc 2，则当c 2＝0时，ac 2≥bc 2成立，此时a ∈R ，b ∈R ，不能判断是否a ≥b ，故选项B 错误； 若c ＞a ＞b ＞0，则c ﹣b ＞c ﹣a ＞0，∴，又∵a ＞b ，，故选项C 正确； 已知是R 上的增函数，又a ＞b ，则，故选项D 正确． 故选：CD ．10．（5分）据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是( )A ．到2050已经退休的人数将超过30%B ．2050年中国4655-岁的人数比1625-岁的人数多30%C ．2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍D ．若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在3645-岁之间的概率为5519()()1010⨯【解答】解：由饼状图知2050年中国将有约32%的人已经退休，所以选项A 正确； 设4655-岁的人数为16x 人，1625-岁的人数为13x 人， 则4655-岁的人数比1625-岁的人数多1613323%1313x x x -=≈，所以选项B 错误； 25岁以上未退休的人口数占48%，已退休人口数占32%，所以25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍，所以选项C 正确； 年龄在3645-岁之间的概率为1从所有人中抽取10人，则抽到5人的年龄在36一45岁之间的概率为5510195()()1010C ⨯，所以选项D 错误，故选：AC ．11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且12EF =，则下列结论中正确的是( )A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D ．三棱锥E ABF -的体积为定值【解答】解：由正方体的结构特征可知，1DD ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，则1D D AC ⊥，又ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥， 1D DBD D =，且1D D 、BD ⊂平面11DD B B ，AC ∴⊥平面11DD B B ，BE ⊂平面11DD B B ，AC BE ∴⊥，故A 正确；11//B D BD ，BD ⊂平面ABCD ，11B D ⊂/平面ABCD ，//BD ∴平面ABCD ，而EF 在11B D 上，//EF ∴平面ABCD ，故B 正确；点B 到EF 的距离为正方体的棱长，A 到EF 的距离大于棱长，则AEF ∆的面积与BEF ∆的面积不相等，故C 错误；如图所示，连接BD ，交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高， 1111112224BEF S EF BB ∆=⋅⋅=⨯⨯=，11122334A BEF BEF V S AO -∆=⋅=⨯= 则2E ABF A BEF V V --==D 正确．故选：ABD ．12．（5分）已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +++=⋅-，其前n 项和为n S ，且20191009m S +=-，则下列说法正确的是( ) A ．m 为定值 B ．1m a +为定值C ．20191S a -为定值D ．1ma 有最大值【解答】解：因为(1)21(1)n n n n a a n +++=⋅-，当2n k =时，则有(21)2212(1)k k k k a a k +++=⋅-， 所以2019122019S a a a =++⋅⋅⋅+1234520182019()()()a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅++ 12468102018a =-+-+-+⋅⋅⋅- 11100820181010a a =+-=-，故201911010S a -=-，所以110101009m a +-=-，则11m a +=， 又2111()24m a ma +=，故选项BCD 正确， m 不是定值，选项A 错误．故选：BCD ．三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13．（5分）已知α，β均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+= 5 ． 【解答】解：因为3sin(2)sin 2αββ+=，所以2sin[()]3sin[()]αβααβα++=+-,所以2[sin()cos cos()sin ]3[sin()cos cos()sin ]αβααβααβααβα+++=+-+, 则sin()cos 5cos()sin αβααβα+=+， 故tan()5tan αβα+=， 则tan()5tan αβα+=．故答案为：5．14．（5分）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：)h 如下：则完成这三件原料的描金工作最少需要 46 h ．【解答】解：经分析，甲按A ，C ，B 的顺序工作，所需时间最短，最短时间为：91581446+++=小时．故答案为：46．15．（5分）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”： 22,,*22,,a b a b a b b a a b -⎧=⎨-<⎩则函数()sin *cos f x x x =的值域为 [0， ．【解答】解：由题意可得，()sin *cos |2sin 2cos |sin()|4f x x x x x x π==-=-，因为|sin()|[04x π-∈，1]，所以sin()|[04x π-∈，，故()f x 的值域[0，．16．（5分）已知点M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>在第一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，4||4||7||MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为 4 ；若MF ，MO 分别交双曲线C 于P ，Q 两点，记直线PM 与PQ 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k = ．【解答】解：设0(M x ，0)y ，由已知可得，4||4||7||7MO MF OF c ===， 则02cx =，220||35||()24OF y MO c =-=，即35(,)44c M c ， 把M 代入双曲线方程，可得2222451416c c a b -=，即22222244516b c a c a b -=，又222b c a =-，代入上式可得4224465160c a c a -+=， 即42465160e e -+=，解得216e =或214e =（舍)， 所以双曲线C 的离心率4e =； 设1(P x ，1)y ，则0(Q x -，0)y -， 所以221010101222101010y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-， 把P 、M 的坐标分别代入双曲线方程，得22112222002211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差,可得2221022210y y b x x a -=-， 由4e =，得4c a =，即222216c a b a =+=，所以2215b a=．1215k k ∴=．故答案为：4；15．四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{}n a 是等差数列，设*()n S n N ∈为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，0n b >，若13a =，11b =，3212b S +=，5232a b a -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 由题意得，2331234232q d d q d⎧+++=⎨+-=+⎩解得2d =，2q =，或3d =-，3q =-（舍)． 32(1)21n a n n ∴=+-=+，12n n b -=．（2）由（1）可得(321)(2)2n n n S n n ++==+．∴2211(2)2n S n n n n ==-++． ∴111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数 设数列{}n c 的前n 项和为n P ， 则135212132124211111()()(1)(2222)3352121n n n n P c c c c c c n n --=+++++++=-+-++-+++++-+2212(12)12112n n -=-++- 21121321n n ++=-+． 18．（12分）如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30︒，俯角为30︒的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60︒，俯角为60︒的C 处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【解答】解：（1）在Rt PAB ∆中，60APB ∠=︒，1PA =，3AB ∴ 在Rt PAC ∆中，30APC ∠=︒， 3AC ∴=在ACB ∆中，306090CAB ∠=︒+︒=︒， 2222330()(3)3BC AC AB ∴=++． 301306÷=/时）． （2）在ACD ∆、中，906030DAC ∠=︒-︒=︒，33sin sin(180)sin 101030ABDCA ACB ACB BC∠=︒-∠=∠===sin sin(30)CDA ACB ∠=∠-︒sin cos30cos sin 30ACB ACB =∠⋅︒-∠⋅︒23313101(3)10210=--(331)10-=．由正弦定理得sin sin AD ACDCA CDA=∠∠． 3310sin 93310sin (331)10AC DCA AD CDA ⋅∠+∴===∠-． 故此时船距岛A 93+千米． 19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）．（Ⅰ）求证：平面EMN ⊥平面PBC ；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66？若存在，确定N 点位置；若不存在，说明理由．【解答】解：()I 证明：由PE EB ⊥，PE ED ⊥，EB ED E =，所以PE ⊥平面EBCD ，又BC ⊂平面EBCD ， 故PE BC ⊥，又BC BE ⊥，故BC ⊥平面PEB ，EM ⊂平面PEB ，故EM BC ⊥，又等腰三角形PEB ，EM PB ⊥， BCPB B =，故EM ⊥平面PBC ，EM ⊂平面EMN ，故平面EMN ⊥平面PBC ；()II 以E 为原点，EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2PE EB ==，设(2N ，m ，0)，(2B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)，(2C ，2，0)，(1M ，0，1)，(1,0,1)EM =，(2,0,0)EB =，(2,,0)EN m =， 设平面EMN 的法向量为(,,)m x y z =， 由020m EM x z m EN x my ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得(,2,)m m m =--， 平面BEN 的法向量为(0,0,1)n =， 故26|cos ,||24m n m -<>==+ 得1m =，故存在N 为BC 的中点．20．（12分）甲、乙、丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：①按照甲、乙、丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；②选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，记0分，换下一个选手进行投篮．甲、乙、丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7．（1）求甲、乙、丙三人一共投篮5次的概率；（2）设甲、乙、丙三人得分总和X ，若1X ，则该团队无奖品；若23X ，则该团队获得20元的奖品；若47X ，则该团队获得50元的奖品；若8X ，则该团队获得200元的奖品．求该团队获得奖品价值Y 的期望．【解答】解：（1）甲、乙、丙三人一共投篮5次的情况是三个人中有且只有一人第一次没有投中，另外两人第一次投中，∴甲、乙、丙三人一共投篮5次的概率为：0.40.50.70.60.50.70.60.50.30.44P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）由题意得奖品价值Y 的可能取值为0，20，50，200，(0)(1)0.60.40.50.30.40.50.50.30.40.50.70.30.40.50.30.168P Y P X ===⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=，(20)(23)(2)(3)P Y P X P X P X ====+=0.60.40.50.50.30.60.40.50.70.30.40.50.50.70.30.60.40.50.50.70.30.60.60.50.30.40.50.50.30.40.50.70.70.2588=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，(200)(8)(9)0.60.60.50.50.70.70.0441P Y P X P X =====⨯⨯⨯⨯⨯=，(50)1(0)(20)(200)10.1680.25880.04410.5291P Y P Y P Y P Y ==-=-=-==---=，∴该团队获得奖品价值Y 的期望为：()00.168200.2588500.52912000.044140.45E Y =⨯+⨯+⨯+⨯≈（元)．21．（12分）已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A BC过点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当△2PA Q 与PEQ ∆的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【解答】解：（1）由题意知1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ， 则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=， 所以点2A 到直线1A B的距离d ==2234b a =，① 又椭圆C过点，所以224213a b+=②， 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）得2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-， 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22x x my =-⎧⎨=+⎩，解得24x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即44(2,),(2,)P Q m m ---，联立222143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+，所以2226812(,)3434m m D m m -+-++， 所以直线DQ 的方程为222124684()(2)(2)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，得226432E m x m -+=+，222226412|||2|3232m m A E m m -+=-=++， 所以22222112448||4822||462232323||||A PQ EPQ A PE m m S S S m m m m m ∆--==⨯⋅⋅==+++，当且仅当m = 故当△2PA Q 与PEQ ∆的面积之差取得最大值时，直线2A P 的方程为360x -=或360x -=．．22．（12分）已知函数()3(1)f x x a lnx =-+，2()4g x x ax =-+．（1）若函数()()y f x g x =+在其定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切？若存在，求满足条件的a 的个数，请说明理由．【解答】解：（1）2()()3(1)4y f x g x x a lnx x ax =+=-++-+在(0,)+∞上单调递增， 1320a y x a x+∴'=-+-，在(0,)+∞上恒成立， 即222312(1)(1)442(1)1111x x x x a x x x x +-+-+-==+--+++， 易知12(1)11y x x =+--+在(0,)+∞上为增函数， 42(1)124111y x x ∴=+-->--=-+， 1a ∴-； （2）函数2()()3(1)4y f x g x x a lnx x ax =-=-+-+-，设2()3(1)4h x x a lnx x ax =-+-+-，0x >，2212(3)(1)2(3)(1)(21)(1)()32a x a x a x a x a x a x h x x a x x x x+-++-+-+++---∴'=--+==-=-，令()0h x '=，解得12a x +=或1x =， ①当10a +时，即1a -时，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<， ()h x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()max h x h ∴=（1）20a =-=，解得2a =（舍去），②当1a >-时，()0h x '=，即极值点为12a x +=或1x =， 函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切，1()02a h +∴=或h （1）0=，当h （1）0=时，h （1）20a =-=，解得2a =， 当1()02a h +=时，可得23(1)111(1)()()402222a a a a a ln a ++++-+-+⨯-=， 设12a t +=，则0t >， 则232(21)40t tlnt t t t --+--=， 即22240t t tlnt +--=，设2()224t t t tlnt ϕ=+--，0t >， ()222(1)2()t t lnt t lnt ϕ∴'=+-+=-， 再令()m t t lnt =-，0t >，11()1t m t t t-∴'=-=， 当01t <<时，()0m t '<，函数()m t 单调递减， 当1t >时，()0m t '>，函数()m t 单调递增， ()m t m ∴（1）0=，()0t ϕ∴'，()t ϕ∴在(0,)+∞上单调递增， ϕ（1）10=-<，ϕ（2）4420ln =->， ∴存在0(1,2)t ∈，使得0()0t ϕ=， 即1(1,2)2a +∈，即(1,3)a ∈， 综上所述存在实数一个实数(1,3)a ∈，得使得函数()()y f x g x =-的图象与x 轴相切．。
河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试 数学答案
数学参考答案一、选择题1.B 【解析】因为{02},{04}A x x B x x ==<<∣∣，{0,2,4,6,}C =±±±，所以{04}A B x x ⋃=<∣，所以(){0,2}A B C ⋃⋂=.2.A 【解析】因为2cos 2sin()2y x x π==+，所以由函数2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数2sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需向左平移4个单位.3.C 【解析】因为(1)y f x =+为偶函数，所以()y f x =的对称轴为1x =−.又因为()10f =，所以()y f x =的顶点坐标为(1,0).由222()24a a f x x ax b x b ⎛⎫=−+=−+− ⎪⎝⎭，得1,2(1)10,a f ab ⎧=⎪⎨⎪=−+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩4.C 【解析】设公差为d ，由题意知()211311,22,a a d a a d ⎧++=⎪⎨=+=⎪⎩解得10,1a d =⎧⎨=⎩或18,5.a d =−⎧⎨=⎩当10,1a d ==时，46S =，当18,5a d =−=时，4434(8)522S ⨯=⨯−+⨯=−. 5.D 【解析】因为2233ππααπ⎛⎫−=+− ⎪⎝⎭，所以cos 23πα⎛⎫− ⎪⎝⎭cos 2cos 233a πππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−=−+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦223112sin 21333a π⎛⎫⎡⎤⎛⎫−−+=⨯−=− ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 6.A 【解析】由题图知函数的定义域为R 且()f x 为奇函数，所以排除C ，D 选项；B 选项中，()12cos 2f x x '=+，则(0)3f '=，不满足原点处切线斜率为0，排除B 选项；A 选项中，()1cos 2f x x '=−，则(0)0f '=，符合题意.7.B 【解析】作出函数()f x 的图象，如图中实线所示，由()()f a f b =可知，214log log 3a b =+，所以24log log 3a b +=，即222log log log ()3a b a b +==，所以8a b =.8.A 【解析】由*1(1),2n n a n S a n =−−∈N ，当1n =时，1112S a =−−，得114a =−；当2n ≥时，111111(1)(1)22n n n n n n n n n a S S a a −−−−−−+==−−−，即11(1)(1)2n nn n n na a a −=−+−+.当n 为偶数时，11(2)2n n a n −=−，所以112n n a +=−，当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n n n a a −+−⎛⎫=−+=−−+= ⎪⎝⎭，所以12n na =，所以122211,22a a −==，所以312342411112,,2222a a a a −+=⨯=−==，所以34991004310010011112,2222a a a a −+=⨯=⋯⋯−==，所以991001009911222a a −+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345910069a a a a a a a a =−++−++−+++−+−2100111222⎛⎫−+++ ⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫−+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−=−−10011132⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 二、选择题9.ABD 【解析】因为{}n a 是递增数列，所以0d >.因为753a a =，所以5523a d a +=，所以5d a =，所以51430a a d d =−=−<，故A ，B 正确；又因为450a a d d d =−=−=，所以34S S =，且为n S 的最小值，故C错误；又()()184********,2B a a S a a a d S +==+==>=()4717702a a a +==，故D 正确10.AB 【解析】由题意得1()2xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与2()x a f x =+在区间[1,2020]上同增或同减.若同增，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即1,22,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥−⎩所以122a −−.若同减，则10,220x x a a ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+⎩在区间[1,2020]上恒成立，即20202020,122,a a ⎧⎛⎫−⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪−⎩无解，所以A ，B 选项符合题意. 11.AC 【解析】由8x π=为()f x 的一条对称轴，得842k ππωππ+=+⋅，即28,k k ω=+∈Z .又因为(]0,3ω∈，所以2ω=，所以()sin 22cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222x x =−1)tan 3x ϕϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.易知,4k k πϕπ≠+∈Z ，且3,4k k πϕπ≠+∈Z ，故A ，C 错误，B ，D 正确.12.BC 【解析】由题意得70,,6122x k k ωπωπϕϕπ−+=+=+∈Z ，即4132k ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()f x （在区间2,23ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上至少存在两个最大值或最小值，且在区间,312ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则1k =，此时2,3πωϕ==，即公众号：潍坊高中()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为62x ππ<<，所以242333x πππ<+<，所以()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故A 错误；由5922063πππ⨯+=，所以59,06π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确；因为44xππ−，所以min 52,()6364x f x f ππππ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭max 1sin ,()sin 162122f x f πππ⎛⎫⎛⎫=−=−=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最大值与最小值之和为12，故C 正确；将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向左平移6π个单位，得到sin sin cos 632y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()cos g x x =，故D 错误.综上，B ，C 正确.三、填空題13.-2【解析】当2n ≥时；()()111222n n n n n n a S S a b a b b −−−=−=+⋅−+⋅=⋅；当1n =时，01122a S a b b ==+=⋅，所以0a b +=①.又25,9,a a 成等差数列，所以2518a a +=，即42218b b +⋅=②.由①②解得1,1a b =−=，所以2a b −=−.14.2【解析】2()sin cos 1sin()f x a x x a x ωωωϕ=+=++，所以()f x 的最大值为212a +=，解得3a =或3a =−（舍去），所以()3sin cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当2,62x k k ππωπ+=+∈Z 时，函数()f x 取得最大值，则当0x >时，前两个最大值分别为0k =和1k =.当1k =时，由262x ππωπ+=+，得773x πω=，所以3πω，所以ω的最小整数值为2.15.11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图所示.方程()()f x g x =在区间[-5,0)上有3个实根，故在区间[0,5]上有4个不同实根.当直线y kx =经过点()4,1时，14k =，经过点()5,1时，15k =.若在区间[0,5]上有4个根，则11,54k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.16.2 35,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，即2222cos b a c ac B −=−，所以22cos c ac B ac −⋅=，即2cos c a B a −=.由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A −=，即sin()2sin cos sin A B A B A +−=，所以sin()sin B A A −=，所以B A A −=或()B A A π−+=（舍去），所以B =2A ，即2BA=.因为3(0,)A B A π+=∈，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin cos sin sin 2cos sin sin sin sin sin 2b A a B A A A A A a b A B A A+=+=+=212cos 2cos A A +.令cos x A =，则322211181()2,,1,()402222x f x x x f x x x x x −⎛⎫'=+∈=−=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增。
河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学
河北省衡水中学2021届高三上学期调研考试数学注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（非选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．[)1,+∞ B.()1,+∞ C.()0,+∞ D.[)0,+∞2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于A ．5B C ．D ．23.已知a,b 都是正数，则“3log 3log b a <”是“333>>ba”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A.甲B.乙C.丙D.无法预测5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是A.154 B.415 C.815 D.1206.若nxx ）（22-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A.210B.180C.160D.1757.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45o ，沿点A 向北偏东30o 前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30o ，则“泉标”的高度为A.50m B.100m C.120m D.150m8.已知函数)(x f 满足213)(,6)2()-2(--==++x x x g x f x f ，且)()(x g x f 与的图象交点为),,(),,(),,(882211y x y x y x 则128128x x x y y y +++++++L L 的值为A.20B.24C.36D.40二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则A.a -c =m +R B.a+c=n+R C.2a=m+nD.b=)(m R n R ++）（10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以321,,A A A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是A.P(B)=52B.P 115A |B 1=）（C.事件B 与事件1A 相互独立 D.1A 、2A 、3A 两两互斥11.已知点P 是双曲线1916E 22=-y x ：的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.321π小于PF F ∠ D.21F PF ∆的内切圆半径为4312.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1=1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为A.若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个B.若PD=3，则点P 的轨迹是一段圆弧C.若PD//平面ACB 1，则PD 长的最小值为2D.若PD//平面ACB 1，且PD=3，则平面BDP 截正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形的面积为49π第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ＝(1，x ＋1)，b ＝(x ，2)，若满足a //b ，且方向相同，则x ＝.14.已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线1x 22=-my 的离心率是_____________.15.对于函数f(x),若在定义域内存在实数0x 满足)()(f 00x f x -=-，则称函数f(x)为“倒戈函数”，设)0,(123)(f ≠∈-+=m R m m x x是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是16.已知函数()2,()20,,,f x x g x x A B C ωωω==>，其中是这两个函数图象的交点，且不共线.①1ABC ω=∆当时，面积的最小值为;②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）数列).13(21}{321-=++++nn n a a a a a 满足：（1）求}{n a 的通项公式；（2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n nn =18.（12分）在锐角ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知sin b A sin()3a B π=+.（1）求角B 的大小；（2）求ac的取值范围.19.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.20.（12分）为提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间.为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量X 满足正态分布·在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，的值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.(参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.84137≈0.2898，0.84136≈0.3546，0.15873≈0.0040，0.15874≈0.0006，(+)0.6826P X μδμδ-<<=，(2+2)0.9544P X μδμδ-<<=，(3+3)0.9973P X μδμδ-<<=)21.（12分）已知抛物线F p px y C 点),0(2:2>=为抛物线的焦点，焦点F 到直线0343=+-y x 的距离为1d ，焦点F 到抛物线1223.5,d d C d =的准线的距离为且（1）抛物线C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ,Q 两点，且2211|PM|||QM +为定值，求点M 的坐标.22.（12分）已知函数).0(ln )(2≥+--=a x ax x x f （1）讨论函数)(x f 的极值点的个数；（2）若函数)(x f 有两个极值点.2ln 23)()(,,2121->+x f x f x x 证明：。
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学上学期二调考试试题 文(含解析)
河北省衡水市衡水中学2021届高三数学上学期二调考试试题 文（含解析）本试卷分第I 卷（选择题）和第I 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷一．选择题（从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑） 1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B =( ).A. }{1x x <B. }{11x x -≤<C. {}2x x ≤D.{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为}{12A x x =-≤≤，{}{}101B x x x x =-<=<， 所以，根据并集的定义：A B ⋃是属于A 或属于B 的元素所组成的集合， 可得{}2A B x x ⋃=≤，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合.2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=， 331log 2log 32>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.3.函数()2ln 11y x x =-+-的图象大致为( )A B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性排除A ，C ；利用单调性排除D ，从而得到结果.【详解】由于2ln y x x =+为偶函数，所以()2ln 11y x x =-+-关于直线x 1=轴对称，从而可排除A ，C ；2ln y x x =+在()0∞+，上为增函数，所以()2ln 11y x x =-+-在()1∞+，上为增函数，排除D; 故选B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4.在ABC ∆中，角ABC 的对边分别为a,b,c,且sin 22,1,,1cos 26c b B c π===- 则a 的值为( )1B. 2C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】由sin211cos2c c =-得到角C ，又6B π=，故A=712π，利用正弦定理即可得到结果.【详解】由sin211cos2c c =-可得：2212sinCcosC sin C =,即tanC=1,故C=,4πA=712π由正弦定理：a b sinA sinB = 可得：7126a bsin sin ππ=,∴7a 4s?12in π==故选D【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 5.已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( ) A. 0 B.12C. 1【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础6.已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A. 10 B. 9C. 8D. 5【答案】D 【解析】【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A-1=0, 即cos 2A=125, 又因△ABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. △ABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b-13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】7.已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f =)A. 3223-B.2332C.34D. 38-【答案】A【解析】 【分析】 根据函数的周期性结合奇偶性推导出()()44442332log 184log 18443223f f f log flog ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()0,1x ∈时，()4x f x =能求出结果．【详解】奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，()()44423log 184log 184432f f f log ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭因为4231032log -<<， 所以442332013223log log <-=< 所以444233232322323f log f log f log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为当()0,1x ∈时，()4xf x =，所以432log 23432423f log ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3223=-,故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查函数的奇偶性、周期性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题，通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间，然后根据解析式求解. 8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A. 2425-B. 45- C. 2425D.45【答案】C 【解析】 【分析】 将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果.【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos ,4,cos a c Cb b B-==则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A.B. C. 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得B ，再由余弦定理和基本不等式可得ac ≤16，代入三角形的面积公式可得最大值． 【详解】∵在△ABC 中，2coscos a c Cb B-= ∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B ＝12，即B ＝3π，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝≤故选A ．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．10.已知函数()()xxf x x e e-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 11.如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（ ）．A. 12π-B. 6π-C. 4π-D. 3π-【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像可得函数解析式为：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数图像的平移变换可得平移后的解析式为sin 223y x m π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的对称性可得,26k m k Z ππ=-+∈，再求解即可. 【详解】解：由题意可知，25()66T ππππω==--=，所以2ω=， 根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后， 得到sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像，又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈， 因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-， 故选B.【点睛】本题考查了由函数图像求解析式及三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称性，属基础题. 12.若函数2()(1)(0)f x ln x ax a x=-+->恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A.12B. 2C.1eD. e【答案】A 【解析】 【分析】先将函数零点转化为直线与曲线相切问题，再利用导数求切点即得切线斜率，即得a 的值. 【详解】函数的定义域为()1,+∞，若函数()()21(0)f x ln x ax a x =-+->恰有一个零点， 等价为()()210f x ln x ax x=-+-=恰有一个根，即()21ln x ax x-+=只有一个根，即函数()21y ln x x=-+和y ax =的图象只有一个交点，即当0a >时，y ax =是函数()21y ln x x=-+的切线,设()()21g x ln x x =-+，切点为(),m n ，则()21ln m n m-+=，因为()222122201x 1x x g x x x x -+=-=>--'，切线斜率()212'1k g m a m m ==-=-， 则切线方程为()2121y n x m m m ⎛⎫-=--⎪-⎝⎭，切线过原点()2122101m ln m m m m ⎛⎫∴--+-+= ⎪-⎝⎭， 即()4101mln m m m -+-=-， 因为()()()()()()()2222224111111m m m m mln m m m m m m m m --+--+-≤---=--- 所以2m =，此时21212111121422a m m =-=-=-=--， 故选A ．【点睛】本题考查函数零点以及导数几何意义，考查综合分析求解能力，属中档题.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知3sin()(0)25πααπ-=-<<，则sin 2α=__________． 【答案】2425-【解析】 【分析】由题意求出sin α和cos α，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵3sin cos (0)25παααπ⎛⎫-==-<< ⎪⎝⎭， ∴2415sin cos αα=-=， ∴342422sin cos 2()5525sin ααα==⨯-⨯=-． 故答案为2425-． 【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________．【解析】 【分析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：1sincos332a b b b ππ+=+= b a ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解. 15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，②①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=- ()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD ∆=⋅()()1222a a a =-=- ()22444a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三．解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.将函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图像，设函数()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）求函数()h x 的单调递增区间； （Ⅱ）若163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值. 【答案】(Ⅰ) ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(Ⅱ) 13-【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由 222232k x k πππππ-+≤-≤+，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得()21 sin 22333h sin ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则()sin2sin 23h x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭122sin 2223sin x cos x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴221sin 2223333sin sin πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()13h α=-. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5b =，()a b +()sin 2sin A b A C =+．（1）证明：ABC 为等腰三角形．（2）设点D 在AB 边上，2AD BD =，CD =AB 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a b A B=，化角为边可得()22a a b b +=，再运算可得证； （2）设BD x =22=.【详解】（1）证明：因为()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得()22a a b b +=，整理可得()()20a b a b +-=． 因为20a b +>，所以a b =，ABC 为等腰三角形，得证． （2）解：设BD x =，则2AD x =，由余弦定理可得2cosCDA ∠=2cos CDB ∠=．因为CDA CDB π∠=-∠，22=2x =，所以6AB =．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了解斜三角形及运算能力，属中档题. 19.已知函数2()f x x xlnx =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若2()2x f x k ->在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0x y -=；（2）1(,]2-∞. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导得到()f x '，代入切点横坐标1x =得到斜率，再写出切线方程；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，证明其导函数在()1,+∞上恒为正，即()g x 在()1,+∞上恒增，而k 要满足()k g x <在()1,+∞上恒成立，从而得到k 的取值范围【详解】（1）()2f x x xlnx =-，()'21f x x lnx ∴=--，'f （1）1=，又f （1）1=，即切线的斜率1k =，切点为()1,1， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程0x y -=；（2）令()()2222x x g x f x xlnx =-=-，()1,x ∈+∞，则()'1g x x lnx =--，令()1h x x lnx =--，则()11'1x h x x x-=-=． 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上为增函数，故()h x h >（1）0=； 从而，当()1,x ∈+∞时，()''g x g >（1）0=． 即函数()g x 在()1,+∞上为增函数，故()g x g >（1）12=． 因此，()22x f x k ->在()1,+∞上恒成立，必须满足12k． ∴实数k 的取值范围为(-∞，1]2．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题. 20.已知()ln 1mf x n x x =++（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=． （Ⅰ）求f （x)的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒有32)22f x t t at ≥--+（成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若2()()()1g x f x ax a R x =--∈+有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>.【答案】（Ⅰ）21()ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）；（Ⅱ）5[,)4+∞；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m ，n 的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f （x ）在[1e ，1]上的最小值为f （1）＝1，只需t 3﹣t 2﹣2at +2≤1，即212a t t t≥-+对任意的122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，构造函数m （t ），利用导数求出m （t ）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x 1＞x 2＞0，得到g （x 1）＝g （x 2）＝0，根据相加和相减得到12112122x x x lnx lnx ln x x x ++=-，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【详解】解：（Ⅰ）由f （x ）=1m x ++nlnx 可得()()21m n f x x x +'=-+， 由条件可得()114mf n =-+=-'，把x=-1代入x+y =2可得，y =1， ∴()112m f ==，∴m=2，12n =-，∴()21ln 12f x x x =-+，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴f （x ）在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为f （1）=1，故只需t 3-t 2-2at +2≤1，即212a t t t ≥-+对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()21m t t t t =-+，()()2221112t 122112t m t t t t t t +⎛⎫=--=-+-=-+ ⎝'⎪⎭易求得m （t ）在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[1，2]上单调递增，而1724m ⎛⎫=⎪⎝⎭，()522m =，∴2a≥m （t ）max=g （2），∴54a ≥，即a 的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）∵()1ln 2g x x ax =--，不妨设x 1＞x 2＞0， ∴g （x 1）=g （x 2）=0，∴111ln 2x ax -=，221ln 2x ax -=，相加可得()()12121ln ln 2x x a x x -+=+，相减可得()()12121ln ln 2x x a x x --=-， 由两式易得：12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=-；要证212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，即证：121122ln 2x x x x x x +>-，需证明112212ln 2x x x x x x ->+成立，令12xt x =，则t ＞1，于是要证明()21ln 1t t t ->+，构造函数()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，∴()()()()222114011t t t t t t ϕ-=-=+'>+，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数， ∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴()21ln 1t t t ->+，故原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知函数()()11ln x f x ea x x -=--+ (a R ∈，e 是自然对数的底数).（1）设()g x =()f x ' (其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 2a -(Ⅱ) (] 2-∞，【解析】 【分析】(Ⅰ)求出()g x '，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，()()12f x f a ''≥=-.讨论当2a ≤时，当2a >时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数a 的取值范围. 【详解】(Ⅰ)()()()110x g x f x ea x x -=+-'=>，()121x g x e x--'=.令()()()1210x x g x e x x ϕ-=-'=>，∴()1320x x e x ϕ-'=+>， ∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()01x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a ='-<. 又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1af a ea a a +=-+=>++'，∴()01ln 1x a ，∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为(]2-∞，. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.已知函数()221ln 2x f x x ax e e x=-++-（e为自然对数的底数）． （1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程； （2）证明：当a e ≤时，不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立． 【答案】（1）0y = （2）证明见解析【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数为()'21ln 22xfx x e x-=--，再由导数的几何意义可得，所求切线的斜率即为()0f e '=，再求切线方程即可； （2）先构造函数()2212g x x ex e e=-++，()()ln 0x h x x x =>，结合导数的应用判断函数的单调性求出函数()g x 的最小值，函数()h x 的最大值，再比较大小即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，当a e =时，()221ln 2xf x x ex e e x=-++-，解得()0f e =， 又()'21ln 22xfx x e x -=--， 所以()0k f e '==．则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0y =． （2）证明：当a e ≤时，得2222ax ex -≥-， 要证明不等式32212ln x ax x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证32212ln x ex x e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立，即证22ln 12x x ex e x e ⎛⎫-≥-+ ⎪⎝⎭成立， 即证221ln 2xx ex e e x-++≥成立， 令()2212g x x ex e e=-++，()()ln 0x h x x x =>，易知()()1g x g e e≥=，由()21ln xh x x-'=，知()h x 在区间()0,e 内单调递增， 在区间()0,∞+内单调递减， 则()()1h x h e e≤=， 所以()()g x h x ≥成立．即原不等式成立．【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，重点考查了函数与不等式的相互转化，属综合性较强的题型.。
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河北省衡水中学2021届高三数学第一次教学质量检测试题 理（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A. {}1,3- B. {}1,0 C. {}1,3 D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i -- C. 1i -+ D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073D. 1093【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.4.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()g x 的定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，则()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <， 故()()12g x g x <，故()g x 为[)0,+∞上的增函数，所以 ()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C. {}|11x x -<≤D. {}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．6.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.（2021新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==， 结合勾股定理，底面半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π4V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.8.（2021新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C 4 D. 8【答案】C 【解析】 设公差为d，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.9.设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立，可判断出结论. 【详解】解：,m n 为非零向量，存在负数λ，使得λ=m n ，则向量,m n 共线且方向相反，可得0m n ⋅<.反之不成立，非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立.∴,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是0m n ⋅<”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.11.已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，则（ ） A. m n >且121e e > B. m n >且111e e < C. m n <且121e e > D. m n <且121e e <【答案】A【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，则2211m n -=+，则2220m n -=>，1m >，0n >，m n ∴>.211m e m -==2e n ==，121e e ∴====>， 故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题. 12.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e-=--，故()()212x f x x x e--'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】 由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.15.在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 【解析】 曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-．【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③2NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③ 【解析】 （Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方， 所以，， 令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NAMA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+==+=-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高. 【答案】（1）25；（2）0.016. 【解析】 试题分析：解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出.试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在 [50,60)之间的频数为2， 所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】（1）30；（2）60【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解.试题解析：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC223213+=取AG 的中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13123-=. 在△BEC 中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－13，0)， 故AE ＝(2,0，－3)，AG ＝(13，0)，CG ＝(2,0,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得111123030x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(332)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222230230x y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(332)．所以cos 〈,m n 〉＝||||m n m n ⋅＝12.故所求的角为60°.点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅，由OP TQ ⋅为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标. 【详解】（1）抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，则b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理得122843kmx x k +=-+，则()121226243m y y k x x m k +=++=+，()12122286,,4343km m OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由于点P 在椭圆E 上，则222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+，联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k =-⎧⎨=-⎩，则点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅为定值，()4,4TQ t m k =---，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++为定值， 则10t +=，得1t =-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1x-可得h （x ）min ＝h （1a），从而可得结论； （2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （1e）21e=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0），则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′（x ）＜0、当x 1a＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （1a），又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln 1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21x-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0，所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -，由x 012＜可知f （x 0）＜（x 020x -）max 2111224=-+=； 由f ′（1e ）＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1e）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （1e ）21e=； 综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.12AB ρρ=-==由AB 23cos 8α=，tan α=.所以l 的斜率为3或3-.23.已知函数()123f xx x =+--. （I ）在答题卡图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 当1x ≤-，41x ->，解得5x >或3x <1x ∴≤- 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x ∴-<<或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x ∴≤<或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x ∴>，解集()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，，考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法。
河北省衡水中学2021届上学期期中考试高三数学(含答案)
C． f(x) 在区间 − π4 ,π4 上的最大值与最小值的和为 21
D．将 f(x) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移 π6 个单位得到 y =
g(x) 的图象，则 g(x) =− cosx
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
<
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第(1)
问的答案是 S1,S3,S2 成等差数列．
如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
22．(12 分)
定义可导函数
y
=
f(x)
在
x
处的弹性函数为
f'(x)
⋅
x f(x)
，其中
f'(x)
为
f(x)
的导函数.
在区间
D
上，若函数 f(x) 的弹性函数值大于 1，则称 f(x) 在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作 f(x) 的弹性
区间． (1)若 r(x) = ex − x + 1，求 r(x) 的弹性函数及弹性函数的零点； (2)对于函数 f(x) = (x − 1)ex + lnx − tx (其中 e 为自然对数的底数)．
f(x) 的顶点坐标为(1，0). 由 f(x) = x2 − ax + b =
x
−
a 2
2
+
b
−
a2 4
,
得
解得
4．C【解析】设公差为 d，由题意知
解得
优质解析：河北省衡水中学2021届高三上学期第三次调研考数学(文)试题(原卷版)
河北省衡水中学2021届高三上学期第三次调研考数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|x 320A x x =-+=，集合{}|log 42x B x ==，则A B =（ ）A ．{}2,1,2-B ．{}2,2-C ．{}1,2D ．{}22.若复数z 满足()112i z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ ）A ．12i -B ．12i C ．12-D ．123.下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（）A ．29B ．31C ．33D ．365.若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +的取最小值时y 的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．56.若,x y 满足3010x y x y x k-+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-7D ．77.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和C ．计算数列{}21n -前6项的和D ．计算数列{}12n -前6项的和8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“()sin 3cos sin cos C A A B =+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．2 D ．2210.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ） A ．1941B ．1737C ．715D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b∈、，且满足()114a b->，则a b、的大小关系是_____________．14.若110tan,,tan342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin22cos cos44ππαα⎛⎫++⎪⎝⎭的值为___________．15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数()()2lg,064,0x xf xx x x⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x的方程()()210f x bf x-+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设nS为各项不相等的等差数列{}n a的前n项和，已知38733,9a a a s==．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设nT为数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和，求1nnTa+的最大值．18.（本小题满分12分）已知向量23,1,cos,cos444x x xm n⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n=．（1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE a =，点M 在线段EF ．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论．20.（本小题满分12分）已知函数()()f x x ae a R π=+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0,1x a <≤时，证明：()()21x a x f x '++>．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．。