北师大版七年级数学角的练习题
北师大版数学七年级下《用尺规作三角形》习题
初中数学试卷《用尺规作三角形》习题一、选择题1．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB 的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40° B．55° C．65° D．75°3．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．根据上述作图步骤，下列结论正确的是（）A．射线OC是∠AOB的平分线 B．线段DE平分线段OCC．点O和点C关于直线DE对称 D．OE=CE4．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等5．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则此作法的数学依据是（）A．SAS B．SSS C．HL D．ASA6．如图所示的作图痕迹作的是（）A．线段的垂直平分线B．过一点作已知直线的垂线C．一个角的平分线D．作一个角等于已知角二、填空题7．尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是三角形全等的判定方法．8．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为．9．如图，在△ABC中，∠ACB=80°，∠ABC=60°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC于点D．则∠ADB的度数为°．10．如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为．三、解答题11．如图所示，已知线段AB，∠α，∠β，分别过A、B作∠CAB=∠α，∠CBA=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）12．作图题，在网格中作图：①过C点作线段CD，使CD∥AB．②过C点作线段CE，使CE⊥AB．13．根据下列要求画图：①如图1，过点A画MN∥BC；②如图2，过点P画PE∥OA，交OB于点E；过点P画PH⊥OB于H，点P到直线OB的距离是cm（精确到0.1cm）．14．作图题：如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等．15．用尺规法画一个角等于已知角．参考答案一、选择题1．答案：B解析：【解答】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：B．【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．2．答案：C解析：【解答】根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选：C．【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD=∠CAB=25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA=90°﹣25°=65°．3．答案：A解析：【解答】根据作图过程可知：OC是∠AOB的平分线，故选A．【分析】根据题干中的作图步骤得到OC是∠AOB的平分线，从而确定正确的选项．4．答案：A解析：【解答】∵∠DPF=∠BAF，∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．故选：A．【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．5．答案：B解析：【解答】连接BC，AC，由作图知：在△OAC和△OBC中，∴△OAC≌△OBC（SSS），故选：B．【分析】熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．易知：OB=OA，BC=AC，OC=OC，因此符合SSS的条件．6．答案：B解析：【解答】观察作图痕迹发现该基本作图为：过直线外一点作已知直线的垂线．故选B．【分析】根据图形发现此基本作图为过直线外一点作已知直线的垂线，据此求解．二、填空题7．答案：SSS解析：【解答】在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS，即边边边公理．【分析】通过对尺规作图过程的探究，找出三条对应相等的线段，判断三角形全等．因此判定三角形全等的依据是边边边公理．8．答案：30°解析：【解答】∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=120°，∴∠CAB=60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=30°．【分析】根据AB∥CD，∠ACD=120°，得出∠CAB=60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．9．答案：100解析：【解答】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠ACB=80°，∠ABC=60°，∴∠CAB=40°，∴∠BAD=20°；在△ADC中，∠B=60°，∠CAD=20°，∴∠ADB=100°【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．10．答案：65°解析：【解答】连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF=AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠ABC=40°∴∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】如图所示：．【分析】根据作一个角等于已知角的方法，分别以A、B为顶点，作图即可．12．答案：见解答过程．解析：【解答】①②如下图所示：【分析】①由于AB是一个长为3，宽为2的矩形的对角线，所以过C点作线段CD，使CD 也是一个长为3，宽为2的矩形的对角线；②过C点作线段CE，使CE是一个长为6，宽为4的矩形的对角线．13．答案：见解答过程．解析：【解答】①如图1，MN即为所求；②如图2所示，利用刻度尺量出PH=1.2cm．故答案为：1.2．【分析】①过点A作出∠C=∠CAN进而得出答案；②利用三角尺作出PE∥OA，PH⊥OB，利用刻度尺得出PH的长即可．14．答案：见解答过程．解析：【解答】如图所示：【分析】作出∠AOB的平分线交线段CD于P点即可．15．答案：见解答过程．解析：【解答】如图：．【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．。
2020-2021学年七年级数学北师大版下册综合练习——第4章三角形【含答案】
第4章三角形一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形2．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ）A．100°B．120°C．130°D．140°3．如图，点A，D在线段BC的同一侧，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，已知∠1＝∠2，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．AB＝DC4．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，75．如果三角形的两条边长分别是8厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（ ）A．9厘米B．4厘米C．3厘米D．2厘米6．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，有下列结论：①BH＝DH；②BD＝CD；③AD+CF＝BD；④CE＝BF．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④8．如图，△ABC的高CD、BE相交于点O，如果∠A＝60°，那么∠BOC的大小为（ ）A．60°B．100°C．120°D．130°9．如图将一副三角板拼成如图所示的图形（∠D＝30°，∠ABC＝90°，∠DCE＝90°，∠A＝45°），BC交DE于点F，则∠DFC的度数是（ ）A．75°B．105°C．135°D．125°10．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是（ ）A．AF＝FC B．GF＝BG C．AG＝2GD D．EG＝CE11．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠DC．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF二、填空题12．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ．13．如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合部分（阴影部分）的面积为 平方单位．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝4：5：9，若按角分类，△ABC是 三角形．15．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．16．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为1、3，则正方形的边长为 ．17．要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加 根木条才能固定．18．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．19．如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∠A＝60°，则∠E＝ ．20．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是 ．三、解答题21．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．22．已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．24．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：△ACE≌△DBF．（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．25．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE．（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：（1）△AEH≌△BEC．（2）AH＝2BD．27．如图所示，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4厘米，BC＝3厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用含t的式子表示PC的长度是 ；（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？答案一、选择题1．D2．B3．D4．C5．D6．A7．D8．C9．B10．B11．B二、填空题12．三角形的稳定性．13．．14．直角．15．35．16．．17．3．18．80°．19．30°．20．ASA．三、解答题21．解：如图所示：．22．解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，∴在△ABD中，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DAE＝10°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝80°，∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．答：∠C的度数是40°．23．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．24．（1）证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC．∴AC＝BD．在△ABC和△EDF中，，∴△ACE≌△DBF（SAS）；（2）解：由（1）知△ACE≌△DBF，∴∠ACE＝∠DBF．∵BF⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠HBC＝∠HCB＝45°．25．（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，在△BAE和△DAE中，，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE；（2）解：由（1）得：△BAE≌△DAE，∴∠BEA＝∠DEA，∴∠BEC＝∠DEC，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，∴∠BED＝2×70.5°＝141°．26．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．27．解：（1）PC＝3﹣t．（2）△CPQ≌△BDP，理由如下：∵P、Q的运动速度相等，∴1秒后，CQ＝BP＝1，CP＝BC﹣BP＝3﹣1＝2，∵D为AB的中点，∴BD＝，∴CP＝BD，在△CPQ和△BDP中，，∴△CPQ≌△BDP（SAS）．（3）解：由（1）知，PC＝3﹣t，BP＝t，CQ＝at，BD＝2，∵∠C＝∠B∵△BPD与△CQP全等，①当△CPQ≌△BDP时，BP＝CQ，t＝at，∵t≠0，∴a＝1与P、Q的运动速度不相等矛盾，故舍去．②当△CPQ≌△BPD时，BP＝CP，CQ＝BD，∴t＝3﹣t，at＝2，t＝a＝．即点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为时，能够使△BPD与△CQP全等．。
北师大版七年级数学角规律及最后一题专题练习
七年级数学期末专题12.16【角】1.如图,∠AOC和∠DOB都是直角,如果∠DOC=28∘，那么∠AOB=______.2.如图,OE为∠AOD的平分线,∠COD=1/4∠EOC,∠COD=15∘，求：(1)∠EOD的大小；(2)∠AOD补角的大小。
3. (1) 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，求贴纸部分的面积是多少?（2）如图,两个同心圆的半径分别为18cm和30cm,又知∠COD=30∘，求阴影部分ABDC的面积4. 如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，∠1=∠2，试推出BE和CF有何位置关系，并说明理由。
5. 如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角是它补角的（ ）A. 2倍B.21倍 C. 5倍 D. 51倍 6. 如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么这两条对角线的夹角 是____°.【规律问题】1. 黑板上写有1，21，31，……，1001共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A. 2012 B. 101 C. 100 D. 992.将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应；数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数215对应的有序数列为 . 3.如图,点A1,A2,A3,A4是某市正方形道路网的部分交汇点,且它们都位于同一对角线上。
某人从点A1出发,规定向右或向下行走,那么到达点A3的走法共_______种第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行23615…第三行 9 8 7 14 …第四行 10 11 12 13 …第五行 ……4. a、b都是正整数，设a◎b表示从a起b个连续正整数的和.例如2◎3=2+3+4；5◎4=5+6+7+8，已知x◎5=2015，则x=________.5.将一列有理数−1,2,−3,4,−5,6,…,按如图所示有序排列。
专题06 角的运算-2021-2022学年七年级数学上学期期末考试好题汇编(北师大版)
专题06 角的运算1．（2021·河北高邑·七年级期中）下列角中，能用1∠，ACB∠，C∠三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．2．（2021·河北·石家庄市第四十二中学七年级期中）钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的夹角为（）A．160︒B．150︒C．140︒D．130︒3．（2021·全国·七年级课时练习）某一时刻从海岛观测站P观测到海面上的两艘轮船，轮船A位于南偏东35︒方向上，轮船B位于北偏西50︒方向上，此时APB∠为（）．A．95︒B．155︒C．165︒D．175︒4．（2021·全国·七年级专题练习）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）AOB∠与BOA∠表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）下列说法中正确的是（）=，则点C ①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③若线段AC BC是线段AB的中点；④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2021·全国·七年级专题练习）如图，钟表上显示的时间是12:20，此时，时针与分针的夹角是（）A．100︒B．110︒C．115︒D．120︒7．（2021·重庆第二外国语学校七年级期中）如图，O为直线AB上一点，OC平分∠∠=︒∠=∠，则DOE,50,4AOD AOC BOD DOE∠的度数为（）A．20︒B．18︒C．60︒D．80︒8．（2021·福建省福州第十九中学八年级期中）如图，将一副三角板摆放在直线AB上，∠ECD ＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，设∠GDB＝x，则用x的代数式表示∠EDF的度数为（）A．x B．x﹣15°C．45°﹣x D．60°﹣x 9．（2021·河北迁安·七年级期中）如图，∠AOB=α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OA n、分别是∠A n-1OM和∠MOB n-1的平分线，则∠A n OB n的度数是（）A．anB．12na-C．2naD．2an10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，射线O M平分∠AOC，ON∠OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．7511．（2021·全国·七年级专题练习）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于_____．12．（2021·辽宁西丰·七年级期末）某校下午放学的时间是4：30，此时时针与分针夹角的度数为______．13．（2021·全国·七年级课时练习）小华家、小明家、小艳家在平面图上的标点分别为A、B、C，小明家在小华家的正东方向，小艳家在小华家南偏西25︒方向，则∠=CAB________︒．14．（2021·河南·永城市教育体育局教研室七年级期末）如图，已知∠AOC = 160°，OD平分∠AOC ，∠AOB是直角，则∠BOD的大小是__________．15．（2021·全国·七年级单元测试）计算：65°19′48″+35°17′6″＝___（将计算结果换算成度）．16．（2021·陕西神木·七年级期末）如图，已知∠BAE＝∠CAF＝110°，∠CAE＝60°，AD是∠BAF的平分线，则∠BAD的度数为___°．17．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，60AOB ∠=︒，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，连接OE ，则∠BOE 的度数是________．18．（2021·全国·七年级专题练习）计算： （1）23°45′36″+66°14′24″； （2）180°-98°24′30″； （3）15°50′42″×3； （4）88°14′48″÷4．19．（2021·全国·七年级专题练习）计算（1）把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； （2）把33°24′36″转化成度表示的形式．20．（2021·辽宁太平·七年级期中）如图，33AOB ∠=︒，48BOC ∠=︒，23COD ∠=︒，OE 平分AOD ∠，求AOE ∠的度数．21．（2021·四川旌阳·七年级期末）已知O 为直线AB 上的一点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠． （1）如图1，若28COF ∠=︒，则BOE ∠= ︒；（2）当射线OE 绕点O 逆时针旋转到如图2的位置时，∠BOE 与COF ∠之间有何数量关系？请说明理由．（3）在图3中，若65COF ∠=︒，在∠BOE 的内部是否存在一条射线OD ，使得12()2BOD AOF BOE BOD ∠+∠=∠-∠？若存在，请求出BOD ∠的度数；若不存在，请说明理由．22．（2021·辽宁抚顺·七年级期末）如图1，A 、O 、B 三点在同一直线上，∠BOD 与∠BOC 互补．（1）请判断∠AOC 与∠BOD 大小关系，并验证你的结论；（2）如图2，若OM 平分∠AOC ，ON 平分∠AOD ，∠BOD ＝30°，请求出∠MON 的度数．23．（2021·全国·七年级课时练习）如图，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线． （1）如图1，当AOB ∠是直角，60BOC ∠=︒时， NOC ∠=________，MOC ∠=________ ，MON ∠=________；（2）如图2，当AOB α∠=，60BOC ∠=︒时，猜想：MON ∠与α的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当AOB α∠=，BOC β∠= （β为锐角）时，猜想：MON ∠与α､β有数量关系吗?如果有，请写出结论，并说明理由．24．（2021·全国·七年级单元测试）如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使∠BOC =120°．将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，边OM 与射线OB 重合，另一边ON 位于直线AB 的下方．（1）将图1的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，问：此时ON 所在直线是否平分∠AOC ？请说明理由；（2）将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t 秒，在旋转的过程中，ON 所在直线或OM 所在直线何时会恰好平分∠AOC ？请求所有满足条件的t 值；（3）将图1中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使边ON 在∠AOC 的内部，试探索在旋转过程中，∠AOM 和∠CON 的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．1．（2021·全国·七年级专题练习）如图，68AOB ∠=︒，OC 平分AOD ∠且15COD ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）．A ．28︒B ．38︒C ．48︒D ．53︒2．（2021·全国·七年级课时练习）将矩形ABCD 沿AE 折叠，得如图所示的图形，已知'70CED ∠=︒，则AED ∠的大小是（ ）．A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．70︒3．（2021·全国·七年级课时练习）己知：2AOB AOM ∠=∠；②12BOM AOB ∠=∠；③12AOM BOM AOB ∠=∠=∠；④AOM BOM AOB ∠+∠=∠，其中能够得到射线OM 是AOB∠的平分线的有（ ）． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个4．（2021·四川绵阳·七年级期末）如图，在竖直墙角AOB 中，可伸长的绳子CD 的端点C 固定在OA 上，另一端点D 在OB 上滑动，在保持绳子拉直的情况下，30BOE ∠=︒，BDC ∠的平分线DF 与OE 交与点E ，DCO α∠=，当CE DE ⊥时，则2OEC α∠+=（ ）A ．120︒B ．135︒C ．150︒D ．152︒5．（2021·辽宁兴城·七年级期末）如图，已知90AOD ∠=︒，90COB ∠=︒，OE 是COD ∠的平分线．有下列关系式：①AOC BOD ∠=∠；②AOE BOE ∠=∠；③90AOE COE ∠+∠=︒；④180AOB COD ∠+∠=︒，其中一定正确的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．16．（2021·重庆酉阳·七年级期末）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（ ）A ．1011点B ．78点C ．56点D ．23~点7．（2021·全国·七年级专题练习）如图，点O 为线段AD 外一点，点M ，C ，B ，N 为AD 上任意四点，连接OM ，OC ，OB ，ON ，下列结论不正确的是（ ）A ．以O 为顶点的角共有15个B ．若MC CB =，MN ND =，则2CD CN = C ．若M 为AB 中点，N 为CD 中点，则()12MN AD CB =- D ．若OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，5AOD COB ∠=∠，则()32MON MOC BON ∠=∠+∠8．（2021·全国·七年级专题练习）在锐角AOB ∠内部由O 点引出3种射线，第1种是将AOB ∠分成10等份；第2种是将AOB ∠分成12等份；第3种是将AOB ∠分成15等份，所有这些射线连同OA ､OB 可组成的角的个数是（ ） A ．595B ．406C ．35D ．6669．（2021·全国·七年级专题练习）如图，点D 在∠AOB 的平分线OC 上，点E 在OA 上，ED ∠OB ，∠AOB ＝50°，则∠ODE 的度数是__．10．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，已知AOC Rt ∠=∠，OB 平分AOC ∠，20.5COD ∠=︒，OD 平分∠BOE ，则AOE ∠=_______︒．11．（2021·全国·七年级专题练习）如图，射线OE ，OA ，OD 均在BOC ∠内部，且0180BOC ︒<∠<︒．OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______．A ．若30AOC ∠=︒，130BOC ∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．B ．若AOB α∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．（用含α的式子表示）12．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）射线OC 平分∠AOB ，从点O 引出一条射线OD ，使∠AOB ＝3∠AOD ，若∠COD ＝20°，则∠AOB 的度数为_____．13．（2021·四川成都·七年级期末）已知OC 是∠AOB 的平分线，∠BOD ＝13∠COD ，OE 平分∠COD ，设∠AOB ＝β，则∠BOE ＝_____．（用含β的代数式表示）14．（2021·江西余干·七年级期末）在同一平面内，90AOB ∠=︒，20AOC ∠=︒，50COD =︒∠，COD ∠至少有一边在AOB ∠内部，则BOD ∠的度数为___．15．（2020·辽宁皇姑·七年级期末）如图，在平面内，点O 是直线AC 上一点，60AOB ∠=，射线OC 不动，射线OA ，OB 同时开始绕点O 顺时针转动，射线OA 首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线OA ，OB 的转动速度分别为每秒40和每秒20．若转动t 秒时，射线OA ，OB ，OC 中的一条是另外两条组成角的角平分线，则t =______秒．16．（2020·北京·七年级期末）已知：如图，∠AOB =90°，从点O 出发引射线OC （点C 在∠AOB 的外部），OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD ．（1）若∠BOC =40°，请依题意补全图形，并求∠BOE 的度数；（2）若∠BOC =α（0°< α <180°），请直接写出∠BOE 的度数（用含α的代数式表示）．17．（2021·河北·石家庄市第四十二中学七年级期中）已知∠AOB ＝90°，（1）如图1，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝64°，则∠BOC是°；（2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC＝40°，求∠EOD的度数（写推理过程）．（3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是（在稿纸上画图分析，直接填空）．18．（2021·辽宁大石桥·八年级期中）已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=______；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当PAB的周长最小时，求∠APB的度数．19．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室七年级期中）（问题）如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB=26cm，则线段DE的长为cm．（拓展）在（问题）中，若把条件“如图①，点C 是线段AB 上一点”改为“点C 是直线 AB 上一点”，其余条件不变，则（问题）中DE 的长是否会发生变化？请画出示意图并求解． （应用）（1）如图②，∠AOB =α，点C 在∠AOB 内部，射线OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOC ，则∠MON 的大小为 （用含字母α的式子表示）．（2）如图③，在（1）中，若点C 在∠AOB 外部，且射线OC 与射线OB 在OA 所在直线的同侧，其他条件不变，则（1）中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由．图①20．（2022·河北·石家庄市第四十二中学八年级期中）已知90AOB ∠=︒，（1）如图1，OE 、OD 分别平分AOB ∠和BOC ∠，若64EOD ∠=︒，则BOC ∠是______︒；（2）如图2，OE 、OD 分别平分AOC ∠和BOC ∠，若40BOC ∠=︒，求EOD ∠的度数（写推理过程）．（3）若OE 、OD 分别平分AOC ∠和BOC ∠，(0180)BOC αα∠=︒<<︒，则EOD ∠的度数是________（在稿纸上画图分析，直接填空）．21．（2021·河北滦州·七年级期中）已知：如图①所示，OC 是AOB ∠内部一条射线，且OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠．（1）若80AOC ∠=︒，50BOC ∠=︒，则EOD ∠的度数是______．（2）若AOC α∠=，BOC β∠=，求EOD ∠的度数，并根据计算结果直接写出EOD ∠与AOB ∠之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图③所示，射线OC 在AOB ∠的外部，且OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠．试着探究EOD ∠与AOB ∠之间的数量关系．（写出详细推理过程）22．（2021·全国·七年级期末）已知∠AOB 和∠COD 均为锐角，∠AOB ＞∠COD ，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，将∠COD 绕着点O 逆时针旋转，使∠BOC =α（0≤α＜180°） （1）若∠AOB =60°，∠COD =40°， ①当α=0°时，如图1，则∠POQ = ； ②当α=80°时，如图2，求∠POQ 的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ 的度数；（2）若∠AOB =m °，∠COD =n °，m ＞n ，则∠POQ = ，（请用含m 、n 的代数式表示）．专题06 角的运算1．（2021·河北高邑·七年级期中）下列角中，能用1∠，ACB∠三种方法表示同一个角∠，C的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，据此分析即可【详解】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，A、B、D选项中，点C为顶点的角存在多个，故不符合题意故选C【点睛】本题考查了角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“∠”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解．2．（2021·河北·石家庄市第四十二中学七年级期中）钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的夹角为（ ） A ．160︒ B ．150︒ C ．140︒ D ．130︒【答案】C 【分析】根据钟表的特点，可以计算出钟表上显示11时20分，则此刻时针与分针的夹角的度数． 【详解】解：当钟表上显示11时20分时，分针指着4，时针处于11和12之间，走了11到12之间的13， 由钟表的特点可知，每个大格是30°，如1到2，2到3都是30°，故钟表上显示11时20分，则此刻时针与分针的夹角的度数为：4×30°＋30°×23＝140°，故答案为：C ． 【点睛】本题考查钟面角，解答本题的关键是明确钟面角的特点，求出相应的角的度数．3．（2021·全国·七年级课时练习）某一时刻从海岛观测站P 观测到海面上的两艘轮船，轮船A 位于南偏东35︒方向上，轮船B 位于北偏西50︒方向上，此时APB ∠为（ ）． A ．95︒ B ．155︒C ．165︒D ．175︒【答案】C 【分析】根据题意，作出示意图，进而根据方位角的表示方法可得APB ∠的度数 【详解】如图，依题意35,50APD BPE ∠=︒∠=︒3590(9050)165APB APD CPD CPB ∴∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒-︒=︒故选C 【点睛】本题考查了方位角的计算，掌握方位角的表示方法是解题的关键．4．（2021·全国·七年级专题练习）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）AOB ∠与BOA ∠表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D ；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】由共一个端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，角的大小与角的两边张开的程度有关；根据角的概念、表示及大小逐一进行判断即可． 【详解】（1）角的大小与角的两边张开的程度有关，与角的两边长短无关，故说法错误； （2）AOB ∠与BOA ∠表示同一个角，此说法正确；（3）角的两边是两条射线，射线是向一端无限延伸的，故此说法错误； （4）此说法正确； 所以错误的有2个 故选：B ． 【点睛】本题考查了角的概念、角的大小、角的表示等知识，掌握这些知识是关键． 5．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）下列说法中正确的是（ ）①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③若线段AC BC =，则点C是线段AB的中点；④将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】①根据有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，即可判断；②根据角的特点判断即可；③A、B、C三点不一定在一条直线上，即可判断；④根据两点确定一条直线，即可判断．【详解】①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，①不正确，故不符合题意；②角的大小与边的长短无关，②正确，故符合题意；=，则三点不一定在一条直线上，③不正确，故不符合题意；③若线段AC BC④两点确定一条直线，④正确，故符合题意，∴正确的有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查角的定义，中点定义以及两点确定一条直线，属于基础题，熟练掌握这些概念是解题的关键．6．（2021·全国·七年级专题练习）如图，钟表上显示的时间是12:20，此时，时针与分针的夹角是（）A．100︒B．110︒C．115︒D．120︒【答案】B【分析】根据时针在钟面上每分钟转0.5，分针每分钟转6，然后分别求出时针、分针转过的角度，即可得到答案．【详解】解：∠时针在钟面上每分钟转0.5，分针每分钟转6，∠钟表上12时20分钟时，时针转过的角度为0.52010⨯=，⨯=，分针转过的角度为620120所以12:20时分针与时针的夹角为12010110-=．故选B．【点睛】本题主要考查了钟面角，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度是多少．7．（2021·重庆第二外国语学校七年级期中）如图，O为直线AB上一点，OC平分,50,4AOD AOC BOD DOE∠∠=︒∠=∠，则DOE∠的度数为（）A．20︒B．18︒C．60︒D．80︒【答案】A【分析】根据角平分线的定义得到∠COD，从而得到∠BOD，再根据∠BOD=4∠DOE即可求出结果．【详解】解：∠OC平分∠AOD，∠∠AOC=∠COD=50°，∠∠BOD=180°-2×50°=80°，∠∠BOD=4∠DOE，∠∠DOE=14∠BOD=20°，故选A．【点睛】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．8．（2021·福建省福州第十九中学八年级期中）如图，将一副三角板摆放在直线AB上，∠ECD ＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，设∠GDB＝x，则用x的代数式表示∠EDF的度数为（）A．x B．x﹣15°C．45°﹣x D．60°﹣x【答案】C【分析】根据已知条件和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∠∠FDG ＝90°，∠EDC ＝45°，∠GDB ＝x ， ∠∠EDF ＝180°﹣∠CDE ﹣∠GDB ﹣∠FDG ＝180°﹣45°﹣x ﹣90° ＝45°﹣x ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了平角的定义，熟练掌握平角的定义是解题的关键．9．（2021·河北迁安·七年级期中）如图，∠AOB =α，OA 1、OB 1分别是∠AOM 和∠MOB 的平分线，OA 2、OB 2分别是∠A 1OM 和∠MOB 1的平分线，OA 3、OB 3分别是∠A 2OM 和∠MOB 2的平分线，…，OA n 、分别是∠A n -1OM 和∠MOB n -1的平分线，则∠A n OB n 的度数是（ ）A ．a nB ．12n a - C ．2na D ．2a n 【答案】C 【分析】由∠AOB =α，OM 是∠AOB 中的一射线，可得∠AOM +∠MOB =α，由OA 1、OB 1分别是∠AOM 和∠MOB 的平分线，可得∠A 1OM =12AOM ∠，∠B 1OM =12BOM ∠，可得∠A 1OB 1=∠A 1OM +∠B 1OM =12AOM∠+12BOM ∠=12α，由OA 2、OB 2分别是∠A 1OM 和∠MOB 1的平分线，可求∠A 2OB 2=∠A 2OM +∠B 2OM =112A OM ∠+112B OM ∠=212α，由OA 3、OB 3分别是∠A 2OM 和∠MOB 2的平分线，可求∠A 3OB 3=∠A 3OM +∠B 3OM =212A OM ∠+212B OM ∠=312α，…，然后根据规律可求∠A n OB n =12n α．【详解】解：∠∠AOB =α，OM 是∠AOB 中的一射线， ∠∠AOM +∠MOB =α，∠OA 1、OB 1分别是∠AOM 和∠MOB 的平分线，∠∠A 1OM =12AOM ∠，∠B 1OM =12BOM ∠ ∠∠A 1OB 1=∠A 1OM +∠B 1OM =12AOM ∠+12BOM ∠=()111222AOM BOM AOB α∠+∠=∠=， ∠OA 2、OB 2分别是∠A 1OM 和∠MOB 1的平分线，∠∠A 2OM =112A OM ∠，∠B 2OM =112B OM ∠， ∠∠A 2OB 2=∠A 2OM +∠B 2OM =112A OM ∠+112B OM ∠=()11112111222AOM B OM AOB α∠+∠=∠=， ∠OA 3、OB 3分别是∠A 2OM 和∠MOB 2的平分线，∠∠A 3OM =212A OM ∠，∠B 3OM =212B OM ∠， ∠∠A 3OB 3=∠A 3OM +∠B 3OM =212A OM ∠+212B OM ∠=()22223111222A OMB OM A OB α∠+∠=∠=， …，∠OA n 、分别是∠A n -1OM 和∠MOB n -1的平分线，∠∠A n OM =112n A OM -∠，∠B n OM =112n B OM -∠， ∠∠A n OB n =∠A n -1OM +∠B n -1OM =112n A OM -∠+112n B OM -∠=()1111111222n n n n n A OM B OM A OB α----∠+∠=∠=， 故选择C ．【点睛】本题考查角的和，与角平分线的定义，规律探索，利用角平分线求出∠A 1OB 1，∠A 2OB 2，∠A 3OB 3，找出规律是解题关键．10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，射线O M 平分∠AOC ，ON ∠OM ，若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75【答案】B【分析】根据角平分线的定义、垂线的定义、对顶角和邻补角的定义计算即可；【详解】∠O M 平分∠AOC ，∠AOM ＝35°，∠35MOC AOM ∠=∠=︒，∠ON ∠OM ，∠90MON ∠=︒，∠903555CON ∠=︒-︒=；故选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂线的性质和对顶角的定义，准确计算是解题的关键．11．（2021·全国·七年级专题练习）已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于_____．【答案】85︒【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，易得结果．【详解】解：如图：250∠=︒，390240∴∠=︒-∠=︒，∠小岛A 位于基地O 的东南方向∠145∠=︒，13454085AOB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：85︒．【点睛】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．12．（2021·辽宁西丰·七年级期末）某校下午放学的时间是4：30，此时时针与分针夹角的度数为______．【答案】45°【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份是30°，4点30分时，时针分针相差1.5格，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：4：30时，时针与分针的夹角的度数是30°×1.5＝45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了钟面角，能够正确利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数进行计算是解题的关键．13．（2021·全国·七年级课时练习）小华家、小明家、小艳家在平面图上的标点分别为A 、B 、C ，小明家在小华家的正东方向，小艳家在小华家南偏西25︒方向，则∠=CAB ________︒．【答案】115【分析】由题意，正确的画出方向角，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，如图∠9025115CAB ∠=︒+︒=︒．故答案为：115．【点睛】本题考查了方位角，解题的关键是正确的画出图形，从而进行解题．14．（2021·河南·永城市教育体育局教研室七年级期末）如图，已知∠AOC = 160°，OD 平分∠AOC ，∠AOB 是直角，则∠BOD 的大小是__________．【答案】10°【分析】根据角平分线的性质求出∠AOD，再用∠AOB-∠AOD即可求出∠BOD．【详解】解：∠OD平分∠AOC∠∠AOD=∠DOC=160°÷2=80°又∠AOB=90°∠∠DOB=∠AOB-∠AOD=90°-80°=10°故答案为10°【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握这一点是解题关键．15．（2021·全国·七年级单元测试）计算：65°19′48″+35°17′6″＝___（将计算结果换算成度）．【答案】100.615°【分析】先把各度、分、秒相加，再结合度、分、秒的进制是60进行计算解答即可．【详解】65°19′48″+35°17′6″＝100°36′54″，∠54÷60＝0.9，（36+0.9）÷60＝0.615，100+0.615＝100.615，∠100°36′54″＝100.615°．故答案是：100.615°．【点睛】本题考查角度的计算和度、分、秒的换算．掌握度、分、秒的进制是60是解答本题的关键．16．（2021·陕西神木·七年级期末）如图，已知∠BAE＝∠CAF＝110°，∠CAE＝60°，AD是∠BAF 的平分线，则∠BAD的度数为___°．【答案】80【分析】由∠BAE =110°，∠CAE =60°，可得∠BAC =110°﹣60°=50°，结合∠CAF =110°，可得∠BAF =110°+50°=160°，再由AD 平分∠BAF 即可得∠BAD =80°．【详解】∠∠BAE =110°，∠CAE =60°，∠∠BAC =110°﹣60°=50°，又∠∠CAF =110°，∠∠BAF =110°+50°=160°，又∠AD 是∠BAF 的角平分线，∠∠BAD =12∠BAF =12×160°=80°．故答案为：80．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和几何中角度的计算，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．17．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，60AOB ∠=︒，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，连接OE ，则∠BOE 的度数是________．【答案】75︒【分析】由矩形的性质得出90BAD ABC ∠=∠=︒,OA OB =,证明AOB ∆是等边三角形，得出AB OB =,60ABO ∠=︒,证明出ABE ∆是等腰三角形，得出AB BE =,因此BE OB =,由等腰三角形的性质即可得出∠BOE 的大小．【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，90BAD ABC ∴∠=∠=︒,12OA AC =,12OB BD =,AC BD = , OA OB ∴=,60AOB ∠=︒, AOB ∴∆是等边三角形，AB OB ∴=,60ABO ∠=︒,30OBE =∴∠︒,AE ∵平分BAD ∠,45BAE ∴∠=︒,ABE ∴∆是等腰直角三角形，AB BE ∴=,BE OB ∴= ,()118030752BOE ∠∴=︒-︒=︒ 故答案为：75︒．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．（2021·全国·七年级专题练习）计算：（1）23°45′36″+66°14′24″；（2）180°-98°24′30″；（3）15°50′42″×3；（4）88°14′48″÷4．【答案】（1）90°；（2）81°35′30″；（3）47°32′6″；（4）22°3′42″【分析】类比与小数的计算方法，计算度分秒即可，注意满60进一，借一当60．【详解】解：（1）23°45′36″+66°14′24″=90°；（2）180°-98°24′30″=179°59′60″-98°24′30″=81°35′30″；（3）15°50′42″×3=45°150′126″=45°152′6″=47°32′6″；（4）88°14′48″÷4=22°3′42″．【点睛】本题考查了角度的四则运算以及度分秒的换算，注意度分秒之间的换算：1度=60分，1分=60秒．19．（2021·全国·七年级专题练习）计算（1）把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； （2）把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】（1）26°17′24″；（2）33.41°【分析】根据度、分、秒之间的换算关系求解．【详解】解：（1）26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″（2）33°24′36″＝33°＋24′＋36×160'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×160⎛⎫ ⎪⎝⎭°＝33.41° 【点睛】考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．20．（2021·辽宁太平·七年级期中）如图，33AOB ∠=︒，48BOC ∠=︒，23COD ∠=︒，OE 平分AOD ∠，求AOE ∠的度数．【答案】52︒【分析】首先根据角的和差关系算出∠AOD 的度数，再根据角平分线的性质可得12∠=∠AOE AOD ，进而得到答案．【详解】解：∠33AOB ∠=︒，48BOC ∠=︒，23COD ∠=︒，∠∠AOD =∠AOB +∠BOC +∠COD =33°+48°+23°=104°，∠OE 平分AOD ∠， ∠111045222AOE AOD ∠=∠=⨯︒=︒ ． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．21．（2021·四川旌阳·七年级期末）已知O 为直线AB 上的一点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠． （1）如图1，若28COF ∠=︒，则BOE ∠= ︒；（2）当射线OE 绕点O 逆时针旋转到如图2的位置时，∠BOE 与COF ∠之间有何数量关系？请说明理由．（3）在图3中，若65COF ∠=︒，在∠BOE 的内部是否存在一条射线OD ，使得12()2BOD AOF BOE BOD ∠+∠=∠-∠？若存在，请求出BOD ∠的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）56°；（2）∠BOE ＝2∠COF ，理由见解析；（3）存在，16°【分析】（1）首先根据28COF ∠=︒，COE ∠是直角，求出∠EOF ＝62°，然后根据OF 平分AOE ∠求出∠AOE ＝124°，最后根据平角的性质即可求出∠BOE 的度数；（2）首先根据COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠表示出∠AOE ＝180°﹣2∠COF ，然后根据平角的性质即可得到∠BOE 与COF ∠之间的数量关系；（3）首先根据COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠求出∠EOF ＝25°，∠BOE ＝130°，然后代入12()2BOD AOF BOE BOD ∠+∠=∠-∠求解即可． 【详解】解：（1）∠∠COF ＝28°，∠COE ＝90°，∠∠EOF ＝90°﹣28°＝62°，∠OF 平分∠AOE ，∠∠AOE ＝2∠EOF ＝124°，∠∠BOE ＝180°﹣∠AOE ＝56°；（2）结论：∠BOE ＝2∠COF ；理由如下：∠∠COE ＝90°，∠∠EOF ＝90°﹣∠COF ，∠OF 平分∠AOE ，∠∠AOE ＝2∠EOF ＝180°﹣2∠COF ，∠∠BOE ＝180°﹣∠AOE ＝180°﹣（180°﹣2∠COF ）＝2∠COF ；（3）存在；∠∠COF ＝65°，∠COE ＝90°，∠EOF ＝25°，∠OF 平分∠AOE ，∠∠AOF ＝∠EOF ＝25°，∠∠BOE ＝130°，∠2∠BOD +∠AOF ＝12（∠BOE ﹣∠BOD ），即2∠BOD +25°＝12（130°﹣∠BOD ），解得∠BOD ＝16°．【点睛】此题考查了角平分线的有关运算，平角和直角的性质，解题的关键是正确分析图形中各角之间的关系．22．（2021·辽宁抚顺·七年级期末）如图1，A 、O 、B 三点在同一直线上，∠BOD 与∠BOC 互补．（1）请判断∠AOC与∠BOD大小关系，并验证你的结论；（2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，∠BOD＝30°，请求出∠MON的度数．【答案】（1）∠AOC＝∠BOD，证明见解析；（2）60°【分析】（1）根据补角的性质即可求解；（2）根据角平分线的定义以及等量关系列出方程求解即可．【详解】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：∠A，O，B三点共线，∠∠AOC+∠BOC＝180°，∠∠AOC与∠BOC互补，∠∠BOD与∠BOC互补，∠∠AOC＝∠BOD；（2）∠∠BOD＝30°，∠∠AOC＝∠BOD＝30°，∠OM平分∠AOC，∠1152AOM AOC=∠=∠，∠∠AOD+∠BOD＝180°，∠∠AOD＝180°﹣30°＝150°，∠ON平分∠AOD，∠1752AON AOD=∠=∠，∠∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°．【点睛】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分线的定义是解题的关键．23．（2021·全国·七年级课时练习）如图，OM是AOC∠的平分线，ON是BOC∠的平分线．（1）如图1，当AOB ∠是直角，60BOC ∠=︒时， NOC ∠=________，MOC ∠=________ ，MON ∠=________；（2）如图2，当AOB α∠=，60BOC ∠=︒时，猜想：MON ∠与α的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当AOB α∠=，BOC β∠= （β为锐角）时，猜想：MON ∠与α､β有数量关系吗?如果有，请写出结论，并说明理由．【答案】（1）30，75︒，45︒；（2）12MON ∠=α，理由见解析；（3）有，12MON ∠=α，理由见解析． 【分析】（1）观察图形，结合角平分线的定义可得11603022NOC BOC ∠∠==⨯︒=︒，09060150AOC AOB B C ∠=∠+∠=︒+︒=︒，111507522MOC AOC ∠∠===︒⨯︒即可求解；（2）观察图形，结合角平分线的定义可得60AOC AOB BOC ∠∠∠α=+=+︒，11603022NOC BOC ∠∠==⨯︒=︒，11303022MON MOC NOC ∠∠∠αα=-=+︒-︒=即可求解；（3）观察图形，结合角平分线的定义可得AOC AOB BOC αβ∠=∠+∠=+，1122NOC BOC β∠=∠=，111()222MON MOC NOC ∠∠∠αββα=-=+-=即可求解；【详解】解：（1）∠ON 平分BOC ∠，∠11603022NOC BOC ∠∠==⨯︒=︒，∠09060150AOC AOB B C ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∠OM 是AOC ∠的平分线，∠111507522MOC AOC ∠∠===︒⨯︒，∠753045MON MOC NOC ∠∠∠=-=︒-=︒︒； 故答案为：30，75︒，45︒；（2）12MON ∠=α．理由：60AOC AOB BOC ∠∠∠α=+=+︒，OM 是AOC ∠的平分线，()1116030222MOC AOC ∠∠αα︒==+=+︒，因为ON 平分BOC ∠， 所以11603022NOC BOC ∠∠==⨯︒=︒，11303022MON MOC NOC ∠∠∠αα=-=+︒-︒=；（3）12MON ∠=α．理由：因为ON 平分BOC ∠，所以1122NOC BOC β∠=∠=，又因为AOC AOB BOC αβ∠=∠+∠=+，OM 是AOC ∠的平分线，所以11()22MOC AOC ∠∠αβ==+，111()222MON MOC NOC ∠∠∠αββα=-=+-=．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是掌握角平分线的定义并通过观察图形找到角与角之间的关系．24．（2021·全国·七年级单元测试）如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使∠BOC =120°．将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，边OM 与射线OB 重合，另一边ON 位于直线AB 的下方．（1）将图1的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，问：此时ON 所在直线是否平分∠AOC ？请说明理由；（2）将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为t 秒，在旋转的过程中，ON 所在直线或OM 所在直线何时会恰好平分∠AOC ？请求所有满足条件的t 值；（3）将图1中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使边ON 在∠AOC 的内部，试探索在旋转过程中，∠AOM 和∠CON 的差是否会发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．【答案】（1）直线ON 平分∠AOC ，见解析；（2）10秒或40秒或25秒或55秒；（3）不变，30°【分析】（1）直线ON平分∠AOC，设ON的反向延长线为OD，已知OM平分∠BOC，根据角平分线的定义可得∠MOC=∠MOB，又由OM∠ON，根据垂直的定义可得∠MOD=∠MON=90°，所以∠COD=∠BON，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BON，即可∠COD=∠AOD，结论得证；（2）分直线ON平分∠AOC时和当直线OM平分∠AOC时两种情况进行讨论求解即可；（3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°，即可得到∠AOM－∠CON=30°.【详解】解：（1）直线ON平分∠AOC理由：设ON的反向延长线为OD，∠OM平分∠BOC，∠∠MOC=∠MOB，又∠OM∠ON，∠∠MOD=∠MON=90°，∠∠COD=∠BON，又∠∠AOD=∠BON，∠∠COD=∠AOD，∠OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；（2）①当直线ON平分∠AOC时，三角板旋转角度为60°或240°，∠旋转速度为6°/秒，∠t=10秒或40秒；②当直线OM平分∠AOC时，三角板旋转角度为150°或330°，∠t=25秒或55秒，综上所述：t=10秒或40秒或25秒或55秒；（3）设∠AON=x°，则∠CON=60°－x°，∠AOM=90°－x°，。
北师大版七年级下册数学第四章 三角形含答案(综合题)
北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一定全等的两个三角形是（）A.①与②B.①与③C.②与③D.以上答案都不对2、如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A.两点之间线段最短B.垂线段最短．C.两定确定一条直线D.三角形具有稳定性3、如图，△ABC≌△AED，点 E 在线段 BC 上，∠1=48º，则∠AED 的度数是（）A.66°B.65°C.62°D.60°4、下列命题中，真命题是（）A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等5、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②四边形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；④S△ABC +S△CDE≥S△ACE；⑤图中的相似三角形有10对．正确结论是（）A.①②③④B.①②③⑤C.①③④D.①③⑤6、下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A：∠B：∠C=3：4：5B.∠A ∠B= ∠CC.∠B=50°，∠C=40°D.a=5，b=12，c=137、以下列各组线段长为边，能组成三角形的是( )A.1cm，2cm，3cmB.2cm，3cm，8cmC.5cm，12cm，6cm D.4cm，6cm，9cm8、如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（）A. B. C. D.9、若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.40°D.70°10、如图，中，于D，下列条件中：① ；②；③ ；④ ；⑤，⑥ ，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，，，，，则A.27°B.54°C.30°D.55°12、如图，在△ABC中，∠C=40 ° ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（）.A.140°B.210°C.220°D.320°13、已知m是整数，以4m＋5、2m－1、20－m这三个数作为同一个三角形三边的长，则满足条件的三角形个数有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个14、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G.当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A. B. C. D.15、如图所示，在中，，于，，则线段的长是（）A.3B.4C.8D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是________．（填写序号）17、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝________°．18、如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在线段BE上．若，∠2＝30°，∠3＝55°则∠1＝________.19、已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，则x的取值范围是________ ．20、如图，中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有哪几对________21、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．①BE＝CD；②∠BOD＝60º；③△BOD∽△COE．22、已知，如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为________.23、若等腰三角形的两边长为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为________ cm.24、如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________ cm2.25、三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．27、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8。
七年级数学下册 相交线与平行线用尺规作角练习 北师大版(1)
2.4 用尺规作图同步测试一、单选题（共10题；共20分）1.如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A. 尺规作线段的垂直平分线B. 尺规作一条线段等于已知线段C. 尺规作一个角等于已知角D. 尺规作角的平分线2.下列尺规作图的语句正确的是（）A. 延长射线AB到DB. 以点D为圆心，任意长为半径画弧C. 作直线AB=3cmD. 延长线段AB至C，使AC=BC3.已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A. 作一个角等于已知角 B.平分一个已知角C. 在射线上截取一线段等于已知线段D. 作一条直线的垂线4.在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB=10cm，BC=4cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为（）A. 3cmB. 7cmC. 3cm或7cm D. 5cm或2cm5.用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（）A. B. C.D.6.作已知角的平分线是根据三角形的全等判定（）作的．A. AASB. ASAC. SASD. SSS7.作一个角等于已知角用到下面选项的哪个基本事实（）A. SSSB. SASC. ASAD. AAS8.如图，用尺规法作∠DEC=∠BAC，作图痕迹的正确画法是（）A. 以点E为圆心，线段AP为半径的弧B. 以点E为圆心，线段QP为半径的弧C. 以点G为圆心，线段AP为半径的弧D. 以点G为圆心，线段QP为半径的弧9.在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为（）A. 100°B. 65°C. 75°D. 105°10.如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法错误的是（）A. ∠BAD=∠CADB. 点D到AB边的距离就等于线段CD的长C. S△ABD=S△ACDD. AD垂直平分MN二、填空题（共5题；共5分）11.如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，则四边形ABCD的面积为________ ．12.在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为________ ．13.如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是________ ．14.利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法________ ．15.数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有________三、解答题（共2题；共20分）16.综合题。
期末专题复习 角度的计算 四川省渠县中学2021-2022学年北师大版数学七年级上册
四川省渠县中学2021-2022学年七年级上学期数学期末专题复习：角度的计算1、如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°．求∠AOD的度数．2、如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）若∠AOB＝42°，∠DOE＝36°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝30°，求∠AOC的度数．3、如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD＝20°，∠AOB＝140°，求∠DOE的度数．4、如图，O为AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，求∠AOE的度数．5、如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）若∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝35°，求∠AOC的度数．6、如图所示，O为直线上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，∠BOC+∠FOD＝117°，求∠BOE的度数．7、如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝3∠EOC．（1）若∠AOD＝24°，则∠DOE的度数为．（2）若∠AOD+∠BOE＝110°，求∠AOD的度数．8、如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为度．（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么样的等量关系，并说明理由．（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．9、如图，点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；（2）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM 在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．①探究∠AOM和∠CON之间的数量关系，并说明理由；②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．10、如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC 的度数；（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）11、已知∠AOB＝120°，∠COD＝40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（图中的角均大于0°且小于180°）．（1）如图1，求∠MON的度数；（2）若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒．①当8＜t＜24时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系；②当0＜t＜26且t≠时，若|∠MON﹣∠COD|＝∠AOB，则t＝．12、如图1，已知∠AOC＝m°，∠BOC＝n°且m、n满足等式|3m﹣420|+（2n﹣40）2＝0，射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．（1）试求∠AOB的度数；（2）如图1，当射线OP从OB处以4度/秒绕点O开始逆时针旋转，同时射线OQ从OA处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ＝10°？（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，且＝，试求x．13、已知∠AOB＝150°，OD为∠AOB内部的一条射线（1）如图（1），若∠BOC＝60°，OD为∠AOB内部的一条射线，∠COD＝∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数．（2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求（∠AOC﹣∠BOD）/（∠MOC﹣∠NOD）的值．（3）如图（3），C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t≤35），OE平分∠AOB，OF为∠C1OB1的三等分线，∠C1OF＝∠C1OB1，若|∠C1OF﹣∠1AOE|＝30°，直接写出t的值为．14、已知O是直线CD上的一点，∠AOB是直角，直线OA平分∠COE，∠AOB从OB与OD重合时开始绕着O点以每秒15°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t 秒．（1）当t＝时，∠DOE＝∠BOC；（2）若∠AOB绕着点O旋转一周，请探究∠DOE和∠BOE的数量关系，请画出图形，并说明理由；（3）若OF平分∠AOC，若OF与OD的夹角为150°，这时∠BOD的度数．参考答案1、如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°．求∠AOD的度数．【解答】解：∵∠COE是直角，∴∠COE＝90°，∵∠COF＝34°，∴∠EOF＝56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝56°，∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°，∴∠AOD＝180°﹣22°＝158°．2、如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）若∠AOB＝42°，∠DOE＝36°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝30°，求∠AOC的度数．【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝42°，∠DOE＝36°，∴∠AOB＝∠BOC＝＝42°，∠COD＝∠DOE＝36°，∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝42°+36°＝78°；（2）∵∠AOD与∠BOD互补，∠BOC＝，∴∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠COD+∠AOC+∠COD＝180°，∵∠DOE＝30°，∴∠COD＝30°，∴，∴＝180°，∴∠AOC＝80°．3、如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD＝20°，∠AOB＝140°，求∠DOE的度数．【解答】解：∵OD平分∠AOB，∠AOB＝140°，∴∠AOD＝∠AOB＝70°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠COD＝50°，∴∠COE＝∠BOC＝25°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝45°．4、如图，O为AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，求∠AOE的度数．【解答】解：∵O为AB上一点，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°∵OD平分∠AOC∴∠AOD＝∠AOC＝70°又∵∠DOE＝90°∴∠AOE＝20°5、如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）若∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝35°，求∠AOC的度数．【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线∴∠COB＝∠BOA＝40°，∠COD＝∠DOE＝30°∴∠BOD＝∠COD+∠COB＝70°；（2）由题意得：∠AOD+∠BOD＝180°，∵OD平分∠COE，∠DOE＝35°，∴∠COD＝∠DOE＝35°，设∠AOB＝x，则∠AOD＝2x+35°，∠BOD＝x+35°，∴2x+35°+x+35°＝180°，解得：x＝，∴∠AOC＝2x＝．6、如图所示，O为直线上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，∠BOC+∠FOD＝117°，求∠BOE的度数．【解答】解：设∠BOE＝α°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2α°，∠EOD＝α°．∵∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝90°﹣2α°．∵OF平分∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠FOE＝∠AOE＝（180°﹣α°）＝90°﹣α°，∴∠FOD＝∠FOE﹣∠EOD＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣α°，∵∠BOC+∠FOD＝117°，∴90°﹣2α°+90°﹣α°＝117°，∴α＝18，∴∠BOE＝18°．7、如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝3∠EOC．（1）若∠AOD＝24°，则∠DOE的度数为68°．（2）若∠AOD+∠BOE＝110°，求∠AOD的度数．【解答】解：（1）∠BOD与∠COD互补，∠BOD+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝∠COD＝24°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝180°﹣24°﹣24°＝132°，∵∠BOC＝3∠EOC．∴∠EOC＝132°÷3＝44°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝24°+44°＝68°，故答案为：68°．（2）∵∠AOD+∠BOE＝110°，∠AOD+∠BOE+∠DOE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣110°＝70°，∵∠BOC＝3∠EOC，∠AOD＝∠COD，∴∠DOE＝70°＝∠AOD+（110°﹣∠AOD），解得：∠AOD＝30°，8、如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为90 度．（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么样的等量关系，并说明理由．（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：∠NOB＝90°；故答案为90．（2）∵∠AOM+∠AON＝90°，∠AON+∠NOC＝∠AOC＝45°，∴∠AOM﹣∠NOC＝45°；（3）∵ON所在直线恰好平分∠AOC，∴∠AON＝∠AOC÷2＝45°÷2＝22.5°，此时旋转角为：90°+22.5°＝112.5°112.5÷5＝22.5（秒），或（112.5+180）÷5＝58.5（秒）所以直角△MON绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．9、如图，点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；（2）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM 在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．①探究∠AOM和∠CON之间的数量关系，并说明理由；②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．【解答】解：（1）由已知得∠BOM＝180°﹣∠AOM＝150°，又∵∠MON是直角，OC平分∠BOM，∴∠CON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣×150°＝15°；（2）设∠AOM＝α，则∠BOM＝180°﹣α，①∠AOM＝2∠CON，理由如下：∵OC平分∠BOM，∴∠MOC＝∠BOM＝（180°﹣α）＝90°﹣a，∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠AOM＝2∠CON；②由①知∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝α+90°﹣α＝90°+α，∵∠AOC＝3∠BON，∴90°+α＝3（α﹣90°），解得α＝144°，∴∠AOM＝144°．10、如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC 的度数；（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【解答】解：（1）解：∵∠COE＝140°，∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，又∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠COD＝20°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；（2）存在①当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10°t＝20°，解得：t＝2；②当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠DOC，即10°t﹣40°＝40°，解得：t＝8；③当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360°﹣10°t＝40°，解得：t＝32；综上所述：t＝2，t＝8或32；（3）或或35，理由如下：设运动时间为t，则有①当90+10t＝2（40+15t）时，t＝②当270﹣10t＝2（320﹣15t）时，t＝③当OC回到起始位置后，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴t＝＝35，所以t的值为或或35．11、已知∠AOB＝120°，∠COD＝40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（图中的角均大于0°且小于180°）．（1）如图1，求∠MON的度数；（2）若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒．①当8＜t＜24时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系；②当0＜t＜26且t≠时，若|∠MON﹣∠COD|＝∠AOB，则t＝或12 ．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝40°，∴∠AOC＝120°﹣∠BOC，∠BOD＝40°﹣∠BOC，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC＝∠AOC＝（120°﹣∠BOC），∠BON＝∠BOD＝（40°﹣∠BOC）∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON＝60°+20°＝80°；（2）①如图1，则∠AOM＝∠AOC＝（10t﹣80°）＝5t﹣40°，∠BON＝∠BOD＝5t＝t，∴∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝120°+5t﹣40°＝5t+80°．当t＝20时，∠AOM＝5t﹣40°＝60°，∠BOM＝5t+80°＝180°（与题意不符）．当8＜t＜20时，∠BOM＝∠AOB+∠AOM＝120°+5t﹣40°＝5t+80°．∠AON＝∠AOB+∠BON＝120°+t，∴2∠AON﹣∠BOM＝240°+5t﹣5t﹣80°＝160°；当20＜t＜24时，如图2，则∠BOM＝360°﹣（∠AOM+∠AOB）＝360°﹣（5t﹣40°+120°）＝280°﹣5t，∠AON＝∠AOB+∠BON＝120°+t，∴2∠AON+∠BOM＝2（120°+t）+（280°﹣5t）＝520°，综上，当8＜t＜20时，2∠AON﹣∠BOM＝160°；当20＜t＜24时，2∠AON+∠BOM＝520°，②若∠COD＝180°，则t＝s，若∠MON＝180°，则t＝s，若∠COD＝0°，则t＝＝s．当0＜t＜时，如图3，∠MON＝∠AOM+∠BON+∠AOB＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝（10t﹣80°）+×5t+120°＝t+80°，∠COD＝10t+40°+5t＝15t+40°，∵|∠MON﹣∠COD|＝∠AOB，∴|（t+80°）﹣（15t+40°）|＝，∴t＝，或t＝（舍去），当时，如图4，∠MON＝∠∠AOC+∠BOD+∠AOB＝（10t﹣80°）+×5t+120°＝t+80°，∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝360°﹣（10t﹣80°）﹣5t﹣120°＝320°﹣15t，∵|∠MON﹣∠COD|＝∠AOB，∴|（t+80°）﹣（320°﹣15t）|＝，∴t＝12，或t＝（舍去），当＜t≤时，如图5，∠MON＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝360°﹣（10t﹣80°）﹣5t ﹣120°＝280°﹣t，∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝360°﹣（10t﹣80°）﹣5t﹣120°＝320°﹣15t，∵|∠MON﹣∠COD|＝∠AOB，∴|（﹣t+280°）﹣（320°﹣15t）|＝，∴t＝（舍去），或t＝（舍去），当＜t＜26时，∠MON＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝360°﹣（10t﹣80°）﹣5t ﹣120°＝280°﹣t，∠COD＝（10t+40°+5t）﹣360°＝15t﹣320°，∵|∠MON﹣∠COD|＝∠AOB，∴|280°﹣t﹣（15t﹣320°）|＝×120°，∴t＝或t＝28（舍去）．综上，t＝或12或．故答案为或12或．12、如图1，已知∠AOC＝m°，∠BOC＝n°且m、n满足等式|3m﹣420|+（2n﹣40）2＝0，射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转．（1）试求∠AOB的度数；（2）如图1，当射线OP从OB处以4度/秒绕点O开始逆时针旋转，同时射线OQ从OA处以1度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ＝10°？（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，且＝，试求x．【解答】解：（1）∵|3m﹣420|+（2n﹣40）2＝0，∴3m﹣420＝0且2n﹣40＝0，∴m＝140，n＝20，∴∠AOC＝140°，∠BOC＝20°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝160°；（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ＝10°．则∠AOQ＝x°，∠BOP＝4x°．①当射线OP与射线OQ相遇前有：∠AOQ+∠BOP+∠POQ＝∠AOB＝160°，即：x+4x+10＝160，解得：x＝30；②当射线OP与射线OQ相遇后有：∠AOQ+∠BOP﹣∠POQ＝∠AOB＝160°，即：x+4x﹣10＝160，解得：x＝34．答：当他们旋转30秒或34秒时，使得∠POQ＝10°；（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE＝4t°．∵OD为∠AOC的平分线，∴∠COD＝∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝70°+20°＝90°．∵，∴∠COE＝×90°＝40°，∠DOE＝30°，∠BOE＝20°+40°＝60°即：4t＝60，∴t＝15，∴∠DOE＝15x°，即：15x＝30解得x＝2．13、已知∠AOB＝150°，OD为∠AOB内部的一条射线（1）如图（1），若∠BOC＝60°，OD为∠AOB内部的一条射线，∠COD＝∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数．（2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求（∠AOC﹣∠BOD）/（∠MOC﹣∠NOD）的值．（3）如图（3），C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t≤35），OE平分∠AOB，OF为∠C1OB1的三等分线，∠C1OF＝∠C1OB1，若|∠C1OF﹣∠1AOE|＝30°，直接写出t的值为3秒或15秒．【解答】解（1）分两种情况：①当射线OD在∠BOC的内部时，如图1所示，∵OE平分∠AOB，∴∠BOE＝∠AOB，又∠AOB＝150°，∴∠BOE＝75°，又∵∠COD＝∠BOC，且∠BOC＝60°，∴∠BOD＝∠BOC＝×60°＝40°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣40°＝35°；②当射线OD在∠AOC的内部时，如图2所示，同理得：∠BOE＝75°，∵∠COD＝∠BOC＝×60°＝20°，∴∠DOE＝∠COD+∠BOC﹣∠BOE，＝20°+60°﹣75°，＝5°，综上所述，∠DOE＝35°或5°；（2）∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，∴∠MOD＝∠AOD，∠CON＝∠BOC，又∠MOC＝∠MOD﹣∠COD，∠NOD＝∠CON﹣∠COD，∴∠MOC﹣∠NOD＝（∠MOD﹣∠COD）﹣（∠CON﹣∠COD），＝∠AOD﹣∠COD﹣（∠BOC﹣∠COD），＝（∠AOD﹣∠BOC），而∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠BOC＝∠BOD+∠COD，∴∠MOC﹣∠NOD＝（∠AOC+∠COD﹣∠BOD﹣COD），＝（∠AOC﹣∠BOD），∴（∠AOC﹣∠BOD）/（∠MOC﹣∠NOD）＝＝2；（3）①当∠BOB1≤30°时，∵∠BOB1＝6t，∴∠AOB1＝150°+6t，∵OE平分∠AOB1，∴∠AOE＝AOB1＝（150°+6t）＝75°+3t，∵∠C1OB1＝360°﹣∠C1OB1＝180°﹣6t，∵∠C1OF＝∠C1OB1，∴∠C1OF＝60°﹣2t，∵|∠C1OF﹣∠AOE|＝30°，∴75°+3t﹣60°+2t＝30°或60°﹣2t﹣75°﹣3t＝30°，∴t＝3或﹣9（舍弃）②当∠BOB1＞30°时，同理t＝15故答案为：3秒或15秒．14、已知O是直线CD上的一点，∠AOB是直角，直线OA平分∠COE，∠AOB从OB与OD重合时开始绕着O点以每秒15°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t 秒．（1）当t＝ 4 时，∠DOE＝∠BOC；（2）若∠AOB绕着点O旋转一周，请探究∠DOE和∠BOE的数量关系，请画出图形，并说明理由；（3）若OF平分∠AOC，若OF与OD的夹角为150°，这时∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB从OB与OD重合时开始绕着O点以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，∴∠BOD＝15°t，∵∠AOB是直角，∴∠AOB＝90°，∴∠AOC＝90°﹣15°t，∵OA平分∠COE，∴∠AOE＝∠AOC＝90°﹣15°t，∴∠BOE＝15°t，∵∠DOE＝∠BOC，∴∠BOD+∠BOE＝∠AOB+∠AOC，∴15°t+15°t＝90°+90°﹣15°t，解得：t＝4．故答案为：4．（2）分四种情形：①当0≤t≤6时，如图，2，∵∠AOB＝90°，直线OA平分∠COE，∴∠AOE＝∠AOC，∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOE+∠BOE＝90°，∴∠BOD＝∠BOE，∴∠DOE＝2∠BOE．②当6＜t≤12时，如图3，∠AOC＝15°t﹣90°，∵∠AOB＝90°，直线OA平分∠COE，∴∠AOE＝∠AOC＝15°t﹣90°，∴∠BOE＝∠AOB+∠AOE＝15°t，∠DOE＝180°﹣∠COE＝180°﹣2∠AOC＝360°﹣30°t，∴∠DOE+2∠BOE＝360°．③当12＜t≤18时，如图4，∠AOC＝15°t﹣90°，∴∠A′OC＝180°﹣∠AOC＝270°﹣15°t，∵∠AOB＝90°，直线OA平分∠COE，∴∠A′OE＝∠A′OC＝270°﹣15°t，∠DOE＝180°﹣∠A′OC＝30°t﹣360°，∠BOE＝∠A′OB+∠A′OE＝360°﹣15°t，∴∠DOE+2∠BOE＝360°．④当18＜t≤24时，如图5，由题意得：∠DOB＝360°﹣15°t，∠AOB＝90°，∴∠A′OC＝∠AOD＝15°t﹣270°，∠BOC＝180°﹣∠DOB＝15°t﹣180°∵直线OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠A′OC＝30°t﹣540°，∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝720°﹣30°t，∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝360°﹣15°t，∴∠DOE＝2∠BOE．综上所述，当0≤t≤6时，∠DOE＝2∠BOE；当6＜t≤18时，∠DOE+2∠BOE ＝360°；当18＜t≤24时，∠DOE＝2∠BOE．（3）当OF在CD上方时，如图6，∠DOF＝150°，∴∠FOC＝30°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠FOC＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝30°；当OF在CD下方时，如图7，∠DOF＝150°，∴∠FOC＝30°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠FOC＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝150°．综上所述，∠BOD＝30°或150°．。
北师大版七年级数学上册《角》典型例题(含答案)
《角》典型例题例1 指出下面角的表示方法是否正确，错误的改正过来。
（1）如图①中的角可以表示为ABC∠；（2）如图②中的BAC∠可以表示为A∠。
例2 如图，用量角器度量三角形的三个角，并指出哪个角是钝角。
例3 计算：（1）0.12°＝（）′ （2）24′36″＝（）°例4如图，在海岸上有A、B两个观测站，B观测站与A观测站的距离是2.5km，某天，A观测站观测到有一条船在南偏东50°方向，在同一时刻，B观测站观测到该船在南偏东74°方向．（1）请根据以上情况画出船的位置．（2）计算船到B观测站的距离（画图时用1cm表示1km）例5 如图：（1）以B为顶点的角有几个：把它们表示出来；（2）指出以射线BA为边的角；（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别表示出来。
例6 填空题（1）;______638128︒='''︒（2）=''0451 '''︒；（3）＝︒26.78 '''︒；（4）︒120=________平角=_______周角。
例7 求时钟表面3点25分时，时针与分针所夹角的度数.参考答案例1 分析 （1）中角顶点的字母没有写在中间，（2）中用A ∠表示，就很难分清是表示三个角中的哪个角。
解 （1）错，应表示为BAC ∠；（2）错，它能用BAC ∠或α∠表示。
说明：（1）表示角时顶点字母必须写在中间；（2）用顶点一个字母去表示角时，必须分清楚表示的是哪个角。
例 2 分析 度量时应注意把量角器中角的顶点和所要度量的角的顶点重合，把量角器的“0”点落在被量角的一边上，使被量角的另一边和量角器都在被量角这一边的同侧，这时被量角的另一边所对的刻度就是这个角的度数。
解 经度量︒=∠140A 是钝角；︒=∠︒=∠15,25C B 。
说明：学生所用的一般量角器只精确到度，有时要根据观察来确定角的近似值。
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一、填空
1．∠α的补角是137°，则 ∠α=__________，∠α的余角是__________； 65°15′的角的余角是_________；35°59′的角的补角等于__________。
2．（1）一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的余角为_________°. （2）一个角的补角比这个角的余角大______________。
3．如图1，写出所有的对顶角______________________。
C
（图1）
（图2）
4．如图2，O 是直线AB 上的一点。
（1）若∠AOC =32°48′56″，则∠BOC=____°____′____″ （2）若∠BOC =5
3∠AOB ，则∠AOC=________°.
5．两条直线相交得到的四个角中，其中一个角是45°，则其余三个角分别是
__________，___________，__________。
6．153°19′46″+ 25°55′32″=_____°____′____″； 180°— 84°49′59″=____°____′____″；
86°19′27″+ 7°23′58″×3 = _____°____′____″。
7．如图3，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是∠AOC 的平分线，∠1=17°，
则
∠2=_____°，∠3=______°
OC 平分线，若∠AOC=80°，则∠MON=__________° 二、选择
9．如图，∠1与∠2是对顶角的正确图形是（ ）
C
E
B
A
D
F
A
B
O
E
10．下列说法正确的是 （ ）
（A ） 两个互补的角中必有一个是钝角； （B ）一个角的补角一定比这
个角大；
（B ） 互补的两个角中，至少有一个角大于或等于直角； （C ） （D ）相等的角是对顶角
11．如图，直线AB 、CD 相交于O ，因为∠1+∠3=180°，
∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理根据是（ ）（
A ）同角的余角相等 （
B ）等角的余角相等 （
C ）同角的补角相等 （
D ）等角的补角相等 12．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOC = n °，则∠BOD
的度数是（ ）
（A ）90°+ n ° （B ）90°+ 2n ° （C ）180°- n ° （D ）180°- 2n ° 13．如果∠1与∠2互为补角，∠1 〉∠2，那么∠2的余角等于 （ ） （A ）2
1（∠1+∠2） （B ）2
1∠1 （C ）2
1（∠1-∠2） （D ）∠1-∠2
14．三条直线相交于一点，则组成小于180°的对顶角的对数一共有（ ） （A ）三对 （B ）四对 （C ）五对 （D ）六对 三、解答题
15． 如图， 已知∠BAC=90°，AD 平分∠BAC 的角。
16．∠1与∠2互余，∠2 与∠3互补，∠1 = 63°，求∠3。
A
B
D
C
2
1
2
2 2
1
1
1 C
17．一个角的余角与这个角的补角的和比平角的4
3多1°，求这个角。
18．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，∠BOC —∠BOD =20°，
求∠BOE 的度数。
19. 如图，已知∠BOC =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =29°，求∠AOB 的度数。
C
E
B
A
D
O
C
B
A
D
O
20．如图，OB平分∠AOC，且∠2 : ∠3 : ∠4 = 1:3:4，求∠1、∠2、∠3、∠4。
3 D
C
B
A 2
1
4
O。