2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷含参考答案
2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为．4．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为厘米．5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若, 则f（a+4）＝．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为．10．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z216．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1, a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．【解答】解：∵∴∴﹣1＜x≤1且x≠0,∴f（x）的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．故答案为：（﹣1, 0）∪（0, 1]．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为60°．【解答】解：由双曲线3x2﹣y2＝12, 可知双曲线的两条渐近线方程为y＝±x, ∴两条渐近线的倾斜角分别为60°, 120°,∴双曲线3x2﹣y2＝12的两条渐近线的夹角是60°,故答案为：60°．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为﹣9．【解答】解：行列式解线性方程组, 则D y＝＝2×（﹣1）﹣7×1＝﹣9,故答案为：﹣94．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为13厘米．【解答】解：设球的半径为Rcm,由将球取出, 扭留下空穴的直径为24cm, 深8cm则截面圆的半径r＝12cm, 球心距d＝（R﹣8）cm,由R2＝r2+d2得：R2＝144+（R﹣8）2,即208﹣16R＝0解得R＝13故答案为：13cm5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是x＝﹣2．【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（, 0）,又焦点在直线2x+y﹣4＝0上,∴p﹣4＝0,解得p＝4,则抛物线的准线方程是：x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为（2, ）．【解答】解：∵T═﹣＝, ω＞0,∴T＝＝π,∴ω＝2；又曲线过（, 0）且为单调递减区间上的零点,∴ω+φ＝π+2kπ（k∈Z）,∴φ＝+2kπ（k∈Z）, 而0＜φ≤,∴φ＝,∴点P（ω, φ）的坐标为（2, ）．故答案为：（2, ）．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若,则f（a+4）＝﹣2．【解答】解：∵,∴f（a）＝．当x≥6时, f（x）＝﹣log3（x+1）≤﹣log37＜0, 不符合条件, 舍去；当x＜6时, f（x）＝3x﹣6, 令＝3﹣2, ∴a﹣6＝﹣2, 解得a＝4, 满足条件．∴f（8）＝﹣log39＝﹣2．故答案为：﹣2．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．【解答】解：二项展开式（2x+3）7中, 所有的项的系数为•3r•27﹣r, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,即所有的项的系数共有8个, 其中, r＝7时为奇数, 其余都为偶数．有的二项式系数为, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 共有8个, 都是奇数．在所有的项的系数、所有的二项式系数中, 共有9个奇数, 7个偶数, 从中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为＝,故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为33．【解答】解：在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域如下图所示：其面积为：2××6×+4×6＝33,故答案为：3310．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．【解答】解：设AB的中点为E, 则由题意可得△BCE为等边三角形, 且＝﹣＝﹣,再根据、共线, 可得＝λ＝λ（﹣）, λ∈[0, 1],∴＝+＝（1﹣）+λ．又＝x+y, ∴, ∴x+y＝1﹣+λ＝1+≤1+＝,故x+y的最大值是,故答案为：．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集{, , π}．【解答】解：方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0⇒．⇒2sin x cos x﹣1+sin x﹣cos x＝0．（cos x≠0）⇒sin x﹣cos x＝（sin x﹣cos x）2, （cos x≠0）．⇒sin x﹣cos x＝0或sin x﹣cos x＝1⇒tan x＝1⇒或cos x＝﹣1．x∈[0, 2π]∴x＝, , π．故答案为：{, , π}．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为1+．【解答】解：设∠VNO＝θ,则∵N、M分别是AB、CD的中点, AB＝2, VA＝,∴AN＝1, VN＝2,MN＝BC＝AB＝2, VN＝VM＝2,则三角形VNM为正三角形, 则∠MNV＝60°,则ON＝2cosθ,在三角形OMN中,OM2＝MN2+ON2﹣2MN•ON cos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣2×2×2cosθcos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣8cosθ（cosθ﹣sinθ）＝4+4cos2θ﹣4cos2θ+4sinθcosθ＝4+2sin2θ＝（2,∴要使OM最大, 则只需要sin2θ＝1, 即2θ＝90°即可, 则θ＝45°,此时OM＝+1．故答案为：1+．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中, t＞0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故A 错误；在B中, t≠0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故B正确；在C中, t的终边不能在y轴上, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故C错误；在D中, t的终边不能在y轴上, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故D错误．故选：B．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵{a n}是公比为q的等比数列, 当0＜|q|＜1时, S n＝,|S n|＝||,即“存在M＞||, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件,当q＝﹣1时, |S n|＝即取M＝2|a1|即可,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件, 综上可知：即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件．故选：A．15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z2【解答】解：对于A, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 由, 可得a+bi＝a﹣bi, 则2bi＝0, b＝0, ∴z为实数, 故A正确；对于B, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 则z2＝a2+b2+2abi＜0, ∵z2＜0, ∴a＝0, 则z纯虚数, 故B正确；对于C, 当z＝0时, 有|z+1|＝|z﹣1|, 故C错误；对于D, 由z3＝1, 得z3﹣1＝0, 即（z﹣1）（z2+z+1）＝0, 可得z＝1或z＝, ∴, 故D正确．∴错误的是C．故选：C．16．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【解答】解：设直线m在平面α的射影为直线n, 则l与n相交,不妨设l与n垂直, 设直线m与平面α的距离为d,在平面α内, 以l, n为x轴, y轴建立平面坐标系,则P到直线l的距离为|y|, P到直线n的距离为|x|,∴P到直线m的距离为,∴|y|＝, 即y2﹣x2＝d2,∴P点轨迹为双曲线．故选：D．三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．【解答】解：（1）以C为原点, 在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴,以CB为y轴, CC1为z轴, 建立空间直角坐标系,则C1（0, 0, 4）, D（2, 2, 2）, B（0, 4, 0）,A1（2, 2, 4）, B1（0, 4, 4）, E（）,＝（2, 2, ﹣2）, ＝（）,设异面直线C1D与BE所成角的大小为θ,则cosθ＝＝＝,∴θ＝arccos．∴异面直线C1D与BE所成角的大小为arccos．（2）点C1到平面BDE的距离d＝＝2,S△BDE＝﹣﹣﹣S△ADB＝＝6,∴四面体BDEC1的体积：V＝＝＝4．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管, 则, 【解答】解：方案一：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝0.35%,方案二：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝4.3%,（2）设用方案一裁剪x根原材料, 用方案二裁剪y根原材料, 共裁剪得z套毛胚, 则, z＝2x+4y,得, z max＝320套,废料率为＝2.72%,答：最多可裁剪320套毛胚, 最终的废料率为2.72%19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时, f（x）为偶函数；当a≠0时, f（x）为非奇非偶函数（2）a＝1时, f（x）＝x2+|x﹣1|＝＝∴函数的单调减区间为（﹣∞, ）, 函数的单调增区间为（, +∞）（3）f（x）＝x2+|x﹣a|＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 等价于x2﹣10＜x﹣a＜10﹣x2, 等价于对x∈（﹣1, 3）恒成立∴2≤a≤420．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值【解答】解：（1）椭圆+y2＝1, A（0, 1）, P1（﹣2, 0）, Q1（2, 0）,△AP1Q1的面积为×1×4＝2；（2）证明：设直线AP n的方程为y＝kx+1,由•＝0, 即⊥,可得直线AQ n的方程为y＝﹣x+1,由y＝kx+1和x2+4y2＝4联立, 可得（1+4k2）x2+8kx＝0,解得x1＝﹣, x2＝0,可得P n（﹣, ）,将k换为﹣可得Q n（, ）,直线P n Q n的斜率为＝,直线P n Q n的方程为y﹣＝（x+）,化简可得y＝x﹣,则直线P n Q n过一定点（0, ﹣）；（3）＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n,由椭圆方程可得＝﹣, ＝,△AP n Q n为等腰三角形, △AP n Q n的外接圆圆心在y轴上,设为（0, t）, （0＜t＜1）,由圆的定义可得1﹣t＝,化为1﹣t＝4﹣,可得R n＝4﹣,可得R n＝（4﹣）＝4﹣0＝4．21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1,a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．【解答】（1）解：2018＝1×2!+4×4!+4×5!+2×6!,故数列A[2018]为a1＝0, a2＝1, a3＝0, a4＝4, a5＝4, a6＝2；（2）证明：对于恰有k项生成数列, 其表示的正整数最小值为k!,表示的正整数最大值为1•1!+2•2!+3•3!+…+k•k!＝（k+1）!﹣1,即k项的不同生成数列共有2•3•4…k•k＝k•k!＝（k+1）!﹣k!,而满足k!≤n≤（k+1）!﹣1的正整数n恰好有（k+1）!﹣k!个．下面只需证明两个不同的k项生成数列表示的正整数不同．设生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k表示的数为A和B, 若a k＜b k,则a1•1!+a2•2!+…+a k•k!≤1•1!+2•2!+…+（k﹣1）•（k﹣1）!+a k•k!＝（a k+1）•k!﹣1＜b k•k!．即A＜B；同理若有a k＝b k, a k﹣1＜b k﹣1, 也可到A＜B；依此类推可得A＝B的充要条件是生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k相同．综上可得, 对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）解：∵（k+1）!﹣k!＝k•k!,∴2025！﹣1949！＝1949•1949!+1950•1950!+…+2024•2024!,即数列A[2025！﹣1949！]的通项为：．故所有项的和为：＝150974．。
交大附中2018～2019学年第二学期五模数学(理)答案
交大附中2018～2019学年第二学期高三第五次模拟考试数学（理）答案13.0132,2≥-+∈∀xxRx14. 1 15. 210 16. π3325-12.由的三边分别为,,可得：,,,可知,,,,,,,,,)23sin sin sin sinπsin32a c A C A A A A⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭, ,,,可知,,,可知当时,,,则的最大值的取值范围为.ABC△a b c113a b b c a b c+=++++3a b c a b ca bb c+++++=++1c aa b b c∴+=++()()()()c b c a a b a b b c+++=++222ac a c b=+-2221cos22a c bBac+-∴==π3B=2π3πR=R=2sin sin sina b cRA B C∴===a A∴=c C=π6sin6A⎛⎫=+⎪⎝⎭2π3A<<ππ5π666A∴<+<π36sin66A⎛⎫∴<+≤⎪⎝⎭36a c<+≤()()()222sin22f x x a c a c=--++++⎡⎤⎣⎦1sin1x-≤≤sin1x=()()max4f x a c=+()12424a c∴<+≤()()cos24sin1f x x a c x=+++(]12,2417.解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+, 可得2,23n d a n ==-.()()()()()()()()()()⎩⎨⎧-=∴-=--⨯-=-+-++-++-==⨯=+-++-++-=-++-+-=+++++=-=---为奇数，为偶数为奇数时：当为偶数时：当则设n n n n T nn n a a a a a a a T nn a a a a a a T a a a a b b b b b T a b n n n n n n n n nnn n n n n n 2,232221n 22n 1,121-2432114321321132121. 解：（1）f′（x）＝e x﹣a,①当a≤0时,f′（x）＞0,函数f（x）在R上单调递增;②当a＞0时,令f′（x）＝e x﹣a＝0得x＝lna,令f′（x）＞0,得x＞lna,f（x）单调递增,令f′（x）＜0,得x＜lna,f（x）单调递减;综上,当a≤0时,函数f（x）的单调增区间为（﹣∞,+∞）;当a＞0时,函数f（x）的单调增区间为（lna,+∞）,单调减区间为（﹣∞,lna）.（2）设,∵,∴p（x）在x∈[1,+∞）上为减函数,又p（e）＝0,∴当1≤x≤e时,p（x）≥0,当x＞e时,p（x）＜0.∵,,∴q′（x）在x∈[1,+∞）上为增函数,又q′（1）＝0,∴x∈[1,+∞）时,q′（x）≥0,∴q（x）在x∈[1,+∞）上为增函数,∴q（x）≥q（1）＝a+2＞0.①当1≤x≤e时,,设,则,∴m（x）在x∈[1,+∞）上为减函数,∴m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a,∵a≥2,∴m（x）＜0,∴|p（x）|＜|q（x）|,∴比e x﹣1+a更靠近lnx.②当x＞e时,,设n（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a,则,,∴n′（x）在x＞e时为减函数,∴,∴n（x）在x＞e时为减函数,∴n（x）＜n（e）＝2﹣a﹣e e﹣1＜0,∴|p（x）|＜|q（x）|,∴比e x﹣1+a更靠近lnx.综上：在a≥2,x≥1时,比e x﹣1+a更靠近lnx.22.解：（1）解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1,把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2＝1,∴ρ2﹣2ρcosθ＝0,即ρ＝2cosθ.（II）设（ρ1,θ1）为点P的极坐标,由,解得.设（ρ2,θ2）为点Q的极坐标,由,解得.∵θ1＝θ2,∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2.∴|PQ|＝2.23.解：（1）定义在R上的函数f（x）＝|x﹣2m|﹣|x|,m∈N,且f（x）＜4,可得：|x﹣2m|﹣|x|≤|2m|＜4,则|m|＜2,解得﹣2＜m＜2.又m∈N,∴m＝1,0证明（2）当m＝0时,f（x）＝0,显然不满足,f（α）+f（β）＝3,当m＝1时,f（x）＝|x﹣2|﹣|x|＝∵α∈（0,1）,β∈（0,1）,∴f（α）+f（β）＝2﹣2α+2﹣2β＝3,即α+β＝,∴：+＝2（+）（α+β）＝2（5++）≥2（5+2）＝18, 当且仅当＝,即α＝,β＝时取等号,故+≥18.。
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
3.（2018•上海）在（1+x）7 的二项展开式中，x²项的系数为
。（结果用数值表示）
【答案】21
【解析】【解答】（1+x）7
中有
Tr+1=
C7r
xr
，故当
r=2
时，
C72
=
7
2
6
=21
【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式 a b n 第 r+1 项为 Tr+1= Cnranrbr 。
3
当|q|<1
时，
lim
n
1
qn 1
qn
q
(舍)
【分析】 Sn
a1 a1qn 1 q
（等比数列前
n
项和公式）
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
11.（2018•上海）已知常数
a
>0，函数
f
(x)
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
8.（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点 A（-1，0），B（2，0），E，F 是 y 轴上的两个动点，且
| EF |=2，则 AE · BF 的最小值为______
【答案】-3
【解析】【解答】设 E(0，y1)，F(0，y2)，又 A（-1，0），B（2，0），
y1
交大附中2018～2019学年第二学期五模数学(文科)试题及参考答案
交大附中2018～2019学年第二学期高三第五次模拟考试数学(文科)试题注意：本试题共4页,三道大题。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ,{}03<<-=x x N ,{}01<+=x x M ,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}31x x -<<-B ．{}30x x -<<C ．{}10x x -≤<D ．{}3x x <-2.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车使 用情况,选了n 座城市作实验基地,这n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为1x ,2x ,,n x ,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A ．1x , 2x ,,n x 的平均数B ．1x ,2x ,,n x 的标准差C ．1x ,2x ,,n x 的最大值 D ．1x ,2x ,,n x 的中位数3.已知m ,n 是空间中的两条不同的直线,α,β是空间中的两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A ．若m n ∥,m α∥,则n α∥B ．若αβ∥,m α∥,则m β∥C ．若m n ⊥,n α⊂,则m α⊥D ．若m α⊥,m β⊂,则αβ⊥4.经调查,某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中中年人数为12人,则n =( ) A . 30 B . 40 C . 60D . 805.曲线()x a x f ln =在点()()e f e P ,处的切线经过点()1,1--,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．e D ．e 26.设向量()3 4a =-，,向量b 与向量a 方向相反,且10b =,则向量b 的坐标为( ) A ．6855⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．()6 8-，C ．6855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()6 8-， 7.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将 指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,4iie π表示的复数位于复平面内( )A. 第一象限B. 第二象限B. 第三象限D. 第四象限8.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法,右图是实现该算法的程序框图,如输入的1,2==x n ,依次输入的a 为1,2,3,运行程序,输出的s 的值为( )A .1B .2C . 3D .6 9.小明与爸爸放假在家做蛋糕,小明做了一个底面半径为10cm 的等边圆锥(轴截面为等边三角形)状蛋糕,现要把1g 芝麻均匀地全撒在蛋糕表面,已知1g 芝麻约有300粒,则贴在蛋糕侧面上的芝麻约有( ) A ．200 B ．100 C ．114 D ．21410.已知等比数列{}n a 的公比为2,432,2,a a a +成等差数列,若3221=n a a a ,则n =( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．1011.已知三棱锥ABC P -的侧棱PC PB PA ,,两两垂直,2==PC PA ,3=PB ,Q 为棱BC 上的动点,AQ 与侧面PBC 所成角为θ,则θtan 的最大值为( )A .37 B .721 C. 321D . 735 12.已知圆锥曲线()()2222121010,0C mx ny n m C px qy p q +=>>-=>>：与：的公共焦点为12,F F ,点M 为12,C C 的一个公共点,且满足1290F MF ∠=,若圆锥曲线1C 的离心率为34,则2C 的离心率为( )A ．92B ．2C ．32D ．54二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数()x f y =的定义域是3]21[，,则函数()x f y 2log =的定义域为__________． 14.某煤气站对外输送煤气时,用1至5号五个阀门控制,且必须遵守以下操作规则： (i)若开启3号,则必须同时开启4号并且关闭2号;(ii)若开启2号或4号,则关闭1号; (iii)禁止同时关闭5号和1号. 现要开启3号,则同时开启的另两个阀门是__________．15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,71=a ,2a 为整数,对任意+∈N n 都有4S S n ≤,则数列{}n a 的通项公式为：__________．16.已知函数()())),0(,0(sin 2πϕωϕω∈>+=x x f 的部分图象如图所示,其中()10=f ,25=MN ,则()=1f ______． 三．解答题(本大题共6小题,共70分)17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知6a =,1cos 8A =. (Ⅰ)若5b =,求sin C 的值;(Ⅱ)ABC ∆,求b c +的值. 18. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中, 122PC AD CD AB ====,//AB DC , AD CD ⊥, PC ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证： BC ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若M 为线段PA 的中点,且过,,C D M 三点的平面与线段PB 交于点N ,确定点N 的位置,说明理由;并求三棱锥A CMN -的高.19. (本小题满分12分)为了了解西安市足球特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据：(Ⅰ)根据上表数据,计算y 与x 的相关系数r ,并说明y 与x 的线性相关性强弱(已知：175.0≤≤r ,则认为y 与x 线性相关性很强;75.03.0<≤r ,则认为y 与x 线性相关性一般;25.0≤r ,则认为y 与x 线性相关性较弱);(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程,并预测西安市在2019年足球特色学校的个数(精确到个)参考公式：()()()()∑∑∑=-=----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121,()()()∑∑==---=ni ini iix x yyx x b 121,,()10512=-∑=i ix x ,()3.1512=-∑=i i y y ,6056.313≈.20. (本小题满分12分)椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ,A 为椭圆上一动点(异于左、右顶点),若21F AF ∆的周长为324+,且面积的最大值为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设B A ,是椭圆C 上两动点,线段AB 的中点为P ,OB OA ,的斜率分别为21,k k (O 为坐标原点),且4121-=k k ,求OP 的取值范围. 21. (本小题满分12分)已知函数()()R a x a xa x x f ∈-++=ln 1. (Ⅰ)讨论()x f 的单调性;(Ⅱ)讨论()x f 在[]e ,1上的零点个数.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2017-2018年上海市交大附中高三下开学考
上海交大附中2017-2018学年第二学期高三数学摸底考试卷一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至12题，每题5分，共54分）1. 已知a 是实数，i 是虚数单位，若21(1)z a a i =-++是纯虚数，则a =____________．2. 已知二元一次方程组111222a x b y c a x b y c ì+=ïïíï+=ïî的增广矩阵是111113骣-÷ç÷ç÷ç÷桫，则此方程组的解是____________．3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a ，众数为b ，平均数为c ，则a 、b 、c 中的最大者是____________．4. 命题：“若a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =”及其逆命题、否命题、逆否命题（这四个命题）中正确的个数是____________．5. 已知正数a 、b 满足430a b +=，使得14a b+取最小值的实数对(,)a b 是____________． 6. 不等式10x x ->的解集为____________．7. 已知2(1)(1)(1)f x x x +=-?，则1(1)f x -+=____________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 正半轴为始边的钝角a 的终边与圆22:4O x y +=交于点11(,)P x y ，点P 沿圆顺时针移动23p个单位弧长后到达点22(,)Q x y ，则12y y +的取值范围是____________．9. 已知三棱锥V ABC -，底面是边长为2的正三角形，VA ^底面ABC V ，2VA =，D 是VB 中点，则异面直线VC 、AD 所成角的大小为____________．（用反三角函数表示） 10. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数，则112在这“等差数阵”中出现的次数为____________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，设(1,1)A -，,B C 是函数1(0)y x x=>图像上的两点，且ABC V 为正三角形，则ABC V 的高为____________．12. 如图，平面上两点(0,1),(3,6)P Q ，在直线y x =上取两点,M N 使MN =，且使PM MN NQ ++的值取最小，则N 的坐标为____________．二、选择题（每题5分，共20分）13. 某电商设计了一种红色，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则它获奖的概率为（ ）A.38B.58C.49D.7914. 设,,l m n 表示三条直线，,,a b g 表示三个平面，给出下列四个命题： ①若,l m a a ^^，则//l m ；②若m b Ì，n 是l 在b 内的射影，m l ^，则m n ^； ③若,//m m n a Ì，则//n a ；④若,a g b g ^^，则//a b ，其中真命题为（ ） A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ①③④15. 在平面内，定点,,,A B C O 满足2OA OB OC ===uu r uu u r uuu r ，AC AB BC BA OB AC AB BC BA骣骣鼢珑鼢珑鼢珑-=?鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫uuu r uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu r 0=，动点P 满足1,AP PM MC ==uu u r uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是（ ）A.434B.494C.374D.37216. 设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a --=+，4,2k a k Z p 刮且公差(1,0)d ?，若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A. 3,22pp 轾犏犏臌B. 3,22pp 骣÷ç÷ç÷ç桫C. 7,24pp 轾犏犏臌D. 7,24pp 骣÷ç÷ç÷ç桫三、解答题17. （本题满分14分）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为钝角三角形，角A所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABCV 的面积．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2 小题8分）如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,2,5AB CD AB CD ==，过A 、B 分别作,AE CD BF CD ^^，垂足分别为E 、F ，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得,//AF BD DE CF ^，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）证明：//BE 面ACD ；（2）求三棱锥B ACD -的体积．19. （本题满分14分）某小区有一块三角形空地，如图ABC V ，其中180AC =米，90BC =米，90C ?o ，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC V 内的点P 处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点D ，，然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ，在ADE V 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所，现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米，与BC 距离为100米，设DC d =米，试问d 取何值时，运动场所面积最大？20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知O 为坐标原点，圆22:(1)16M x y ++=，定点(1,0)F ，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点O ，点Q 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的交点分别为1B 、2B ，某直线1B P 和2B P 分别与x 轴交于C 、D 两点，请问线段之积OC OD ×是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 坐标为(1,0)-，过点C 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，求ABD V 面积的最大值．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设()f x 是定义在[,]a b 上的函数，若存在(,)x a b Î，使得()f x 在[,]a x 单调递增，在[,]x b 上单调递减，则称()f x 为[,]a b 上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：b a -．（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；2123241()2,()121,()log ,()sin 42f x x x f x x f x x f x x 骣÷ç=-=--=+=÷ç÷ç桫； （2）若函数3()(0)f x ax x a =+<是[1,2]上的单峰函数，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的1212,(0,1),x x x x ?，若12()()f x f x ³，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x £，则1(,1)x 为含峰区间；试问当12,x x 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．参考答案一、填空题 1. 12. 21x y ì=ïïíï=ïî3. c4. 2个5. 15,154骣÷ç÷ç÷ç桫 6. (0,1)(1,)+?U7. )2[0,)x -??8.9. 1arccos410. 711. 212. 99,44骣÷ç÷ç÷ç桫二、选择题 13. C 14. A 15. B 16. D三、解答题17. （1）,2pp 轹÷ê÷÷êøë； （2）4 18. （1）证明略； （2）2319. 6020. （1）22143x y +=； （2）定值为4； （3）9221. （1）①21()2f x x x =-是[0,1]上的单峰函数，峰点为14； ②2()121f x x =--不是[0,1]上的单峰函数； ③321()log 2f x x 骣÷ç=+÷ç÷ç桫不是[0,1]上的单峰函数； ④4()sin 4f x x =是[0,1]上的单峰函数，峰点为8p（2）11,312a 骣÷ç?-÷ç÷ç桫 （3）证明略；120.40.6x x ì=ïïíï=ïî。
2017-2018学年上海交大附中高三(上)10月月考数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=．2．计算：=．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．已知，则x=（用反正弦表示）7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是（用数字作答）8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=314．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．416．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0} ．【分析】根据交集的定义即可求出．解：集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0}，故答案为{0}【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．计算：=．【分析】所求表达式分子、分母同除n2，然后求解即可．解：===．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，基本知识的考查．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=27．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解：由题意可得=，即x=27，故答案为：27【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系即可得到结论．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．【分析】先由复数的代数形式的乘除运算，求出=1﹣3i，故=1+3i，由此能求出||．解：∵====1﹣3i，∴=1+3i，∴||==．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．已知，则x=（用反正弦表示）【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案解：由于arcsin表示[﹣，]上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容．7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是560（用数字作答）【分析】由题意可得x2项的系数是+++…+，再利用二线式系数的性质化简可得结果．解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是+++…+==560，故答案为：560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二线式系数的性质，属于基础题．8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为2．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到a=1，进而得到实轴长．解：双曲线=1的渐近线方程为y=±，即±ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，由圆的弦长公式得弦心距|CD|==，另一方面，圆心C到双曲线的渐近线﹣ay=0的距离为d==，所以d==，解得a2=1，即a=1，该双曲线的实轴长为2a=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．【分析】设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：3【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）【点评】本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．【分析】由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，再由a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，得=3n+1．由a n=2n﹣1，得，可得2k n﹣1=3n+1．即k n=（3n+1+1），由对任意n∈N*，恒有≤（m ∈N*），可得≤恒成立，然后结合数列的函数特性求得m值．解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n﹣1，得，∴2k n﹣1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）【分析】作出f（x）=的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．解：f（x）=的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）=2f（+2）=4f（+4）=6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则=，则x1+x2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即∴，解得b=﹣2，c=3故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题14．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π【分析】由已知三视图得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，计算其体对角线长度，得知其外接球的直径，计算球表面积．解：原因是得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，所以外接球的直径为，所以外接球表面积为：4π（）2=68π；故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三视图求外接球的表面积；关键是还原几何体，明确外接球的半径．15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义以及基本不等式的应用进行求解．解：∵=ax+by，∴设z=ax+by，则z的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=ax+by，得y=，由图象可知当直线y=，经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，即A（8，10），代入z=ax+by，得40=8a+10b，即，∴=（）（）=1+，当且仅当，即4a2=25b2，2a=5b时取等号，∴的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划和基本不等式的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划的关键，注意利用数形结合来解决．16．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3【分析】将函数f（x）化简，首先考虑f（x）的单调性，由题意可得f（m）=n，f（n）=m．，故m，n是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出m，n的关系．在求最大值解：解：函数的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．化简得f（x）=在区间[m，n]上是单调递增，则有，故m，n是方程f（x）==x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．那么mn=，m+n=，只需要△＞0，即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．那么：n﹣m==，故n﹣m的最大值为，此时解得：a=3．故选：D．【点评】本题考查了函数性质的方程的运用，有一点综合性，利用函数关系，构造新的函数解题．属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．【分析】（1）推导出f（x）=﹣cosx=2sin（x﹣），由此能求出函数f（x）的值域．（2）由f（B）=2，得到f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），求出B=，由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，由△ABC面积S得ac=1，由此能求出a+c．（3）建立坐标系，用解析法即可证明余弦定理．解：（1）∵．∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴由x∈R，可得：f（x）=2sin（x﹣）∈[﹣2，2]；（2）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，∴f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），∴B=，∵b=，∴由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，∵△ABC面积S=，∴acsinB=ac×=，解得ac=1，∴a2+c2=3+2accos=3﹣ac=2，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=2+2=4，∴a+c=2．（3）证明：余弦定理为：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A （0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．【点评】本题考查三角函数的值域的求法，考查三角形中两边和的求法，考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．【分析】（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣=a n=1.=．当26≤n≤60时，1=，由此能求出第n天的利润率．（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，，由此能求出利润率最大值．解：（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣1=a n=1．∴=．当26≤n≤60时，==，∴第n天的利润率（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，（当且仅当n=，即n=50时，“=”成立）．又∵，∴n=1时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和分类讨论思想的运用．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．【分析】（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解出可得椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B （2，0），利用斜率计算公式可得k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，可得k BP•k BQ．（2）当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由k BP•k BQ=﹣1，即=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系可得结论．（3）由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，=S△APM+S 与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=|y1﹣y2|==，利用△AQM根与系数的关系、函数的单调性可得S＜．当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y．可得|PQ|=，可得S．【解答】（1）解：由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=c=．∴椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则k AP=，k BP=，则k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1．∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，联立，整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，由k BP•k BQ=﹣1，即=0，则y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，得（k2+1）x1x2+（kt﹣2）（x1+x2）+4+t2=0，4k2+8kt+3t2=0，得t=﹣2k或t=﹣k．y=k（x﹣2）或y=k（x﹣），所以过定点（2，0）或（，0），A（2，0）为椭圆的右顶点，舍去，∴直线PQ过定点M（，0）．（3）解：由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=S△APM+S△AQM=|y1﹣y2|====，令=m∈（0，1），则S=＜=，当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．∴|PQ|=，可得S==．综上可得：当PQ⊥x轴时，三角形APQ的面积S取得最大值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、数量积运算性质、二次函数的性质、直线过定点问题、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．【分析】（1）根据定义逐一判断即可，利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a （3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围；（3）根据定义，令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，故对于正整数k 与正数s，都有，进而得出结论．解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…对于函数，当t=s=1时，，故不是“L函数”．…（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，…故对于正整数k与正数s，都有，…对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）=1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）【点评】本题考查了新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．。
2017-2018-交大附中-高三下-开学考
ab
6. 不等式 x x -1 > 0 的解集为____________．
7. 已知 f (x +1) = (x -1)2 (x £1) ，则 f -1(x +1) = ____________．
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 正半轴为始边的钝角 a 的终边与圆 O : x2 + y2 = 4 交于点
a4
¹
kp 2
,
k
Î
Z
且公差
d
Î
(-1,
0)
，若当且仅当
n
=
8
时，数列 {an } 的前
n
项和
Sn
取得最大值，
则首项 a1 的取值范围是（ ）
A.
éêêë
3p 2
,
2pùúúû
B. æçççè32p , 2pöø÷÷÷
C.
éêêë
7p 4
, 2pùúúû
D.
æçççè
7p 4
,
2pö÷÷÷ø
三、解答题
①若 l ^ a, m ^ a ，则 l / /m ；
②若 m Ì b ， n 是 l 在 b 内的射影， m ^ l ，则 m ^ n ；
③若 m Ì a, m / /n ，则 n / /a ；
④若 a ^ g, b ^ g ，则 a / /b ，其中真命题为（ ）
A. ①②
B. ①②③
C. ②③④
号
调递减，则称 f (x) 为[a, b] 上的单峰函数公，众x 为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区
加
间的长度为： b - a ．
添
（1）判断下列函数中，哪些w是or“d版[0,1] 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r rC x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C ab-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
精品解析：【全国百强校Word】上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题(原卷版)
上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题一、填空题1. 若集合，集合，则__________．2. —个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以为半径的圆，则该几何体的体积是__________．3. 已知是虚数单位，则的平方根是__________．4. 函数的反函数是__________．5. 设满足约束条件，则的最小值是__________．6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上、下底面上其余十六个点，则的不同值的个数为__________．学.科.网...7. 数列满足，其前项和记为，若，那么__________．8. 若是展开式中项的系数，则__________．9. 设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则__________．10. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．11. 函数绕原点逆时针旋转，每旋转得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是__________．12. 已知两正实数，满足，则的最大值为__________．二、选择题13. 关于的二元一次方程组，其中行列式为（）A. B. C. D.14. “要使函数成立，只要不在区间内就可以了”等价于（）A. 如果，则B. 如果，则C. 如果，则D. 如果，则15. 参数方程（为参数）所表示的函数是（）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线对称C. 周期为的周期函数D. 周期为的周期函数16. 已知椭圆，直线，点，直线交椭圆于两点，则的值为( )A. B. C. D.三、解答题17. 如图，在长方体中，.（1）证明直线平行于平面；（2）求直线到平面的距离.18. 的内角的对边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）若，求的周长19. （1）请根据对数函数来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义：①若实数满足，则称比接近；②若实数，且，满足，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.20. 已知数列和的通项公式分别为，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列；将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，求数列的通项公式.21. 如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.（1）证明：的左焦点是“型点”；（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；（3）求证：内的点都不是“型点”.。
上海交大附中2017-2018学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．若，则x+y=．2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．3．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第象限的角．4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件．5．把行列式按照第二列展开，则．6．已知||=3，||=5，=12，则向量与向量的夹角余弦为．7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=．8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=．9．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是．10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为．11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为．13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个：①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；②函数f（x）一定存在零点；③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．那么所有真的序号是．14．已知：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则a m=”．现+n已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上=．述结论，则可得到b m+n二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（）A．B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x ﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到=a n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则18．数列{a n}满足a1=10，a n+1（﹣[]）=（）A．1 B．C．D．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）19．解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．20．已知数列{a n}的前项和为S n，S n=1+ta n（t≠1且t≠0，n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等比数列（2）若S n=1，求实数t的取值范围．21．如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足f M（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．23．在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．若，则x+y=1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组，然后解方程组即可求出x和y的值，从而求出x+y的值．【解答】解：∵，∴解得即x+y=1故答案为：12．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：13．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第一、二象限的角．【考点】三角函数值的符号．【分析】由正弦函数的值域结合cot（sinθ）＞0可得0＜sinθ≤1，进一步得到象限角θ的范围．【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，且cot（sinθ）＞0，∴0＜sinθ≤1，∴θ为第一或第二象限角．故答案为：一、二．4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件a=1．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】取a=1结合充分必要条件的定义，验证即可．【解答】解：a=1时，f（x）=3＞0，成立，而f（x）＞0时，a不一定是1，故答案为：a=1．5．把行列式按照第二列展开，则 ﹣3×+2×+2× ．【考点】三阶矩阵．【分析】利用行列式展开的方法，即可得出结论．【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．故答案为：﹣3×+2×+2×．6．已知||=3，||=5， =12，则向量与向量的夹角余弦为 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦【解答】解：∵||=3，||=5， =12，∴向量与向量的夹角余弦为==．故答案为．7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a= 18 ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=6102，b=2016，执行循环体，r=54，a=2016，b=54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．故答案为：18．8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=﹣2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ﹣cosθ的值，进而求出sinθ与cosθ的值，即可求出tanθ的值．【解答】解：已知等式sinθ+cosθ=①，两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，∵0＜θ＜π，∴cosθ＜0，sinθ＞0，即sinθ﹣cosθ＞0，∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ==，即sinθ﹣cosθ=②，联立①②，解得：sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ=﹣2，故答案为：﹣29．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是{0，﹣2， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分N=∅和N≠∅两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的m值，并写成集合的形式即可得到答案．【解答】解：解：∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣，3}又∵N⊆M，若N=∅，则m=0；若N≠∅，则N={﹣}，或N={3}，即m=﹣2或m=故满足条件的实数m∈{0，﹣2， }．故答案为：{0，﹣2， }．10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2} ．【考点】绝对值三角不等式．【分析】由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，同时考虑分母不为0得到x不等于0，即可得到x的范围．【解答】解：由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，∴∴﹣1≤x＜0或x≥2．∴解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．故答案为：{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣1，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为1．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用幂函数的图象及性质求解．【解答】解：由题意：坐标轴无公共点，且关于y轴对称，图象只能在一二象限，且是单调减函数．∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3是偶数，m∈Z．解得：m=1，故答案为：1．13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个：①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；②函数f（x）一定存在零点；③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．那么所有真的序号是①④．【考点】的真假判断与应用；函数奇偶性的性质；函数的零点．【分析】（1）当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项；（2）二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标，举个反例即可；（3）分段函数单调性要根据每段函数解析式来求，举个反例即可；（4）当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．【解答】解：由于函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），①当a=0时，f（x）=x2，则f（x）是偶函数；当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则﹣2a=0，即a=0．故①为真．②∵△=4a2﹣4a=4a（a﹣1），当0＜a＜1时，△＜0，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）不存在零点，∴②是假．③由于函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，a]上单调递减，但函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）是由函数f（x）=x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的，则函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）在区间（﹣∞，a]上单调递减不一定成立．故③是假．④当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．故④是真．故答案为①④．=”．现14．已知：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则a m+n已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上=．述结论，则可得到b m+n【考点】类比推理．【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．=，故b m+n故答案为二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选A．16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（）A．B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出．【解答】解：对于A：，当且仅当a=b时取等号．故A对．对于B：a3+b3=≥=2，当且仅当a=b时取等号．故B不对．对于C：a2+b2﹣2a﹣2b=（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣2，即a2+b2≥2a+2b﹣2，故C不对，对于D：，那么：=a﹣b﹣a﹣b+2=﹣2b+2=2≥0，∴D不对．故选：A．17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x ﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【考点】余弦函数的对称性．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．=a n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则18．数列{a n}满足a1=10，a n+1（﹣[]）=（）A．1 B．C．D．【考点】数列的极限．【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入（﹣[]）求得答案．=a n+18n+10，得a1=10，【解答】解：由a n+1又a1=10，∴a2﹣a1=18×1+10，a3﹣a2=18×2+10，…=18（n﹣1）+10，a n﹣a n﹣1累加得：a n=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）=．∴﹣[]===．则（﹣[]）=．故选：D ．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明） 19．解不等式ax 2+（2﹣a ）x ﹣2＜0（a ∈R ）． 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】将原不等式化为（ax +2）（x ﹣1）＜0分a=0，a ＞0，a ＜0三种情况进行讨论．a=0、a ＞0易解不等式；当a ＜0时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【解答】解：将原不等式化为（ax +2）（x ﹣1）＜0， （1）当a=0时，有x ＜1；（2）当a ＞0时，有（x +）（x ﹣1）＜0，解得﹣＜x ＜1，（3）当a ＜0时，有（x +）（x ﹣1）＞0，若﹣＞1时，即﹣2＜a ＜0，解得x ＜1或x ＞﹣，若﹣=1时，即a=﹣2，解得x ≠1，若﹣＜1时，即a ＜﹣2，解得x ＜﹣，或x ＞1，综上，a=0时，不等式的解集为{x |x ＜1}；﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞﹣}； 当a=﹣2时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x |x ＜﹣或x ＞1}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |﹣＜x ＜1}．20．已知数列{a n }的前项和为S n ，S n =1+ta n （t ≠1且t ≠0，n ∈N*） （1）求证：数列{a n }是等比数列（2）若S n =1，求实数t 的取值范围．【考点】数列的极限；等比数列的通项公式． 【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，即可证明数列{a n }是等比数列（2）若S n =1，[1﹣]=1，可得0＜||＜1，即可求实数t 的取值范围． 【解答】（1）证明：∵S n =1+ta n ， ∴n ≥2时，S n ﹣1=1+ta n ﹣1， 两式相减可得a n =ta n ﹣ta n ﹣1，∴=，∴数列{a n }是等比数列；（2）解：由题意，S 1=1+ta 1，∴a 1=，∴a n =，若S n =1，则[1﹣]=1，∴0＜||＜1，∴， ∵t ≠1且t ≠0，∴，且t ≠0．21．如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（1）利用S=S ABCD ﹣S △ABP ﹣S △ADQ ，可得S 与tan θ的关系式； （2）令t=1+tan θ，t ∈（1，2），利用基本不等式，可求S 的最大值，并求此时θ的值． 【解答】解：（1）S=S ABCD ﹣S △ABP ﹣S △ADQ …2分=…4分=…6分（2）令t=1+tan θ，t ∈（1，2）…8分…10分∵，（当且仅当时，即，等号成立）…12分∴当时，搜索区域面积S 的最大值为（平方海里）此时，…14分．22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足f M（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【分析】（1）利用数形结合求出即可；（2）中求出两区间长度作和即可；（3）找出①②③三个关系式，比较得出结论．【解答】解：（1），解得x=﹣1或，|2x﹣1|=0，解得x=0，画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log23，最小值为．（2）当x∈A∪B，，当x∈（﹣1，1），，所以x∈[﹣2，2]时，所以值域区间长度总和为．（3）由于当2＜x＜3时，取x=2.001，f（2.001）＞0，取x=2.999，f（2.999）＜0，所以方程f（x）=0在区间（2，3）内有一个解考虑函数f（x）=+++﹣1，由于当x＜1时，f（x）＜0，故在区间（﹣∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k﹣1＜x＜k时，取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1﹣0.001，f（x）＜0又因为函数y=f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，所以方程f（x）=0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，从而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x1）∪（2，x2）∪（3，x3）∪（4，x4），故得所有区间长度的总和为S=（x1﹣1）+（x2﹣2）+（x3﹣3）+（x4﹣4）=x1+x2+x3+x4﹣10…①对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x），p（x）=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）+2（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）+3（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）+4（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）如将p（x）展开，其最高项系数为﹣1，设p（x）=﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p（x）=﹣（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）…③对比②③中p（x）的x3系数，（x1+x2+x3+x4）=1+2+3+4+（1+2+3+4）=20可得：S=x1+x2+x3+x4﹣10=10．23．在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m≤2﹣．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据新定义的规定，从原数列中找出符合条件的一个数列，注意本题答案不唯一；（Ⅱ）先利用反证法推出新数列的第一项不等于1，再利用等差数列中项与项的关系，得到公差的取值范围；（Ⅲ）对于新数列，先研究其首项，再利用公比是有理数，对公比进行分类研究，得到本题的结论．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d=b2﹣b1＜0．假设b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5=b1+4d，b5＞0，所以4d=b5﹣b1=b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5=b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K=1时，因为，所以=，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a=K m﹣1×M（M∈N*），所以=．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．2016年11月2日。
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+）7的二项展开式中，²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+）7中有T r+1=7r rC x ，故当r=2时，27C =762⨯=21【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C ab-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣∣= 。