9-2 树 离散数学 教学课件
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离散数学
4)i← i+1,转到步骤2).
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学——树ppt课件
11
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树
例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
2019/1/30
11
定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
2019/1/30 12
a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
2019/1/30
13
定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
2019/1/30 3
例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
2019/1/30 4
T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
《离散数学》课件-第九章 树(A)
• 证明 除根之外的每个结点都是分支点的儿子。因 为每个分支点都有m个儿子，所以，在树中除根之 外还有mi个结点。因此，这棵树共有mi+1个结点。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
10
例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
定理9.3.2
• 定理9.3.2一个m元正则树T 1. 若T有n个结点，则有i=（n−1）/m个分支点和 l=[(m−1)n+1]/m片树叶； 2. 若T有i个分支点，则有n=mi+1个结点和l=(m−1)i+1片树叶； 3. 若T有l片树叶，则有n=(ml−1)/(m−1)个结点和i=（l−1） /(m−1)个分支点。
大于等于2，则 2e deg(v) 2k ，从而ek,，即图T至少有k条边，与e= vV
n-1矛盾。在T中删去1度结点v0及其关联的边，得到新图T也是连通的。 根据归纳假设，T无回路，e= n-1，将删去的1度结点v0及其关联的边添 入T得到图T ，T中仍无回路，且e= n-1。
➢ （4）（5）。用反证法证明。假设在T的每一对结点之间的简单路不唯
T1
T2
T3
9
生成树
• 定义9.2.1 给定连通图G,如果它的生成子图TG是树,则称TG为G的生成树。生 成树TG中的边称为树枝；G中的不在TG中的边称为弦；TG的所有弦的集合 称为生成树TG的余树。 例如 图中黑边构成生成树 红边构成余树
注意: 余树一般不是树
10
例题
• 例9.2.1 在图9.2a.1中，哪e 些是图9a.2.1(1e)的生成树a？ e
• 证明 用归纳法对高度h进行归纳证明。
• 假设高度h=1。高度h=1的m元树由根结点及其不超过m个子 结点组成，每个子结点都是树叶。因此高度为h的m元树里至 多有m1=m片树叶。
• 因此，数据集D上的k聚类就是求使得 D( ) 最大的k划分。
离散数学 第9章_树
是 v1 v5,v7,v8,v9,v10,v11
v2,v3,v4,v6
否
§9.2.1 基本概念
二、有向树的性质 设有向树T=<V,E>, |V|=n, |E|=m，则:
① T 中无回路； ② T 是连通图； ③ m = n 1； ④ 删去T中任何一条边后，所得到的图不连通。
避圈法 破圈法
求最小生成树 (方法一)
Kruskal避圈算法 (从边的角度) (1)将各条边按照权值从小到大的顺序排列； (2)依次选取权值最小并且没有造成回路的边； (3)总共选取n-1条边（n为图中的结点数）。
求最小生成树(方法二)
破圈法 (从边的角度) 每次删去回路中权最大的边。
举例
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之 间增加一条边，就只能得到唯一的一个基本回路。 假设n = k时，命题成立。则当n = k + 1时，因为T是连通的并有(n1)条边 ，所以每个结点的度数都至少为1，且至少有一个结点的度数为1。否则 ，如果每个结点的度数都至少为2 ，那么必然会有结点的总度数2m 2n ，即m n。这与m = n 1相矛盾，所以，至少有一个结点v的度数为1。 删除结点v及其关联的边，得到图T*，由假设知，图T*无回路。现将结点 v及其关联的边添加到图T*，则还原成T，所以，T没有回路。 在连通图T中，任意两个结点vi和vj之间必存在一条通路，且是基本通路。 如果这条基本通路不唯一，则T中必有回路，这与已知条件矛盾。进一步 地，如果在连通图T中，增加一条边(vi, vj)，则边(vi, vj)与T中结点vi和vj之 间的一条基本通路，构成一个基本回路，且该基本回路必定是唯一的。 否则，当删除边时，T中必有回路，这与已知条分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。 由树的性质知，树T中边的数目为 (x+3) 1 = x +2。 由握手定理知：2(x+2) = 41 + 31 +1 + x1 可以解出： x = 5。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学——树ppt课件
4
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到 vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小于等于n-1的初级 通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
ij，i, j互不为前缀，则称A为前缀码。
若i(i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称A为二元前缀码。 (2)如何产生二元前缀码？ 定理16.6 由一棵给定的2叉正则树，可以产生唯一的一个二元前缀
码。
35
方法：
将每个分支点引出的两条边分别标上0和1。
结果：
图所示树产生的前缀码为{00, 10, 11, 011, 0100, 0101}。
r叉完全正则有序树——r叉完全正则树是有序的
30
最优二叉树
定义16.9 设2叉树T有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2,
t
…, wt，称 W (t) wil(vi ) 为T的权，其中l(vi)是vi的层数， i 1
在所有有t片树叶、带权w1, w2, …, wt的2叉树中，权最小的 2叉树称为最优2叉树。
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个 顶点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
15
例16.2
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到 vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小于等于n-1的初级 通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
ij，i, j互不为前缀，则称A为前缀码。
若i(i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称A为二元前缀码。 (2)如何产生二元前缀码？ 定理16.6 由一棵给定的2叉正则树，可以产生唯一的一个二元前缀
码。
35
方法：
将每个分支点引出的两条边分别标上0和1。
结果：
图所示树产生的前缀码为{00, 10, 11, 011, 0100, 0101}。
r叉完全正则有序树——r叉完全正则树是有序的
30
最优二叉树
定义16.9 设2叉树T有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2,
t
…, wt，称 W (t) wil(vi ) 为T的权，其中l(vi)是vi的层数， i 1
在所有有t片树叶、带权w1, w2, …, wt的2叉树中，权最小的 2叉树称为最优2叉树。
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个 顶点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
15
例16.2
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
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这不是三元正则树
8
3 45 6 7 12
W(T)=(1+2)×3+(3+4)×2+(5+6+7)×2+ 8×1 =67
Huffman算法的推广算法
m元正则树的分支点数s与树叶数t之间满足 (m-1)s=t-1
求m元最优树时应分两种情况讨论
(t-1)/(m-1)为整数时，说明所求树T为m元正则 树，可仿Huffman算法求最优m元树。
行遍2元有序正则树的方式：
最佳前缀码
数 频率 编码 码
码 (%)
长
0 25 01
2
1 20 11
2
2 15 001 3
3 10 100 3
4 10 101 3
5 10 0001 4
6 5 00000 5
7 5 00001 5
二元树的应用4
波兰符号法与逆波兰符号法
行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问 一次.
第9章 树
9.1 无向树及生成树 9.2 根树及其应用
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的
最优3元树 ？
这不是三元正则树
78
12 3
45 6
W(T)=(1+2+3)×3+(7+8)×2+ (4+5+6) ×2+=78
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的 最优3元树
因为16=24 < 26 < 32=25，所以要用5位表示。
用不定长二进制数表示英文字母：
若规定，可用1bit表示英文字母，也可用2 bit表示英文字母。若1 位和两位不足以表示26个英文字母，可用3 bit。再不够，用4 bit。
至少需要多少位二进制数？设需要 i 位二进制数，于是， 下列的不等式成立： 26 ≤ 21＋22＋…＋2i = 2i+1–2
1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字符
串记在树叶处, 所得的字符串构成一个前缀码.
右图的树叶都互为前缀码
求图示的二元树产生的前缀码
解：在图中每一个分枝点引出的左侧边标记0，右 侧边标记1。
由根结点到树叶的路经上各边的标记组成的0、1 序列作为对应树叶的标记，得右图。
数据 儿子1 儿子2 …… 儿子n
链表结点的单元个数若
➢ 固定得较大 ➢ 按需分配 会浪费较多空间或使算法复杂。
所以，树的存储表示大都先转化成二元树。
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
①从根结点开始，保留父亲和最左边儿子的连线，取消 和其他儿子的连线，兄弟之间用从左到右的有向边连 接。
产生的前缀码为01,11,000,0010,0011
0
1
01
1
01
01
由任意一个前缀码求对应一个二元树
设1,01,000是一前缀码，画出对应一个二元树
解：画出一个高为3的正则二元树，给各边标记0或1，每 一个结点对应一个0、1序列，如果某个0、1序列是前缀码 的元素，则标记该结点。
将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删除，再 删除未加标记的树叶，得到要求的二元树。
解: 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优 2元树. 这里 w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25.
最佳前缀码
相当于求 5, 5, 10, 10, 10, 15, 20, 25 的最优2元树.
数 频率 编码 码 (%) 0 25 01 1 20 11 2 15 001 3 10 100 4 10 101 5 10 0001 6 5 00000 7 5 00001
其中1, 2, …, m为非空字符串, 且任何两个互
不为前缀。
2元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码。
如 {0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前 缀码。
{0,10,010, 1010} 不是前缀码。
前缀码
一棵2元树产生一个二元前缀码:
对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以标
例如：若用00表示e，用01表示t，用0001表示q。当接 收员接收到0001时，就无法区分这是et，还是q。为了 解决这个问题，引入前缀码的概念。
二元树的应用3——前缀码
设 =12…n-1n是长度为n的符号串 的前缀: 12…k , k=1,2,…,n-1 前缀码: {1, 2, …, m},
解之，得i ≥4
故用长度不超过4位的二进制数足以表示26个英文字母。
二元树的应用2
在英文中有些字母使用频率较高，另一些字母使 用频率较低。
为了减少通信中传递的信息量，人们希望用位数 较少的二进制数表示频繁使用的字符，用位数较 多的二进制数表示不常使用的字符。
这样就会大大缩短信息串的总长度。但是也产生 了一个问题。接收者如何将0、1组成的长串，准 确无误地分割成字母对应的0、1序列呢？
(t-1)/(m-1)的余数为k时，1 ≤ k ≤ m-2，说明所 求树是非正则的，
此时将k+1个较小的权对应的树叶 作为兄弟放在最高层次上，然后仿 Huffman算法求最优m元树即可。
二元树的应用1
由于树在计算机内存中可通过多重链表来表示，
各链表结点所占内存单元的个数依赖于该结点的儿子数，
若一个结点有 n 个儿子，一般要用(n+1)个单元表示该结点， （n个单元用来指出该结点的各儿子的位置），结点一般表示为：
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
②选定二叉树的左儿子和右儿子如下：处于给定结点下 方的结点作为该结点的左儿子，同一水平线上与给定 结点右邻的结点作为该结点的右儿子。
二元树的应用2
在通信中常用二进制串表示英文字母。最少用多少位二进 制数就能表26个英文字母呢？
用定长二进制数表示英文字母：
最佳前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
数码
01234 5
6
7
出现频率(%) 25 20 15 10 10 10 5 5
采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳前 缀码), 并求传输10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需要 多少个二进制数字?
8
3 45 6 7 12
W(T)=(1+2)×3+(3+4)×2+(5+6+7)×2+ 8×1 =67
Huffman算法的推广算法
m元正则树的分支点数s与树叶数t之间满足 (m-1)s=t-1
求m元最优树时应分两种情况讨论
(t-1)/(m-1)为整数时，说明所求树T为m元正则 树，可仿Huffman算法求最优m元树。
行遍2元有序正则树的方式：
最佳前缀码
数 频率 编码 码
码 (%)
长
0 25 01
2
1 20 11
2
2 15 001 3
3 10 100 3
4 10 101 3
5 10 0001 4
6 5 00000 5
7 5 00001 5
二元树的应用4
波兰符号法与逆波兰符号法
行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问 一次.
第9章 树
9.1 无向树及生成树 9.2 根树及其应用
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的
最优3元树 ？
这不是三元正则树
78
12 3
45 6
W(T)=(1+2+3)×3+(7+8)×2+ (4+5+6) ×2+=78
Huffman算法的推广算法
求一棵带权为1，2，3，4，5，6，7，8的 最优3元树
因为16=24 < 26 < 32=25，所以要用5位表示。
用不定长二进制数表示英文字母：
若规定，可用1bit表示英文字母，也可用2 bit表示英文字母。若1 位和两位不足以表示26个英文字母，可用3 bit。再不够，用4 bit。
至少需要多少位二进制数？设需要 i 位二进制数，于是， 下列的不等式成立： 26 ≤ 21＋22＋…＋2i = 2i+1–2
1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字符
串记在树叶处, 所得的字符串构成一个前缀码.
右图的树叶都互为前缀码
求图示的二元树产生的前缀码
解：在图中每一个分枝点引出的左侧边标记0，右 侧边标记1。
由根结点到树叶的路经上各边的标记组成的0、1 序列作为对应树叶的标记，得右图。
数据 儿子1 儿子2 …… 儿子n
链表结点的单元个数若
➢ 固定得较大 ➢ 按需分配 会浪费较多空间或使算法复杂。
所以，树的存储表示大都先转化成二元树。
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
①从根结点开始，保留父亲和最左边儿子的连线，取消 和其他儿子的连线，兄弟之间用从左到右的有向边连 接。
产生的前缀码为01,11,000,0010,0011
0
1
01
1
01
01
由任意一个前缀码求对应一个二元树
设1,01,000是一前缀码，画出对应一个二元树
解：画出一个高为3的正则二元树，给各边标记0或1，每 一个结点对应一个0、1序列，如果某个0、1序列是前缀码 的元素，则标记该结点。
将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删除，再 删除未加标记的树叶，得到要求的二元树。
解: 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优 2元树. 这里 w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25.
最佳前缀码
相当于求 5, 5, 10, 10, 10, 15, 20, 25 的最优2元树.
数 频率 编码 码 (%) 0 25 01 1 20 11 2 15 001 3 10 100 4 10 101 5 10 0001 6 5 00000 7 5 00001
其中1, 2, …, m为非空字符串, 且任何两个互
不为前缀。
2元前缀码: 只出现两个符号(如0与1)的前缀码。
如 {0,10,110, 1111}, {10,01,001,110}是2元前 缀码。
{0,10,010, 1010} 不是前缀码。
前缀码
一棵2元树产生一个二元前缀码:
对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以标
例如：若用00表示e，用01表示t，用0001表示q。当接 收员接收到0001时，就无法区分这是et，还是q。为了 解决这个问题，引入前缀码的概念。
二元树的应用3——前缀码
设 =12…n-1n是长度为n的符号串 的前缀: 12…k , k=1,2,…,n-1 前缀码: {1, 2, …, m},
解之，得i ≥4
故用长度不超过4位的二进制数足以表示26个英文字母。
二元树的应用2
在英文中有些字母使用频率较高，另一些字母使 用频率较低。
为了减少通信中传递的信息量，人们希望用位数 较少的二进制数表示频繁使用的字符，用位数较 多的二进制数表示不常使用的字符。
这样就会大大缩短信息串的总长度。但是也产生 了一个问题。接收者如何将0、1组成的长串，准 确无误地分割成字母对应的0、1序列呢？
(t-1)/(m-1)的余数为k时，1 ≤ k ≤ m-2，说明所 求树是非正则的，
此时将k+1个较小的权对应的树叶 作为兄弟放在最高层次上，然后仿 Huffman算法求最优m元树即可。
二元树的应用1
由于树在计算机内存中可通过多重链表来表示，
各链表结点所占内存单元的个数依赖于该结点的儿子数，
若一个结点有 n 个儿子，一般要用(n+1)个单元表示该结点， （n个单元用来指出该结点的各儿子的位置），结点一般表示为：
二元树的应用1
二元树可以表示任何一棵有序根树 方法如下：
②选定二叉树的左儿子和右儿子如下：处于给定结点下 方的结点作为该结点的左儿子，同一水平线上与给定 结点右邻的结点作为该结点的右儿子。
二元树的应用2
在通信中常用二进制串表示英文字母。最少用多少位二进 制数就能表26个英文字母呢？
用定长二进制数表示英文字母：
最佳前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
数码
01234 5
6
7
出现频率(%) 25 20 15 10 10 10 5 5
采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳前 缀码), 并求传输10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需要 多少个二进制数字?