知识讲解_不等关系与不等式
不等关系与不等式
1.掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
不等式：用不等号连接的式子，叫作不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2) 不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在“a＞b，a = b，a＜b”
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .
解: 设住宅窗户面积和地板面积分别为 a,b ,同时增加的面积为 m ,
根据问题的要求 a b, 且 a 10% . b
由于 a m a m(b a) 0, b m b b(b m)
于是 a m a , 又 a 10%, bm b b
因此, a m a 10%. bm b
初中时我们曾经学过哪些不等式的性质?
１（对称性）：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b. 2（传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c.
3（可加性）：如果a>b，则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，不等号方向不变.
4（可乘性）：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式?
不等关系与不等式
1不等关系与不等式知识回顾一、不等式性质：1.a ＞b ⎛ b ＜a .(反身性)2.a ＞b ，b ＞c =>a ＞c .(传递性)3.a ＞b ⎛ a+c ＞b+c.(平移性)4.a ＞b ，c ＞0 => ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0 => ac ＜bc .(伸缩性)5.a ＞b ≥0 => ，n ∈N ，且n ≥2.(乘方性)6.a ＞b ≥0 => a ＞nb ，n ∈N ，且n ≥2.(开方性)7.a ＞b ，c ＞d => a+c ＞b+d.(叠加性)8.a ＞b ≥0，c ＞d ≥0 => ac ＞bd .(叠乘性)二、如果a －b 是正数，则a >b ；如果a >b ，则a －b 为正数； 如果a －b 是负数，则a <b ；如果a <b ，则a －b 为负数； 如果a －b 等于零，则a =b ；如果a =b ，则a －b 等于零。
判断两个实数大小的依据是：000a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-< 三、作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小. 例题与练习例1． 比较x 2－x 与x －2的大小。
例2.比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小例3.已知a b m 、、都是正数,且a b >,求证: b m b a ma+>+2.若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；23.已知1260a <<，1536b <<，求12a b -及a b的取值范围；1.若0a b <<，则下列结论不正确的是.A 22a b < .B 2ab b < .C 2b aa b +> .D a b a b -=-2.设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b->-”成立的.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.下列不等式：()1 232()x x x R +≥∈，()2553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，()3222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为.A 0 .B 1 .C 2 .D 34.已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 .A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac5.若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是.A ba11<.B 22b a > .C 1122+>+cb ca .D ||||cbc a >6.若0a >，0b >，则不等式1b a x-<<等价于.A 10x b-<<或10x a<< .B 11x a b-<<.C 1x a<-或1x b>.D 1x b<-或1x a>7.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于 A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<8．若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题：()1ad bc >；()20a b d c +<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-中能成立的个数是.A 1 .B 2 .C 3 .D 4。
人教版高中数学必修二讲义专题03 不等关系与不等式(解析版)
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考点1:不等关系与不等式 (2)考点2:等式性质与不等式性质 (7)专题03 不等关系与不等式 考点1:不等关系与不等式知识点一 基本事实两个实数a ,b ,其大小关系有三种可能,即a >b ,a ＝b ,a <b .思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x 2＋1与2x 的大小吗?正确答案 作差:x 2＋1－2x ＝( x －1)2≥0,所以x 2＋1≥2x . 知识点二 重要不等式∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．题型1:用不等式( 组)表示不等关系例1 《铁路旅行常识》规定:一、随同成人旅行,身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票( 以下称儿童票),超过1.5米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票． ……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h ( 米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解 由题意可获取以下主要信息:( 1)身高用h ( 米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米);( 2)题中要求用不等式表示不等关系．参考解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5, 身高超过1.5米可表示为h >1.5, 身高不足1.2米可表示为h <1.2,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示:变式 某套试卷原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本．据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20( 2.5≤x <6.5)．题型2:作差法比较大小例2 已知a ,b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－( a 2b ＋ab 2)＝( a 3－a 2b )＋( b 3－ab 2) ＝a 2( a －b )＋b 2( b －a )＝( a －b )( a 2－b 2)＝( a －b )2( a ＋b )． 当a ＝b 时,a －b ＝0,a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2; 当a ≠b 时,( a －b )2>0,a ＋b >0,a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述,a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式 已知x <1,试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵( x 3－1)－( 2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝( x 3－x 2)－( x 2－2x ＋1)＝x 2( x －1)－( x －1)2 ＝( x －1)( x 2－x ＋1)＝( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34, 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0,x －1<0, ∴( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0,∴x 3－1<2x 2－2x .考点1:练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ,小华的身高为y ,则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 正确答案 C详细解析 对于A,x 应满足x ≤2 000,故A 错误;对于B,x ,y 应满足x <y ,故B 错误;C 正确;对于D,y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”,故D 错误．2．在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区,导火索的长度x ( cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100正确答案 C详细解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒,人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2,N ＝－x －1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关正确答案 A详细解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0, ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1,y 2＝x 2－4x －1,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化 正确答案 A5．如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．( a ＋4)( b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 正确答案 C详细解析 由题意知a >4b ,根据面积公式可以得到( a ＋4)( b ＋4)＝200,故选C.6．某次数学智力测验,共有20道题,答对一题得5分,答错一题得－2分,不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,列出其中的不等关系:________.( 不用化简)正确答案 5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *详细解析 这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,即5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克,若用x 表示商品的重量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 正确答案 |x －500|≤1详细解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克, 若用x 表示商品的重量, 则－1≤x －500≤1, ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ,则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 正确答案x 1＋x 2≤12详细解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ,b ∈R ,x ＝a 3－b ,y ＝a 2b －a ,试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2( a －b )＋a －b ＝( a －b )( a 2＋1), 所以当a >b 时,x －y >0,所以x >y ; 当a ＝b 时,x －y ＝0,所以x ＝y ; 当a <b 时,x －y <0,所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ,y 表示混合食物成本c 元,并写出x ,y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z , 又x ＋y ＋z ＝100,∴c ＝400＋7x ＋5y ,由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ,y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1,记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定正确答案 B详细解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1,∴－1<a 1－1<0,－1<a 2－1<0,∴M －N ＝a 1a 2－( a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1( a 2－1)－( a 2－1)＝( a 1－1)( a 2－1)>0, ∴M >N ,故选B.12．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1,则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12正确答案 A详细解析 令a 1＝0.1,a 2＝0.9;b 1＝0.2,b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74;B 项,a 1a 2＋b 1b 2＝0.25;C 项,a 1b 2＋a 2b 1＝0.26,故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的13,白球与黑球的个数之和至少为55,则用不等式( 组)将题中的不等关系表示为________．正确答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)详细解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)．14．若a 1<a 2,b 1<b 2,则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.( 填“>”“<”“＝”) 正确答案 >详细解析 a 1b 1＋a 2b 2－( a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1( b 1－b 2)＋a 2( b 2－b 1) ＝( b 1－b 2)( a 1－a 2), ∵a 1<a 2,b 1<b 2, ∴b 1－b 2<0,a 1－a 2<0, 即( b 1－b 2)( a 1－a 2)>0, ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2:等式性质与不等式性质知识点一 等式的基本性质 ( 1)如果a ＝b ,那么b ＝a . ( 2)如果a ＝b ,b ＝c ,那么a ＝c . ( 3)如果a ＝b ,那么a ±c ＝b ±c . ( 4)如果a ＝b ,那么ac ＝bc . ( 5)如果a ＝b ,c ≠0,那么a c ＝bc .知识点二 不等式的性质题型1:利用不等式的性质判断或证明例1 ( 1)给出下列命题: ①若ab >0,a >b ,则1a <1b ;②若a >b ,c >d ,则a －c >b －d ;③对于正数a ,b ,m ,若a <b ,则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．正确答案 ①③详细解析 对于①,若ab >0,则1ab >0,又a >b ,所以a ab >b ab ,所以1a <1b ,所以①正确;对于②,若a ＝7,b ＝6,c ＝0,d ＝－10, 则7－0<6－( －10),②错误; 对于③,对于正数a ,b ,m , 若a <b ,则am <bm , 所以am ＋ab <bm ＋ab , 所以0<a ( b ＋m )<b ( a ＋m ), 又1b (b ＋m )>0,所以a b <a ＋m b ＋m ,③正确．综上,真命题的序号是①③.( 2)已知a >b >0,c <d <0.求证:3ad<3b c. 证明 因为c <d <0,所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0,所以－a d >－bc>0.所以3－a d>3－bc,即－3a d>－3b c, 两边同乘－1,得3a d<3b c.变式 若1a <1b <0,有下面四个不等式:①|a |>|b |,②a <b ,③a ＋b <ab ,④a 3>b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 正确答案 C详细解析 由1a <1b <0可得b <a <0,从而|a |<|b |,①②均不正确;a ＋b <0,ab >0,则a ＋b <ab 成立,③正确;a 3>b 3,④正确．故不正确的不等式的个数为2.题型2:利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7,Q ＝a ＋5＋a ＋8( a >－5),则P ,Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定正确答案 C详细解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7),Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8),因为( a ＋6)( a ＋7)－( a ＋5)( a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－( a 2＋13a ＋40)＝2>0, 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8),所以P 2>Q 2,所以P >Q .变式 下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ,且1a >1b,则a >0,b <0B ．若a >b ,b ≠0,则a b>1 C ．若a >b ,且a ＋c >b ＋d ,则c >dD ．若a >b ,且ac >bd ,则c >d正确答案 A详细解析 对于A,∵1a >1b ,∴b －a ab>0, 又a >b ,∴b －a <0,∴ab <0,∴a >0,b <0,故A 正确;对于B,当a >0,b <0时,有a b<1,故B 错; 对于C,当a ＝10,b ＝2时,有10＋1>2＋3,但1<3,故C 错;对于D,当a ＝－1,b ＝－2时,有( －1)×( －1)>( －2)×3,但－1<3,故D 错．题型3:利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和a b的取值范围． 解 ∵15<b <36,∴－36<－b <－15,∴12－36<a －b <60－15,即－24<a －b <45.又136<1b <115,∴1236<a b <6015,即13<a b<4. 故－24<a －b <45,13<a b<4.变式 已知0<a ＋b <2,－1<b －a <1,则2a －b 的取值范围是____________．正确答案 －32<2a －b <52详细解析 因为0<a ＋b <2,－1<－a ＋b <1,且2a －b ＝12( a ＋b )－32( －a ＋b ), 结合不等式的性质可得,－32<2a －b <52.考点2:练习题1．如果a <0,b >0,那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |正确答案 A详细解析 ∵a <0,b >0,∴1a <0,1b >0,∴1a <1b ,故选A.2．若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．( a －b )c 2≥0正确答案 D详细解析 ∵a >b ,∴a －b >0,∴( a －b )c 2≥0,故选D.3．已知a >b >c ,则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数正确答案 A详细解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a ), ∵a >b >c ,∴b －c >0,c －a <0,b －a <0,∴1b －c ＋1c －a>0,故选A. 4．若x >1>y ,下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 正确答案 C详细解析 利用性质可得A,B,D 均正确,故选C.5．已知a <0,b <－1,则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 正确答案 D详细解析 ∵a <0,b <－1,∴a b>0,b 2>1, ∴0<1b 2<1,∴0>a b 2>a 1, ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________． 正确答案 a >0>b详细解析 若a ,b 同号,则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 2>b 2;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．正确答案 ②③详细解析 ①当c 2＝0时不成立;②一定成立;③当a >b 时,a 3－b 3＝( a －b )( a 2＋ab ＋b 2)＝( a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立; ④当b <0时,不一定成立．如:|2|>－3,但22<( －3)2.8．设a >b >c >0,x ＝a 2＋(b ＋c )2,y ＝b 2＋(c ＋a )2,z ＝c 2＋(a ＋b )2,则x ,y ,z 的大小顺序是________．正确答案 z >y >x详细解析 ∵a >b >c >0,y 2－x 2＝b 2＋( c ＋a )2－a 2－( b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c ( a －b )>0,∴y 2>x 2,即y >x .同理可得z >y ,故z >y >x .9．判断下列各命题的真假,并说明理由．( 1)若a <b ,c <0,则c a <c b; ( 2)a c 3<b c 3,则a >b ; ( 3)若a >b ,且k ∈N *,则a k >b k ;( 4)若a >b ,b >c ,则a －b >b －c .解 ( 1)假命题．∵a <b ,不一定有ab >0,∴1a >1b不一定成立, ∴推不出c a <c b,∴是假命题． ( 2)假命题．当c >0时,c －3>0,则a <b ,∴是假命题．( 3)假命题．当a ＝1,b ＝－2,k ＝2时,显然命题不成立,∴是假命题．( 4)假命题．当a ＝2,b ＝0,c ＝－3时,满足a >b ,b >c 这两个条件,但是a －b ＝2<b －c ＝3,∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4,求2a ＋3b 的取值范围．解 设2a ＋3b ＝x ( a ＋b )＋y ( a －b ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52( a ＋b )<152,－2<－12( a －b )<－1,所以－92<52( a ＋b )－12( a －b )<132, 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ,则a >bB ．若a 2>b 2,则a >bC ．若1a >1b,则a <b D ．若a <b ,则a <b正确答案 D详细解析 对于A,若c <0,其不成立;对于B,若a ,b 均小于0或a <0,其不成立;对于C,若a >0,b <0,其不成立;对于D,其中a ≥0,b >0,平方后显然有a <b .12．已知x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 正确答案 C详细解析 因为x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0,所以x >0,z <0. 所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 正确答案 C详细解析 对于A,若a >0>b ,则1a >0,1b<0, 此时1a >1b,∴A 不成立; 对于B,若a ＝1,b ＝－2,则a 2<b 2,∴B 不成立;对于C,∵c 2＋1≥1,且a >b ,∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立,∴C 成立;对于D,当c＝0时,a|c|＝b|c|,∴D不成立．14．有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b正确答案A详细解析∵a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,∴a＋d＋( a＋b)>b＋c＋( c＋d),即a>c.∴b<d.又a＋c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.。
3.1不等关系与不等式(二)
(5) a b, c 0 ac bc ;
a b, c 0 ac bc
(6) a b 0, c d 0 ac bd
(7) a b 0, n N , n 1
a b , a
n n n n
*
b
(8) a b 0 a b 0 a0b
3 成立的有________个.
练习:
5. 若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式 成立的是 ( C )
A. C. 1 a a c 1
2
1 b b c 1
2
B. a b
2
2
D. a c b c
练习:
6. 若、 满足 的取值范围是(
2
2
, 则
A. b a C. a b1 a 1 1 b b 1 a B. a D. 1 a 2a b a 2b a b b 1 b
练习:
4. 有以下四个条件： (1) b＞0＞a； (2) 0＞a＞b； (3) a＞0＞b； (4) a＞b＞0.
其中能使
1 a
1 b
1 b 1 b 1 a
1 a 1 a
0 0 1 b
0
讲解范例:
c c 例1. 已知 a b 0, c 0, 求证： . a b
讲解范例:
例2. 如果30＜x＜42，16＜y＜24，
求x＋y，x－2y及
x y
的取值范围.
讲解范例:
例3. 已知
2
2
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
3.1不等式与不等关系(第二课时)
则2x+3y=(m+n)x+(m-n)y
5 m+n = 2 m = 2 即 m − n = 3 得 n = − 1 2 5 1 ∴2x+3y= (x+y)+(- )(x-y) 2 2
待定系数法
Q −1 ≤ x + y ≤ 2, 2 ≤ x − y ≤ 4 5 5 ∴− ≤ (x+y) ≤ 5 2 2 1 -2 ≤ - (x-y) ≤ -1 2 9 5 1 ∴− ≤ (x+y)+(- )(x-y) ≤ 4 2 2 2
复习回顾 1.了解不等式（组）的实际背景，会用 了解不等式（ 了解不等式 的实际背景， 不等式表示不等关系。 不等式表示不等关系。 2. 掌握大小比较的原理，学会大小比较 掌握大小比较的原理， 的方法。 的方法。
作差法的步骤
作差 变形 定号 结论
3.1
不等关系与不等式(第二课时) 不等关系与不等式(第二课时)
e e 已知：a > b > 0, c < d < 0, e < 0 求证： > a−c b−d 解： e e e(Q− d< − e<a0 c) e[(b − a ) + (c − d )] b c )d ( − − = = a−c b−d (a c )( − d ) (a − c)(b − d ) ∴−− c> b − d> 0
题型四. 题型四.利用不等式的性质求取值范围 a 例4 已知1 < a < 4, 2 < b < 8, 试求a - b与 的取值范围 b
解：Q 2 < b < 8
不等关系与不等式ppt课件演示文稿
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
《不等关系与不等式》 知识清单
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。
比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。
不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。
不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。
二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。
1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。
（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。
（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。
2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。
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不等关系与不等式编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系；2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2)传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有： (1)可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3)可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小.①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1b a a b>⇔>； ②1b a a b<⇔<； ③1b a a b =⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元（2） 总面积不超过2180m ；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：**1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即**600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩此即为所求满足题意的不等式组【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.举一反三：【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？【答案】假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩类型二：不等式性质的应用例2．已知22ππαβ-≤<≤，求2αβ+，2αβ-的取值范围．【解析】 因为22ππαβ-≤<≤，所以424παπ-≤<，424πβπ-<≤. 两式相加，得222παβπ+-<<. 因为424πβπ-<≤，所以424πβπ-≤-<， 则222παβπ--≤<. 又α＜β，所以02αβ-<， 则022παβ--≤<. 【总结升华】求含字母的数（式）的取值范围，一是要注意题设中的条件，充分利用条件，二是在变换过程中要注意利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等.举一反三：【变式1】【变式】已知23,14a b <<<<，求（1） ,a b -(2)a b 的取值范围. 【答案】（1）22a b -<-<；（2）132a b<< 【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型三 不等式性质的应用】【变式2】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． 【答案】f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴42m n m n +=⎧⎨-=-⎩∴13m n =⎧⎨=⎩∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.例3．对于实数a,b,c 判断以下命题的真假（１）若a>b, 则ac<bc;（２）若ac 2>bc 2，则a>b;（３）若a<b<0, 则a 2>ab>b 2;（４）若a<b<0, 则|a|>|b|; （５）若a>b,a 1>b1, 则a>0, b<0． 【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。
【解析】（１）因为c 的符号不定，所以无法判定ac 和bc 的大小，故原命题为假命题.（２）因为ac 2>bc 2, 所以c ≠0, 从而c 2>0，故原命题为真命题. （３）因为⎩⎨⎧<<0a b a ，所以a 2>ab ①又⎩⎨⎧<<0b b a ，所以ab>b 2 ②综合①②得a 2>ab>b 2，故原命题为真命题．（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题． （５）因为⎪⎩⎪⎨⎧>>b a b a 11 ，所以0110a b a b->⎧⎪⎨->⎪⎩ 所以⎪⎩⎪⎨⎧>-<-00aba b a b ，从而ab<0 又因a>b ，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．【总结升华】题目中要注意不等式变形的等价性，性质的应用要合理.举一反三：【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型二 不等式的性质】【变式1】若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)0a b d c +<；(3)a －c ＞b －d ； (4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ；【变式2】若a<b<0，则下列结论正确的是（ ）. A.1111a b |a ||b |>>和均不成立 B.1111a-b a |a ||b |>>和均不成立 C.221111a )(b )a b a b a >+>+-和(均不成立 D.221111(a )(b+)|a ||b |b a>+>和均不成立【答案】B ；【解析】特殊值法：a b 0,<<∴取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.例4．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？【解析】设甲地与乙地的距离为S ，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)， 则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间222S S uS t u v u v u v=+=+-- 平均速度222S u v u t u-==， ∵2220u v v u u u u u--=-=-< ， ∴ u u <因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度.【总结升华】恰当的设出变量，利用了做差比较大小是本例的关键.举一反三：【变式】甲乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a 行走一半路程，用速度b 行走另一半路程，若a b ≠，试判断哪辆车先到达B 地.【答案】甲车先到达B 地；【解析】设从A 到B 的路程为S ，甲车用的时间为1t ，乙车用的时间为2t ， 则1112211,,(),22222t t S S S S a b S t t a b a b a b+=∴==+=++ 222S S 112S ()S 4S ()S ()S 0222()2()a b ab a b a b a b a b a b ab ab a b ab a b ⎛⎫===-< ⎪⎝⎭＋－＋－－＋－＋＋＋＋ 所以，甲车先到达B 地.类型三：作差比较大小【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型一 比较大小】例5.已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小． 【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。