初中数学代数几何解题技巧

如何用好题目中的条件暗示有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。

【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。

图1（1）求B、A两点的坐标；（2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。

求D点的坐标。

解析：（1）容易求得，A（0，1）。

（2）如图2，图2∵，A（0，1），∴OB=，OA=1。

∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30°∵把△AOB以直线AB为轴翻折，∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。

∴△OBC是等边三角形以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为（0，0），。

反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫。

【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。

图3（1）求三解形ABC的面积。

（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。

解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1），∴。

（2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。

图4（3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：，和第（3）小题的条件可得：∴，∵，∴，∴。

②如图5，当点P在第一象限时，用类似的方法可求得a=。

图5反思：由第（1）小题中求得的和第（2）小题中证明所得的结论：三角形BOP的面积是一个常数，实质上暗示着第（3）小题的解题思路：利用来解。

通过这两道题目的分析可以发现，在解题过程中，如果经常回头看一看、想一想，我们往往会发现，很多题目的解题思路原来就在题目之中。

分式运算的几点技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一. 分段分步法例1. 计算：解：原式说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

同类方法练习题：计算（答案：）二. 分裂整数法例2. 计算：解：原式说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片？（答案：团团8张，圆圆4张）三. 拆项法例3. 计算：解：原式说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。

在解某些分式方程中，也可使用拆项法。

同类方法练习题：计算：（答案：）四. 活用乘法公式例4. 计算：解：当且时，原式说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。

同类方法练习题：计算：（答案：）五. 巧选运算顺序例5. 计算：解：原式说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。

同类方法练习题：解方程（答案：）六. 见繁化简例6. 计算：解：原式说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。

同类方法练习题：解方程（答案：）在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。

方能起到事半功倍的效率。

多边形内角和问题的求解技巧1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角。

这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应根据需要加以利用。

例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数。

分析：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，根据题意，可先求出外角的大小，再求边数。

解：设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度。

根据题意，得解得，即每个外角都等于40°。

所以，即这个正多边形的边数为9。

2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数方法解决几何问题。

例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数。

解法1：设多边形的边数为n，依题意，得解得n=8，即这个多边形的边数为8。

解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°。

所以，多边形的边数，即这个多边形的边数为8。

3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等。

有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）。

解题时要注意这种逆向思维的运用。

例3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数。

分析：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题。

由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，故该多边形的内角和比2570°大。

又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比2570°+180°小。

可列出关于边数n的不等式，先确定边数n的范围，再求边数。

解：设这个多边形的边数为n，则内角和为（n－2）·180°。

依题意，得解这个不等式，得。

所以n=17，即这个多边形的边数为17。

说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件。

4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的常用方法，其解题关键是构造合适的图形。

1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。

图1分析：解题关键是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF。

解：连接CF。

∵∠COF=∠DOE∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（5－2）×180°证明三角形全等的一般思路一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。

例1. 如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。

求证：AD＝BE分析：要证AD＝BE注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD ≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC＝BC，CD＝CE，故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE即可。

而∠ACD＝∠ACE＋60°，∠BCE＝∠ACE＋60°故△ACD≌△BCE（SAS）二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。

求证：AM＝CN分析：要证AM＝CN只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得∠A＝∠NCD，∠ABM＝∠D可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。

又由于AC＝BD，而故AB＝CD故△ABM≌△CDN（ASA）三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。

求证：△CAB≌DBA分析：要证△CAB≌△DBA在这两个三角形中，有一角对应相等（∠CAB＝∠DBA）一边对应相等（AC＝BD）故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用SAS）。

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等例4. 如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。

求证：AE＝AF分析：要证AE＝AF只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB＝AC故只需证∠B＝∠C即可而要证∠B＝∠C需证△ABG≌△ACD，这显然易证（SAS）。

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。

求证：∠ADB＝∠CDE分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。

注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC。

故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD 全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB ＝∠CGA。

对照结论需证∠CGA＝∠CDE又要证△CGE≌△CDE，这可由CG＝AD＝CD，∠ECG＝∠EBA＝∠ECD，CE＝CE而获证。

计算线段长度的方法技巧线段是基本的几何图形，是三角形、四边形的构成元素。

初一同学对于线段的计算感到有点摸不着头绪。

这是介绍几个计算方法，供同学们参考。

1. 利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。

图1分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB表示，这样通过已知量DC，即可求出AB。

解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11所以又又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm2. 利用线段中点性质，进行线段长度变换例2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB ＝14cm，求PA的长。

图2分析：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可。

解：因为N是PB的中点，NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB，AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。