用与指数函数、对数函数有关的最值问题
指数函数及对数函数综合题目和答案解析
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，指数函数和对数函数综合指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【要点链接】1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快．2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题． 【随堂练习】 一、选择题1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是（ ）A ．1100xy e =B ．100ln y x =C ．100y x =D ．1002x y =⨯ 2．若1122a a -<，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．0a >C ．01a <<D ．01a ≤≤3．x x f 2)(=，x x g 3)(=，xx h )21()(=，当x ∈（-)0,∞时，它们的函数值的大小关系是（ ）A ．)()()(x f x g x h <<B ．)()()(x h x f x g <<C ．)()()(x f x h x g <<D ．)()()(x h x g x f <<4．若b x <<1，2)(log x a b =，x c a log =，则a 、b 、c 的关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题5．函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,32在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________． 6．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 21log =ln2，则log a b 与a 21log 的关系是_________________．7．函数2x y =与xy 2=的图象的交点的个数为____________．三、解答题8．比较下列各数的大小： 52)2(－、21)23(－、3)31(－、54)32(－．9．设方程222xx =-在(0,1)内的实数根为m ，求证当x m >时，222xx >-．答案1．A 指数增长最快．2．C 在同一坐标系内画出幂函数21x y =及21-=xy 的图象，注意定义域，可知10<<a ．3．B 在同一坐标系内画出x x f 2)(=，xx g 3)(=，xx h )21()(=的图象，观察图象可知．4．D b x <<1，则0log log 1b b x b <<=，则10<<a ，则01log log =<a a x ， 可知b a c <<<<10．5．x y e = 指数增长最快．6．log a b ＜a 21log 由a 21log =ln20>，则10<<a ，而ab ＞1，则1>b ，则0log <b a ，而0log 21>a ，则log a b ＜a 21log ．7．3 在同一坐标系内作出函数2x y =与x y 2=的图象，显然在0<x 时有一交点， 又2=x 时，2222=，3=x 时，3223>，4=x 时，4224=，而随着x 的增大，指数函数增长的速度更快了，则知共有3个不同的交点．8．解： 52)2(－＝522、21)23(－＝21)32(、3)31(－＝－271、54)32(－＝54)32(．∵52)2(－＞1、3)31(－＜0，而21)23(－、54)32(－均在0到1之间．考查指数函数y ＝x )32(在实数集上递减，所以21)32(＞54)32(．则52)2(－＞21)23(－＞54)32(－＞3)31(－．9．证明：设函数2()22x f x x =+-，方程222x x =-在(0,1)内的实数根为m ， 知()f x 在(0,1)有解x m =，则()0f m =．用定义容易证明()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()()0f x f m >=，即2()220x f x x =+->，所以当x m >时，222xx >-．备选题1．设7210625.0=y ，74203.0=y ，7832.0=y ，则（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．213y y y >>D ．123y y y >>1．B 74125.0=y ，74304.0=y ，而幂函数74x y =在0>x 上为增函数，则132y y y >>．2．图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取101,53,54,3四个值，则相应于C 1， C2， C 3，C 4的a 值依次为（ ）A ．101,53,34,3 B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D ．53,101,3,342．C 作直线1=y ，与四个函数的图象各有一个交点，从左至右的底数是逐渐增大的，则知则相应于C 1，C 2， C 3，C 4的a 值依次为101,53,3,34．指数函数复习【要点链接】1．掌握指数的运算法则；2．熟练掌握指数函数的图像，并会灵活运用指数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题1．函数a y x +=2的图象一定经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知三个实数a ，ab a =，bc a =，其中10<<a ，则这三个数之间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 3．设1()()2xf x =，x ∈R ，那么()f x 是（ ）A ．奇函数且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数且在(0,)+∞上是增函数C ．奇函数且在(0,)+∞上是减函数D ．偶函数且在(0,)+∞上是减函数 4．函数121xy =-的值域是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．(1,)-+∞ D ．(,0)(0,)-∞+∞二、填空题5．若函数()f x =_______________．6．函数x a a a x f )33()(2+-=是指数函数，则a 的值为_________．7．方程2|x |=2－x 的实数解有_________个．三、解答题8．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．9．若函数y ＝1212·－－－xx aa 为奇函数． （1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．答案1．A 当0=a ，图象不过三、四象限，当1-=a ，图象不过第一象限．而由图象知函数a y x+=2的图象总经过第一象限．2．C 由10<<a ，得101=<<a a a a ，则1<<b a ，所以1a a ab a >>，即ac b <<．3．D 因为函数1()()2x f x ==⎪⎩⎪⎨⎧≥)0(,2)0(,)21(＜x x x x，图象如下图．由图象可知答案显然是D ．4．B 令12-=x t ，02>x，则12->x ，又作为分母，则1->t 且0≠t ，画出ty 1=的图象，则1->t 且0≠t 时值域是(,1)(0,)-∞-+∞． 5．(,0]-∞ 由1-2x 0≥ 得2x≤1，则x ≤0.6．2 知1332=+-a a ， 0>a 且1≠a ，解得2=a ．7．2 在同一坐标系内画出y=2|x |和 y=2－x 的图象，由图象知有两个不同交点． 8．解：∵()g x 是一次函数，可设为)0()(≠+=k b kx x g ， 则[()]f g x bkx +=2，点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，可得bk +=222，得12=+b k ．又可得[()]g f x b k x+⋅=2，由点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上， 可得b k +=45．由以上两式解得3,2-==b k ， ∴()23g x x =-．9．解：先将函数y ＝1212·－－－x x aa 化简为y ＝121－－x a ．（1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋xx2121－－＝0，∴a ＝－21．（2）∵y ＝－21－121－x ，∴x2－1≠0．∴函数y ＝－21－121－x 定义域为{x |x ≠0}．（3）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝)12)(12(221221－－－x x x x ． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x．∴12x－22x＜0，12x －1＞0，22x－1＞0．∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－121－x 在（－∞，0）上递增．备选题1．函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上的最大值是4，则a 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．51．C 函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上为增函数，则最大值是=1a 4，则4=a ．2．函数y ＝xx a 22－（a ＞1）的定义域___________，值域___________． 2． {x |x ≥2，或x ≤0} {y |y ≥1}由022≥-x x ，得定义域为{x |x ≥2，或x ≤0}； 此时022≥-x x ，则值域为{y |y ≥1}．对数函数【要点链接】1．掌握对数的运算法则；2．熟练掌握对数函数的图像，并会灵活运用对数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题1．4123log =x，则x 等于（ ） A ．91=x B ．33=x C ．3=x D ．9=x2．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知log 0log log 31212>==+x x x a a a， 0<a<1，则x 1、x 2、x 3的大小关系是（ ）A ．x 3<x 2<x 1B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 2<x 3<x 14．若函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于（ ）A ．12B ．2二、填空题5．函数23log 12-=-x y x 的定义域是 ．6．设函数()f x 满足21()1()log 2f x f x =+⋅，则(2)f = ． 7．已知3log 21=a ，31log 21=b ，21log 31=c ，则a 、b 、c 按大小关系排列为___________．三、解答题8．若)(x f 3log 1x +=， )(x g 2log 2x =，试比较)(x f 与)(x g 的大小．9．若不等式0log 2<-x x m 在（0，21）内恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．A 2log 24123-==x，则2log 3-=x ，则9132==-x ． 2．C y ＝lg （x －12－1）＝xx－＋11lg ，易证)()(x f x f -=-，所以为奇函数，则图象关于原点对称．3．D ∵0<a<1，∴a<1<a+1<a2，∴x 2<1<x 3<x 1． 4．A 10≤≤x 时，11121≤+≤x ，要使值域也是[0，1]，就有0)(≥x f ，则10<<a ， 则)(x f 在[0，1]为增函数，则01log =a ，121log =a ，解得=a 12．5．2(,1)(1,)3+∞ 可知023>-x ，012>-x 且112≠-x ，解得32>x 且1≠x ．6．23由已知得2log )21(1)21(2⋅+=f f ，则21)21(=f ，则x x f 2log 211)(⋅+=，则=⋅+=2log 211)2(2f 23．7．b c a <<03log 2<-=a ，13log 2>=b ，2log 3=c ，则10<<c ，那么有b c a <<．8．解：43log 4log )3(log )()(xx x g x f x x x =-=-．当10<<x 时，1430<<x ，则043log >x x ，则)()(x g x f >； 当34=x 时，143=x，则)()(x g x f =； 当341<<x 时，1430<<x ，则043log <xx ，则)()(x g x f <； 当34>x 时，143>x ，则043log >xx ，则)()(x g x f >．9．解：由0log 2<-x x m 得x x m log 2<.在同一坐标系中作2x y =和x y m log =的图象．要使x x m log 2<在（0，21）内恒成立， 只要x y m log =在（0，21）内的图象在2x y =的上方，于是0<m<1．∵x=21时y=x 2=41，∴只要x=21时21log m y =≥41． ∴21≤m 41，即161≤m. 又0<m<1，∴所求实数m 的取值范围161≤m<1．备选题1．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．1()2xy = B ．xy 1=C ．)(log 3x y -=D ．3x y -= 1．D A 、C 是非奇非偶函数，B 是奇函数，但在定义域内不为减函数，则选D ．2．10002.11=a ，10000112.0=b，则=-ba 11（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．A2.11log 11000=a ，0112.0log 11000=b ， 则11000log 0112.02.11log 1110001000===-b a ．3．如果函数()(3)x f x a =-，()log a g x x =它们的增减性相同，则a 的取值范围 是______________．3．21<<a由03>-a 且13≠-a ，及0>a 且1≠a ，得10<<a ，或21<<a ，或32<<a ．当10<<a 或32<<a 时，)(x f 与)(x g 一增一减，当21<<a 时，)(x f 与)(x g 都为增函数．同步测试题 A 组一、选择题1．已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ．23a a -2．若函数)(log b x y a +=（0>a 且1≠a ）的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则 ( )A ． 2,2==b a B ．2,2==b aC ．1,2==b aD ．2,2==b a3．已知(),()log x a f x a g x x ==，(01)a a >≠且，若(3)(3)0f g ⋅< ， 则()f x 与()g x4．若函数xx f 211)(+=，则)(x f 在R 上是（ ） A ．单调递减，无最小值 B ．单调递减，有最小值 C ．单调递增，无最大值 D ．单调递增，有最大值5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈= D ．)()]([·)]([])[(+∈=N n y f x f xy f nn n6．函数f (x )=log a 1+x ，在（－1，0）上有f (x )>0，那么（ ）A ．f (x )(－ ∞,0)上是增函数B ．f (x )在（－∞，0）上是减函数C ．f (x )在（－∞，－1）上是增函数D ．f (x )在（－∞，－1）上是减函数二、填空题7．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则1[()]4f f = ．8．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ，y=(21)x ，y=2x ，y=10x的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是 ．9．已知)23(log )(221x x x f --=，则值域是 ；单调增区间是 ．三、解答题10．求函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f x x 且）最小值．11．已知函数),()(,0|,lg |)(b f a f b a x x f ><<=且如果证明：1<ab ．12．已知函数()m mx x x f --=221log )(．（1）若m ＝1，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（3）若函数)(x f 在区间()31,-∞-上是增函数，求实数m 的取值范围．B 组一、选择题1．已知函数y=kx 与y=12log x 图象的交点横坐标为2，则k 的值为（ ）A ． 12- B ．14 C ．12 D ．14-2．已知函数b a y x+=的图象不经过第一象限，则下列选项正确是（ ）A ．2,21-==b a B ．3,2-==b a C ．1,21==b a D ．0,3==b a3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ )A ．14 B ．12 4．若函数()11x mf x e =+-是奇函数，则m 的值是（ ）A ．0B ．21C ．1D ．2二、填空题5．如图，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线1nt y ae -=，那么桶2中水就是2nt y a ae -=-． 假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，则再经过______ 分钟桶1中的水只有8a ．6．已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数， 则a 的取值范围是__________．三、解答题7．已知函数xxa b y 22++=(a 、b 是常数且a>0，a ≠1)在区间[－23，0]上有y max =3， y min =25，试求a 和b 的值．8．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--．)1(>p （1）求()f x 的定义域；（2）()f x 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．答案A 组1．A 32a=，则2log 3=a ，33log 82log 6-=+-=)2log 1(22log 3332a -． 2．B 由已知可得)1(log 0-=b a ，则2=b ，又2log log 1a a b ==，则2=a ． 3．C (3)(3)0f g ⋅<，则(3)0g <，则10<<a ，则()f x 与()g x 都为减函数．4．A 121>+x，则12110<+<x，则)(x f 无最大值，也无最小值，而显然)(x f 为减函数5．D 逐个验证可知D 不正确6．D 01<<-x 时，110<+<x ，而f (x )>0，则10<<a ，画出f (x )=log a 1+x 的图象，知f (x )在（－∞，－1）上是减函数．7．91 241log )41(2-==f ，则913)]41([2==-f f ． 8．D 、C 、B 、A 画出图象可知．9．[)+∞-,2，[)1,1-有0232>--x x ，则13<<-x ，在1-=x 时223x x --有最大值4， 令223x x t --=，则40≤<t ，则24log log 2121-=≥t ，则值域是[)+∞-,2，在[)1,1-上，223x x t --=递减，则)23(log )(221x x x f --=单调增区间是[)1,1-．10．解：当1>a 时，⎩⎨⎧<≥-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ．当10<<a 时，⎩⎨⎧>≤-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ．由以上讨论知函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx且）最小值为1． 11．证明：画出函数x x f lg )(=的图象，可以看出在]1,0(上为减函数，在),1[+∞上为增函数， ∵b a <<0时有)()(b f a f >，则不可能有b a <≤1， 则只有10≤<<b a 及b a ≤<<10这两种情况． 若10≤<<b a ，显然1<ab ；若b a ≤<<10，则)()(b f a f >化为b a lg lg >，则b a lg lg >-，则0lg lg <+b a ，0)lg(<ab ，可得1<ab ． 由以上讨论知，总有1<ab ．12．解：（1）方程012=--x x 的根为251±=x ， 所以012>--x x 的解为251-<x 或251+>x ，于是函数的定义域为),251()251,(+∞+⋃--∞．（2）因为函数的值域为R ，所以(){}m mx x u u --=⊆+∞2,0，故04042≥-≤⇒≥+=∆m m m m 或．（3）欲使函数在区间()31,-∞-上是增函数，则只须()()⎪⎩⎪⎨⎧≥----≤-031312312m m m ⎩⎨⎧≤-≥⇒2322m m ， 所以2322≤≤-m ．B 组1．A 由y=12log x ，当2=x 时，1-=y ，代入y=kx 中，有k 21=-，则21-=k ． 2．A 当2,21-==b a 时，2)21(-=x y ，其图象是x y )21(=的图象向下平移了2个 单位，则就不会经过第一象限了．3．C 知)(x f 在]2,[a a 上为减函数，则最大值是1log =a a ，最小值是2log 1)2(log a a a +=，则)2log 1(31a +=，则322log -=a ， 23log 2-=a ，42223==-a ． 4．D 由)()(x f x f -=-，得1111---=-+-x x e m e m ，则112--=-+x x x e m e me ， 可得112---=x x x e m e me ，则2=m ． 5．10 根据题设条件得：55n n ae a ae --=-，所以512n e -=． 令8nt a ae -=，则18nt e -=，所以3151()2nt n e e --==， 所以t=15．15－5=10（分钟），即再经过10分钟桶1中的水就只有8a ． 6．a ∈（1，2）a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜x2（0＜x 1≤）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2） 7．解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－23，0] ， ∴当x =－1时，u min =－1 ； 当x =0时，u max =0 ．.233222233225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 8．解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x 得1x x p >⎧⎨<⎩， 所以f (x )的定义域为（1，p ）．（2）∵22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+． ∴当112p -≤，即13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，当12p x -=时，()f x 有最大值22(1)log 4p +， 但没有最小值．综上可知：当13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值； 当3p >时，()f x 有最大值22(1)log 4p +，但没有最小值．备选题1．若log 4［log 3（log 2x ）］＝0，则21－x 等于（ ）A ．42B ．22C ．8D ．41．A 依题意可得x ＝8，则21－x ＝42．2．函数|,12|)(-=x x f 若a ＜b ＜c ，且)()()(b f c f a f >>，则下面四个式子中成立的是（） A ．0,0,0<<<c b a B ．0,0,0>≥<c b aC ．c a 22<-D ．222<+a c2．D 画出函数|12|)(-=x x f 的图象，可知a ＜0，c ＞0，所以2a -1<0, 2c -1>0,又由)()(c f a f >，得1-2a >2c -1，所以222<+a c ．3．比较log 20.4，log 30.4，log 40.4的大小．3．解：∵对数函数y ＝log 0.4x 在（0，＋∞）上是减函数， ∴log 0.44＜log 0.43＜log 0.42＜log 0.41＝0．又反比例函数y ＝x 1在（－∞，0）上也是减函数．所以2log 14.0＜3log 14.0＜4log 14.0，即log 20.4＜log 30.4＜log 40.4．4．已知函数x x f 2)(=．（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）把)(x f 的图像经过怎样的变换，能得到函数22)(+=x x g 的图像； (3)在直角坐标系下作出函数)(x g 的图像．4．解：（1）函数)(x f 定义域为R ，又 ()22()x x f x f x --===，∴函数)(x f 为偶函数．（2）把)(x f 的图像向左平移2个单位得到．(3)函数)(x f 的图像如右图所示．。
指数函数与对数函数的应用题
指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。
应用题一：物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性，使核发生自发性变化的过程。
假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律，即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系，如何求解衰变物质的半衰期？解析：设物质的初始质量为P0，经过时间t后的质量为P(t)，假设衰变常数为k。
由指数函数的性质可得：P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时，物质的质量减少了一半，即：P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得：e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。
应用题二：质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。
已知该物质在开始时间时的质量为M0，经过3小时后，质量降低为M0的1/4，求解质量随时间变化的指数函数关系。
解析：设物质的质量随时间t的变化满足指数函数：M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4)，带入上述指数函数公式得：M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得：e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解，进而得到质量随时间变化的指数函数关系。
应用题三：货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。
假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长，即p = p0 * e^(kt)，其中p0是初始物价水平，k是贬值系数。
求解该国货币的贬值率。
解析：货币贬值率是指货币购买力下降的速度，可以用物价水平的增长率来近似表示。
设t时刻物价水平为p(t)，t+1时刻物价水平为p(t+1)，则贬值率为：贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt)，p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式，化简可得贬值率的解。
高中数学最值问题12种
高中数学最值问题12种高中数学最值问题是指在一定条件下，找出某个函数的最大值和最小值的问题。
这些问题需要通过一定的方法来求解，涉及到导数、不等式、二次函数、三角函数等数学知识。
下面我们将介绍12种高中数学最值问题的解法和相关概念。
1.函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值是指函数的各个值中最大和最小的值。
一元函数的最大值和最小值通常可以通过求解导数为0的点来获得。
多元函数的最大值和最小值可能需要使用拉格朗日乘数法等方法。
2.二次函数的最值：二次函数的最值可以通过求解顶点坐标来获得。
二次函数的最大值发生在开口向下的情况下，最小值发生在开口向上的情况下。
3.三角函数的最值：三角函数的最值可以通过研究函数的周期性和对称性来获得。
一般情况下，三角函数的最值为1和-1。
4.不等式的最值：不等式的最值是指不等式的解集中最大和最小的值。
不等式的最值可以通过求解方程来获得。
需要注意确定不等式边界的方式。
5.绝对值函数的最值：绝对值函数的最值可以通过研究函数的分段性质来获得。
需要考虑绝对值函数的参数取值范围。
6.对数函数的最值：对数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
对数函数的最大值和最小值通常发生在底数小于1的情况下。
7.指数函数的最值：指数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
指数函数的最大值和最小值通常发生在指数大于1的情况下。
8.等式的最值：等式的最值是指满足等式的变量的最大和最小的值。
等式的最值通常可以通过求解方程组来获得，在求解过程中需要注意排除无解的情况。
9.不定积分的最值：不定积分的最值可以通过求导和临界点的方式来获得。
需要注意确定积分的上下界。
10.定积分的最值：定积分的最值可以通过函数在积分区间上的最值来获得。
需要注意确定积分的上下界和积分变量的取值范围。
11.矩形面积的最值：矩形面积的最值可以通过求解矩形的边长和面积关系来获得。
需要注意确定矩形的条件和限制条件。
12.三角形面积的最值：三角形面积的最值可以通过求解三角形的边长和高的关系来获得。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
对数函数最值问题及解题技巧
对数函数最值问题及解题技巧介绍本文将讨论对数函数的最大值和最小值问题，并提供解题技巧。
对数函数是数学中常见的函数之一，它在各种应用领域中起着重要的作用。
对数函数的定义对数函数是以某个正实数为底的指数函数的反函数。
一般地，对数函数可以表示为：$$y = \log_{a}x$$其中，$a$ 是底数，$x$ 是实数。
对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
最值问题最值问题是数学中常见的问题之一。
对数函数的最大值和最小值问题是在特定条件下确定对数函数的取值范围。
最大值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最大值的特定条件。
根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最大值。
- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最大值。
- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最大值。
根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最大值。
最小值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最小值的特定条件。
根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最小值。
- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最小值。
- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最小值。
根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最小值。
解题技巧当解决对数函数最值问题时，我们需要考虑底数 $a$ 的取值范围，以及函数定义域的限制条件。
下面是解题时的一些建议：1. 了解底数的取值范围：不同的底数会有不同的取值范围，这对确定最值问题至关重要。
2. 确定函数定义域的限制条件：对于对数函数，定义域为正实数，因此可能存在一些限制条件，需要在解题过程中注意。
高考数学重难点第11讲 指数函数、对数函数与幂函数10大题型(原卷版)(全国通用)(新高考)
重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。
考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。
指数函数最值问题及解题技巧
指数函数最值问题及解题技巧
指数函数是数学中常见的一种函数形式，其最值问题也是数学研究中较为基础的内容。
本文将介绍指数函数最值问题的一些常见形式和解题技巧。
1. 最值问题的常见形式
在指数函数最值问题中，常见的形式包括：
- 求指数函数的最大值或最小值；
- 求满足某种条件的最值。
2. 解题技巧
在解决指数函数最值问题时，可以采用以下几种常见的技巧：
2.1 利用导数求解最值
我们可以通过求函数的导数来解决最值问题。
具体步骤如下：- 求出指数函数的导数；
- 解出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；
- 计算这些极值点处的函数值，得出最大值或最小值。
2.2 利用对数函数求解最值
对于指数函数问题，我们可以通过取对数转化为对数函数来求解最值。
具体步骤如下：
- 取指数函数的对数，得到一个对数函数；
- 通过对数函数的求导来解决最值问题，可以利用导数为零的点求出最值。
2.3 利用不等式求解最值
对于一些特殊的指数函数问题，我们可以通过利用不等式来解题。
具体步骤如下：
- 根据函数的性质，设置不等式的条件；
- 解出这个不等式，得到特定的数值区间；
- 根据函数在这个区间的变化情况，确定最值的取值范围。
总结
指数函数最值问题是数学研究中的基础内容，通过利用导数、对数函数和不等式等技巧，我们可以有效地解决这类问题。
掌握这些解题技巧，对于提高数学能力和解决实际问题都有积极的作用。
以上内容希望能够对你的学习有所帮助，如果有任何疑问，请随时向我提问。
指数和对数的复合函数的单调性奇偶性最值问题主要内容
x
+4
1 2
x
-1，+
+5的递减区间是_______.
青苗辅导1
14
例：已知函数f (x) loga(3 ax)在x 0, 2
上单调递减，求a的取值范围。
青苗辅导1
15
例：已知函数f (x) loga ax 1 a 0且a 1，
（1）求函数的定义域； （2）讨论函数f (x)的单调性.
x
log5
x2
3
0.
(1)x1
1 5
,
x2
125.
（2）11+33xx 3;
.(2)x 1;
(3) log4 3x 1 log4 x 1 log4 3 x;
（4）log3 1 2 3x 2x 1. (4)x 1
(3)经检验知x 2是方程的根，x 1舍去。
青苗辅导1
9
例：根据下列条件，求出ｘ的值： (1)4 4x 5 2x 6 0; (2)9x 6x 22x1
（1）判断函数f (x)的奇偶性 （2）求函数f (x)的值域； （3）证明函数f (x)是区间（ ， ）
上的单调函数
青苗辅导1
19
指数与对数的值域及最值问题
例：求函数f(x) 13x(x1, 2)的值域。
青苗辅导1
20
例：求函数y
1 2
2x
4
1 2
x
+5的值域.
-，5
青苗辅导1
21
例：求函数y=22x -2x-1+1的最值， 并求出相应的x的值
log2
1 3x
2
;函数的定义域为.
（1）当a 1时，函数的定义域为loga
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1 x 26.若 x 9，则f(x)=log 3 log 3 3x ( ) 27 27 32 A有最小值 ，最大值 3 B有最小值 4，最大值12 9 32 C有最小值 ，无最大值 D无最小值，有最大值12 9 27.已知1 x 10，且xy 2 =100，求(lgx)2 +(lgy)2的最大值 和最小值，并求其取最大值和最小值时相应的x和y的值。
注意换元引起了元的 范围的变化，因此换 元后，应立即写出元 的范围。
方法总结：通过“换元法”，转化为二次函数最值问题。
练 习
设2≤x≤8,求函数
x x f ( x)＝log 2 log 2 的最大值和最小值,并求出相应的x轴. 2 4
练 习
(2)
题型二、已知与指数函数、对数函数有关问题的最值,求参数的取值(范围) 函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在区间[-1，1]上有最大值14，试求a的值．
题型二、已知与指数函数、对数函数有关问题的最值,求参数的取值(范围)
练习
变题 3： 已知函数y=a +2a -1(a>0,a 1)在区间
2x x
1,1 上有最大值14,求a的值。
变题4： 已知函数f(x)=9 x -3 x 1 +c(其中c是常数)， （1）若当x 0,1时,恒有f(x)<0成立， 求实数c的取值范围； （2）若存在x 0 0,1 ,使f(x 0 )<0成立， 求实数c的取值范围； （3）若方程f(x) c 3 x在 0,1 上有唯 一实数解，求实数c的取值范围。
2 2
x x 求函数f(x)=( log 2 ) ( log 2 )的最大值和最小值. 4 2 x -1 32.已知f(x)= 2 , 其反函数为f (x)，若关于x的方程 f -1(ax)f -1(ax 2 )=f -1(16)的解都在（0，）内，求实数 1 a 的取值范围。
若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相 应的x的值．
练 习
已知函数f(x)=2x-4x, (1)求f(x)的值域, (2)解不等式f(x)＞16-9×2x． (3)若关于x的方程f(x)=m在[-1，1]上有解,求m的取值范围．
练 习
已知函数f(x)=2x-4x, (1)求f(x)的值域, (2)解不等式f(x)＞16-9×2x． (3)若关于x的方程f(x)=m在[-1，1]上有解,求m的取值范围．
注意换元引起了元的 范围的变化，因此换 元后，应立即写出元 的范围。
1 2 1 2 y t 2t 5 （t 2） 3， 1 t 4 2 2
∴当t=2，即x=1时，函数取最小值3,
当t=4，即Biblioteka =2时，函数取最大值5 .方法总结：通过“换元法”，转化为二次函数最值问题。
练 习
解：令t=ax ，则a2x=t2 . ∴y=t2+2t-1,其对称轴为t=-1, 1 x -1 当0＜a＜1时,则t=a 是减函数, ∴a ＞a, ∴0＜a＜t＜ , a ∴ y=t2+2t-1=(t+1)2-2 的图象都在对称轴t=-1的右边,开口向上, 并且递增.
当a＞1时,则t=ax是增函数，此时0＜ a ＜t＜a, ∴ y=t2+2t-1的图象还在对称轴t=-1的右边,还是增函数， b=a时有最大值， ymax a2 2 a 1 14. 解得a=3>1,合题意。 1 综上，a= 或a=3 。 3
题型一、求与指数函数、对数函数有关的最值问题
设0≤x≤2,求函数
y4
2
x 1
x
1 2
2
x 1
的最大值和最小值,并指出相应x的取值? 5
解： y 4
x
1 2
1 5 (2 x ) 2 2 2x 5(0 x 2), 2
令t=2x，∵0≤x≤2, 则
∴1≤t≤4,
练 习
已知函数f(x)=2x-4x, (1)求f(x)的值域, (2)解不等式f(x)＞16-9×2x． (3)若关于x的方程f(x)=m在[-1，1]上有解,求m的取值范围．
题型一、求与指数函数、对数函数有关的最值问题
1 已知函数f(x)=2+log3x,定义域为[ ,81]，求函数g(x)=[f(x)]2-f(x2)的最 81 值，并指出g(x)取得最值时相应自变量x的取值．
28.已知函数f(x)=log 3x （ 2 x 1， 9）， 求函数y= f(x) +f(x ) 的最大值
2 2
1 29.设f(x)=2（log 2x） 2alog 2 b, x 1 且x 时，f(x)有最小值 8， 2 （1）求a和b的值。
2
（2）在（1）的条件下，求f(x)>0的 解集A。 （3）设集合B= t 2, t 2 , 且A B=， 求实数t的 取值范围
1 1 3, a ∈0＜a＜1， 合题意； a 3 1
1 1 2 1 ∴t= 时有最大值. ymax ( a ) 2 a 1 14. a
1 1 ( 3)( 5) 0. a a
练 已知函数f（x）=1-2ax-a2x（0＜a＜1） 习 (1)求函数f（x）的值域； (2)若x∈[-2,1]时,函数f(x)的最小值为-7,求a的值和函数f(x)的最大值．
30.根据下列条件，求出x的值： (1)4 4 x 5 2x 6 0;( 2)9x 6x 2 2 x 1 (3)2 4 x 7 2x 3 0 ( 4) log 3 (1 2 3 ) 2x 1
x
31.已知x满足不等式2（log 1 x)2 +7 log 1 x+3 0，
定义域先行。
1 x 81 1 81 解：由 ，解得 x 9, 9 1 x 2 81 81
又y=(2+log3x)2-(2+log3x2 )=(log3x)2+2log3x+2,
1 令t=log3x，∵ x 9, 9
∴-2≤t≤2，
y=t2+2t+2=（t+1）2+1，(-2≤t≤2)， 1 当t=-1时,即log3x=-1,即x＝ 时，ymin=1， 3 当t=2时,即 log3x=2,即x=9时，ymax=10.