七年级数学角练习题2
【数学】七年级上册直线、射线、线段、角(同步练习题三套含答案)
直线、射线、线段、角（同步练习题三套）直线、射线、线段同步练习题（一）一．选择题1．两根木条，一根长18cm，一根长22cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（）A．2cm B．4cm C．2cm或22cm D．2cm或20cm 2．延长线AB到C，使得BC＝AB，若线段AC＝8，点D为线段AC的中点，则线段BD 的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图，点C是线段BD之间的点，有下列结论①图中共有5条线段；②射线BD和射线DB是同一条射线；③直线BC和直线BD是同一条直线；④射线AB，AC，AD的端点相同，其中正确的结论是（）A．②④B．③④C．②③D．①③4．下列说法中，正确的是（）A．若线段AC＝BC，则点C是线段AB的中点B．任何有理数的绝对值都不是负数C．角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大D．两点之间，直线最短5．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若在平面内的不同的n个点最多可确定36条直线，则n的值为（）A．6B．7C．8D．96．如图，工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖．用数学知识解释其中道理，正确的是（）A．两点之间，线段最短B．射线只有一个端点C．两直线相交只有一个交点D．两点确定一条直线7．下列说法中正确的个数为（）（1）如果AC＝CB，则点C是线段AB的中点；（2）连结两点的线段叫做这两点间的距离；（3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半；（5）平面内3条直线至少有一个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个8．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．经过两点有一条直线，并且只有一条直线B．两条直线相交只有一个交点C．两点之间所有连线中，线段最短D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离9．下列语句：①不带“﹣”号的数都是正数；②如果a是正数，那么﹣a一定是负数；③射线AB和射线BA是同一条射线；④直线MN和直线NM是同一条直线，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图是北京地铁的路线图，小明家住复兴门，打算趁着放假去建国门游玩，看了路线图后，小明打算乘坐①号线地铁去，认为可以节省时间，他这样做的依据是（）A．垂线段最短B．两点之间，直线最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短二．填空题11．若两条直线相交，有个交点，三条直线两两相交有个交点．12．在直线上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，则AB的中点D与AC的中点E之间的距离为cm．13．已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC＝2BC，若在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝2AB，那么线段AC是线段DB的倍．14．已知：如图，B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD＝6cm，则线段MC的长为．15．如图，从学校A到书店B最近的路线是①号路线，其道理用几何知识解释应是．三．解答题16．已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC＝3AB，在BA的延长线上取一点D，使DA＝2AB，E为DB的中点，且EB＝30cm，请画出示意图，并求DC的长．17．课间休息时小明拿着两根木棒玩，小华看到后要小明给他玩，小明说：“较短木棒AB 长40cm，较长木棒CD长60cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？18．已知直线l依次三点A、B、C，AB＝6，BC＝m，点M是AC点中点（1）如图，当m＝4，求线段BM的长度（写清线段关系）（2）在直线l上一点D，CD＝n＜m，用m、n表示线段DM的长度．19．已知点C，D在线段AB上（点C，D不与线段AB的端点重合），AC+DB＝AB．（1）若AB＝6，请画出示意图并求线段CD的长；（2）试问线段CD上是否存在点E，使得CE＝AB，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，设较长的木条为AB＝22cm，较短的木条为BC＝18cm，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM＝11cm，BN＝9cm，∴①如图1，BC不在AB上时，MN＝BM+BN＝11+9＝20cm，②如图2，BC在AB上时，MN＝BM﹣BN＝11﹣9＝2cm，综上所述，两根木条的中点间的距离是2cm或20cm；故选：D．2．【解答】解：∵BC＝AB，AC＝8，∴BC＝2，∵D为线段AC的中点，∴DC＝4，∴BD＝DC﹣BC＝4﹣2＝2；故选：A．3．【解答】解：①图中共有6条线段，错误；②射线BD和射线DB不是同一条射线，错误；③直线BC和直线BD是同一条直线，正确；④射线AB，AC，AD的端点相同，正确，故选：B．4．【解答】解：A、若线段AC＝BC，则点C是线段AB的中点，错误，A、B、C三点不一定共线，故本选项错误；B、任何有理数的绝对值都不是负数，正确，故本选项正确；C、应为：角的大小与角两边的长度无关，故本选项错误；D、应为：两点之间，线段最短，故本选项错误．故选：B．5．【解答】解：∵平面内不同的两点确定1条直线，可表示为：＝1；平面内不同的三点最多确定3条直线，可表示为：＝3；平面内不同的四点确定6条直线，可表示为：＝6；以此类推，可得：平面内不同的n点可确定（n≥2）条直线．由已知可得：＝36，解得n＝﹣8（舍去）或n＝9．故选：D．6．【解答】解：工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖，则其中的道理是：两点确定一条直线．故选：D．7．【解答】解：（1）如果AC＝CB，则点C是线段AB垂直平分线上的点，原来的说法错误；（2）连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离，原来的说法错误；（3）两点之间所有连线中，线段最短是正确的；（4）射线与直线都是无限长的，原来的说法错误；（5）平面内互相平行的3条直线没有交点，原来的说法错误．故选：A．8．【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的荷叶剪掉一部分（如图），发现剩下的荷叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间所有连线中，线段最短，故选：C．9．【解答】解：①不带“﹣”号的数不一定是正数，错误；②如果a是正数，那么﹣a一定是负数，正确；③射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；④直线MN和直线NM是同一条直线，正确；故选：B．10．【解答】解：由图可知，乘坐①号地铁走的是直线，所以节省时间的依据是两点之间线段最短．故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：两条直线相交，有1个交点，三条直线两两相交有1或3个交点．故答案为：1，1或3．12．【解答】解：①如图1，当B在线段AC上时，∵AB＝16cm，AC＝40cm，D为AB中点，E为AC中点，∴AD＝AB＝8cm，AE＝AC＝20cm，∴DE＝AE﹣AD＝20cm﹣8cm＝12cm；②如图2，当B不在线段AC上时，此时DE＝AE+AD＝28cm；故答案为：12或28．13．【解答】解：如下图所示：设AB＝1，则DA＝2，AC＝2，∴可得：DB＝3，AC＝2，∴可得线段AC是线段DB的倍．故答案为：．14．【解答】解：∵B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，∴设AB＝2x，BC＝4x，CD＝3x，∵CD＝6cm，即3x＝6cm，解得x＝2cm，∴AD＝2x+4x+3x＝9x＝9×2＝18cm，∵M是AD的中点，∴MD＝AD＝×18＝9cm，∴MC＝MD﹣CD＝9﹣6＝3cm．故答案为：3cm．15．【解答】解：根据线段的性质：两点之间线段最短可得，从学校A到书店B最近的路线是①号路线，其道理用几何知识解释应是两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：如图：∵E为DB的中点，EB＝30cm，∴BD＝2EB＝60cm，又∵DA＝2AB，∴AB＝BD＝20cm，AD＝BD＝40cm，∴BC＝3AB＝60cm，∴DC＝BD+BC＝120cm．17．【解答】解：如图1，当AB在CD的左侧且点B和点C重合时，∵点E是AB的中点，∴BE＝AB＝×40＝20cm，∵点F是CD的中点（或点F是BD的中点）∴CF＝CD＝×60＝30cm（或BF＝CD＝×60＝30cm），∴EF＝BE+CF＝20+30＝50cm（或EF＝BE+BF＝20+30＝50cm）；如图2．当AB在CD上且点B和点C重合时，∵点E是AB的中点，∴BE＝AB＝×40＝20cm，∵点F是CD的中点（或点F是BD的中点），∴CF＝CD＝×60＝30cm（或BF＝CD＝×60＝30cm），∴EF＝CF﹣BE＝30﹣20＝10cm（或EF＝BF﹣BE＝30﹣20＝10cm）．∴此时两根木棒的中点E和F间的距离是50cm或10cm．18．【解答】解：（1）当m＝4时，BC＝4，又∵AB＝6，∴AC＝4+6＝10，又M为AC中点，∴AM＝MC＝5，∴BM＝AB﹣AM，＝6﹣5＝1；（2）∵AB＝6，BC＝m，∴AC＝6+m，∵M为AC中点，∴，①当D在线段BC上，M在D的左边时，CD＝n，MD＝MC﹣CD＝＝；②当D在线段BC上，M在D的右边边时，CD＝n，MD＝DC﹣MC＝n﹣＝；③当D在l上且在点C的右侧时，CD＝n，MD＝MC+CD＝+n＝．19．【解答】解：（1）如图所示：∵AC+DB＝AB，AB＝6，∴AC+DB＝2，∴CD＝AB﹣（AC+DB）＝6﹣2＝4；（2）线段CD上存在点E，使得CE＝AB，理由是：∵AC+DB＝AB角同步练习试题一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.如图，下面四种表示角的方法，其中正确的是（）。
七年级数学8.1《角的表示》练习题2(带答案)
七年级数学8.1《角的表示》练习题2一、单选题1.下列说法正确的是（）A．角是由两条射线组成的图形B．一条射线是一个周角C．角的边越长，角越大D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形2.下图中表示∠ABC的图是（）.A 、B 、C 、D 、3.如图，射线AB与AC所组成的角不正确的表示方法是（）A．∠1 B．∠A C．∠BAC D．∠CAB4.下图中，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A. B.C. D.5.如图，图形表示的是（）A．直线B．射线C．平角D．周角6.如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠OAB表示同一个角B．∠AOC也可以用∠O表示C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC和∠BOCD．∠β表示的是∠COA7.如图所示，对所给图形及说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38.如图，点O在直线AB上，则在此图中小于平角的角有()A．4个B．5个C．6个D．7个9.如图，下列说法错误的是（）A.∠DAE也可以表示为∠AB.∠1也可以表示为∠ABCC.∠BCE也可以表示为∠CD.∠ABD是一个平角10.如图，∠AOB是直角，OPi（i=1，2，3，4，5，6）是射线，则图中共有锐角（）A．28个B．27个C．24个D．22个二、填空题11.如图，角的顶点是，边是，请你用四种不同的记法表示这个角为、、、．12.41周角= 平角= 直角． 13. 如图，图中能用一个大写字母表示的角是________；以A 为顶点的角有______个，它们分别是__________.14.如图，（1）能用一个字母表示的角有______．（2）用三个大写字母表示∠1为_______，∠2为_________ ，∠3为_________.15.如图，图中有________个小于平角的角．三、解答题16.如图，写出：（1）能用一个字母表示的角；（2）以B 为顶点的角；（3）图中共有几个小于平角的角，一一写出来？17.写出如图的符合下列条件的角．（图中所有的角均指小于平角的角）．（1）能用一个大写字母表示的角；（2）以点A 为顶点的角；（3）图中所有的角（可用简便方法表示）．18.数一数，图中共有多少个角？把他们分别表示出来.19.如图：(1) 图中以点B 为顶点的角有几个？把他们表示出来.(2) 指出以射线BA 为边的角.(3) 以D 为顶点，DC 为一边的角有几个？分别表示出来（平角、周角除外）.七年级数学8.1角的表示练习题答案一、单选题1.DD CA BE【解析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与边的长度无关分别进行分析．A、角是由两条射线组成的图形，说法错误；B、周角是一条射线绕其端点旋转所形成的角，而射线是直线的一部分，有一个端点，向一方无限延伸，二者不是一个范畴，错误；C、角的边越长，角越大，说法错误；D、角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确；2.C【解析】用三个大写英文字母表示角，表示角顶点的字母要写在中间，A图表示为∠CAB，B图表示的不是角，C图表示为∠ABC，D图表示为∠ACD.3..B【解析】本题主要考查角的定义以及角的表示，解题的关键是要注意其表示方法.解题方法提示：要想得到射线AB与AC所组成的角，则可用一个阿拉伯数字表示，也可用三个大写英文字4..D【解析】A、顶点O处有四个角，不能用∠O表示，错误；B、顶点O处有二个角，不能用∠O表示，错误；C、顶点O处有三个角，不能用∠O表示，错误；D、顶点O处有一个角，能同时用∠AOB，∠O，∠1表示，正确．5..D【解析】周角可以看做一条射线绕端点旋转一周或始边与终边成一条射线，由图形特点可知图形表示的是周角．故选D．6.C【解析】直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可.A.∠1与∠OAB表示同一个角，错误；B.∠AOC也可以用∠O表示，错误；C.图中共有三个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，正确；D.∠β表示的是∠COA，错误．7.C【解析】此题主要考查了角的定义以及射线、直线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．①应表示为∠BOA，故此选项错误；②应表示为∠COA，∠AOB，∠COA，故此选项错误；③直线不能看作角，故此选项错误；④正确；⑤正确；8.B【解析】小于平角的角有∠AOD,∠AOC,∠DOC,∠DOB,∠COB9.C【解析】根据角的表示方法解答：在本题中，当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示，也可用三个大写字母表示，顶点处有多个角时，不能只用一个大写字母表示，依次推理即可得出结论．A、A处就有一个角，∴∠DAE也可以表示为∠A正确，B、∠1也可以表示为∠ABC正确C、∵C处有多个角，∴∠BCE不可以表示为∠C，故C错误，D、ABD在一条线上，∴∠ABD是一个平角正确.10.B【解析】此题考查了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数．分别以OP1、OP2等为一边，数出所有角，相加即可．以OP1为一边的角有7个，以OP2为一边的角有6个，…以OP6为一边的角1个．∴共有角1+2+3+4+5+6+7=28个．去掉∠AOB（直角），还有27个．二、填空题11.角的顶点是O，边是ON，OM，用四种不同的记法表示这个角为∠MON、∠1、∠O、∠α，12.周角=平角=1直角.13.图中能用一个大写字母表示的角是∠B，∠C；以A为顶点的角有6个，它们分别是∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB14.（1）∠B；（2）∠MCB；∠AMC；∠CAN15. 12三、解答题16.解：（1）能用一个字母表示的角有2个：∠A，∠C；（2）以B为顶点的角有3个：∠ABE，∠ABC，∠EBC；（3）图中小于平角的角有7个：∠A，∠C，∠ABE，∠ABC，∠EBC，∠AEB，∠BEC．17.解：（1）能用一个大写字母表示的角为：∠B，∠C；（2）以点A为顶点的角为：∠CAD，∠BAD，∠BAC；（3）图中所有的角有：∠C，∠B，∠1，∠2，∠3，∠4，∠CAB．18.解：共有16个角，分别是∠BAC,∠BAD,∠CAD, ∠ABD,∠ABC,∠DBC,∠ACB,∠BCD,∠ACD,∠ADB,∠ADC,∠BDC,∠AOD,∠AOB,∠BOC,∠COD19.解：（1）以B为顶点的角有3个：∠ABC，∠ABD，∠DBC；（2）以射线BA为边的角为：∠ABC，∠ABD（3）以D为顶点，DC为一边的角为：∠BDC，∠EDC．。
第7章《平面图形的认识(二)》解答题专项练习(二) 七年级数学苏科版下册
七年级数学苏科版下册第7章《平面图形的认识(二)》解答题专项提升练习（二）1．如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠E＝∠F，CE∥DF，求证：∠A ＝∠1．2．已知，点Q、A、D均在直线l1上，点B、C均在直线l2上，且l1∥l2，点E是BA延长上一点．（1）如图1，CD∥AB，CE与AD相交于点F，AC与BF相交于点O，∠1＝∠2，求证∠3＝∠4；（2）在（1）的条件下，若BF平分∠ABC，试直接写出∠CFB与∠ACF的数量关系为；（3）如图2，点N是∠QAB角平分线上一点，点M在射线BC上，若∠NMC与∠ABC满足2∠NMC﹣∠ABC＝180°的数量关系，请判断直线MN与直线AN的位置关系，并说明理由．3．如图所示，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，∠BEF 、∠DFE 的平分线相交于点K ．（1）求∠EKF 的度数；（2）如图（2）所示，作∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K 1，问∠K 1与∠K 的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．（3）在图（2）中作∠BEK 1、∠DFK 1的平分线相交于点K 2，作∠BEK 2、∠DFK 2的平分线相交于点K 3，依此类推，……，请直接写出∠K 4的度数．4．如图，已知三角形ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠1＝∠2．求证：（1）AD ∥GE ；（2）∠3＝∠G ．5．如图，已知AB ∥CD ，E 是直线AB 上的一点，CE 平分∠ACD ，射线CF ⊥CE ，∠1＝32°，（1）求∠ACE 的度数；（2）若∠2＝58°，求证：CF ∥AG ．6．已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM ∥FN．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．7．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠MEB与∠DFN互补．（1）若∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（2）如图2，在（1）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．8．如图，AD⊥BE，BC⊥BE，∠A＝∠C，点C，D，E在同一条直线上．求证：AB∥CD．9．综合与探究问题情境在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．探索发现“快乐小组”经过探索后发现：（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为．操作探究（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB 之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC+∠A的结果．10．如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．求证：（1）EH∥AD；（2）∠BAD＝∠H．11．喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝α．如图2，将纸条作第一次折叠，使BM'与BA在同一条直线上，折痕记为BR．1解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠BR 1N '的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN ∥QM ，A ，B 分别在PN ，QM 上，且∠ABM ＝90°，由折叠：BR 1平分 ，BM '∥R 1N '，求∠BR 1N '的度数．（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR 1折叠纸条（如图4），是否有可能使AM ''⊥BR 1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由．（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°＜α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM '与BR 1在同一条直线上，折痕记为BR 2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使BM '与BR 2在同一条直线上，折痕记为BR 3；…以此类推． ①第二次折叠时，∠BR 2N '＝ （用α的式子表示）；②第n 次折叠时，∠BR n N '＝ （用α和n 的式子表示）．12．如图，已知点D，E分别为AB，BC上的点，连接DE，∠BAC＝70°，∠ADE＝110°．（1）求证：∠C＝∠BED；（2）画图：连接AE，过点D画DF∥AE，交BC于点F，若∠EAC＝28°，∠C＝62°，求∠DFC的度数．13．完成推理填空．填写推理理由：如图：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．∵EF∥AD，∴∠2＝，（）又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥，（）∴∠BAC+ ＝180°，（）又∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．14．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．请判断△BEC的形状，并说明理由．15．如图，已知，AB∥CD，CE平分∠ACD交AB于点E．（1）若∠FCD＝50°，求∠1的度数；（2）若有∠FAB的平分线AP交CE于点P，请你画出图形，并判断∠CAP与∠ACP是否为互余关系，说明理由．参考答案1．证明：∵CE∥DF，∴∠F＝∠2，∵∠E＝∠F，∴∠E＝∠2，∴AE∥BF，∴∠A＝∠1．2．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACF＝∠2+∠ACF即：∠BCE＝∠ACD，∵AB‖CD，∴∠ACD＝∠4，∴∠BCE＝∠4，∵l1∥l2∴∠3＝∠BCE∴∠3＝∠4；（2）如图，设∠ABF＝∠5，∠ACF＝∠6，∠CFB＝∠7，∵BF平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠5，∠CBF＝∠5，∵l1∥l2，∴∠AFB＝∠CBF＝∠5，∴∠AFC+∠BCF＝180°，即∠1+∠6+∠5+∠7＝180°①，∵AB‖CD，l1∥l2，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∠BCD+∠CDF＝180°，∴∠CDF＝2∠5，∴∠1+∠6+∠2+2∠5＝180°，∵∠1＝∠2，∴2∠1+∠6+2∠5＝180°，∴∠1+∠6+∠5＝90°②，∴①﹣②得：∠6+∠7＝90°，∴∠CFB与∠ACF的数量关系为∠CFB+∠ACF＝90°．故答案为：∠CFB+∠ACF＝90°．（3）直线MN与直线AN的位置关系为：MN⊥AN．理由如下：过点N作NR∥l1，∵l1∥l2，NR∥l2，∴∠ABC＝∠QAB，∠QAN＝∠ANR，∠RNM＝∠NMB，∵NA平分∠QAB，∴∠QAB＝2∠QAN，不妨设∠QAN＝x°，∠NAM＝∠NMB＝y°，∴∠ABC＝∠QAB＝2x°，∴y+∠NMC＝180°①，∵2∠NMC﹣∠ABC＝180°，∴2∠NMC﹣2x＝180°，∠NMC﹣x＝90°②，①﹣②得：x+y＝90°，∴∠ANM＝90°，3．解：（1）如图（1），过K 作KG ∥AB ，交EF 于G ，∵AB ∥CD ，∴KG ∥CD ，∴∠BEK ＝∠EKG ，∠GKF ＝∠KFD ，∵EK 、FK 分别为∠BEF 与∠EFD 的平分线，∴∠BEK ＝∠FEK ，∠EFK ＝∠DFK ，∵AB ∥CD ，∴∠BEK +∠FEK +∠EFK +∠DFK ＝180°，即2（∠BEK +∠DFK ）＝180°，∴∠BEK +∠DFK ＝90°，则∠EKF ＝∠EKG +∠GKF ＝90°；（2）∠K ＝2∠K 1，理由为：∵∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K 1，∴∠BEK 1＝∠KEK 1，∠KFK 1＝∠DFK 1，∵∠BEK +∠FEK +∠EFK +∠DFK ＝180°，即2（∠BEK +∠KFD ）＝180°，∴∠BEK +∠KFD ＝90°，即∠BEK 1+∠DFK 1＝45°，同理得∠K 1＝∠BEK 1+∠DFK 1＝45°，则∠K ＝2∠K 1；（3）如图（3），根据（2）中的规律可得：∠K 2＝∠K 1＝22.5°，∠K 3＝∠K 2＝11.25°，∠K 4＝∠34．解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠2，∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠BAD＝∠3，∴AD∥GE；（2）∵AD∥GE，∴∠2＝∠G，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠3＝∠G．5．解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE＝32°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝32°；（2）∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠FCH＝90°﹣32°＝58°，∵∠2＝58°，∴∠FCH＝∠2，∴CF∥AG．6．（1）证明：∵EM∥FN，∴∠EFN＝∠FEM．∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．∴∠CFE＝∠BEF．∴AB∥CD．（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠CFN，∵∠AEF＝2∠CFN，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴∠CFN＝∠EFN＝45°，∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．7．解：（1）证明：∵∠MEB+∠BEF＝180°，∠MEB与∠DFN互补∴∠BEF＝∠DFN∴AB∥CD∴∠BEF+∠DFE＝180°又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠DFE）＝90°∴∠EPF＝90°即EG⊥PF∵GH⊥EG∴PF∥GH．（2）∠HPQ的大小不会发生变化，利用如下：∵∠PHK＝∠HPK∴∠PKG＝2∠HPK∵GH⊥EG∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK∵PQ平分∠EPK∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．8．证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠ADE＝∠A，∴AB∥CD．9．解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，又∵∠A＝60°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝60°，∴∠CBD＝∠A．（2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝180°﹣∠A，∴∠CBD＝．（3）∠APB＝2∠ADB理由如下：∵BD分别平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠NBD，∵AM∥BN，∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，∴∠APB＝2∠ADB．（4）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴2∠ABC＝∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∴2∠ABC+∠A＝（∠A+∠ABN）＝×180°＝90°．10．证明：（1）∵∠CDG＝∠B，∴DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠FEA＝180°，∴∠BAD+∠FEA＝180°，∴EH∥AD；（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，∴∠1＝∠H，∴∠BAD＝∠H．11．解：（1）根据折叠的性质可得，∠MBR1＝∠M′BR1，即，BR1平分∠ABM，故答案为：∠ABM，∵∠ABM＝90°，∴∠MBR1＝∠M′BR1＝∠ABM＝45°，在四边形M′BR1N′中，∠M′＝∠N′＝∠M＝∠N＝90°，∴∠BR1N′＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；（2）α＝60°；由折叠可得，∠PAB＝α＝60°，∠ABR1＝30°，∠R1AM″＝60°，∴∠BAM″＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABR1+∠BAM″＝30°+60°＝90°，∴AM''⊥BR1；（3）①由折叠可得∠R1BR2＝×α＝，在四边形M′BR2N′中，∠M′＝∠N′＝∠M＝∠N＝90°，∴∠BR2N′＝360°﹣90°﹣90°﹣＝180°﹣；故答案为：180°﹣；②折叠n次可得∠R n BR n+1＝××…××α＝，在四边形中有内角和可得，∠BR n N'＝360°﹣90°﹣90°﹣＝180°﹣，故答案为：180°﹣．12．解：（1）证明：∵∠BAC＝70°，∠ADE＝110°．∴∠BAC+∠ADE＝180°．∴DE∥AC，∴∠C＝∠BED；（2）如图所示，∵DF∥AE，∴∠AEC＝∠DFC，△AEC中，∠EAC＝28°，∠C＝62°，∴∠DFC＝∠AEC＝180°﹣62°﹣28°＝90°．13．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°，故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．14．解：△BEC是直角三角形．理由：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+∠DCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知），∴∠CBE＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD（角平分线的性质）．∴∠CBE+∠ECB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．∵∠CBE+∠ECB+∠BEC＝180°（三角形内角和180°），∴∠BEC＝90°（等式性质），∴△BEC是直角三角形．15．解：（1）∵∠FCD＝50°，∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ECA＝∠ACD＝65°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ECD＝65°．（2）如图，∠CAP与∠ACP互余，理由：∵AP平分∠FAB，CE平分∠ACD，∴∠CAP＝∠EAP＝∠BAC，∠ACP＝∠DCE＝∠ACD，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAP+∠ACP＝（∠BAC+∠ACD）＝90°．。
专题19 角 (4个知识点4种题型2个易错点)七年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练(沪科版)
沪科专题4.4角（4个知识点4种题型2个易错点0个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.角的定义（重点）知识点2.角的表示方法（重点）知识点3.角的测量与换算（难点）知识点4.方向角（难点）【方法二】实例探索法题型1.角的个数的确定题型2.角度的计算题型3.用方向角求角的度数题型4.钟面上有关的度数的计算【方法三】差异对比法易错点1.混淆角的表示方法易错点2.对角的定义理解错误【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解角的有关概念，掌握角的表示方法。
2.认识度、分、秒，会进行简单的换算。
3.丰富对角以及锐角、直角、钝角、平角、周角及其大小关系的认识。
【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.角的定义（重点）静态定义：有公共端点的两条射线所形成的图形动态定义：由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置后形成的图形A ．扇形【答案】C 一种是三字母表示法，一种是顶点字母表示法，一种是画弧标记法。
【例2】如图，下列表示角的方法，错误的是（）A ．1∠与AOB ∠表示同一个角B ．AOC ∠也可用O ∠来表示1∠3∠4∠ABC∠BCA ∠【答案】,5,,,2,FCE BAC DAB ∠∠∠∠∠1.角的测量工具是量角器，角的度量单位是‘度、分、秒’；2.换算时要逐级进行，由高级单位向低级单位转换时乘60，从低级单位向高级单位转化时除以60【例3】（2023上·七年级课时练习）（角的换算）把52.36︒用度、分、秒表示，正确的是（）A ．522136'''︒B ．521836'''︒C ．523060'''︒D ．5236'''︒【答案】A 【分析】根据1度等于60分，1分等于60秒，52.36︒由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可．【详解】解：52.36522136'''︒=︒；故选：A 【点睛】考查了度分秒的换算，分秒化为度时用除法，而度化为分秒时用乘法．知识点4.方向角（难点）平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方向角【例4】点C 在点A 的北偏东70︒的方向上，那么点A 在点C 的______方向上（）A ．南偏东20︒B ．南偏西20︒C ．南偏东70︒D ．南偏西70︒【答案】D【分析】依据物体位置的相对性，即方向相反，角度和距离相同，北偏东相对方向是南偏西，据此解答即可．【详解】解：点C 在点A 的北偏东70︒的方向上，那么点A 在点C 的南偏西70︒方向上，故选D ．【点睛】本题考查物体位置的相对性，在方位图中正确表示出方位角是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.角的个数的确定1.（2023下·全国·七年级课堂例题）图中角的个数是（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D 【分析】根据角的定义可进行求解．【详解】解：图中属于角的有：,,,,,AOB AOC AOD BOC BOD COD ∠∠∠∠∠∠；共6个；【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握角的定义是解题的关键．2.（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级校联考阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（）A．5B．3或4C．4或5D．3或4或5【答案】D【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果．【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；故选D．【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．题型2.角度的计算4.（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从O点出发，沿北偏西30︒走了50∠为（）米到达A点，乙从O点出发，沿南偏东35︒方向走了80米到达B点，则AOBA．65︒B．115︒C．175︒D．185︒【分析】根据方位角的概念即可求解．【详解】解：如图所示，甲从O 点出发，沿北偏西30︒走了50米到达A 点，乙从O 点出发，沿南偏东35︒方向走了80米到达B 点，3035AON BOS ∴∠=︒∠=︒，，180********NOB BOS ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，14530175AOB NOB AON ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．5.如图，点M 在点O 的北偏东65︒，射线OM 与ON 所成的角是140︒，则射线ON 的方向是（）A ．西偏南60︒B ．西偏南50︒C ．南偏西25︒D ．南偏西15︒【答案】C 【分析】根据方向角的定义先求解18065115BOM ∠=︒-︒=︒，再利用角的和差关系进行计算即可．【详解】解：如图，由方向角的定义可知，65AOM ∠=︒，∴18065115BOM ∠=︒-︒=︒，∴14011525BON MON BOM ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴射线ON 的方向是南偏西25︒．故选：C ．【点睛】本题考查的是方向角的含义，角的和差运算，理解题意是解本题的关键．题型4.钟面上有关的度数的计算易错点1.混淆角的表示方法1．（2023上·七年级课时练习）下列图形中，能表示ABC ∠的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据角的定义和角的表示方法解答即可．【详解】解：A ．是两条直线，不是角，本选项不符合题意；B ．表示CAB ∠或BAC ∠，本选项不符合题意；C ．表示ABC ∠，本选项符合题意；D ．表示ACB ∠或BCA ∠，本选项不符合题意，故答案为：C ．【点睛】本题考查了角的定义和角的表示方法，解题的关键是掌握角的概念．2．（2023上·七年级课时练习）根据图示，完成以下各题(1)写出图中能用一个字母表示的角；(2)写出图中以A 为顶点小于平角的角；(3)图中小于平角的角共有几个？请写出来【答案】(1)B ∠，D ∠(2)5个：BAD ∠，BAC ∠，DAC ∠，CAE ∠，DAE∠(3)10个：BAD ∠，BAC ∠，DAC ∠，CAE ∠，DAE ∠，D ∠，ACD ∠，ACB ∠，BCD ∠，B∠【分析】（1）根据角的表示方法解答；（2）根据角的定义解答；（3）根据角的定义解答．【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：B ∠，D∠（2）以A 为顶点小于平角的角有5个：BAD ∠，BAC ∠，DAC ∠，CAE ∠，DAE ∠；（3）图中小于平角的所有的角有10个：BAD ∠，BAC ∠，DAC ∠，CAE ∠，DAE ∠，D ∠，ACD ∠，ACB ∠，BCD ∠，B ∠．【点睛】此题考查了角的定义及角的表示方法，正确掌握角的定义及表示方法是解题的关键．易错点2.对角的定义理解错误3．（2023上·七年级课时练习）如图所示，图中共有多少个小于平角的角（）A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个【答案】A 【分析】根据图形依次数出角的个数即可．【详解】AOD ∠，AOC ∠，AOE ∠，AOB ∠，DOC ∠，DOE ∠，DOB ∠，COE ∠，COB ∠，EOB ∠.一共有10个角．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角的识别，按照顺序依次数是解题的关键，不要漏解．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中）在下面时刻中，分针和时针成直角的是（）A ．6时B ．3时30分C ．12时15分D ．9时【答案】D【分析】本题考查了钟面角的问题，根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度分别计算出四个时刻分针和时针的夹角，判断即可．【详解】解∶ 6时面上分针和时针成180︒；3时30分钟面上分针和时针成75 ︒；12时15分钟面上分针和时针成82.5︒；9时，钟面上分针和时针成直角．故选∶D ．2．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）已知三条射线OA 、OB 、OC ，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA 、OB 、OC 组成的图形为“角分图形”．如图（1），当OB 平分AOC ∠时，图（1）为角分图形．如图（2），点O 是直线MN 上一点，70DON ∠=︒，射线OM 绕点O 以每秒5︒的速度顺时针旋转至1OM ，设时间为()036t t ≤≤，当t 为何值时，图中存在角分图形．小明认为29s t =，小亮认为11s t =，你认为正确的答案为（）A ．小明B ．小亮C ．两人合在一起才正确D ．两人合在一起也不正确【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当1OM 平分MOD ∠时，当OD 平分1M ON ∠时，当1OM 平分MON ∠时，当1OM 平分DON ∠时，再列方程求解即可．【详解】解：∵70DON ∠=︒，∴18070110MOD ∠=︒-︒=︒，则60NOA ∠=︒，90AOA '∠=︒，∴180180609030SOA NOA AOA ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴射线OA '表示方向为南偏东30︒．故选：A【点睛】本题考查方向角与角的和与差，解题的关键是理解方向角的定义．4．（2022上·山西临汾·七年级统考期末）如图，甲从A 点出发向北偏东60︒方向走至点B ，乙从A 点出发向南偏西25︒方向走至C ，则BAC ∠的度数是()A ．85︒B ．115︒C ．135︒D ．145︒【答案】D 【分析】根据BAC BAF FAE EAC ∠=∠+∠+∠，即可求解．【详解】根据题意，90602590145BAC BAF FAE EAC ∠=∠+∠+∠=︒-︒+︒+︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了方位角的计算，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．5．（2023上·山东临沂·七年级统考开学考试）下图中图书馆在学校的（）处A ．北偏东60︒方向2.4千米B ．北偏西60︒方向2.4千米C ．北偏西30︒方向2.4千米D ．北偏东30︒方向2.4千米【答案】B 【分析】根据方向和距离确定物体位置的一般步骤是1.找出观测点；2.确定位置；3.算出距离；4.根据观测点和角度，描述物体的具体位置．【详解】解：903060︒-︒=︒，A．北B．北偏西【答案】B【分析】根据方向角的定义可得：向角的定义，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：30AOC ∠=︒，90BOA ∠=︒ ，60BOC BOA AOC ∴∠=∠-∠=︒，OB ∴的方位角是北偏西60︒，故选：B ．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．8．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图，下列说法正确的有（）（1）射线OA 的方向是北偏东30︒；（2）射线OB 的方向是北偏西30︒；（3）射线OD 的方向是南偏西45︒，也叫西南方向；（4）射线OC 的方向是正南方向．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据方向角的表示对各说法进行判断作答即可．【详解】解：射线OA 的方向是北偏东30︒；（1）正确，故符合要求；射线OB 的方向是北偏西30︒；（2）正确，故符合要求；射线OD的方向是南偏西45︒，也叫西南方向；（3）正确，故符合要求；射线OC的方向是正南方向；（4）正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了方向角．解题的关键在于对知识的熟练掌握．9．（2022上·湖北襄阳·七年级统考期末）当8时30分时，时钟的时针与分针成（）度的角．A．75B．90C．105D．120【答案】A【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针分针相距的份数乘以每份度数，便可得答案．⨯︒=︒的角．【详解】解：钟面每份是30︒，8点30分时针与分针差2.5份，时钟的时针与分针成2.53075故选A．【点睛】本题考查了钟面角，根据时针分针相距的份数乘以每份度数便是钟面角．10．（2022上·甘肃兰州·七年级校考期末）当时钟是3:30时，时针和分针的夹角是（）A．75︒B．105︒C．85︒D．70︒【答案】A【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30︒，找出3:30时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30︒即可．【详解】解：3:30时，时针和分针中间相差2.5个大格．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30︒，⨯︒=︒．3:30∴时，分针与时针的夹角是2.53075故选：A．【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30︒．二、填空题【答案】南偏东75︒【分析】求出AOB ∠的度数，可得到【详解】解：45AOB ∠=︒则60COB AOB ∠=∠=︒，OC 与正南方向的夹角是60【答案】南偏西60︒【分析】根据方向角即可求解．【详解】解：运动员需要把台球A 向南偏西60︒撞击故答案为：南偏西；60︒．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握其基础知识是解题的关键．13．（2021上·山西太原·七年级校考阶段练习）12三、解答题15．（2023上·广东珠海·七年级统考开学考试）如图是一张轮船航行的线路图．(1)轮船从A地出发，向西偏（）30︒方向走（）千米到达B地．(2)轮船从B地向西南方向走500千米到达C地．请在图上标出C地的位置．【答案】(1)北，700(2)见解析【分析】（1）根据方向角和比例尺解答即可；（2）根据方向角和比例尺画图即可．【详解】（1）解：轮船从A地出发，向西偏北30︒方向走700千米到达B地．故答案为：北，700；（2）如图，【点睛】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北偏东（西）多少度或南偏东(西)多少度，若正好为45度，则表示为西(东)南(北)方向．16．（2023上·广东肇庆·七年级肇庆市第一中学校考开学考试）如图是小红家附近的平面示意图．(1)火车站位于体育场的________面________m处，百货大楼位于少年宫的________偏________，________︒方向________m处．(2)从汽车站去百货大楼，要先往________方向走________m到少年宫，再往________偏________，________°方向走________m到百货大楼．(3)小兵家位于火车站的西偏北50︒方向600m处，请在图中标出来．【答案】(1)正东，1200，西，南，45，750(2)正东，900，西，南，45，750(3)见解析【分析】（1）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可；（2）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可；（3）根据上北下南左西右东的图上方向，结合题干中给出的角度和距离，结合题意分析解答即可．【详解】（1）火车站位于体育场的正东面1200m 处，百货大楼位于少年宫的西偏南45︒方向750m 处．故答案为：正东，1200，西，南，45，750；（2）从汽车站去百货大楼，要先往正东方向走900m 到少年宫，再往西偏南45︒方向走750m 到百货大楼，故答案为：正东，900，西，南，45，750；（3）6003002÷=（厘米），小兵家如图：【点睛】本题考查了方向与位置知识，结合题意分析解答即可．17．（2021上·陕西铜川·七年级校考阶段练习）如图，货轮O 在航行的过程中，同时发现灯塔A 和轮船B ，灯塔A 在货轮O 的北偏东45,AOE BOW ∠∠︒=，则轮船B 在货轮O 的北偏西多少度？【答案】轮船B 在货轮北偏西45︒．【分析】先求解AOE ∠，BOW ∠，可得BON ∠，再根据方向角的定义即可得到结论．【详解】解：∵灯塔A 在货轮O 北偏东45︒的方向，∠内部有一条射线OC，则图中有(1)如图①，AOB∠内部有两条射线OC，OD (2)如图②，AOB∠内部有10条射线，那么图中有(3)如果AOB（1）北偏东20︒；（2）北偏西50︒；（3）南偏东10︒；（4）西南方向（即南偏西45︒）．【答案】见解析．【分析】根据方向角画出图形即可．用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．【详解】解：（1）（2）（3）（4）如图所示．【点睛】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角的表示方法．21．（2023上·七年级课时练习）（角的概念与表示）观察图形，解答下列问题：(1)写出能用一个字母表示的角；(2)写出以B 为顶点的角；(3)图中共有几个小于平角的角？【答案】(1)A ∠，C ∠；(2)ABE ∠，ABC ∠，EBC ∠；(3)9个【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；（2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案；（3）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：A ∠，C ∠；（2）以B 为顶点的角有3个：ABE ∠，ABC ∠，EBC ∠；（3）图中小于平角的角有9个：A ∠，C ∠，ABE ∠，ABC ∠，EBC ∠，ADE ∠，CDE ∠，ADB ∠，BDC ∠．【点睛】本题考查了角的概念，从一点引出两条射线组成的图形就叫做角，角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字．22．（2023上·七年级课时练习）如图，(1)用不同的方法表示图中以D 为顶点的角；(2)写出以B 为顶点的角与边；(3)画出DA '，使ADA '∠成平角，写出它的边．【答案】(1)ADB ∠或1∠或D∠(2)角为CBD ∠（或B ∠或2∠），边是BD ，BC(3)图见解析，边是DA ，DA '【分析】（1）根据角的表示方法即可得到答案；（2）根据角的表示方法和边的定义即可得到答案；（3）根据平角的定义和边的定义即可得到答案．【详解】（1）解：由图可得：用三个字母表示以D 为顶点的角为：ADB ∠，用一个字母表示以D 为顶点的角为：D ∠，用数字表示以D 为顶点的角为：1∠，故答案为：ADB ∠或1∠或D ∠．（2）解：解：由图可得：用三个字母表示以B 为顶点的角为：CBD ∠，用一个字母表示以B 为顶点的角为：B ∠，用数字表示以B 为顶点的角为：2∠，以B 为顶点边是BD ，BC ，故答案为：角为CBD ∠（或B ∠或2∠），边是BD ，BC ．（3）解：如图，DA '是射线DA 的反向延长线，则ADA '∠成平角，ADA '∠的边是DA ，DA '．【点睛】本题考查角的概念，熟练掌握角的概念与表示方法是解题的关键．23．（2023上·吉林松原·七年级统考期末）如图①，货轮停靠在O 点，发现灯塔A 在它的东北（东偏北45︒或北偏东45︒）方向上．货轮B 在码头O 的西北方向上．(1)仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B 方向的射线；(2)如图②，两艘货轮从码头O 出发，货轮C 向东偏北15︒的OC 的方向行驶，货轮D 向北偏西15︒的OD 方向航行，求COD ∠的度数．【答案】(1)详见解析(2)90COD ∠=︒【分析】（1）根据方向角的定义，结合题意画出方向角即可；（2）根据角的和差关系可得：COD DOM MOC ∠=∠+∠()DOM MOQ COQ =∠+∠-∠．【详解】（1）如图所示，射线OB 的方向就是西北方向，即货轮B 所在的方向．（2）依题意可得，90MOQ ∠=︒，15COQ ∠=︒，15DOM ∠=︒∴COD DOM MOC∠=∠+∠()DOM MOQ COQ =∠+∠-∠()159015=︒+︒-︒90=︒【点睛】本题考核知识点是方向角．理解方向角的定义和角的和差关系是关键．。
2022年最新精品解析沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形课时练习试题(无超纲)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形课时练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点O ．添加一个条件，不一定能使ABC ≌DCB 的是（ ）A ．AB DC =B ．OB OC = C ．ABO DCO ∠=∠D ．ABC DCB ∠=∠2、如图，∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，CB ＝CD ，则∠B 与∠ADC 满足的数量关系为（ ）A ．∠B ＝∠ADCB ．2∠B ＝∠ADC C ．∠B +∠ADC ＝180°D ．∠B +∠ADC ＝90°3、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )A ．2，11，13B ．5，12，7C ．5，5，11D ．5，12，134、如图，ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论中正确的是（ ） ①BCD 为等腰三角形；②BF ＝AC ；③CE ＝12BF ；④BH ＝CE ．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④5、如图，在ABC 中，AD 是角平分线，且AD AC =，若60BAC ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．52°D ．58°6、若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么以a 、b 、c 为边组成的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，等边ABC 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ==，3QD =，在BD 上有一动点E ，则PE QE +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．128、如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②DE ＝BD +CE ；③若∠A ＝50°，则∠BFC ＝115°；④DF ＝EF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、如图，已知ACD ∠为ABC 的外角，60ACD ∠=︒，20B ∠=︒，那么A ∠的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°10、如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，40∠=︒DBC ，则ADB ∠的度数为（ ）．A ．25°B ．60°C ．90°D ．100°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，BD 和CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若3BE =，4CF =，则EF 的长为______．2、如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE CD =，则BE 的长为__________．3、在平面直角坐标系中，点B （0，4），点A 为x 轴上一动点，连接AB ．以AB 为边作等腰Rt △ABE ，（B 、A 、E 按逆时针方向排列，且∠BAE 为直角），连接OE ．当OE 最小时，点E 的纵坐标为______．4、如图，△ABC 中，AB 平分∠DAC ，AB ⊥BC ，垂足为B ，若∠ADC 与∠ACB 互补，BC ＝5，则CD 的长为_________．5、如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为_____．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF．2、如图所示，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，已知：∠ACB＝32°，∠CDE＝58°．（1）求∠DEC的度数；∥（2）试说明直线AD BC=，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等3、在等腰ABC中，AB AC腰ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，直接写出BC 与CE 的位置关系；（2）如图2，当090BAC ︒<∠<︒时，过点A 作AF CE ⊥于点F ，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，2EF 之间的数量关系，并证明．4、如图，E 为AB 上一点，BD ∥AC ，AB ＝BD ，AC ＝BE ．求证：BC ＝DE ．5、如图，ADC AEB ∠=∠，AD AE =，求证：OB OC =．6、已知：如图，AD 是等腰三角形ABC 的底边BC 上的中线，DE ∥AB ，交AC 于点E ．求证：△AED 是等腰三角形．7、如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．8、如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，∠A=50°，求∠BCD的度数．9、如图，点C是线段AB上一点，ACF与BCE都是等边三角形，连接AE，BF．（1）求证：AE BF=；（2）若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，NC．①依题意补全图形；△的形状，并证明你的结论．②判断CMN10、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2-参考答案-一、单选题1、C【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（HL定理）即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得∠=∠，再根据三角形全等的判定定理（AAS定理）即可判断选项B；直接利用三角形全等ACB DBC的判定定理（AAS定理）即可判断选项D，由此即可得出答案．解：当添加条件是AB DC =时，在Rt ABC 和Rt DCB △中，AB DC BC CB =⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt DCB HL ∴≅，则选项A 不符题意；当添加条件是OB OC =时，ACB DBC ∴∠=∠，在ABC 和DCB 中，90A D ACB DBC BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DCB A AA BC S ∴≅，则选项B 不符题意；当添加条件是ABC DCB ∠=∠时，在ABC 和DCB 中，90A D ABC DCB BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DCB A AA BC S ∴≅，则选项D 不符题意；当添加条件是ABO DCO ∠=∠时，不一定能使ABC DCB ≅，则选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．2、C【分析】由题意在射线AD 上截取AE =AB ，连接CE ，根据SAS 不难证得△ABC ≌△AEC ，从而得BC =EC ，∠B =∠AEC ，可求得CD =CE ，得∠CDE =∠CED ，证得∠B =∠CDE ，即可得出结果．解：在射线AD 上截取AE ＝AB ，连接CE ，如图所示：∵∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠EAC ，在△ABC 与△AEC 中，AC AC BAC EAC AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△AEC （SAS ），∴BC ＝EC ，∠B ＝∠AEC ，∵CB ＝CD ，∴CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴∠B ＝∠CDE ，∵∠ADC +∠CDE ＝180°，∴∠ADC +∠B ＝180°．故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE ，CE ．3、D【分析】根据三角形三边关系定理，判断选择即可．【详解】∵2+11=13，∴A不符合题意；∵5+7=12，∴B不符合题意；∵5+5=10＜11，∴C不符合题意；∵5+12=17＞13，∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．4、C【分析】根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD；利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF＝AC；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，即可得到CE＝12BF；由CE＝12BF，BH＝12BC，在三角形BCF中，比较BF、BC的长度即可得到CE＜BH．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD，故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝12AC＝12BF，故③正确；∵CE＝12AC＝12BF，BH＝12BC，在△BCF中，∠CBE＝12∠ABC＝22.5°，∠DCB＝∠ABC＝45°，∴∠BFC＝112.5°，∴BF＜BC，∴CE＜BH，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．5、A【分析】根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．【详解】解：∵AD是角平分线，60BAC∠=︒，∴∠DCA=12BAC∠=30°，∵AD=AC，∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，故选：A．【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．6、C【分析】根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．【详解】解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．∵c是奇数，∴c＝3或5或7，有3个值．则对应的三角形有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．7、C【分析】作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小，最小值PE PQ PE EQ PQ +=+'='，据此求解即可．【详解】解：如图，ABC ∆是等边三角形，BA BC ∴=，∵D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，4AQ =，3QD =，7AD DC AQ QD ∴==+=，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小．最小值PE QE PE EQ PQ +=+'='，4AQ =，7AD DC ==，3QD DQ ∴='=，4CQ BP ∴'==，10AP AQ ∴='=，60A ∠=︒，APQ ∴∆'是等边三角形，10PQ PA ∴'==，PE QE ∴+的最小值为10．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．8、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．【详解】解：∵BF 是∠AB 的角平分线，∴∠DBF ＝∠CBF ，∵DE ∥BC ，∴∠DFB ＝∠CBF ，∴∠DBF ＝∠DFB ，∴BD ＝DF ，∴△BDF 是等腰三角形；故①正确；同理，EF ＝CE ，∴DE ＝DF +EF ＝BD +CE ，故②正确；∵∠A ＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴11,22FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．9、B【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【详解】解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，故选：B．【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．10、D【分析】由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果．【详解】∵ABC是等边三角形∴∠C=60°∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°故选：D【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键．二、填空题1、7【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，得到BE=DE，CF=DF，即可求解．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，∴BE=DE，CF=DF，又∵BE=3，CF=4，∴EF=DE+DF=BE+CF=7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．2、3【分析】由等腰三角形三线合一的性质，得到AD=DC=1，由BE=BC+CE不难求解．【详解】解：三角形ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，又BD是AC边的高线，∴DC＝1121 22AC=⨯=，CE∴CD=＝1，213BE BC CE∴=+=+=，故答案为：3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解本题的关键．3、－2【分析】过E作EF⊥x轴于F，由三垂直模型，得EF＝OA，AF＝OB，设A（a，0），可求得E（a＋4，a），点E 在直线y＝x－4上，当OE⊥CD时，OE最小，据此求出坐标即可．【详解】解：如图，过E作EF⊥x轴于F，∵∠AOB=∠EFA=∠BAE=90°，∴∠ABO+∠OAB=90°，∠EAF+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠EAF，∵AB=AE，∴△ABO≌△EAF，∴EF＝OA，AF＝OB＝4，取点C（4，0），点D（0，-4），∴∠OCD=45°，∵CF＝4- OF，OA＝4- OF，∴CF＝OA ＝EF，∴∠ECF=45°，∴点E在直线CD上，当OE⊥CD时，OE最小，此时△EFO和△ECO为等腰Rt△，∴OF＝EF＝2，此时点E的坐标为：（2，－2）．故答案为：-2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定点E 运动的轨迹，确定点E 的位置． 4、10【分析】构造ABE △，再证得ABE ABC ≌，求得EB =BC ,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E =∠CDE ，则CE =2BC =10．【详解】解：延长AD .和CB 交于点E .∵AB 平分∠DAC∴∠EAB =∠CAB又∵AB BC ⊥∴∠ABE =∠ABC又∵AB =AB∴ABE ABC ≌∴BC =EB =5，∠E =∠ACB ，180ADC CDE ∠+∠=︒又∵180ADC ACB ∠+∠=︒∴∠ACB =∠CDE∴∠E =∠CDE∴.CD =CE又∵CE =2BC =10∴CD =10故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．5、59°【分析】先利用三角形内角和定理求出∠CAB +∠CBA =180°-∠C =118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB +∠EBA =2∠C +∠CAB +∠CBA =242°，再由角平分线的定义求出11==12122GAB GBA DAB EBA ++︒∠∠∠∠，由此求解即可． 【详解】解：∵∠C =62°，∴∠CAB +∠CBA =180°-∠C =118°，∵∠DAB =∠C +∠CBA ，∠EBA =∠C +∠CAB ，∴∠DAB +∠EBA =2∠C +∠CAB +∠CBA =242°，∵△ABC 两个外角的角平分线相交于G ， ∴1=2GAB DAB ∠∠，12GBA EBA ∠=∠， ∴11==12122GAB GBA DAB EBA ++︒∠∠∠∠， ∴∠G =180°-∠GAB -∠GBA =59°，故答案为：59°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题1、见解析【分析】先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】证明：∵BF= CE ，∴BC= EF ．在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．∴AC =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．2、（1）90°；（2）见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解；（2）首先求得∠ADC 的度数和∠DCB 的度数，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得．【详解】解：（1）∵AC 是∠BCD 的平分线∴32ACD ACB ∠=∠=︒∵180,58CDE DEC DCE CDE ∠+∠+∠=︒∠=︒∴∠DEC =180°-∠ACD -∠CDE =180°-32°-58°=90°；（2）∵DE 平分∠ADC ，CA 平分∠BCD∴∠ADC =2∠CDE =116°，∠BCD =2∠ACD =64°∵∠ADC +∠BCD =116°+64°=180°∴AD BC ∥【点睛】本题主要考查了角平分线，平行线的判定以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．3、（1）BC CE ⊥（2）2CD BD EF -=或2BD CD EF -=，见解析【分析】（1）根据已知条件求出∠B =∠ACB =45°，证明△BAD ≌△CAE ，得到∠ACE =∠B =45°，求出∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，即可得到结论BC CE ⊥；（2）根据题意作图即可，证明ABD △≌ACE ．得到BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠，推出ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =，证明ADC ≌AGC ，推出CD CG =．由此得到2CD BD EF -=．同理可证2BD CD EF -=．（1）解：90BAC ∠=︒，AB AC =，∴∠B =∠ACB =45°，∵DAE BAC ∠=∠，∴DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠，即∠BAD =∠CAE ，∵AB AC =，AD AE =，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ACE =∠B =45°，∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，∴BC CE ⊥；（2）解：如图，补全图形；2CD BD EF -=．证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠．又∵AB AC =，AD AE =，∴ABD △≌ACE ．∴BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠．∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．∴ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =．∵AF CE ⊥，∴AE AG =．∴AEG G ∠=∠．∵ADB AEC ∠=∠，∴ADC AEG ∠=∠．∴ADC G ∠=∠．∵AC AC =，∴ADC ≌AGC ．∴CD CG =．∵2CG CE EF -=，∴2CD BD EF -=．如图，同理可证2BD CD EF -=．．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．4、见解析【分析】根据平行线的性质可得A DBA ∠=∠，利用全等三角形的判定定理即可证明．【详解】证明：∵AC BD ∥，∴A DBA ∠=∠．在ABC 和BDE 中，AB BD A DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC BDE ≌，∴BC DE ＝．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．5、证明过程见解析【分析】先证明AEB ADC ≅，得到DB EC =，B C ∠=∠，再证明DOB EOC ≅△△，即可得解；【详解】由题可得，在AEB △和ADC 中，A A AE AD AEB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AEB ADC ≅，∴AB AC =，B C ∠=∠，又∵AD AE =，∴DB EC =，在DOB 和EOC △中，B C DOB EOC DB EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DOB EOC ≅△△，∴OB OC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．6、见解析【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD =∠CAD ，根据平行线的性质得到∠ADE =∠BAD ，等量代换得到∠ADE =∠CAD 于是得到结论．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，AD 是底边BC 上的中线，∴∠BAD =∠CAD ，∵DE ∥AB ，∴∠ADE =∠BAD ，∴∠ADE =∠CAD ，∴AE =ED ，∴△AED 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．7、（1）3AE =；（2）80AED ∠=︒．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵,3ABC DEB BC ≅=，∴3BE BC ==，∵6AB =，∴633AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB ≅△△，∴55DBE C ∠=∠=︒，∵25D ∠=︒，∴552580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键． 8、25°【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC =∠ACB =65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．【详解】∵AB =AC ，∠A =50°，∴∠ABC =∠ACB =65°，∵CD ⊥BC 于点D ，∴∠BCD 的度数为：180°−90°−65°=25°．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B 的度数是解题关键．9、（1）证明见解析；（2）①补全图形见解析；②CMN △是等边三角形，证明见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质可知60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =．结合题意易得出ACE FCB ∠=∠．即可利用“SAS ”证明ACE FCB ≅，即得出AE BF =；（2）①根据题意补全图形即可；②由全等三角形的性质可知CAM CFN ∠=∠，AE BF =．再由题意点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，即得出AM FN =．即可利用“SAS ”证明ACM FCN ≅，得出结论CM CN =，ACM FCN ∠=∠．最后根据ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即得出60ACF MCN ∠=∠=︒，即可判定CMN △是等边三角形．（1）∵ACF 与BCE 都是等边三角形，∴60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =，∴ACF ECF BCE ECF ∠+∠=∠+∠，即ACE FCB ∠=∠，在ACE 和FCB 中，∴AC FC ACE FCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE FCB SAS ≅，∴AE BF =．（2）①画图如下：②CMN △是等边三角形．理由如下：∵ACE FCB ≅，∴CAM CFN ∠=∠，AE BF =．∵点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，∴AM FN =，在ACM △和FCN △中，∵AC FC CAM CFN AM FN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ACM FCN SAS ≅，∴CM CN =，ACM FCN ∠=∠，∴ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即60ACF MCN ∠=∠=︒， ∴CMN △是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．10、见详解．【分析】根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可．【详解】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵AF⊥AD，∴AF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠1＝∠2．【点睛】本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键．。
新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析
《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》单元同步练习题(含答案)
北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》同步练习题(含答案）一、选择题1、如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠2比∠1大6°，则∠2的度数为( ) A ．108°B ．114°C ．118°D ．122°2、如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝α，则∠2的度数为( ) A ．90°－αB ．90°＋αC ．90°－α2D ．90°＋α23、如图，在长方形纸片ABCD 中，在AD 边上取一点E ，沿BE 折叠，使点C ，D 分别落在点C 1，D 1处，且点A 刚好落在C 1D 1上．若∠ABC 1＝45°，则∠BED ＝( ) A ．112.5°B ．135°C ．125°D ．100.5°4、如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB ，CD ，若CD ∥BE ，∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A ．90°B ．100°C ．105°D ．110°5、如图，已知AB ∥DE ，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为( ) A ．70°B ．65°C ．35°D ．5°6、如图，直线AB ∥CD ，AE ⊥CE 于点E.若∠EAB ＝120°，则∠ECD 的度数是( ) A ．120°B ．100°C ．150°D ．160°二、填空题7、如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点D落在AB边上的H点处，点C落在点G处．若∠AEH ＝30°，则∠EFC等于______.8、如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG＝______.度，再沿BF折叠成图c.则图中的∠CFE＝______度．9、已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝______度．10、如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝______．11、如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝______.12、如图是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外壳是一个直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，则∠1＋∠2＝______.三、解答题13、如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°.点D 在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，当旋转了多少秒时，边CD恰好与边AB平行？14、问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P 在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时(点P与点O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．15、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B.(1)如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD.若∠FCB＋∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠EBC的度数．参考答案一、选择题1、如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠2比∠1大6°，则∠2的度数为(D) A ．108°B ．114°C ．118°D ．122°2、如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝α，则∠2的度数为(C) A ．90°－αB ．90°＋αC ．90°－α2D ．90°＋α23、如图，在长方形纸片ABCD 中，在AD 边上取一点E ，沿BE 折叠，使点C ，D 分别落在点C 1，D 1处，且点A 刚好落在C 1D 1上．若∠ABC 1＝45°，则∠BED ＝(A) A ．112.5°B ．135°C ．125°D ．100.5°4、如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB ，CD ，若CD ∥BE ，∠1＝40°，则∠2的度数是(B) A ．90°B ．100°C ．105°D ．110°5、如图，已知AB ∥DE ，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为(B) A ．70°B ．65°C ．35°D ．5°6、如图，直线AB ∥CD ，AE ⊥CE 于点E.若∠EAB ＝120°，则∠ECD 的度数是(C) A ．120°B ．100°C ．150°D ．160°二、填空题7、如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点D落在AB边上的H点处，点C落在点G处．若∠AEH ＝30°，则∠EFC等于105°.8、如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG＝150度，再沿BF折叠成图c.则图中的∠CFE＝135度．9、已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝30度．10、如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝140°．11、如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝125°．12、如图是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外壳是一个直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，则∠1＋∠2＝90°．三、解答题13、如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°.点D 在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，当旋转了多少秒时，边CD恰好与边AB平行？解：分两种情况：当两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E.∵AB∥CD，∴∠CEO＝∠B＝40°.∵∠C＝60°，∴∠OOE＝180°－60°－40°－80°.∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝10°.∴旋转角∠AOD＝∠AOB＋∠DOE＝90°＋10°＝100°.∵每秒旋转10°，∴旋转的时间为100÷10＝10(秒)．当两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E.∵AB∥CD，∴∠CEO＝∠B＝40°.∵∠C＝60°，∴∠COE＝180°－60°－40°＝80°.∴旋转角为360°－∠COE＝360°－80°＝280°.∵每秒旋转10°，∴旋转的时间为280÷10＝28(秒)．综上所述，当旋转了10秒或28秒时，边CD恰好与边AB平行．14、问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为110度；(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P 在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时(点P与点O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．图1 图2解：∠APC＝α＋β.理由：过点P作PE∥AB交AC于点E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD.∴α＝∠APE，β＝∠CPE.∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝α＋β.(3)如图3，当P在BD延长线上时，∠CPA＝α－β；如图4，当P在DB延长线上时，∠CPA＝β－α.图3 图415、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B.(1)如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD.若∠FCB＋∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠EBC的度数．解：(1)∠A＋∠C＝90°(2)过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，DB⊥BG，即∠ABD＋∠ABG＝90°.又∵AB⊥BC，∴∠CBG＋∠ABG＝90°.∴∠ABD＝∠CBG.∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG.∴∠C＝∠CBG.∴∠ABD＝∠C.∴∠C＋∠BAD＝90°.(3)过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由(2)可得∠ABD＝∠CBG.∴∠ABF＝∠GBF.设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC ＝5∠DBE＝5α，∴∠AFC＝5α＋β.∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝5α＋β.在△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°，可得(2α＋β)＋5α＋(5α＋β)＝180°.①由AB⊥BC，可得β＋β＋2α＝90°.②由①②联立方程组，解得α＝9°.∴∠ABE＝9°.∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝9°＋90°＝99°.。
4.2角+第2课时+角的比较+课件++++2024-2025学年北师大版七年级数学上册
（2）量一量，验证你的估计。 F
E
D
用量角器量得∠AOB≈61°, ∠DEF≈106°
【对应训练】
【教材 P123随堂练习第1题】
1.如图，在点阵中有三个角。 （1）先估计每个角的大小，再用量角器量一量； （2）找出三个角之间的等量关系。
解:(1)估计这三个角的度数分别为 135°，45°，135°。再用量角器量 出这三个角的度数，验证估计准确。
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 记作 ∠AOC=∠AOB+∠BOC
C B
O
A
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差 记作 ∠AOB=∠AOC－∠BOC
O ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差 记作 ∠BOC=∠AOC－∠AOB
共顶点的几个角，可进行加减 O
C B
A C
B
A
【对应训练】 如图，用“>”“<”或“=”填空： （1）∠AOC__=__∠AOB+∠BOC； （2）∠AOC__＞__∠AOB； （3）∠BOD-∠BOC__=__∠COD； （4）∠AOD_＜___∠AOC+∠BOD； （5）若∠AOB=∠COD， 则∠AOC__=__∠BOD。
作法： ①作射线O′A′ ②以点O为圆心，以任意长为
半径作弧，交OA于点C ，交
OB 于点D
O
CA
O′
A′
③以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′
④以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧
于点D′
⑤过点D′作射线O′B′ ∠A′O′B′ 就是所要作的角
作一个角等于已知角
D
3.如图，已知∠1和∠2，用尺规作出∠AOB=∠1＋ ∠2(不写作法，保留作图痕迹)。
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4.6 角（2）
一、填空
1．∠α的补角是137°，则 ∠α=__________，∠α的余角是__________； 65°15′的角的余角是_________；35°59′的角的补角等于__________。
2．（1）一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的余角为_________°. （2）一个角的补角比这个角的余角大______________。
3．如图1，写出所有的对顶角______________________。
C
（图1）
（图2） 4．如图2，O 是直线AB 上的一点。
（1）若∠AOC =32°48′56″，则∠BOC=____°____′____″ （2）若∠BOC =5
3∠AOB ，则∠AOC=________°.
5．两条直线相交得到的四个角中，其中一个角是45°，则其余三个角分别是__________，
___________，__________。
6．153°19′46″+ 25°55′32″=_____°____′____″； 180°— 84°49′59″=____°____′____″；
86°19′27″+ 7°23′58″×3 = _____°____′____″。
7．如图3，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是∠∠2=_____°，∠3=______°
8．如图4，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 的内部，ON 是∠BOC 的平分线，若∠AOC=80°，则∠MON=__________° 二、选择
9．如图，∠1与∠2是对顶角的正确图形是（ ）
C
E
B
A
D
F
A
B
O
E A
B
D
C
2
1
2
2 2
1
1
1
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10．下列说法正确的是 （ ）
（A ）
两个互补的角中必有一个是钝角； （B ）一个角的补角一定比这个角大； （B ） 互补的两个角中，至少有一个角大于或等于直角；
（C ） （D ）相等的角是对顶角
11．如图，直线AB 、CD 相交于O ，因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理根据是（ ）（A ）同角的余角相等 （B ）等角的余角相等 （C ）同角的补角相等 （D ）等角的补角相等 12．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOC = n °，则∠BOD
的度数是（ ）
（A ）90°+ n ° （B ）90°+ 2n ° （C ）180°- n ° （D ）180°- 2n ° 13．如果∠1与∠2互为补角，∠1 〉∠2，那么∠2的余角等于 （ ） （A ）2
1（∠1+∠2） （B ）2
1∠1 （C ）2
1（∠1-∠2） （D ）∠1-∠2
14．三条直线相交于一点，则组成小于180°的对顶角的对数一共有（ ） （A ）三对 （B ）四对 （C ）五对 （D ）六对 三、解答题
15． 如图， 已知∠BAC=90°，AD 平分∠BAC
16．∠1与∠2互余，∠2 与∠3互补，∠1 = 63°，求∠3。
17．一个角的余角与这个角的补角的和比平角的4
3多1°，求这个角。
18．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠BOC —∠BOD =20°，
求∠BOE 的度数。
C
E
B
A D
O
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19. 如图，已知∠BOC =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =29°，求∠AOB 的度数。
20．如图，OB 平分∠AOC ，且∠2 : ∠3 : ∠4 = 1:3:4，求∠1、∠2、∠3、∠4。
C
B
A
D
O
3
D
C
B
A
2
1
4 O。