上海市虹口区2013届高三数学二模试卷(含答案,文科)
虹口区2013年数学学科高考练习题(文科)（时间120分钟，满分150分）2013.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．2、已知复数ii z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ．4、设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为 ．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ．9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是 ．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+AB AC AB ，则A B C ∆面积等于 ． 12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（ ）.A 1 .B 5 .C 7 .D 816、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有（ ）条．.A 1． .B 2． .C 3． .D 4．17、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π1318、若22παπ≤≤-，22πβπ≤≤-，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0sin 3=+--m ββ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C21.D 1三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点． （1）求异面直线PE 与AB 所成的角的大小； （2）求四棱锥ABED P -的侧面积．D20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B =，)cos ,cos 3(B B -=，且1=⋅．（1）求角B ；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线l 过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）记)0,(p N ，如果直线l 过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”． （1）判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数xax x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围； （3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21)2(221221n nx f x f x f x x x f nn+++≥+++ ．虹口区2013年数学学科高考练习题答案（文）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-； 2、2； 3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、74； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小．……2分由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF ．………………5分 ∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos．………………6分 （2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S ． BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S ． …………………………9分 连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++．………………12分D20、（14分）解：（1） 1=⋅，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B ………………7分 （2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ．又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224……10分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分∴3sin 21==∆B ac S ．………………14分21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ．由i z z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分（2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．①i n i b b b a a a z z z nn n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ．……10分 ②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ） 将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n （Ⅱ） 将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n ．)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由⎩⎨⎧=+=pxy p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分注：本题可设p my x l -=:，以下同．（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22得0222=+-pb py ky ． p k pb y y -==∴221，从而2kb -=．………………6分 假设直线l 过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而200k kx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==02100y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(． 综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．………………10分（3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为kp y y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p k p x P -=2，即),(2kpp k pP -．…………12分 设),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k py p p k p x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分 由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p，点Q 到它们的距离相等．…………16分 23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分（2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当m k =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++)]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。
2013年上海市虹口区高考数学二模试卷(文科)含详解
2013年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）函数f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，则k的取值范围是．2．（4分）已知复数，则|z|=．3．（4分）已知，则cos2（α+β）=．4．（4分）设（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则=．5．（4分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为．6．（4分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为．7．（4分）数列{a n}的通项，前n项和为S n，则S13=．8．（4分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于．9．（4分）从集合{1，2，3}的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是．10．（4分）对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是．11．（4分）在△ABC中，AB=1，AC=2，，则△ABC面积等于．12．（4分）将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于．13．（4分）设a n=log n+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…a k为整数的k为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为．14．（4分）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知不等式组，则目标函数f=x+2y的最大值是（）A．1B．5C．7D．816．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与异面直线AB，CC1均垂直的棱有（）条．A．1B．2C．3D．417．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π18．（5分）若，，m∈R，如果有α3+sinα+m=0，﹣β3﹣sinβ+m=0，则cos（α+β）值为（）A．﹣1B．0C．D．1三、解答题（满分74分）19．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，P A=1，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）求异面直线PE与AB所成的角的大小；（2）求四棱锥P﹣ABED的侧面积．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角B；（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求△ABC的面积．21．（14分）已知复数z n=a n+b n•i，其中a n∈R，b n∈R，n∈N*，i是虚数单位，且，z1=1+i．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求和：①z1+z2+…+z n；②a1b1+a2b2+…+a n b n．22．（16分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2））（1）当直线l过点M（﹣p，0）时，证明y1•y2为定值；（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记N（p，0），如果直线l过点M（﹣p，0），设线段AB的中点为P，线段PN的中点为Q．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23．（18分）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．（1）判断函数f（x）=﹣x2在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围；（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，，证明：．2013年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）函数f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，则k的取值范围是．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据一次函数的单调性可得2k﹣1＜0，解出即可．【解答】解：因为f（x）=（2k﹣1）x+1在R上单调递减，所以2k﹣1＜0，解得k＜，所以k的取值范围为（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查一次函数的单调性，属基础题，熟练掌握一次函数的图象及其性质是解决问题的基础．2．（4分）已知复数，则|z|=2．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】把给出的复数分子分母同时乘以（1﹣i），分子采用两次平方运算，化简后直接取绝对值．【解答】解：==﹣2，所以|z|=2．故答案为2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，如果复数是实数，则是其绝对值，是基础题．3．（4分）已知，则cos2（α+β）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】通过二阶行列式的定义，求出cos（α+β），利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．【解答】解：因为，所以cosαcosβ﹣sinαsinβ=，即cos（α+β）=．∴cos2（α+β）=2cos2（α+β）﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的和角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．4．（4分）设（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则=﹣1．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】则由题意可得2n=a n，b n=3n，==，再利用数列极限的运算法则求得结果．【解答】解：∵（1+2x）n展开式中二项式系数之和为a n，各项系数之和为b n，则2n=a n，b n=3n，∴====﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题主要考查二项式系数系数和、二项式的系数和的区别，求数列的极限，数列极限的运算法则，属于中档题．5．（4分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可设要求的双曲线为，c为半焦距．于是，解出即可．【解答】解：设要求的双曲线为，c为半焦距．由题意得，解得．∴此双曲线的方程为．故答案为．【点评】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．6．（4分）如果log a4b=﹣1，则a+b的最小值为1．【考点】4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】由给出的对数等式得到a，b均为正数，且ab=，然后直接利用基本不等式求最值．【解答】解：由log a4b=﹣1，得：a＞0，b＞0，，即ab=．所以a+b．当且仅当a=b=时上式取“=”．所以a+b的最小值为1．故答案为1．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值的方法，利用基本不等式求最值，要注意“一正、二定、三相等”，此题是基础题．7．（4分）数列{a n}的通项，前n项和为S n，则S13=7．【考点】8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】易求数列{a n}的周期为4，然后对数列前13项每4项结合，即可求得S13．【解答】解：由，知数列{a n}的周期为4，S13=a1+a2+a3+a4+…+a13=1+++…+=（1+0﹣3+0）+（5+0﹣7+0）+…+（9+0﹣11+0）+13=﹣2×3+13=7，故答案为：7．【点评】本题考查数列求和问题，解决本题的关键是通过观察发现周期及各项的变化规律，属中档题．8．（4分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于1．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4，又|F1F2|=2 ，∠F1PF2=，利用余弦定理可求得|PF1|•|PF2|，从而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：∵P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=，∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2 ，在△F1PF2中，由勾股定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=12，∴|PF1|•|PF2|=2，∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=1故答案为：1【点评】本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查勾股定理与三角形的面积，属于中档题．9．（4分）从集合{1，2，3}的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】分别求出集合{1，2，3}的所有非空子集的个数，其中含有数字1的子集个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：集合{1，2，3}的所有非空子集共有23﹣1=7个，其中含有数字1的子集共有4个：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．根据古典概型的概率计算公式可得，所取出的子集中含数字1的概率P=．故答案为．【点评】正确求出集合{1，2，3}的所有非空子集的个数及其中含有数字1的子集个数和熟练掌握古典概型的概率计算公式是解题的关键．10．（4分）对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，3]．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意可得|2﹣x|+|1+x|的最小值大于或等于a2﹣2a，而由绝对值的意义可得|2﹣x|+|1+x|的最小值为3，可得3≥a2﹣2a，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：∵对于x∈R，不等式|2﹣x|+|1+x|≥a2﹣2a恒成立，∴|2﹣x|+|1+x|的最小值大于或等于a2﹣2a．由于|2﹣x|+|1+x|表示数轴上的x对应点到2和﹣1对应点的距离之和，它的最小值为3，故有3≥a2﹣2a，即a2﹣2a﹣3≤0，解得﹣1≤a≤3，故实数a的取值范围是[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．（4分）在△ABC中，AB=1，AC=2，，则△ABC面积等于．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用数量积运算性质可得cos A，再利用平方关系即可得出sin A，利用=即可得出．三角形的面积公式S△ABC【解答】解：∵在△ABC中，AB=1，AC=2，，∴，∴12+2×1×cos A=2，解得．∵0＜A＜π，∴sin A==．∴S===．△ABC故答案为．【点评】熟练掌握数量积运算性质、平方关系、三角形的面积公式S△=是解题的关键．ABC12．（4分）将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F ：空间位置关系与距离．【分析】如图所示，设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点D 折叠后的位置为D '，连接BD '、OD '．利用线面垂直的判定，证出AC ⊥平面B 'DO ，从而得到三棱锥的体积为V D '﹣ABC =V A ﹣BOD '+V C ﹣BOD '=S △BOD '×AC ．因为AC =2是定值，所以当S △BOD '达到最大值时所求的体积最大．最后根据正弦定理面积公式和正弦函数的最值，可得所求三棱锥的体积最大值等于．【解答】解：如图所示，设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， 点D 折叠后的位置为D '，连接BD '，OD ' ∵AC ⊥BO ，AC ⊥BO '，BO ∩D 'O =0 ∴AC ⊥平面B 'DO 因此，三棱锥的体积为 V D '﹣ABC =V A ﹣BOD '+V C ﹣BOD '=S △BOD '×AO +S △BOD '×CO =S △BOD '×AC ∵正方形的边长为2，可得AC =2∴当S △BOD '最大时，V D '﹣ABC 达到最大值． ∵S △BOD '=×=sin ∠BOD ′∴当∠BOD '=90°时，S △BOD '的最大值为1，从而得到V D '﹣ABC 的最大值为AC = 故答案为：【点评】本题给出正方形的翻折问题，求折叠后形成的三棱锥的体积最大值，着重考查了线面垂直的判定与性质、正方形的性质和面积正弦定理公式等知识，属于基础题．13．（4分）设a n=log n+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…a k为整数的k为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为9．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】23：新定义．【分析】先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…a k化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…a k为整数，可得k=2n﹣2，进而由2n﹣2＜2013可得结论．【解答】解：∵a n=log n+1（n+2）=∴a1•a2•a3…a k==log2（k+2），又∵a1•a2•a3…a k为整数∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n﹣2．由2n﹣2＜2013，得2n＜2015．解得n＜11，又n∈N*，∴n=10．∴k∈（1，2013）内所有的“希望数”的个数是9．故答案为：9．【点评】本题考查新定义，考查了对数的换底公式，考查了叠乘法，训练了学生的运算能力，是中档题．14．（4分）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是﹣7＜a≤0或a=2．【考点】33：函数的定义域及其求法；34：函数的值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】题目给出的函数是分式函数，且分子分母均为二次三项式，对应的函数均开口向上，所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论，同解时利用系数相等求a的值，不同解时，若a≠0，则需分子分母对应的方程均无解，a=0时，在定义域内函数值恒大于0．【解答】解：给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图象都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，则，解得a=2．此时函数的值为f（x）=＞0．若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即，解①得﹣7＜a＜1．解②得﹣16＜a＜0．所以a的范围是﹣7＜a＜0．当a=0时，函数化为f（x）=，函数定义域为{x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正．综上，对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是﹣7＜a≤0或a=2．【点评】本题考查了利用函数的值的范围求解参数问题，考查了分类讨论得数学思想，解答此题的关键是分析出函数值恒正时的分子分母的取值情况，此题属中档题，容易漏掉a=0，也是易错题．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知不等式组，则目标函数f=x+2y的最大值是（）A．1B．5C．7D．8【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数f=x+2y的位置，求出最大值．【解答】解：作出约束条件，的可行域如图，目标函数f=x+2y在的交点A（3，2）处取最大值，最大值为f=3+2×2=7．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与异面直线AB，CC1均垂直的棱有（）条．A．1B．2C．3D．4【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】作出正方体，由正方体的性质可得四条平行的棱均与异面直线AB，CC1垂直．【解答】解：如图所示：由正方体的性质可知：在正方体的棱中，AD、BC、A1D1，B1C1与异面直线AB，CC1均垂直，故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题．17．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】53：函数的零点与方程根的关系；IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cos x sin x=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，），M2（，），M3（π+，），M4（π+，），…M13（6π+，），∴=（6π，），∴=6π．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．18．（5分）若，，m∈R，如果有α3+sinα+m=0，﹣β3﹣sinβ+m=0，则cos（α+β）值为（）A．﹣1B．0C．D．1【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】考查函数f（x）=x3+sin x为奇函数，利用导数求得f（x）在[﹣，]上是增函数．由题意可得f（α）=﹣m，f（β）=m，可得f（α）=f（﹣β），故有α=﹣β，即α+β=0，从而求得cos（α+β）的值．【解答】解：考查函数f（x）=x3+sin x，由于f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sin x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．由于函数f（x）的导数f′（x）=3x2+cos x，故当﹣≤x≤时，f′（x）＞0，故f（x）在[﹣，]上是增函数．∵，，m∈R，α3+sinα+m=0，﹣β3﹣sinβ+m=0，∴f（α）=﹣m，f（β）=m，∴f（α）=﹣f（β）=f（﹣β）∴α=﹣β，∴α+β=0，∴cos（α+β）=cos0=1，故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的值，属于中档题．三、解答题（满分74分）19．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，P A=1，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）求异面直线PE与AB所成的角的大小；（2）求四棱锥P﹣ABED的侧面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）取AD的中点F，连EF、PF，可证，∠PEF的大小等于异面直线PE与AB所成的角或其补角的大小，由三角形的知识可得cos∠PEF，由反三角函数可得答案；（2）由题意分别求得各个边长，进而可得侧面各个三角形的面积，求和可得侧面积．【解答】解：（1）取AD的中点F，连EF、PF．∵EF∥AB，∴∠PEF的大小等于异面直线PE与AB所成的角或其补角的大小．…（2分）由P A=1，AB=BE=1，P A⊥平面ABCD，ABCD是矩形，得EF=1，，，，∴．…（5分）∴异面直线PE与AB所成的角的大小等于．…（6分）（2）∵P A⊥平面ABCD，P A=1，AB=1，AD=1，，S=1．△P AD∵P A⊥BE，BE⊥AB，∴BE⊥平面P AB，∴BE⊥PB，，．…（9分）连AE，由AB=BE=1，得，同理，，又，∴PE2+DE2=PD2，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴．∴四棱锥P﹣ABED的侧面积为．…（12分）【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及椎体的侧面积，属中档题．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量，，且．（1）求角B；（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求△ABC的面积．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）根据向量数量积的运算公式，结合三角恒等变换公式化简整理，得，再由0＜B＜π，解此方程可得角B的大小；（2）根据余弦定理，建立关于a、c的方程并化简得4=a2+c2﹣ac，而a、b、c 成等差数列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，从而得到△ABC是等边三角形，由此不难得到△ABC的面积．【解答】解：（1）∵向量，，且，∴，化简得，可得，…（5分）又0＜B＜π，得，∴，解之得…（7分）（2）∵a，b，c成等差数列，b=2，∴a+c=2b=4．又∵b2=a2+c2﹣2ac•cos B，∴，即4=a2+c2﹣ac…（10分）将a+c=4代入，得a2﹣4a+4=0，得a=2，从而c=2，三角形为等边三角形．…（12分）因此，△ABC的面积．…（14分）【点评】本题给出向量含有三角函数式的坐标，在已知数量积的情况下求△ABC 中角B的大小，并依此求△ABC的面积．着重考查了三角恒等变换公式、向量的数量积坐标公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．21．（14分）已知复数z n=a n+b n•i，其中a n∈R，b n∈R，n∈N*，i是虚数单位，且，z1=1+i．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求和：①z1+z2+…+z n；②a1b1+a2b2+…+a n b n．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合；A5：复数的运算．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由z n=a n+b n•i，取n=1后得到z1=a1+b1•i，结合已知条件求出a1，b1．再由，把z n=a n+b n•i代入后由复数相等可得数列{a n}，{b n}分别为等比数列和等差数列，则数列{a n}，{b n}的通项公式可求；（2）①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简，②由错位相减法进行求解．【解答】解：（1）∵z1=a1+b1•i=1+i，∴a1=1，b1=1．由，得a n+1+b n+1•i=2（a n+b n•i）+（a n﹣b n•i）+2i=3a n+（b n+2）•i，∴，∴数列{a n}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{b n}是以1为首项公差为2的等差数列，∴，b n=2n﹣1；（2）由（1）知，b n=2n﹣1．①z1+z2+…+z n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）•i=（1+31+32+…+3n﹣1）+（1+3+5+•+2n﹣1）•i=．②令S n=a1b1+a2b2+…+a n b n，（Ⅰ）将（Ⅰ）式两边乘以3得，（Ⅱ）将（Ⅰ）减（Ⅱ）得．∴，所以．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了等差关系和等比关系的确定，考查了数列的和，由等差数列和等比数列的积构成的数列，求和的方法是错位相减法．是中档题．22．（16分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2））（1）当直线l过点M（﹣p，0）时，证明y1•y2为定值；（2）当y1y2=﹣p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记N（p，0），如果直线l过点M（﹣p，0），设线段AB的中点为P，线段PN的中点为Q．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）易判断直线l有斜率且不为0，设l：y=k（x+p），代入抛物线方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理即可证明；（2）分情况讨论：①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b（k≠0），代入抛物线方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理及y1y2=﹣p得b，k的关系式，假设直线l过定点（x0，y0），则y0=kx0+b，用k消掉b即可得到定点坐标；②当直线l的斜率不存在，设l：x=x0，代入抛物线方程易求y1y2，由已知可求得x0，可判断此时直线也过该定点；（3）易判断直线l存在斜率且不为0，由（1）及中点坐标公式可得y P，代入直线l方程得x P，设Q（x，y），由中点坐标公式可得点Q轨迹的参数方程，消掉参数k后即得其普通方程，由方程及抛物线定义可得准线、焦点即为所求；【解答】（1）证明：l过点M（﹣p，0）与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0时不合题意），由得k•y2﹣2py+2p2k=0，∴．（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．由得ky2﹣2py+2pb=0．∴，从而．假设直线l过定点（x0，y0），则y0=kx0+b，从而，得，即，即过定点（，0）．②当直线l的斜率不存在，设l：x=x0，代入y2=2px得y2=2px0，，∴，解得，即，也过（，0）．综上所述，当y1y2=﹣p时，直线l过定点（，0）．（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为，代入l：y=k（x+p）得，即P（）．设Q（x，y），则，消k得，由抛物线的定义知存在直线，点，点Q到它们的距离相等．【点评】本题考查直线方程、抛物线方程及其位置关系，考查分类讨论思想，考查学生探究问题解决问题的能力，综合性较强，有难度．23．（18分）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．（1）判断函数f（x）=﹣x2在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围；（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，，证明：．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；R9：反证法与放缩法证明不等式；RG：数学归纳法．【专题】14：证明题；23：新定义．【分析】（1）直接利用函数是“凸函数”的定义，通过放缩法证明即可；（2）直接利用函数在区间[1，2]上是“凸函数”，列出关系式，利用基本不等式求实数a的取值范围；（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，，利用数学归纳法的证明步骤直接证明：．【解答】（18分）解：（1）设x1，x2是任意两个实数，则有．∴函数f（x）=﹣x2在R是“凸函数”．…（4分）（2）若对于上的任意两个数x1，x2，均有成立，即，整理得…（7分）若x1=x2，a可以取任意值．若x1≠x2，得，∵，∴a≤﹣8．综上所述得a≤﹣8．…（10分）（3）当k=1时由已知得成立．假设当k=m（m∈N*）时，不等式成立即成立．那么，由，得=．即k=m+1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．…（18分）【点评】本题考查数学归纳法以及放缩法证明问题的步骤，新定义的应用，考查分析问题与解决问题的能力．。
虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科
虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题（时间120分钟，满分150分） 2014.1一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知全集，，如果，则．2、不等式的解集是．3、如果对一切都成立，则实数的取值范围是．4、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．5、双曲线的焦点到渐近线的距离等于．6、已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围是．7、已知的展开式中，含项的系数等于160，则实数．8、已知是各项均为正数的等比数列，且与的等比中项为2，则的最小值等于．9、已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线的焦点重合，一个顶点的坐标为，则此椭圆方程为．10、给出以下四个命题：（1）对于任意的，，则有成立；（2）直线的倾斜角等于；（3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是．11、已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为．12、已知函数，对于实数、、有，，则的最大值等于．13、已知函数，且，则。
14、函数与函数的图像所有交点的橫坐标之和为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知，，则下列结论中正确的是（）16、函数，下列结论不正确的（）此函数为偶函数．此函数是周期函数．此函数既有最大值也有最小值．方程的解为．17、在中，记角、、所对的边分别为、、，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边，则（）．18、如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．圆锥的高等于圆柱高的；圆锥的高等于圆柱高的；将容器一条母线贴地，水面也恰过点；将容器任意摆放，当水面静止时都过点．三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点．（1）求长方体的体积；（2）若，，，求异面直线与所成的角．20、（本题满分14分）已知．，其中、为锐角，且．（1）求的值；（2）若，求及的值．21、（本题满分14分）数列是递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值；（3）求数列的前项和．22、（本题满分16分）已知圆过定点，圆心在抛物线上，、为圆与轴的交点．（1）当圆心是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．（2）当圆心在抛物线上运动时，是否为一定值？请证明你的结论．（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值，并求出此时圆的方程．23、（本题满分18分）．设函数．（1）求函数在上的值域；（2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得；（3）求的值．虹口区2014年数学学科高考练习题答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、；2、；3、；4、；5、3；6、；7、；8、4；9、； 10、（1）（4）；11、； 12、； 13、； 14、17；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、； 16、； 17、； 18、；三、解答题（满分74分）19、(12分)解：（1）连、．是直角三角形，．…………1分是长方体，，，又，平面，．又在中，，，，……………4分………6分（2）取的中点，连、．，四边形为平行四边形，，等于异面直线与所成的角或其补角．…………8分，，，得，，，……10分，．异面直线与所成的角等于………………12分20、（14分）解：（1）由，得，得，得．…………4分（2），．……………6分，…………10分当时，．当时，．为锐角，………………………………14分21、（14分）解：（1）由，得、是方程的二个根，，，此等差数列为递增数列，，，公差，．………………4分（2），，……………………8分（3）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．……………………10分当且时，．…………12分当且时，．……………………14分22、（16分）解：（1）抛物线的顶点为，准线方程为，圆的半径等于1，圆的方程为．弦长………………………4分（2）设圆心，则圆的半径，圆的方程是为：…………6分令，得，得，，是定值．………………8分（3）由（2）知，不妨设，，，．．………………11分当时，．………………12分当时，．当且仅当时，等号成立…………………………14分所以当时，取得最大值，此时圆的方程为．………………………………16分23、（18分）解：（1），由令，．对称轴，在上单调递增，在上的值域为．………………4分（2）对于，有，，从而，,,在上单调递减, ,在上单调递减．又..………………7分当时，（注用数学归纳法证明相应给分）又，即对于任意自然数有对于每一个，存在唯一的，使得………………11分（3）．当时，．.………………14分当且时，．……………18分。
上海高考数学模拟试卷(文科)0.doc
2013届高三模拟数学（文）试题一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =___________. 2.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-15231321X ，则二阶矩阵X =__________． 3.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)则yx的最大值是__________． 4.不等式37922x -≤的解集是__________． 5.执行右边的程序框图，若0.95p =，则输出的n =__________．6. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a +-+-=2138m S -=则m =________. 7. 若直线y =x +b与曲线3y =b 的取值范围是___________. 8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S S >”的 （条件） 9. 已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，)(x f y =的图像与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则)(x f 的单调递增区间是___________.10. 已知向量a 、b 满足(2)()6a b a b ++-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为____.11. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为___________.12. 在ABC 中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD =___________.13．在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =uuu r uu rg 的最大值为___________.14．（文）高三（1）班班委会由3名男生和2名女生组成，现从中任选2人参加上海世博会的志愿者工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. 若a ,b 是非零向量，“a ⊥b ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，()n N *∈，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于（ ）A B ； C D ． 18.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=； ②2()f x x =； ③()e x f x =； ④()f x =则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②；B ．③④；C ．①②④；D ．②③④ ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知()2cos ,1m x x =+，()cos ,n x y =-，满足0m n ⋅=． （1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （2）当]3,0[π∈x 时，a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.如图，△ABC 中，=90ACB ∠，=30ABC ∠，BC O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体。
2013高三文科二模数学试卷(杨浦等地有答案)
2013高三文科二模数学试卷（杨浦等地有答案）2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科）2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是. 5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为.到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是. 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）.（B）.（C）.（D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2) 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项,组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．B；17．B；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二:数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。
上海市2013届高三数学上学期联合调研考试试题 文 新人教A版
同济大学、第二附属中学2012—2013学年高三联合调研考试数学试题（文科）一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分1、不等式112x <的解集是 (,0)-∞⋃(2,)+∞ 2、若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________.725-3、已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为23π4、已知向量()1,1=a ，()2,m =b ，若+=⋅a b a b ，则实数m = 35、函数y =2,0,0x x x x <⎧⎨≥⎩ 的反函数是y =,0,0x x x x <⎧⎪≥6、方程||1222xx -=的解为 2log (21) 7、若由命题A: “22031x x ”能推出命题B: “x a >”，则a 的取值范围是________2a ≤-8、已知z ∈C ，且i =z 23i z -++（i 为虚数单位），则2iz+= 2i + 9、已知A B 、依次是双曲线22:13y E x -=的左、右焦点，C 是双曲线E 右支上的一 点，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C-= ．12-10、某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的世博宣传广告，则最后播放的是世博宣传广告，且2个世博宣传广告不连续播放的方法有 种．（用数字作答） 3611、顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A 、C 两点间的球面距离为____________.2π 12、执行如图的程序框图，若0.8p =，则输出的n = .4密封线内不要题答13、已知不相等的实数m 、n 分别满足：2201020110m m -+=和2201020110n n -+=，则11m n +=2010201114、已知集合{}23225|5|,A x x x x ax x R =++-≤∈，{}213120B x x x =-+≤，若A B φ≠．则实数a 的取值范围为 10a ≥二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 15、“41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+xa x ”的 （ A ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件16、设0>x ，若10)1(x -展开式的第三项为20，则()nn xx x +++∞→ 2lim 的值是…（ B ）A ．21 B ．2 C ．1 D ．32 17、若椭圆12222=+by a x 与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且过抛物线x y 82=的焦点，则该椭圆的方程是 （ A ）A ．12422=+y x B ．1322=+y x C ．14222=+y x D ．1322=+y x 18、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)(x f 单调递增，若021<+x x ，，则)()(21x f x f +的值 （ C ）A ．恒为正值 C ．恒等于零 C ．恒为负值 D ．无法确定正负 三、解答题：（本大题共有5道题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤． 19、（本题满分12分）在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知tan c =c =ABC的面积为ABC S ∆=，求a+b 的值。
2013十三校联考3月文上海高考二模数学试题及详解
．
（B） a 的值可以是 3 （D） a 的值可以是
1 2
16．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2cm ，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左2
（B） 2 3 cm 2 （C） 4 3 cm 2 （D） 4 cm
17．已知光线沿向量 a md pn( mp 0, m R, p R ) 照射，遇到直线后反射，其中
3． 3, 0,1 6． 9．
4． 1 7． 10 10． 30 13． (8,12)
36 703
2 2
12．
二、选择题：（每小题 5 分，满分 20 分） 15．D 16．C 17．B 18．A
三、解答题：（本题满分 74 分，解答本题必须写出必要步骤，且在规定处答题） 19．（本题满分 12 分） 解：（1） AB // CD ，所以 PBA 是异面直线 PB 与 CD 所成角…………2 分 又因为 PBA 4分 （2）VB PCD VP BCD ………………6 分 而 VP BCD
最小值是 ．
y
13．已知△ FAB ，点 F 的坐标为 (2, 0) ，点 A 、 B 分别在图中抛物 线 y 8 x 及圆 ( x 2) y 16 的实线部分上运动，且 AB 总是
2 2 2
A
B F
O
x
平行于 x 轴，那么△ FAB 的周长的取值范围为
．
第 13 题
14．定义在 1, 上的函数 f ( x) 满足：① f (2 x) 2 f ( x) ；
B C A D
B ) sin x ( 0) 且 f ( x ) 的最小正周期为 ，求 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的 2 2
2013年4月上海市虹口区高三数学二模试卷文科包含答案
虹口区2013年数学学科高考练习题(文科)（时间120分钟，满分150分） 2013.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．2、已知复数ii z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ． 4、设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为 ．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ． 9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是 ．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+，则A B C ∆面积等于 ． 12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（ ）.A 1 .B 5 .C 7 .D 816、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有（ ）条．.A 1． .B 2． .C 3． .D 4．17、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π1318、若22παπ≤≤-，22πβπ≤≤-，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0sin 3=+--m ββ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C21.D 1三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点． （1）求异面直线PE 与AB 所成的角的大小； （2）求四棱锥ABED P -的侧面积．D20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B =，)cos ,cos 3(B B -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线l 过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）记)0,(p N ，如果直线l 过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”． （1）判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数xax x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围； （3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21)2(221221n nx f x f x f x x x f n n+++≥+++ ．虹口区2013年数学学科高考练习题答案（文）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-； 2、2；3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、74； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小．……2分由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF ．………………5分 ∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos．………………6分 （2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S ． BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S ． …………………………9分 连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，D∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++．………………12分20、（14分）解：（1）1=⋅，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分 又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B ………………7分（2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ．又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224……10分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分∴3sin 21==∆B ac S ．………………14分21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ．由i z z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n n n b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分（2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．①i n i b b b a a a z z z nn n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ．……10分 ②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ） 将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S nn （Ⅱ） 将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S nn n ．)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由⎩⎨⎧=+=pxy p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分注：本题可设p my x l -=:，以下同．（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22得0222=+-pb py ky ．p k pb y y -==∴221，从而2kb -=．………………6分 假设直线l 过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而200k kx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==02100y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(． 综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．………………10分（3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为kp y y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p k p x P -=2，即),(2kpp k pP -．…………12分 设),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k py p p k p x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p，点Q 到它们的距离相等．…………16分 23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分（2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值． 若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当m k =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m)]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ．即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。
上海市高三二模文数试题分类汇编15：其它选修部分.pdf
上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编15：其它选修部分
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题
．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）已知各项均为正数的等比数列的前项和为,若, 则公比的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
二、填空题
．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）在二项式的展开式中,常数项的值是,则=________.
【答案】
．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）记直线:()与坐标轴所围成的直角三角形的面积为,则
__________.
【答案】;
．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）方程组的增广矩阵为
___________________________.
【答案】;
．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）各项为正数的无穷等比数列的前项和为,若, 则其公比的取值范围是____.
【答案】
．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）已知,且,则_________.
【答案】;
．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）设展开式中二项式系数之和为,各项系数之和为,则_____. 【答案】;。
2013年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题,满分56分),考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.(4分)不等式＜0的解为.2.(4分)在等差数列{an }中,若a1＋a2＋a3＋a4＝30,则a2＋a3＝.3.(4分)设m∈R,m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m＝.4.(4分)已知,,则y＝.5.(4分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2＋ab＋b2－c2＝0,则角C的大小是.6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,在一次考试中,男,女平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为.7.(4分)设常数 a∈R,若(x2＋)5的二项展开式中x7项的系数为－10,则 a＝.8.(4分)方程的实数解为.9.(4分)若cosxcosy＋sinxsiny＝,则cos(2x－2y)＝.10.(4分)已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为,则＝.11.(4分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意抽取两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)12.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA＝,若AB＝4,BC＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.13.(4分)设常数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立,则a的取值范围为.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,若i,j,k,l∈{1,2,3},且i≠j,k≠l,则的最小值是.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x),则f－1(2)的值是( )A. B. C.1＋ D.1－16.(5分)设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )A.(－∞,2)B.(－∞,2]C.(2,＋∞)D.[2,＋∞)17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x＋y的最大值分别是M1,M2,…,则Mn＝( )A.0B.C.2D.2三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.(12分)如图,正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.(14分)已知函数f(x)＝2sin(ωx),其中常数ω＞0.(Ⅰ)令ω＝1,判断函数的奇偶性,并说明理由.(Ⅱ) 令ω＝2,将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g(x)的图象.对任意a∈R,求y＝g(x)在区间[a,a＋10π]上的零点个数的所有可能.22.(16分)已知函数f(x)＝2－|x|,无穷数列{an }满足an＋1＝f(an),n∈N*(1)若a1＝0,求a2,a3,a4；(2)若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列？若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.23.(18分)如图,已知双曲线C1：,曲线C2：|y|＝|x|＋1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1－C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1－C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝kx与C2有公共点,求证|k|＞1,进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”2013年上海市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题,满分56分),考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.(4分)不等式＜0的解为0＜x＜.【分析】根据两数相除商为负,得到x与2x－1异号,将原不等式化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.【解答】解：原不等式化为或,解得：0＜x＜,故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法,利用了转化的思想,是一道基本试题.2.(4分)在等差数列{an }中,若a1＋a2＋a3＋a4＝30,则a2＋a3＝15 .【分析】根据给出的数列是等差数列,由等差数列的性质可得a1＋a4＝a2＋a3,结合已知条件可求a2＋a3.【解答】解：因为数列{an }是等差数列,根据等差数列的性质有：a1＋a4＝a2＋a3,由a1＋a2＋a3＋a4＝30,所以,2(a2＋a3)＝30,则a2＋a3＝15.故答案为：15.【点评】本题考查了等差中项概念,在等差数列中,若m,n,p,q,t∈N*,且m＋n＝p＋q＝2t,则a m ＋an＝ap＋aq＝2at,此题是基础题.3.(4分)设m∈R,m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m＝－2 .【分析】根据纯虚数的定义可得m2－1＝0,m2－1≠0,由此解得实数m的值.【解答】解：∵复数z＝(m2＋m－2)＋(m－1)i为纯虚数,∴m2＋m－2＝0,m2－1≠0,解得m＝－2,故答案为：－2.【点评】本题主要考查复数的基本概念,得到 m2＋m－2＝0,m2－1≠0,是解题的关键,属于基础题.4.(4分)已知,,则y＝ 1 .【分析】利用二阶行列式的运算法则,由写出的式子化简后列出方程,直接求解y即可.【解答】解：由已知,,所以x－2＝0,x－y＝1所以x＝2,y＝1.故答案为：1.【点评】本题考查了二阶行列式的展开式,考查了方程思想,是基础题.5.(4分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2＋ab＋b2－c2＝0,则角C的大小是.【分析】利用余弦定理表示出cosC,将已知等式变形后代入求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.【解答】解：∵a2＋ab＋b2－c2＝0,即a2＋b2－c2＝－ab,∴cosC＝＝＝－,∵C为三角形的内角,∴C＝.故答案为：【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,在一次考试中,男,女平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为78 .【分析】设该年级男生有x人,女生有y人,这次考试该年级学生平均分数为a,根据“平均成绩×人数＝总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩,进而根据“男生的总成绩＋女生的总成绩＝全班的总成绩”列出方程,结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,即可求出这次考试该年级学生平均分数.【解答】解：设该班男生有x人,女生有y人,这次考试该年级学生平均分数为a.根据题意可知：75x＋80y＝(x＋y)×a,且＝40%.所以a＝78,则这次考试该年级学生平均分数为78.故答案为：78.【点评】本题主要考查了平均数.解答此题的关键：设该班男生有x人,女生有y人,根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题.7.(4分)设常数 a∈R,若(x2＋)5的二项展开式中x7项的系数为－10,则 a＝－2 .【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r＋1项,令x的指数为7求得x7的系数,列出方程求解即可.【解答】解：的展开式的通项为Tr＋1＝C5r x10－2r()r＝C5r x10－3r a r令10－3r＝7得r＝1, ∴x7的系数是aC51∵x7的系数是－10,∴aC51＝－10,解得a＝－2.故答案为：－2.【点评】本题主要考查了二项式系数的性质.二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.4 .8.(4分)方程的实数解为log3【分析】用换元法,可将方程转化为一个二次方程,然后利用一元二次方程根,即可得到实数x 的取值.【解答】解：令t＝3x(t＞0)则原方程可化为：(t－1)2＝9(t＞0)4可满足条件∴t－1＝3,t＝4,即x＝log3即方程的实数解为 log4.34.故答案为：log3【点评】本题考查的知识点是根的存在性,利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键,但在换元过程中,要注意对中间元取值范围的判断.9.(4分)若cosxcosy＋sinxsiny＝,则cos(2x－2y)＝－.【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简,求出cos(x－y)的值,所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后,将cos(x－y)的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝,∴cos(2x－2y)＝cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－.故答案为：－.【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.10.(4分)已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为,则＝.【分析】过A作与BC平行的母线AD,由异面直线所成角的概念得到∠OAD为.在直角三角形ODA中,直接由得到答案.【解答】解：如图,过A作与BC平行的母线AD,连接OD,则∠OAD为直线OA与BC所成的角,大小为.在直角三角形ODA中,因为,所以.则.故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角,考查了直角三角形的解法,是基础题.11.(4分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意抽取两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)【分析】从7个球中任取2个球共有＝21种,两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况,有＝15种取法,利用古典概型的概率计算公式即可求得答案.【解答】解：从7个球中任取2个球共有＝21种,所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况,共有＝15种取法,所以两球编号之积为偶数的概率为：＝.故答案为：.【点评】本题考查古典概型的概率计算公式,属基础题,其计算公式为：P(A)＝,其中n(A)为事件A所包含的基本事件数,m为基本事件总数.12.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA＝,若AB＝4,BC＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.【分析】由题意画出图形,设椭圆的标准方程为,由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标,再根据点C在椭圆上求得b值,最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【解答】解：如图,设椭圆的标准方程为,由题意知,2a＝4,a＝2.∵∠CBA＝,BC＝,∴点C的坐标为C(－1,1),因点C在椭圆上,∴,∴b2＝,∴c2＝a2－b2＝4－＝,c＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.故答案为：.【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形,以及椭圆的简单性质的应用.13.(4分)设常数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立,则a的取值范围为[,＋∞) .≥a＋1,【分析】由题设数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立可转化为(9x＋)min利用基本不等式判断出9x＋≥6a,由此可得到关于a的不等式,解之即可得到所求的范围≥a＋1, 【解答】解：常数a＞0,若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立,故(9x＋)min又9x＋≥6a,当且仅当9x＝,即x＝时,等号成立故必有6a≥a＋1,解得a≥故答案为[,＋∞)【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值,本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,若i,j,k,l∈{1,2,3},且i≠j,k≠l,则的最小值是－5 .【分析】如图建立直角坐标系.不妨记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,,以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,.再分类讨论当i,j,k,l取不同的值时,利用向量的坐标运算计算的值,从而得出的最小值.【解答】解：不妨记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,,以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,.如图建立坐标系.(1)当i＝1,j＝2,k＝1,l＝2时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,0)＋(－1,－1)]＝－5；(2)当i＝1,j＝2,k＝1,l＝3时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,0)＋(0,－1)]＝－3；(3)当i＝1,j＝2,k＝2,l＝3时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,－1)＋(0,－1)]＝－4；(4)当i＝1,j＝3,k＝1,l＝2时,则＝[(1,0)＋(0,1)]•[((－1,0)＋(－1,－1)]＝－3；同样地,当i,j,k,l取其它值时,＝－5,－4,或－3.则的最小值是－5.故答案为：－5.【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识,考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x),则f－1(2)的值是( )A. B. C.1＋ D.1－【分析】根据反函数的性质,求f－1(2)的问题可以变为解方程2＝x2－1(x≥0).【解答】解：由题意令2＝x2－1(x≥0),解得x＝所以f－1(2)＝.故选：A.【点评】本题考查反函数的定义,解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题.16.(5分)设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )A.(－∞,2)B.(－∞,2]C.(2,＋∞)D.[2,＋∞)【分析】当a＞1时,代入解集中的不等式中,确定出A,求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a＝1时,易得A＝R,符合题意；当a＜1时,同样求出集合A,列出关于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范围.综上,得到满足题意的a范围.【解答】解：当a＞1时,A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),若A∪B＝R,则a－1≤1,∴1＜a≤2；当a＝1时,易得A＝R,此时A∪B＝R；当a＜1时,A＝(－∞,a]∪[1,＋∞),B＝[a－1,＋∞),若A∪B＝R,则a－1≤a,显然成立,∴a＜1；综上,a的取值范围是(－∞,2].故选：B.【点评】此题考查了并集及其运算,二次不等式,以及不等式恒成立的条件,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”,其条件是：此货是好货,结论是此货不便宜,根据充要条件的定义进行判断即可,【解答】解：若p⇒q为真命题,则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”,其条件是：此货是好货,结论是此货不便宜,由条件⇒结论.故“好货”是“不便宜”的充分条件.故选：A.【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x＋y的最大值分别是M1,M2,…,则Mn＝( )A.0B.C.2D.2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：(θ为参数),再由三角函数知识求x＋y的最大值,从而求出极限的值.【解答】解：把椭圆得,椭圆的参数方程为：(θ为参数),∴x＋y＝2cosθ＋sinθ,∴(x＋y)max＝＝.∴Mn＝＝2.故选：D.【点评】本题考查数列的极限,椭圆的参数方程和最大值的求法,解题时要认真审题,注意三角函数知识的灵活运用.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.(12分)如图,正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.【分析】根据题意画出图形,结合正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,由此入手,能够求出此三棱锥的体积及表面积.【解答】解：∵O－ABC是正三棱锥,其底面三角形ABC是边长为2的正三角形,其面积为,∴该三棱锥的体积＝＝；设O′是正三角形ABC的中心,则OO′⊥平面ABC,延长AO′交BC于D.则AD＝,O′D＝,又OO′＝1,∴三棱锥的斜高OD＝,∴三棱锥的侧面积为×＝2,∴该三棱锥的表面积为.【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法,解题时要认真审题,注意合理地化立体问题为平面问题.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【分析】(1)由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时,由于每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元,即可得到生产a千克该产品所获得的利润；(2)利用(1)的结论可得生产1千克所获得的利润为90000(5＋),1≤x≤10.进而得到生产900千克该产品获得的利润,利用二次函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)生产a千克该产品所用的时间是小时,∵每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元,∴获得的利润为100(5x＋1－)×元.因此生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元.(2)生产900千克该产品获得的利润为90000(5＋),1≤x≤10.设f(x)＝,1≤x≤10.则f(x)＝,当且仅当x＝6取得最大值.故获得最大利润为＝457500元.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键.21.(14分)已知函数f(x)＝2sin(ωx),其中常数ω＞0.(Ⅰ)令ω＝1,判断函数的奇偶性,并说明理由.(Ⅱ) 令ω＝2,将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g(x)的图象.对任意a∈R,求y＝g(x)在区间[a,a＋10π]上的零点个数的所有可能.【分析】(1)特值法：ω＝1时,写出f(x)、F(x),求出F()、F(－),结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；(2)根据图象平移变换求出g(x),令g(x)＝0可得g(x)可能的零点,而[a,a＋10π]恰含10个周期,分a是零点,a不是零点两种情况讨论,结合图象可得g(x)在[a,a＋10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：(1)f(x)＝2sinx,F(x)＝f(x)＋f(x＋)＝2sinx＋2sin(x＋)＝2(sinx＋cosx),F()＝2,F(－)＝0,F(－)≠F(),F(－)≠－F(),所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)f(x)＝2sin2x,将y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到y＝2sin2(x＋)＋1的图象,所以g(x)＝2sin2(x＋)＋1.令g(x)＝0,得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈z),因为[a,a＋10π]恰含10个周期,所以,当a是零点时,在[a,a＋10π]上零点个数21,当a不是零点时,a＋kπ(k∈z)也都不是零点,区间[a＋kπ,a＋(k＋1)π]上恰有两个零点,故在[a,a＋10π]上有20个零点.综上,y＝g(x)在[a,a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.【点评】本题考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断,考查数形结合思想,结合图象分析是解决(2)问的关键22.(16分)已知函数f(x)＝2－|x|,无穷数列{an }满足an＋1＝f(an),n∈N*(1)若a1＝0,求a2,a3,a4；(2)若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列？若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.【分析】(1)由题意代入式子计算即可；(2)把a2,a3表示为a1的式子,通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号,根据a1,a2,a3成等比数列可得关于a1的方程,解出即可；(3)假设这样的等差数列存在,则a1,a2,a3成等差数列,即2a2＝a1＋a3,亦即2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|(*),分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论,由(*)式可求得a1进行判断；③当a1≤0时,由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：(1)由题意,代入计算得a2＝2,a3＝0,a4＝2；(2)a2＝2－|a1|＝2－a1,a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|,①当0＜a1≤2时,a3＝2－(2－a1)＝a1,所以,得a1＝1；②当a1＞2时,a3＝2－(a1－2)＝4－a1,所以,得(舍去)或.综合①②得a1＝1或.(3)假设这样的等差数列存在,那么a2＝2－|a1|,a 3＝2－|2－|a1||,由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|(*),以下分情况讨论：①当a1＞2时,由(*)得a1＝0,与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时,由(*)得a1＝1,从而an＝1(n＝1,2,…),所以{an}是一个等差数列；③当a1≤0时,则公差d＝a2－a1＝(a1＋2)－a1＝2＞0,因此存在m≥2使得am ＝a1＋2(m－1)＞2,此时d＝am＋1－am＝2－|am|－am＜0,矛盾.综合①②③可知,当且仅当a1＝1时,a1,a2,…,an,…成等差数列.【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定,考查分类讨论思想,考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力,综合性强,难度较大.23.(18分)如图,已知双曲线C1：,曲线C2：|y|＝|x|＋1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1－C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1－C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝kx与C2有公共点,求证|k|＞1,进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”【分析】(1)由双曲线方程可知,双曲线的左焦点为(),当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1－C2型点”,当斜率存在时,要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率；(2)由直线y＝kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1,分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y＝x±1与y＝－x±1之间,进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点,当|k|＞1时,过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点,再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围,结果与|k|＞1矛盾.从而证明了结论.【解答】(1)解：C1的左焦点为(),写出的直线方程可以是以下形式：或,其中.(2)证明：因为直线y＝kx与C2有公共点,所以方程组有实数解,因此|kx|＝|x|＋1,得.若原点是“C1－C2型点”,则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx(|k|＞1).显然直线x＝0与C1无公共点.如果直线为y＝kx(|k|＞1),则由方程组,得,矛盾.所以直线y＝kx(|k|＞1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1－C2型点”.(3)证明：记圆O：,取圆O内的一点Q,设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点,显然l不与x轴垂直,故可设l：y＝kx＋b.若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y＝x±1与y＝－x±1之间,因此圆O也夹在直线y＝kx ±1与y＝－kx±1之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点,矛盾,所以|k|＞1.因为l与C1由公共点,所以方程组有实数解,得(1－2k2)x2－4kbx－2b2－2＝0.因为|k|＞1,所以1－2k2≠0,因此△＝(4kb)2－4(1－2k2)(－2b2－2)＝8(b2＋1－2k2)≥0,即b2≥2k2－1.因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离,所以,从而,得k2＜1,与|k|＞1矛盾.因此,圆内的点不是“C1－C2型点”.【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.。
2013年高考文科数学上海卷试题与答案word解析版
(1)若 1＝0，求 2， 3， 4；
(2)若 1＞0，且 1， 2， 3成等比数列，求 1的值；
(3)是否存在 1，使得 1， 2，…， n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的 1；若不存在，说明理由．
【考点】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列求和，考查考生分类讨论的思想，运算求解能力。
【解析】：(1) 2＝2， 3＝0， 4＝2.
(2) 2＝2－| 1|＝2－ 1， 3＝2－| 2|＝2－|2－ 1|.
①当0＜ 1≤2时， 3＝2－(2－ 1)＝ 1，所以 ＝(2－ 1)2，得 1＝1.
②当 1＞2时， 3＝2－( 1－2)＝4－ 1，所以 1(4－ 1)＝(2－ 1)2，
得 1＝ (舍去)或 1＝ .
10．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为 ，则 ＝______.
【答案】
【考点】本题主要考查圆柱中直线与直线成角的问题。
【解析】由题知， .
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．
获得最大利润90 000× ＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．
21．已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0.
(1)令ω＝1，判断函数F(x)＝f(x)＋ 的奇偶性，并说明理由；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像．对任意 R，求y＝g(x)在区间[ ， ＋10π]上零点个数的所有可能值．