经济学的数学工具教学-第十章 离散时间：差分方程
离散时间系统的数学模型—差分方程
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x (n) 1
离散时间系统
y (n) 1
x 2 ( n ) 离散时间系统
c x (n ) + c x (n )
x1n+ x2n
x2 n
乘法器：
x1n x1n+ x2n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
乘法器
xn
延时器
axn
a
yn
1
yn 1
E
xn a axn
yn
yn 1
z 1
五．差分方程的特点
(1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。
11
22
离散时间系统
y2 (n )
c y (n ) + c y (n )
11
22
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
x(n)
y(n)
1 1 0 1 2 3 n
1
系统
1 o 1 2 3 4 n
x(n N )
y(n N )
1
1
系统
1 0 1 2 3
yt ynT yn
f t f nT f n
yn yn 1 ayn+ f n
T
yn 1 yn 1+ T f n
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
差分方程解法及其在离散系统中的应用
差分方程解法及其在离散系统中的应用差分方程是数学中一类重要的离散数学方程，广泛应用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
本文将介绍差分方程的解法以及它在离散系统中的应用。
一、差分方程的定义和基本概念差分方程是一种以离散形式描述系统变化的数学方程。
其基本形式为：Δyₙ = f(n, yₙ₋₁)其中，Δyₙ为相邻两个时刻n和n-1之间y的变化量，f(n, yₙ₋₁)为给定时刻n和n-1之间的函数关系。
二、差分方程求解的方法对于简单的差分方程，可以直接通过迭代求解。
例如，对于一阶线性差分方程：Δyₙ = k其中，k为常数。
可以通过重复应用这一关系求解，即：yₙ = y₀ + kₙ其中，y₀为初始条件，kₙ为Δyₙ在不同时刻的取值。
对于更复杂的差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以通过将差分方程转化为递推方程，并利用数值计算得到近似解。
三、离散系统中差分方程的应用1. 经济学中的应用差分方程可以用来描述经济系统中的离散变化。
例如，经济增长模型中的劳动力增长率、资本积累速度等，都可以通过差分方程来建模和分析。
2. 自然科学中的应用差分方程在物理学、生态学等自然科学领域中也有广泛的应用。
例如，天体运动、人口增长、物种竞争等系统的演化过程都可以用差分方程来描述和预测。
3. 计算机科学中的应用差分方程在计算机科学中的应用也是十分重要的。
例如，计算机网络中数据包的传输、媒体数据的压缩等问题，都可以通过差分方程来建模和解决。
四、差分方程解法的局限性和改进方法虽然差分方程是一种有效的数学工具，但其在一些特殊情况下存在局限性。
例如，对于非线性和高阶差分方程，常常难以求得解析解。
此时，可以利用数值方法进行近似求解，或者采用数值优化算法寻找最佳解。
总结：差分方程是一种重要的离散数学工具，广泛用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
通过合适的差分方程求解方法，可以有效地描述和预测各种离散变化的系统。
经济数学CH6差分方程
yt+1=2yt-yt2
1 y2
首先计算均衡点： y1
y=2y-y2 y*=0,y*=1。
0 y0 y1 1
2 yt
令yt+1=0,可以得到 在横轴上的截距：
0和2。
系统在y*=0点是不稳定的； 在y*=1点是稳定的。
2019/11/13
6
稳定性总结
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值为y*。
2019/11/13
13
练习
求解一阶线性差分方程：
yt+1-5yt=1,y0=7/4 余函数：yc=A·5t 特别积分：yp=-1/4 通解为：yt=A·5t -1/4 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 答案： yt=2×5t -1/4
2019/11/13
b的绝对值小于1，y收敛。 10
一般方法
1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。
方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。
原方程，可以得到 均衡值：y*=2。
例2：yt+1-2yt=-1
yt+1
2
yt+1=0.5yt+1
y2
y1
y0 y1 2
yt
稳定的稳态
变化过程：
给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45°线 可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。
§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
返回
(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
返回
二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
差分方程的定义
差分方程的定义差分方程的定义差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。
它可以被视为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象和工程问题。
一、差分方程的基本概念1.1 差分方程的定义差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。
它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参数的函数。
1.2 差分方程的分类根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。
此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行分类。
1.3 差分运算符在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。
最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程2.1 差分方程求解方法求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。
其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域3.1 差分方程在物理学中的应用差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。
此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。
其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。
差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程方法总结
差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。
差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。
差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。
差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。
差分方程的解可以通过递归方法求得。
给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。
例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。
根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。
在应用中，差分方程通常用于建模和预测。
通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。
然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。
此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。
通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。
这对于控制系统设计和优化非常重要。
差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。
在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。
在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。
总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。
差分方程求解
差分方程求解什么是差分方程差分方程是离散时间系统模型中常用的数学工具之一。
它描述了在不同时间点上，系统状态之间的关系，其中系统状态是离散的。
差分方程在许多科学领域都有应用，如物理学、工程学和经济学等。
差分方程可以看作是微分方程在离散时间上的等效形式。
微分方程描述了连续时间系统的动态行为，而差分方程描述了离散时间系统的动态行为。
差分方程通常通过递推关系来表示系统状态之间的转移。
差分方程的一般形式差分方程的一般形式可以表示为：x[n+1] = f(x[n], x[n-1], ..., x[n-k])其中，x[n]表示系统在时间点n的状态，f表示系统状态之间的转移函数，k表示系统的阶数。
差分方程的求解方法1. 递推法递推法是一种直接求解差分方程的方法。
通过已知初始条件x[0], x[1], ..., x[k]，可以逐步递推得到系统在任意时间点上的状态。
递推法的步骤如下：1.根据初始条件，求得x[k+1]；2.迭代计算，依次求得x[k+2], x[k+3], ...。
递推法的优点是简单易用，并且不需要求解复杂的代数方程。
但它的缺点是只能求得系统的局部解，无法得到整个系统的行为。
2. 特征根法特征根法是一种求解差分方程的解析方法。
通过求解差分方程的特征方程，可以得到系统的特征根，进而得到系统的解析解。
特征根法的步骤如下：1.将差分方程转化为对应的特征方程；2.求解特征方程，得到系统的特征根；3.根据特征根的性质，推导得到系统的解析解。
特征根法的优点是能够得到系统的全局解，对于高阶差分方程尤为适用。
但它的缺点是求解过程较为繁琐，需要具备一定的数学知识。
差分方程的应用举例差分方程在许多科学领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 自然科学中的应用在物理学和工程学等领域中，差分方程常用于描述动态系统的行为。
例如，可以用差分方程描述弹簧振子的运动过程、电路中电流的变化等。
2. 经济学中的应用在经济学中，差分方程常用于描述经济系统的演化过程。
数学中的差分方程与离散动力系统
数学中的差分方程与离散动力系统数学中的差分方程与离散动力系统是研究动态系统在离散时间点上的演化行为的重要工具和方法。
差分方程和离散动力系统广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学以及工程技术等。
本文将从理论和应用两个方面介绍差分方程和离散动力系统的基本概念、数学方法和实际应用。
一、差分方程的基本概念和数学方法差分方程是描述离散时间点上动态系统演化规律的数学模型。
它将连续时间的微分方程离散化为在离散时间点上的递推关系。
差分方程的一般形式可以表示为：xn+1 = f(xn)其中xn表示第n个时间点上的系统状态，f是一个给定的函数。
差分方程的解是一个数列x0, x1, x2, ...，表示系统在不同时间点上的状态。
差分方程的求解方法主要有两种：直接求解和迭代求解。
直接求解是通过代数方法求解差分方程的递推关系，得到解析解。
迭代求解则是通过迭代计算，逐步逼近差分方程的解。
二、离散动力系统的基本概念和数学方法离散动力系统描述的是在离散时间点上动态系统的演化行为。
离散动力系统由两个主要组成部分构成：状态空间和映射关系。
状态空间是系统可能的状态的集合，用数学符号表示为X。
映射关系是系统状态在不同时间点上的发展规律，用函数f表示。
离散动力系统可以用以下形式表示：x(n+1) = f(x(n))其中x(n)表示第n个时间点上的系统状态，x(n+1)表示第n+1个时间点上的系统状态。
离散动力系统的性质和行为可以通过相图来进行分析和研究。
相图是在状态空间中绘制系统状态随时间演化的图形。
通过相图可以观察到系统的稳定性、周期性和混沌性等特征。
三、差分方程与离散动力系统的应用差分方程和离散动力系统在各个学科和领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 生态学：差分方程和离散动力系统可以用于描述物种数量的演化规律和种群的动态行为。
通过建立生态系统的差分方程模型或离散动力系统模型，可以预测物种数量的变化和生态系统的稳定性。
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对于方程右边的 3 x ，待试特解为c0 c1x
代入可得
c1 3
c0 6
对于2 x ，先试解 y c，2 x但在齐次方程通解中已经出现，c x 2 x
也是这样，则试解 y cx2 2x，代入可得
c 1/8
整个部分的特解为
y63xx22x/8
非齐次差分方程的通解为
y (c 1 c 2 x )2 x 6 3 x x 2 2 x/8
复数a bi 或 a bi 的绝对值为
a2 b2
三种情形都可能存在振荡，当且仅当每个根的绝对值都小 于1时，所得时间路径收敛。
第4节 考察二次方程根的性质
• 二次方程
am2bmc0 其根为
m1,m2 b
b2 4ac 2a
有 m1m2b/a
m1m2 c/a
有如下关系：
（i）若m1m2 0，则两根符号相同，若同时 m1 m2 0， 则为两正根，若 m1 m2 0，则为两负根
n y (x ) n 1 y (x 1 ) n 1 y (x )
n 阶差分方程会涉及 y(x n)，y (x n 1 ), ,(x )
其一阶向后差分为
y(x)y(x)y(x 1 )
二阶向后差分为 2 y (x ) y (x ) 2 y (x 1 ) y (x 2 )
n y (x ) n 1 y (x ) n 1 y (x 1 )
若系数为常数，则差分方程具有不变系数，若其等于零， 则差分方程为齐次方程 • 定理
n 阶差分方程的通解中包括 n 个任意常数。
如果 y p 为非齐次线性常系数差分方程的特解而 y c 为对应齐 次方程的通解，则yc y p 为该非齐次方程的通解。
如果y 1 和y 2 为二阶线性常系数齐次方程的特解，那么该方
为正
THANK YOU!
（iii） ( 1 m 1 )( 1 m 2 ) 0 1 ，其不可行
（iv） 1 ，其可行
（v） (1 m 1 )(1 m 2 ) 0 1 和m1m21 1 ，可行
还有两种可能的情形：
子情形 1 C
收敛无振荡时间路径，此时
1 和 1
子情形1 D
发散无振荡时间路径，此时
1和 1
y(x)y(c1c2x)xr 当且仅当该重根绝对值小于1时，时间路径收敛 若该重根为负，则时间路径存在振荡 情形3：共轭复根，p 2 4 q 此时通解为
y (x ) y x (c 1 c o sx c 2 s inx )
必存在振荡，若 1 ，为爆炸式的振荡，若 1 ，所
得时间路径为不断衰减的振荡且收敛于y 。 定义
经济学的数学工具教学-第十章 离散时间：差 程
第1节 引言和定义
• 变量只在离散时间区间的结尾处才发生变化，而时间变量 只能取非负的整数
• 差分算子 定义
y ( x ) 的一阶向前差分为
y(x)y(x 1 )y(x)
其二阶向前差分为
2 y ( x ) ( y ( x ) ) y ( x 2 ) 2 y ( x 1 ) y ( x )
供求相等可得一阶常系数差分方程
a P (t) b P (t 1 )
其特解பைடு நூலகம்潜在均衡点）为
P ba
通解为
P(t
)
P
k
a b
t
已知a 0 b 0 ，从而 b / a 为负而 P 的时间路径必然
存在振荡，当且仅当b a 1 时，该时间路径收敛
扩展蛛网模型
Pe(t)P(t1)P(t1) (1)P(t1)P(t2)
• 非齐次方程的特解 待定系数法
• 例 差分方程 2 y (x ) 2 y (x ) y (x ) 3 x 2 x
代入向前差分算子 y (x 2 ) 4 (y 1 ) 4 y (x ) 3 x 2 x
辅助方程为
m24m40
其根为重根 m1 m2 2，对应齐次方程的通解为
y(c1c2x)22
R11
子情形3 D ：发散震荡 • 此时
R11
第6节 高阶线性差分方程
• n 阶线性差分方程
y ( x n ) a 1 y ( x n 1 ) a n y ( x ) k
• 辅助方程
m n a 1 m n 1 a n 1 m a n 0 • Schur 定理 • 根的绝a 对0 m 值n 都a 1 小m n 于 1 1的 充a n 分 1 m 必 要a n 条 0 件为下述n 个行列式都
（i） 0m2 m11 （ii） 0m2 m11 （iii） 0m21m1 （iv） 1m2 m1 （v） 1m2 m1 考虑
(1m1)(1m2)1(m1m2)m1m2
1(1) 1
m1m2
有
（i） (1m 1)(1m 2)0
1 0
1
其为可行的
（ii） (1 m 1 )(1 m 2 ) 0 1 ，其不可行
需求： QD(t)aP(t) ，a 0
供给： Q S ( t) b P e ( t)b 0 ,0 1
供求相等可得：
P ( t ) c ( 1 ) P ( t 1 ) c P ( t 2 ) ( ) a
其一个特解为
P ba
辅助方程：
m 2c(1)mc0
• 情形1：不等实根
• 情形2：相等实根2(1)24
此时
m1 m2 (12)0
无循环
子情形2 C ：0m1
时间路径收敛
1 和 1 子情形2 D ：m 1
时间路径发散 1 和 1
• 情形3：共轭复根2(1)24
必然存在振荡，是否收敛取决于复根的绝对值
R2(1)242(1)2
4
子情形3 C ：收敛振荡 此时
此时 c4/(1)2
m 1m 2c(1)/2
同样存在振荡，时间路径收敛的条件为
c(1 ) 1 或者 c(1)2
2
• 情形3：共轭复根
此时c4/(1)2
• 存在振荡，根的绝对值小于1时时间路径收敛，即
•
c2(1)24cc2(1)2
也即
1
c
1
4
萨缪尔森乘数加乘数模型
Yt Ct It Gt
Ct Yt1 0 1
y(x)c1m1xc2m2x
• 情形2：辅助方程具有相同实根 m1 m2 r 定理 此时通解为
y(x)(c1c2x)rx
• 情形3：辅助方程具有共轭复根 m1 abi, m2 abi 定理 此时通解为
y (x )x(c 1c o sx c 2sinx ) 其中 a2 b2， 由 tana/b定义
（ii）若 m1m2 0，则一根为负而另一根为正。 辅助方程
f(m )m 2pmq0
其两根绝对值小于1的充分必要条件为： （i） f(1)1pq0 （ii）f( 1)1pq0 （iii） q 1
第5节 经济学应用
• 蛛网模型
• 基本蛛网模型
需求： Q D (t) a P (t), a 0
供给： Q S (t) b P (t 1 ),b 0
或者
g ( x , y ( x ) , y ( x 1 ) ， , y ( x n ) ) 0
n 阶线性差分方程为
y ( x n ) a 1 y ( x n 1 ) a n 1 y ( x 1 ) a n y ( x ) f ( x )
或者
y ( x ) a 1 y ( x 1 ) a n 1 y ( x n 1 ) a n y ( x n ) f ( x )
此时 其根为
c
4 (1 )2
c(1)c2(1)24c
m 1,m 2
2
m1m2 c0
m 1m 2 c(1)0
两根都为负，存在振荡 当下列条件成立时，时间路径收敛：
（i） 1c(1)c0，也即 1b/a0 （ii） 1c(1)c0，也即1c(12)
（iii） c 1 ，也即 c 1/
• 情形2：相等实根
n 阶向后差分方程会涉及 y ( x ) ,y ( x 1 ) ,,y ( x n )
帕斯卡（杨辉）三角形
1 11 12 1 133 1 1464 1 1 5 10 10 5 1
• 差分方程的表达式
n 阶差分方程 ( x , y ( x ) , y ( x 1 ) ， , y ( x n ) ) 0
程的通解为 c1y1 c2y2 ，其中c 1 和c 2 为任意常数。
第3节 二阶线性常系数差分方程
二阶线性常系数方程 y ( x 2 ) p y ( x 1 ) q y ( x ) f( x )
• 齐次方程的通解 辅助方程：
m2pmq0
情形1：辅助方程不同实根 m 1 , m 2 定理 此时齐次方程的通解为
It(C t C t 1) 0
可得
Y t(1 )Y t 1Y t 2 G
一特解（潜在均衡值）为 Y G 1
辅助方程
m 2(1)m 0
其根为
(1) 2(1)24
m 2
情形1：不等实根 2(1)24
m 1m 2(1)0
m1m2 0
两根都为正，不存在循环，设m 1 较大，至于是否收敛，
分几种情形：
• 特殊情形 y ( x 2 ) p y ( x 1 ) q y ( x ) k
其一个特解（潜在均衡点）为
y k 1 p q
辅助方程 m2pmq0
情形1：辅助方程具有不等实根 p 2 4 q 此时通解为
y(x)yc1m 1 xc2m 2 x
当且仅当两根绝对值都小于1，时间路径收敛 若两根均为负或者为负根绝对值较大，则时间路径存在振 荡 情形2：相等实根，p 2 4 q 此时通解为