人教版2019年高一数学必修1综合练习(无答案)

合集下载

【新教材】人教版(2019)高一英语数学必修第一册综合检测卷

1.已知a，b∈R且a<b<0，则下列不等式中一定成立的是()A. 1a <1bB. ba<abC. a2<b2D. ab<b22.不等式2x+1>1的解集是()A. (1,+∞)B. (−1,1)C. (−∞,−1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)3.定义{x}为不小于x的最小整数(例如：{5.5}=6，{−4}=−4)，则不等式{x}2−5{x}+ 6≤0的解集为()A. [2,3]B. [2,4)C. (1,3]D. (1,4]4.函数y=1x−3+x(x>3)的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 55设0<m<12，则1m +412−m的最小值为()A. 32B. 910C. 34D. 956.关于x的不等式x2−(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是()A. (2,3]B. (3,4]C. [−3,−2)∪(2,3]D. [−3,−2)∪(3,4]7.下列说法正确的有()A. 不等式2x−13x+1>1的解集是(−2,−13)B. “a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件C. 命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p:∃x∈R，x2<0D. “a<5”是“a<3”的必要条件8.已知x，y是正数，1x +2y=1，则2x+yxy+1的最小值为______．9.已知a，b为正实数，且a+b−3√ab+2=0，则ab的最小值为______．10.已知集合A={x|(x−a)(x−a+1)≤0}，B={x|x2+x−2<0}．(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(2)设命题p：∃x∈B，x2+(2m+1)x+m2−m>8，若命题p为假命题，求实数m 的取值范围．11.函数f(x)=x2+ax+3(1)若命题“对∀x∈R，都有f(x)≥a恒成立”是真命题，求a的取值范围；(2)若命题“∃x∈[−2,2]，使得f(x)<a成立”是假命题，求a的取值范围．12.(1)解不等式：3≤x2−2x<8;(2)已知a，b，c，d均为实数，求证：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2．13.已知关于x的方程(1−a)x2+(a+2)x−4=0，a∈R，求：(Ⅰ)方程有两个正根的充要条件(Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件．。

2019学年度高中数学综合检测试题新人教A版必修1

综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.全集U={0,-1,-2,-3,-4},M={0,-1,-2},N={0,-3,-4},则(∁U M)∩N等于( B )(A){0} (B){-3,-4}(C){-1,-2} (D)解析:因为∁U M={-3,-4},所以(∁U M)∩N={-3,-4}.故选B.2.函数y=的定义域是( C )(A)[-1,2) (B)(1,2)(C)[-1,1)∪(1,2) (D)(2,+∞)解析:由解得-1≤x<1或1<x<2.所以函数y=的定义域是[-1,1)∪(1,2).故选C.3.若函数f(x)=lg (10x+1)+ax是偶函数,g(x)=是奇函数,则a+b的值是( A )(A)(B)1 (C)- (D)-1解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即lg (10-x+1)-ax=lg -ax=lg (10x+1)-(a+1)x=lg (10x+1)+ax,所以a=-(a+1),所以a=-,又g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即2-x-=-2x+,所以b=1,所以a+b=.故选A.4.函数f(x-)=x2+,则f(3)等于( C )(A)8 (B)9 (C)11 (D)10解析:因为函数f(x-)=x2+=(x-)2+2,所以f(3)=32+2=11.5.已知a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c之间的大小关系是( D )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)b<a<c解析:因为a=0.32∈(0,1),b=log20.3<0,c=20.3>1.所以c>a>b.故选D.6.函数y=的图象是( A )解析:函数y=的定义域为(0,+∞),当0<x<1时,函数y= ===,当x>1时,函数y===x,故选A.7.(log94)(log227)等于( D )(A)1 (B) (C)2 (D)3解析:(log94)(log227)=·=·=3.8.某方程在区间D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度达到0.1,则应将D 等分( D )(A)2次(B)3次(C)4次(D)5次解析:等分1次,区间长度为1,等分2次区间长度为0.5,…等分4次,区间长度为0.125,等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意.故选D.9.已知函数f(x)=若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( D )(A)(,1] (B)(,+∞)(C)[1,+∞) (D)[1,2]解析:由f(x)在(-∞,1]上单调递增得a≥1.由f(x)在(1,+∞)上单调递增得2a-1>0,解得a>.由f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,所以-12+2a×1≤(2a-1)×1-3a+6,即a≤2.综上,a的取值范围为1≤a≤2.故选D.10.若函数y=2-|x|-m的图象与x轴有交点,则m的取值范围为( C )(A)[-1,0) (B)[0,1](C)(0,1] (D)[0,+∞)解析:若函数y=2-|x|-m的图象与x轴有交点,即y=2-|x|-m=()|x|-m=0有解,即m=()|x|有解,因为0<()|x|≤1,所以0<m≤1,故选C.11.已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意若k>0,函数y=|f(x)|-1的零点个数等价于y=|f(x)|与y=1交点的个数,作出示意图,易知y=|f(x)|与y=1交点的个数为4,故函数y=|f(x)|-1有4个零点.12.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①如一次购物不超过200元,不予以折扣;②如一次购物超过200元,但不超过500元,按标价予以九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元给予九折优惠,超过500元的给予八五折优惠.某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款( C )(A)608元 (B)574.1元(C)582.6元(D)456.8元解析:由题意得购物付款432元,实际标价为432×=480元,如果一次购买标价176+480=656元的商品应付款500×0.9+156×0.85=582.6元.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知甲、乙两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地,把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数,则此函数表达式为.解析:当0≤t≤2.5时s=60t,当2.5<t<3.5时s=150,当3.5≤t≤6.5时s=150-50(t-3.5)=325-50t,综上所述,s=答案:s=14.计算:lg -lg +lg -log89×log278= .解析:lg -lg +lg -log89×log278=lg(××)-×=lg 10-=1-=.答案:15.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1) = .解析:因为y=f(x)+x2是奇函数,所以f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],所以f(x)+f(-x)+2x2=0.所以f(1)+f(-1)+2=0.因为f(1)=1,所以f(-1)=-3.因为g(x)=f(x)+2,所以g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.答案:-116.若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a= .解析:g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.当a>1时,f(x)=a x为增函数,由题意知⇒m=,与m<矛盾.当0<a<1时,f(x)=a x为减函数,由题意知⇒m=,满足m<.故a=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.(1)分别求A∩B,(∁R B)∪A;(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.解:(1)A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3},B={x|log2x>1}={x|x>2},A∩B={x|2<x≤3}.(∁R B)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x ≤3}={x|x≤3}.(2)①当a≤1时,C= ,此时C⊆A;②当a>1时,C⊆A,则1<a≤3;综合①②,可得a的取值范围是(-∞,3].18.(本小题满分12分)已知a为实数,函数f(x)=1-.(1)若f(-1)=-1,求a的值;(2)是否存在实数a,使得f(x)为奇函数;(3)若函数f(x)在其定义域上存在零点,求实数a的取值范围. 解:(1)因为f(-1)=-1,所以1-=-1,解得a=3.(2)令f(-x)=-f(x),则1-=-1+,得2=+,2=+,得a=2.即存在a=2使得f(x)为奇函数.(3)令f(x)=0,得a=2x+1,函数f(x)在其定义域上存在零点,即方程a=2x+1在R上有解, 所以a∈(1,+∞).19.(本小题满分12分)已知a>0,且a≠1,f(log a x)=·(x-).(1)求f(x);(2)判断f(x)的单调性;(3)求f(x2-3x+2)<0的解集.解:(1)令t=log a x(t∈R),则x=a t,且f(t)=(a t-).所以f(x)=(a x-a-x)(x∈R).(2)当a>1时,a x-a-x为增函数,又>0,所以f(x)为增函数;当0<a<1时,a x-a-x为减函数,又<0,所以f(x)为增函数.所以函数f(x)在R上为增函数.(3)因为f(0)=(a0-a0)=0,所以f(x2-3x+2)<0=f(0).由(2)知,x2-3x+2<0,所以1<x<2.所以不等式的解集为{x|1<x<2}.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(4-2x)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数的x的取值范围.解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x).由解得所以-1<x<2.所以函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).(2)由f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即log a(x+1)>log a(4-2x),①当a>1时,由①可得x+1>4-2x,解得x>1,又-1<x<2,所以1<x<2;当0<a<1时,由①可得x+1<4-2x,解得x<1,又-1<x<2,所以-1<x<1.综上所述:当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).21.(本小题满分12分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;当甲的用水量超过4吨时,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4,且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.所以y=(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;当x∈[0,]时,y≤f()<26.4;当x∈(,]时,y≤f()<26.4;当x∈(,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨);付费S甲=4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙户用水量为3x=4.5(吨),付费S乙=4×1.8+0.5×3=8.70(元).22.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)=(a∈R)是奇函数,函数g(x)=的定义域为(-1,+∞).(1)求a的值;(2)若g(x)=在(-1,+∞)上递减,根据单调性的定义求实数m的取值范围;(3)在(2)的条件下,若函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,求实数m的取值范围.解:(1)因为函数f(x)=是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,得a=0.(2)因为g(x)=在(-1,+∞)上递减,所以任给实数x1,x2,当-1<x1<x2时,g(x1)>g(x2),所以g(x1)-g(x2)=-=>0,所以m<0.即实数m的取值范围为(-∞,0).(3)由a=0得f(x)=,令h(x)=0,即+=0,化简得x(mx2+x+m+1)=0,所以x=0或mx2+x+m+1=0,若0是方程mx2+x+m+1=0的根,则m=-1,此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为1,不符合题意,所以函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(-1,1)上有且仅有两个不同的零点,等价于方程mx2+x+m+1=0(※)在区间(-1,1)上有且仅有一个非零的实根.①当Δ=12-4m(m+1)=0时,得m=,若m=,则方程(※)的根为x=-=-=-1∈(-1,1),符合题意;若m=,则与(2)条件下m<0矛盾,不符合题意,所以m=.②当Δ>0时,令 (x)=mx2+x+m+1,由得-1<m<0,综上所述,所求实数m的取值范围是(-1,0)∪{}.。

高中数学人教A版(2019)必修一综合测试卷

高中数学人教A版（2019）必修一综合测试卷一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|x2<1}，集合B={x|log2x<0}，则A∩B=（）A．(0,1)B．(−1,0)C．(−1,1)D．(−∞,1) 2．（2分）已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则sin2α=（）A．√32B．−√32C．−12D．−√343．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．−14B．14C．−2D．24．（2分）由y=2sin(6x−16π)的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．y=2sin(3x−16π)B．y=2sin(3x+16π)C．y=2sin(3x−112π)D．y=2sin(12x−16π)5．（2分）若sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=（）．A．−78B．−14C．14D．786．（2分）已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m 的取值范围（）A．(0, 12)B．(12,1]C．(0,1]D．（0,1）7．（2分）对于函数f（x）=x3cos3（x+ π6），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递增B．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递减C．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递增D．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递减8．（2分）若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则f(x)+f(−x)2x<0的解集为（）A．(－3,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)．9．（2分）已知函数f(x)={x2,x≤0lg(x+1),x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．(−∞,9)D．(−∞,−1)∪(9,+∞)10．（2分）已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意正实数x1,x2(x1≠x2)，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2﹥0 ，则一定有（）A．f(3)>f(−5)B．f(−3)<f(−5)C．f(−5)>f(3)D．f(−3)>f(−5)11．（2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞，0)上单调递减，若a=f(log215)，b=f(log24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a12．（2分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上,则φ的取值范围是()A．(π6,π4]B．(π12,π4]C．(π6,π2)D．(π12,π2)二、填空题(共4题；共4分)13．（1分）若a>0，b>0，a+2b=1，则1a+a+1b的最小值为.14．（1分）若函数f(x)={log2x,x>0−2x−a,x≤0有且只有一个零点，则a的取值范围是．15．（1分）设f(x)是定义在[−2b，3+b]上的偶函数，且在[−2b，0]上为增函数，则f(x−1)≥f(3)的解集为.16．（1分）下列命题中：①已知函数y=f(2x+1)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x)的定义域为[1,3]；②若集合A={x|x2+kx+4=0}中只有一个元素，则k=±4；③函数y=11−2x在(−∞,0)上是增函数；④方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是1.所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.三、解答题(共6题；共65分)17．（10分）若集合A＝{x ∈R| x2−x−12≤0}和B＝{ x ∈R|2m－1≤x≤m＋1}．（1）（5分）当m=−3时，求集合A∪B.（2）（5分）当B∩A=B时，求实数m的取值范围．18．（10分）（1）（5分）计算(lg14−lg25)÷10012的值；（2）（5分）已知tanα=2，求2sinα−3cosα4sinα−9cosα和sinαcosα的值．19．（10分）已知函数f(x)=a(sin2x−π6)−a+b(a，b∈R，且a<0).（1）（5分）若当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[−5，1]，求实数a，b的值；（2）（5分）在（1）条件下，求函数f(x)图像的对称中心.20．（15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,3)，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）若g(x)=f(x)−(2t−4)x在区间[−1,2]上有最小值2，求实数t的值；（3）（5分）设ℎ(x)=mx2−4x+m，若当x∈[−1,2]时，函数y=ℎ(x)的图象恒在y= f(x)图象的上方，求实数m的取值范围.21．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0 ， 8]，不等式log13(x+1)≥m2−3m恒成立，命题q：存在x∈(0 ， 2π3)，使不等式2sin2x+2sinxcosx≤√2m(sinx+cosx)成立．（1）（5分）若p为真命题，求m的取值范围；（2）（5分）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．22．（10分）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数，并满足f(x)+g(x)=2x （1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f(x)+x①判断ℎ(x)的单调性，并用定义证明；②若f(log2m)+f(2log2m−1)≤1−3log2m，求实数m的取值范围答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】根据题意：集合 A ={x|−1<x <1} ，集合 B ={x|0<x <1} ， ∴A ∩B =(0,1)故答案为： A ．【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.2．【答案】B【解析】【解答】角 α 的终边经过点p （﹣1， √3 ），其到原点的距离r =√1+3= 2Cos α=−12 ，sin α=√32∴sin2α=2 sin α cos α=2×（−12）×√32=−√32.故答案为：B ．【分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．3．【答案】B【解析】【解答】设幂函数的表达式为 f(x)=xn，则 (12)n =√22，解得 n =12 ，所以 f(x)=x 12 ，则 log 4f(2)=log 4212=12log 2212=12×12=14.故答案为：B.【分析】利用幂函数图象过点 (12,√22) 可以求出函数解析式，然后求出 log 4f(2) 即可。

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第一章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

2019年人教版高中《数学必修1》精选试题及答案100

2019年人教版高中《数学必修1》精选试题及答案单选题（共5道）1、若x∈R，n∈N+，定义Mxn=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），例如M﹣55=（﹣5）（﹣4）（﹣3）（﹣2）（﹣1）=﹣120，则函数f（x）=xMx﹣919的奇偶性为[]A是偶函数而不是奇函数B是奇函数而不是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数2、定义在R上的函数f（x）在（-∞，1）上为减函数，且y=f（x）的图象关于x=1成轴对称，则f（-1）与f（3）的大小关系是（）Af（-1）＞f（3）Bf（-1）＜f（3）Cf（-1）=f（3）D大小关系不确定3、函数y=x3+x的图象（）A关于原点对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于直线y=x对称4、已知f（x）=a-x（a＞0且a≠1），且f（-2）＞f（-3），则a的取值范围是（）Aa＞0Ba＞1Ca＜1D0＜a＜15、已知集合M={1，3}．N={x|0＜x＜3，x∈Z}，又P=M∪N，那么集合P的真子集共有（）A3个B7个C8个D15个简答题（共5道）6、已知函数是常数,且,满足,且有唯一解,求的解析式7、某太阳能热水器厂2007年的年生产量为670台，该年比上一年的年产量的增长率为34%．从2008年开始，以后的四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2008年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2008年该厂太阳能热水器的年生产量（结果精确到0.1台）；（2）求2011年该厂太阳能热水器的年生产量（结果精确到0.1台）；（3）如果2011年的太阳能热水器的实际安装量为1420台，假设以后若干年内太阳能热水器的年生产量的增长率保持在42%，到2015年，要使年安装量不少于年生产量的95%，这四年中太阳能热水器的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？（参考数据：1.423≈2.863，1.424≈4.066，1.6853≈4.788，1.6154≈6.8，1.5634=5.968）．8、已知函f（x）=1﹣2ax﹣a2x（a＞1）（1）求函f（x）的值域；（2）若x∈[﹣2，1]时，函f（x）的最小值﹣7，求a的值和函f（x）的最大值．9、（12分）己知下列三个方程:x2+4ax-4a+3="0,"x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.。

2022-2023学年人教A版(2019)必修一第一、二章综合测试卷(word版含答案)

人教A 版（2019）第一二章综合测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.若命题:p 函数21y x =-的图像过点(-3,2),则p 与p ⌝的真假情况是( ) A.都是真命题 B.都是假命题 C.p 真,p ⌝假D.p 假,p ⌝真2.已知集合{|(2)(4)0},{|||(0)}A x x x B x x m m =+-=>，若B A ⊆，则m 的最大值为( ) A.1B.2C.3D.43.已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是( )A.(,2)-∞B.31,2⎛⎫⎪⎝⎭C.(1,2)D.(2,)+∞4.集合{}41x N x ∈-<用列举法表示为( ) A.{}0,1,2,3,4B.{}1,2,3,4C.{}0,1,2,3,4,5D.{}1,2,3,4,55.已知集合{}0,2,4,6A =，{}233n B n N =∈≤，则集合A B 的子集个数为（）A.4B.6C.7D.86.设3x <，则43x x +-（）A.最大值是7B.最小值是7C.最大值是1-D.最小值是1-7.已知m ∈R，若函数||()x m f x e +=对任意x ∈R 满足(2021)(2120)f x f x -=-，则不等式1(ln )ln 2f x f ex ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( )A.1,[,)e e ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B.1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,[,)e e ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D.[,)e +∞8.若不等式220x x m --<在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是( )A.[1,)-+∞B.(1,)-+∞C.3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(0,)+∞9.已知,0x y >，97x y xy ++=，则3xy 的最大值为( ) A.1B.2C.3D.410.正数a ，b 满足21a b +=，则2aab-的最小值为( )A.10B.6+C.D.1211.若12x -<<，则12x x +-的（）A.最小值为0B.最大值为4C.最小值为4D.最大值为012.已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为( ) A.40B.1674C.42D.169413.已知0,0x y >>，且4x y +=，则xy 最大值为( ) A.1B.2C.3D.4二、多项选择题14.设正实数,a b 满足1a b +=，则( )A.11a b+有最小值4 12D.22a b +有最小值1215.设正实数a b ，满足1a b +=，则下列结论正确的是（） A.11a b+有最小值412D.22a b +有最小值1216.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,3)-，则下列说法正确的是( ) A.0a >B.0bx c ->的解集是32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣C.20cx ax b +->的解集是23x x ⎧<-⎨⎩∣或1}x >D.a b c +<17.已知0a >，0b >，且1a b -=，则( )A.33a b >B.sin sin a b >C.22a b -+>D.b a a b >三、填空题18.若集合1{}1{|1}A B x mx =-==，，，且B A ⊆，则实数m 的值为_______. 19.已知集合126A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ∣用列举法表示集合A =_______.20.设全集为R ,集合{}|24A x x =≤<,集合{}|12B x x m =≤-,若A B ⋂≠∅,则实数m 的取值范围为___________.21.}{25A x x =-≤≤，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 取值范围是_______.22.已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.23.已知集合{}211A x x =<≤，{}20B x x a =->.若A B ⊆，则实数a 的取值范围为__________. 24.若0a >，0b >且240a b +-=，则12a b+的最小值为__________. 25.某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为________米.26.已知4a b +=，则22a b +的最小值为________. 27.在R 上定义运算：b a bcd a d c =-．若不等式1211x a a x--≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．28.若正数,a b 满足2e a a =，()ln 12e b b -=，则ab =_________. 29.若不等式210x qx p p++>的解集为{|24}x x <<，则实数p =________，q =_______. 四、解答题30.已知集合{|22}A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥. (1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈R ”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数a 的取值范围. 31.已知集合{}2210,,A x ax x a R x R =++=∈∈（1）当A 只有一个元素时，求a 的值，并写出这个元素；（2）当A 至多含有一个元素时，求a 的取值范围.32.已知集合{|25}A x x =-≤≤,{}|121B x m x m =+≤≤- ,若B A ⊆，求实数m 的取值范围.33.已知集合}{2340A x ax x =--=.（1）若A 中有两个元素,求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素,求实数的a 取值范围. 34.解下列不等式: （1）29610x x -+>；（2）212202x x -++>；（3）2690x x -+≤；（4）2230x x -+->.35.已知函数()2|2||2|f x x x =-++的最小值为m . (1)求m ；(2)若正实数a ，b ，c 满足2a b c m ++=，求211a b c++的最小值. 36.求解下列各题：（1）求2340)2x x y x x ++=<（的最大值；（2）求281)-1x y x x +=>（的最小值.37.已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---；（2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之.参考答案1.答案：D解析：∵p 与p ⌝必一真一假，而本题中p 显然是假命题，∴p ⌝必为真命题。

人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章函数的概念与性质综合测试(附答案与解析)

第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围；（3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。

2019版高中数学人教A版必修1：模块综合检测含解析

1.A.{1,4}:由已知可得U={1,2,3,4,5},A ∪B={1,3,5},故∁U (A ∪B )={2,4}.:C2.函数y=-1+l ≥4)的值域是( )og 14x (xA.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞):∵函数y=-1+l [4,+∞)上单调递减,og 14x 在≤-1+log 144=‒2,所求函数的值域为(-∞,-2].:A3.A.(-∞4.5.(12) B .(12,1) C .(1,32) D .(32,2):∵f(12)=e 12‒2<0,f (1)=e ‒1>0,·f (1)<0,∴函数f (x )=e x12)‒1x 的零点所在的区间是(12,1).:B6.设a=70.3,b=0.37,c=log 70.3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a:∵a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log 70.3<0,7.A.f (∴f(x)的图象关于y轴对称.又当x<0时,y=f(x)是减函数,∴当x>0时,y=f(x)是增函数.∴当|x1|<|x2|时,f(|x1|)<f(|x2|),即f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.答案:A8.已知一次函数f(x)=kx+b的图象过第一、第二、第三象限,且f(f(x))=9x+8,则f(2)等于( )A.-10B.-4C.2D.8解析:∵f(x)=kx+b,∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.又f(f(x))=9x+8,∴{k2=9,kb+b=8,解得{k=3,b=2或{k=-3,b=-4.∴f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.又f(x)的图象过第一、二、三象限,∴f(x)=3x+2,∴f(2)=8.答案:D9.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题图,可知函数f(x)在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由题图可知-1<log a b<0,得a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1,选A.答案:A10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析:根据映射的定义知,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.答案:A11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为( )A.10%B.12%C.25%D.40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,12.①② B.②③ C.③④ D.①④:分别画出它们的图象,可知函数y y=log 2x 满y=x 2与函数=x 与函数足f(x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2;函数满足f(x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f (x )的图象过点(3,427),则f (x )的解析式是____________________.:设f (x )=x α,则由已知得3α=427=334,=3,∴f (x )=x 34.14.解析15.x<0时,f (x )=-1-ln(-x ).:-1-ln(-x )16.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且函数ℎ(x )=f (x )+x ‒a 有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是___________________.:由题意可画出函数f (x ),如图所示,函数h (x )=f (x )+x-a 有且只有一个零点,={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0的图象)的图象与y=a-x 的图象有且只有一个交点,显然当a>1时满足条件.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.18.(1)当若(∁R A )∩B=B ,求实数m 的取值范围.(1)1<x ≤3,即集合A=(1,3];由{x -1>0,3-x ≥0,得-4≤0,得2x ≤22,x ≤2,即集合B=(-∞,2].∩B=(1,2],A ∪B=(-∞,3].由(1)得∁R A={x|x>3,或x ≤1}.R A )∩B=B ,∴B ⊆∁R A.B=⌀,则m ≥0;B ≠⌀,则m<0,∴2x ≤-m.∴x ≤log 2(-m ).19.680(0≤x ≤210).(x ‒220)2+1f (x )在区间[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f (x )有最大值680=1 660.故当年产量为210吨时,可获得最大利为‒15(210‒220)2+11 660万元.20.(12分)已知函数f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,若当x ,y ∈[-1,1],x+y ≠0时,有(x+y )·[f (x )+f (0.比较f(12)与f (13)的大小;判断f (x )的单调性,并加以证明;0≤x{-1≤x +12≤1,-1≤1-2x ≤1,x +12<1-2x ,解得<16.即不等式f (x +12)<f (1‒2x )的解集为[0,16).21.(12分)设f (x )=l .og 121-ax x-1为奇函数,a 为常数(1)求a 的值;证明f (x )在区间(1,+∞)内单调递增;若对于区间[3,4]上的每一个x 的值,不等式f (x )>+m 恒成立,求实数m 的取值范围.(12)x (1)∵f (-x )=-f (x ),<0,1)(x 2+1)0<<1,lo >0,(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)g 12(x 1+1)(x 2-1)(x1-1)(x 2+1)x 1)>f (x 2).x )在区间(1,+∞)内单调递增.设g (x )=lo,则g (x )在区间[3,4]上为增函数.∴g (x )>m 对x ∈[3,4]恒成立,g 12x +1x-1‒(12)x m<g (3)=-.98实数m 的取值范围是m<-.9822.①有且仅有故只需{Δ=4m 2-4(3m +4)>0,(x 1+1)+(x 2+1)>0,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔{m 2-3m -4>0,-2m +2>0,3m +4+(-2m )+1>0⇔{m <-1或m >4,m <1,m >-5.故m 的取值范围是-5<m<-1.(2)F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,即|4x-x 2|+a=0有4个实数根,即|4x-x 2|=-a 有4个实数根.令g (x )=|4x-x 2|,h (x )=-a.在同一坐标系中作出g (x )和h (x )的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x 2|=-a 有4个实数根,则需g (x )的图象与h (x )的图象有4个交点,故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a 的取值范围为-4<a<0.。

人教版高中数学选择性必修第一册-综合检测卷(含解析)

人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π32．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋cD ．－12a ＋b －12c4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 26．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝07.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427B.77C.33D.638．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为111．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为25512．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知点F2为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝2π3，S△AF2B＝23，则双曲线C的虚轴长为________．16．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0<k≤3，则e的取值范围为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．(1)求直线AC的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．(1)求圆C的方程；(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝22，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.(1)求证：BD⊥平面AA1C1；(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.542．已知四面体顶点A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)和D (－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为()A ．8B ．9C ．10D ．113.如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2.下列结论中正确的是()A.SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0B.SA →－SB →＋SC →－SD →＝0C.SA →·SB →＋SC →·SD →＝0D.SA →·SC →＝04．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．56．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．167．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．228．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为411．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π312．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足|PA||PB|＝12.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是()A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得|PD||PE|＝1 2C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则动点P的轨迹方程为________．15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是22318.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC ∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离．20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋ 3.过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若m＝1，OM→＋3OD→＝0，求k的值；(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋3)，则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案A解析设直线的倾斜角为α，则tan α＝3＋3－34－1＝33，∴α＝π6.故选A.2．(2019·北京，理)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则()A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b答案B 解析椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2.故选B.3.如图，在三棱锥O －ABC 中，D 是棱AC 的中点，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BD →＝()A.12a －b ＋12c B ．a ＋b －c C ．a －b ＋c D ．－12a ＋b －12c答案A解析OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋12AC →＝OA →＋12(OC →－OA →)＝12OA →＋12OC →，因此BD →＝OD →－OB →＝12OA→－OB →＋12OC →＝12a －b ＋12c .4．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段AB 的中点坐标是()A ．(2，6)B ．(3，2)C ．(6，4)D ．(4，6)答案B解析设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝6，则x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2，所以所求点的坐标为(3，2)．故选B.5．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为()A ．a 2 B.14a 2C.12a 2 D.34a 2答案B解析在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE →＝AB →＋BE →，AF →＝12AD →，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·12→＝12AB →·AD →＋12BE →·AD →.因为ABCD 是正四面体，所以BE ⊥AD ，∠BAD ＝π3，即BE →·AD →＝0，AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos π3＝12a 2，所以AE →·AF →＝14a 2.故选B.6．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案D解析由题意设圆心坐标为C (a ，0)(a >0)，∵圆C 与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，∴|3a ＋0＋4|9＋16＝2，解得a ＝2.∴圆心为C (2，0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选D.7.四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB ＝BC ＝2，AD ＝3，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为()A.427 B.77C.33D.63答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，3，0)．PB →＝(2，0，－2)，CD →＝(－2，1，0)，PD →＝(0，3，－2)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，2x ＋y ＝0，y －2z ＝0.取x ＝1得n ＝(1，2，3)．cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →||n |＝－422×14＝－77，可得PB 与平面PCD 所成角的正弦值为77.故选B.8．(2019·课标全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2 D.5答案A解析如图，由题意知以OF ＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝由|PQ |＝|OF |，得c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A ．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程x a ＋ya ＝1表示B ．存在实数m ，使得方程x ＋my －2＝0能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．点(0，2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1，1)答案BD 解析对于A ，若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为零，故不能用方程x a ＋ya＝1表示，所以A 错误；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 错误；对于D y ＝x ＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以D 正确．故选BD.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是()A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEF C.CE →＝12DA →＋DD 1→－DC→D ．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1边长为2，点B 1到平面CEF 的距离为1答案AC解析对于A ，因为E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，所以EF ∥A 1C 1，且EF ⊂平面CEF ，故A 1C 1∥平面CEF 成立，A 正确；对于B ，以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，C (0，2，0)，A (2，0，0，)，B 1(2，2，2)，D 1(0，0，2)，E (1，0，2)，F (0，1，2)，B 1D →＝(－2，－2，－2)，FC →＝(0，1，－2)，因为B 1D →·FC →＝0－2＋4＝2≠0，所以B 1D →与FC →不垂直，又CF ⊂平面CEF ，所以B 1D 与平面CEF 不垂直，B 错误；对于C ，12DA →＋DD 1→－DC →＝12(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，又CE →＝(1，－2，2)，所以CE →＝12DA→＋DD 1→－DC →成立，C 正确；对于D ，连接B 1E ，EF →＝(－1，1，0)，EC →＝(－1，2，－2)，设平面EFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·n ＝0，·n ＝0，x ＋y ＝0，x ＋2y －2z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，2，1)，又B 1E →＝(－1，－2，0)，所以点B 1到平面CEF 的距离d ＝|B 1E →·n ||n |＝63＝2，D 错误．故选AC.11．已知P 是椭圆C ：x 26＋y 2＝1上的动点，Q 是圆D ：(x ＋1)2＋y 2＝15上的动点，则()A ．C 的焦距为5B ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为255答案BC解析∵x 26＋y 2＝1，∴a ＝6，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝6－1＝5，则C 的焦距为25，e ＝ca＝56＝306.设P (x ，y )(－6≤x ≤6)，则|PD |2＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋1－x 26＝＋45≥45>15，可知圆D 在C 的内部，且|PQ |的最小值为45－15＝55.故选BC.12．已知动点P 到两定点M (－2，0)，N (2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C ，则()A ．C 一定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为43D ．C 在一个面积为64的矩形内答案BCD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由题意可得（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16.对于A ，将原点坐标(0，0)代入方程得2×2＝4≠16，故A 错误；对于B ，设点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 1(x ，－y )，P 2(－x ，y )，因为（x ＋2）2＋（－y ）2·（x －2）2＋（－y ）2＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝16，（－x ＋2）2＋y 2·（－x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋y 2·（x ＋2）2＋y 2＝16，所以点P 1，P 2都在曲线C 上，所以曲线C 关于x 轴、y 轴对称，故B 正确；对于C ，设|PM |＝a ，|PN |＝b ，∠MPN ＝θ(0<θ<π)，则ab ＝16，由余弦定理得cos θ＝a 2＋b 2－162ab ＝a 2＋b 2－1632≥2ab －1632＝12，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，则θ，π3，所以sin θ≤32，则△MPN 的面积S △MPN ＝12ab sin θ≤12×16×32＝43，故C正确；对于D ，由16＝（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2≥（x ＋2）2·（x －2）2＝|x 2－4|，可得－16≤x 2－4≤16，得0≤x 2≤20，解得－25≤x ≤25，由C 知，S △MPN ＝12|MN |·|y |＝12×4×|y |≤43，得|y |≤23，因为45×43＝1615<64，所以曲线C 在一个面积为64的矩形内，故D 正确．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________．答案23a －13b ＋23c 解析PG →＝PB →＋BG→＝PB →＋23BD→＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23[(PA →－PB →)＋(PC →－PB →)]＝PB →＋23(PA →－2PB →＋PC →)＝23PA →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .14．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4，2)，则线段AP 中点M 的轨迹方程是________________；点M 的轨迹与圆C 相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)答案(x －2)2＋(y －1)2＝12x ＋y －4＝0解析设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，＝x 1＋42，＝y 1＋22，1＝2x －4，1＝2y －2.因为x 12＋y 12＝4，所以(2x －4)2＋(2y －2)2＝4.整理得(x －2)2＋(y －1)2＝1.①又圆C ：x 2＋y 2＝4，②由①－②得2x ＋y －4＝0，即为所求直线方程．15．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx 交双曲线C 于A ，B两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则双曲线C 的虚轴长为________．答案22解析由题意知点B 与点A 关于原点对称，设双曲线的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以∠F 1AF 2＝π3，设|AF 2|＝m ，不妨设点A 在点B 右侧，则|AF 1|＝2a ＋m .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝m 2＋(m ＋2a )2－m (m ＋2a )，化简得4c 2－4a 2＝m 2＋2ma ，即4b 2＝m (m ＋2a )．又S △AF 2B ＝12m (m ＋2a )·32＝23，所以b 2＝2，所以2b ＝2 2.16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．答案[3－1，1)解析设A (m ，n )，则B (－m ，－n )，则k ＝nm，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点，所以OM ∥BF 1，同理ON ∥AF 1，所以四边形OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，而AF 1→＝(1－m ，－n )，BF 1→＝(1＋m ，n )，所以(1－m )(1＋m )－n 2＝0，即m 2＋n 2＝1，又m 2a 2＋n 2b 2＝1，于是有m 2a 2＋n 2b 2＝m 2＋n 2，从而1a 2－11－1b 2＝n 2m 2＝k 2≤3，即1a 2＋3b2≥4，将b 2＝a 2－1代入上式，整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32，又a >c ＝1，所以4－23≤1a2<1，即3－1≤e <1.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三角形的顶点A (2，3)，B (0，－1)，C (－2，1)．(1)求直线AC 的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B 关于直线AC 的对称点D 的坐标．②若直线l 过点B 且与直线AC 交于点E ，|BE |＝3，求直线l 的方程．思路分析(1)由A (2，3)，C (－2，1)，可求出直线AC 的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；(2)选①由对称点的性质即可求出；选②设出E ，12t ＋t 的值，根据B ，E 两点的坐标即可求出直线的方程．解析(1)因为直线AC 的斜率为k AC ＝12，所以直线AC 的方程为y －3＝12(x －2)，即直线AC 的方程为x －2y ＋4＝0.(2)选择问题①：设D 的坐标为(m ，n )，·12＝－1，2·n －12＋4＝0，＝－125，＝195.所以点D －125，选择问题②：设E，12t ＋|BE |＝33，解得t ＝0或t ＝－125.所以E 的坐标为(0，2)－125，所以直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＋4＝0.18．(12分)已知圆C 经过三点O (0，0)，A (1，3)，B (4，0)．(1)求圆C 的方程；(2)求过点P (3，6)且被圆C 截得弦长为4的直线的方程．解析(1)由题意，设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＝0，＋9＋D ＋3E ＋F ＝0＋4D ＋F ＝0，＝－4，＝－2，＝0.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由(1)知圆心坐标为C (2，1)，半径为5，弦长为4时，圆心C 到直线的距离为1.①若直线斜率不存在，则直线方程为x ＝3，经检验符合题意；②若直线斜率存在，设直线斜率为k ，则直线方程为y －6＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋6＝0，则|5－k |1＋k 2＝1，解得k ＝125，所以直线方程为y －6＝125(x －3)，即12x －5y －6＝0.综上可知，直线方程为x ＝3或12x －5y －6＝0.19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．解析(1)若△POF 2为等边三角形，则P ，±32c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得c 24a2＋3c 24b2＝1，解得e 2＝4±23，所以e ＝3－1(3＋1已舍去)．(2)由题意可得|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，所以(|PF 1→|＋|PF 2→|)2－2|PF 1→|·|PF 2→|＝4c 2，所以2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1→|·|PF 2→|＝2b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝b 2＝16，解得b ＝4.因为(|PF 1→|＋|PF 2→|)2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即(2a )2≥4|PF 1→|·|PF 2→|，即a 2≥|PF 1→|·|PF 2→|，所以a 2≥32，所以a ≥42，即a 的取值范围为[42，＋∞)．20.(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，且△PCD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是矩形，BC ＝22，M 为BC 的中点．(1)求证：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小；(3)求点D 到平面AMP 的距离．解析以点D 为原点，分别以直线DA ，DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D (0，0，0)，P (0，1，3)，A (22，0，0)，M (2，2，0)，PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2，0)．(1)证明：∵PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .(2)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAM 的法向量，·PM →＝0，·AM →＝0，y －3z ＝0，＋2y ＝0，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．取p ＝(0，0，1)，显然p 为平面ABCD 的一个法向量，∵cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝36＝22，∴二面角P －AM －D 的大小为45°.(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ，由(2)可知n ＝(2，1，3)为平面AMP 的一个法向量，∴d ＝|DA →·n ||n |＝|22×2|2＋1＋3＝263，即点D 到平面AMP 的距离为263.21．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝BC 1＝2，∠AA 1C 1＝60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D .(1)求证：BD ⊥平面AA 1C 1；(2)设点E 是直线B 1C 1上一点，且DE ∥平面AA 1B 1B ，求平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值．解析(1)证明：由已知得侧面AA 1C 1C 是菱形，D 是AC 1的中点．∵BA ＝BC 1，∴BD ⊥AC 1.∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 1，平面ABC 1∩平面AA 1C 1C ＝AC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .(2)设点F 是A 1C 1的中点，连接DF ，EF ，∵点D 是AC 1的中点，∴DF ∥平面AA 1B 1B .又∵DE ∥平面AA 1B 1B ，∴平面DEF ∥平面AA 1B 1B .又∵平面DEF ∩平面A 1B 1C 1＝EF ，平面AA 1B 1B ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1.∴点E 是B 1C 1的中点．如图，以D 为原点，以DA 1，DA ，DB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC 1＝2，AD ＝1，BD ＝A 1D ＝DC ＝3，BC ＝6，∴D (0，0，0)，A (0，1，0)，A 1(3，0，0)，B (0，0，3)，C 1(0，－1，0)．设平面EBD 的法向量是m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥DB →，得3z ＝0⇒z ＝0.又DE →＝12(DC 1→＋DB 1→)＝12(DC 1→＋DB →＋AA 1→)1由m ⊥DE →，得(x ，y ，z10⇒32x －y ＝0.令x ＝1，得y ＝32，∴m ，32，∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，DA 1⊥AC 1，∴DA 1⊥平面ABC 1.∴DA 1→是平面ABC 1的一个法向量，DA 1→＝(3，0，0)．∴cos 〈m ，DA 1→〉＝31＋34×3＝277，∴平面EBD 与平面ABC 1夹角的余弦值是277.22．(12分)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且PM →·PF →＝0，|PM →|＝|PN →|.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)直线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－4，且46≤|AB →|≤430，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析(1)由题意知P 为线段MN 的中点，设N (x ，y )，则M (－x ，0)，由PM →·PF →＝0x，∴(－x )·10，∴y 2＝4x (x ＞0)，∴点N 的轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．(2)设l 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当l 与x 轴垂直时，则由OA →·OB →＝－4，得y 1＝22，y 2＝－22，|AB |＝42<46，不合题意．故l 与x 轴不垂直．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝－4.由点A ，B 在抛物线y 2＝4x (x >0)上有y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，故y 1y 2＝－8.又2＝4x ，＝kx ＋b ，联立消x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.∴4bk ＝－8，b ＝－2k.∴Δ＝16(1＋2k 2)，|AB |2y1－y 2)2∵46≤|AB |≤430，∴96480.解得直线l的斜率取值范围为－1，－12∪12，1.1．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54答案B2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC的距离为()A．8B．9C．10D．11答案D解析设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则·AB→＝0，·AC→＝0，x，y，z）·（2，－2，－3）＝0，x，y，z）·（4，0，6）＝0.x－2y－3z＝0，x＋6z＝0＝2x，＝－23x，令x＝1，则n，2AD→＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD→·n||n|＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是()A.SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0B.SA→－SB→＋SC→－SD→＝0C.SA→·SB→＋SC→·SD→＝0D.SA→·SC→＝0答案B解析本题考查空间向量的加减运算和数量积．由题意易知A错误；因为SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以B正确；因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →≠0，所以C 错误；连接AC ，在△SAC 中，SA ＝SC ＝2，AC ＝2，所以∠ASC ≠90°，所以cos ∠ASC ≠0，又SA →·SC →＝2×2×cos ∠ASC ，所以SA →·SC →≠0，所以D 错误．故选B.4．已知A 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 是抛物线C ：y 2＝－8ax 的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是()A ．(1，2)，324D ．(2，＋∞)答案B解析由题意得，A (－a ，0)，F (－2a ，0)，不妨设0，ba x AP →⊥FP →，得AP →·FP →＝0⇒0＋a ，b a x 0＋2a ，ba x 0⇒c 2a 2x 02＋3ax 0＋2a 2＝0.因为在双曲线E 的渐近线上存在点P ，所以Δ≥0，即9a 2－4×2a 2×c 2a 2≥0，9a 2≥8c 2⇒e 2≤98⇒－324≤e ≤324，又因为E 为双曲线，所以1<e ≤324.故选B.5.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ，点M 为PA 的中点，BD →＝λBN →.若MN ⊥AD ，则实数λ为()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析连接AC 交BD 于点O ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝2，则A (2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2)，0B (0，2，0)，∴BD →＝(0，－22，0)，设N (0，b ，0)，则BN →＝(0，b －2，0)．∵BD＝λBN →，∴－22＝λ(b －2)，∴b ＝2λ－22λ，∴N，2λ－22λ，，→－22，2λ－22λ，－AD →＝(－2，－2，0)，∵AD ⊥MN ，∴AD →·MN →＝1－2λ－4λ＝0，解得λ＝4.故选C.6．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的左、右焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝()A ．4B ．8C ．12D ．16答案B解析设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2.∵F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，∴F 1D 是△MAN 的中位线，∴|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)．∵点D 在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知，|DF 1|＋|DF 2|＝4，∴|AN |＋|BN |＝8.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点(异于点B )，则|PB ||PA |的最大值是()A ．2B ．4C.2D ．22答案A解析设点P (x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝2，所以|PB |2|PA |2＝（x 0－1）2＋（y 0＋1）2x 02＋（y 0＋2）2＝x 02＋y 02－2x 0＋2y 0＋2x 02＋y 02＋4y 0＋4＝－2x 0＋2y 0＋44y 0＋6＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，令λ＝－x 0＋y 0＋22y 0＋3，则λ≠0，x 0＋(2λ－1)y 0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋（2λ－1）2≤2，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以|PB ||PA |的最大值为2.8．【多选题】若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则()A ．b ＋c ，b －c ，a 共面B ．b ＋c ，b －c ，2b 共面C ．b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面D ．a ＋c ，a －2c ，c 共面答案BCD解析易知b ＋c ，b －c ，a 不共面；因为2b ＝(b ＋c )＋(b －c )，所以b ＋c ，b －c ，2b 共面；因为a ＋b ＋c ＝(b ＋c )＋a ，所以b ＋c ，a ，a ＋b ＋c 共面；因为a ＋c ＝(a －2c )＋3c ，所以a ＋c ，a －2c ，c 共面．故选BCD.9.【多选题】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP答案ACD解析在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接AC ，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，所以AD ＝AA 1＝1，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，C (0，3，0)，C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，D (0，0，0)，B (1，3，0)，则A 1C →＝(－1，3，－1)，D 1A →＝(1，0，－1)，DC 1→＝(0，3，1)，DB →＝(1，3，0)，A 1D 1→＝(－1，0，0)．当A 1C →＝2A 1P →时，P 为A 1C 的中点，根据长方体结构特征，可知P 为体对角线的中点，因此P 也为B 1D 的中点，所以B 1，P ，D 三点共线，故A 正确；当AP →⊥A 1C →时，AP ⊥A 1C ，由题意可得A 1C ＝1＋1＋3＝5，AC ＝1＋3＝2，因为S △A 1AC ＝12AA 1·AC ＝12A 1C ·AP ，所以AP ＝255，所以A 1P ＝55，即点P 为靠近点A 1的五等分点，所以，35，D 1P →，35，－AP →＝－15，35，D 1P →·AP →＝－425＋325－425＝－15≠0，所以AP →与D 1P →不垂直，故B 错误；当A 1C →＝3A 1P →时，A 1P →＝13A 1C →－13，33，－BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC 1→＝0，·DB →＝0，＋z ＝0，＋3y ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－3，1，－3)，又D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→＝，33，－D 1P →·n ＝0，因此D 1P →⊥n ，所以D 1P →∥平面BDC 1，故C 正确；当A 1C →＝5A 1P →时，A 1P →＝15A 1C →－15，35，－所以D 1P →＝A 1P →－A 1D 1→，35，－所以A 1C →·D 1P →＝0，A 1C →·D 1A →＝0，因此A 1C ⊥D 1P ，A 1C ⊥D 1A ，又D 1P ∩D 1A ＝D 1，所以A 1C ⊥平面D 1AP ，故D 正确．故选ACD.10．【多选题】已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，且|AF |＝3|BF |，M 为AB 中点，则下列结论正确的是()A ．∠CFD ＝90°B ．△CMD 为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为±3D ．△AOB 的面积为4答案AC解析如图，过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＝|AC |，所以∠AFC ＝∠ACF ，又因为∠OFC ＝∠ACF ，所以∠OFC ＝∠AFC ，所以FC 平分∠OFA ，同理可知FD 平分∠OFB ，所以∠CFD ＝90°，故A 正确；假设△CMD 为等腰直角三角形，则∠CFD ＝∠CMD ＝90°，则C ，D ，F ，M 四点共圆且圆的半径为12|CD |＝|MN |，又因为|AF |＝3|BF |，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|MN |＝2|BF |，所以|CD |＝2|MN |＝4|BF |，所以|CD |＝|AB |，显然不成立，故B 错误；设直线AB的方程为x ＝my ＋12＝4x ，＋1，所以y 2－4my －4＝01＋y 2＝4m ，1y 2＝－4，又因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 22y 2＝4m ，3y 22＝－4，所以m 2＝13，所以1m ＝±3，所以直线AB 的斜率为±3，故C 正确；取m ＝331＋y 2＝433，1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝833，所以S △AOB ＝12·|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×833＝433D 错误．故选AC.11．【多选题】a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与a 所成角的最小值为π4B ．直线AB 与a 所成角的最大值为π3C ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π6D ．当直线AB 与a 所成的角为π3时，AB 与b 所成的角为π3答案AD解析由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，BC 长为半径的圆，设CB 旋转到直线a 上时为CE ，旋转到直线b 上时为CD ，以C 为坐标原点，以CD 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则D (1，0，0)，A (0，0，1)，设B 点在运动过程中的坐标为(cos θ，sin θ，0)，其中θ为射线CD 绕端点C 旋转到CB 形成的角，θ∈[0，2π)，∴AB 在运动过程中对应的向量AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝2，设AB 与a 所成的角为α，α∈0，π2，则cos α＝22|sin θ|∈0，22，∴α∈π4，π2，故A 正确，B错误；设AB 与b 所成的角为β，β∈0，π2，则cos β＝22|cos θ|，当AB 与a 所成的角为π3，即α＝π3时，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝22，∵cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴cos β＝22|cos θ|＝12，∵β∈0，π2，∴β＝π3，此时AB 与b所成的角为π3，故D 正确，C 错误．故选AD.12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A (－2，0)，B (4，0)，点P 满足|PA ||PB |＝12.设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是()A ．轨迹C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |答案BC解析设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －4）2＋y 2＝12，化简得(x ＋4)2＋y 2＝16，所以A 错误；假设在x轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得|PD ||PE |＝12，设D (m ，0)，E (n ，0)，则（x －n ）2＋y 2＝2（x －m ）2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－(8m －2n )x ＋4m 2－n 2＝0，由轨迹C 的方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得8m －2n ＝－24，4m 2－n 2＝0，解得m ＝－6，n ＝－12或m ＝－2，n ＝4(舍去)，即在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使|PD ||PE |＝12，所以B 正确；当A ，B ，P 三点不共线时，由|OA ||OB |＝12＝|PA ||PB |，可得射线PO 是∠APB 的平分线，所以C 正确；假设在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |，可设M (x ，y )，则有x 2＋y 2＝2（x ＋2）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋163x ＋163＝0，与x 2＋y 2＋8x ＝0联立，得x ＝2，不合题意，故不存在点M ，所以D 错误．故选BC.13．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________，动直线l 被圆C ：x 2＋y 2＋2x －24＝0截得弦长的最小值为________．答案－1223解析由题得m ×(－m )－(－1)×1＝0，所以m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，舍去，故m ＝－1.因为圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －24＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝25，所以圆心为C (－1，0)，半径为5.由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)，所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2×52－（2）2＝223.14．已知M (－2，0)，N (2，0)，点P (x ，y )为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P 的轨迹方程为________．答案y 2＝－8x 解析由题意，知MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理，得y 2＝－8x .15．已知直线l ：4x －3y ＋6＝0，抛物线C ：y 2＝4x 上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为________，P 到直线l 距离的最小值为________．答案134解析设抛物线C ：y 2＝4x 上的点P 到直线4x －3y ＋6＝0的距离为d 1，到准线的距离为d 2，到y 轴的距离为d 3，由抛物线方程可得焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，则d 3＝d 2－1，|PF |＝d 2，因此d 1＋d 3＝d 1＋d 2－1＝d 1＋|PF |－1，因为d 1＋|PF |的最小值是焦点F 到直线4x －3y ＋6＝0的距离，即|4＋6|42＋（－3）2＝2，所以d 1＋d 3＝d 1＋|PF |－1的最小值为2－1＝1；设平行于直线l 且与抛物线C ：y 2＝4x 相切的直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由x －3y ＋m ＝0，2＝4x ，得y 2－3y ＋m ＝0，因为直线4x －3y ＋m ＝0与抛物线C ：y 2＝4x 相切，所以Δ＝(－3)2－4m ＝0，解得m ＝94，因此该切线方程为4x －3y ＋94＝0，所以两平行线间的距离为6－9442＋（－3）2＝34，即P 到直线l 距离的最小值为34.16．已知直线l ：y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2＋y 2＝5上，求此椭圆的方程．解析(1)x ＋1，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，∴Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0⇒a 2＋b 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2a 2b 2＋a 2.∵线段AB ，∴2a 2b 2＋a 2＝43，得a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2c 2，∴e ＝22.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则点F 关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为P (1，1－c )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝5上，∴1＋(1－c )2＝5，即c 2－2c －3＝0.∵c >0，∴c ＝3，又a 2＝2c 2且a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝32，b ＝3，∴椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223解析(1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以AB ⊥AD .又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，AB ⊂平面ABFE ，AF ⊂平面ABFE ，所以AD ⊥平面ABFE .因为AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE .(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (0，0，0)，F (2，2，0)，C (2，0，2)，P (1，－h ，1)，AF →＝(2，2，0)，AC →＝(2，0，2)，AP →＝(1，－h ，1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ，所以n ＝(1，－1，－1－h )．因为二面角C －AF －P 的余弦值为223，所以|cos 〈m ·n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|1＋1＋1＋h |3×2＋（h ＋1）2＝223，解得h ＝1或h ＝－35(舍)，所以正四棱锥P －ABCD 的高h ＝1.18.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.。

2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019年高一数学必修1综合练习
一、选择题
（1）若集合A={1，3，x}，B={1，2
x }，A ∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x 的个数有（）
（A ） 1个（B ） 2个（C ）3个（D ） 4个
（2）集合M={（x ，y ）| x ＞0，y ＞0}，N={（x ，y ）| x+y ＞0，xy ＞0}则（）
（A ）M=N （B ）M
N （C ）M
N （D ）M ⋂N=∅
（3）下列图象中不能表示函数的图象的是（）
y y y
o x x o x o x
（A ）（B ）（C ） (D) （4）若函数y=f （x ）的定义域是[2，4]，则y=f （12
log x ）的定义域是（）
（A ） [
12，1] （B ） [4，16] （C ）[116，1
4
] （D ）[2，4 ] （5）函数201()()22
f x x x =-++的定义域为（）
（A ）1
(2,)2- （B ）（-2，+∞）（C ）11(2,)(,)22-⋃+∞ （D ）1(,)2
+∞
（6）设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（）
（A ）()f π＞(3)f -＞(2)f - （B ）()f π＞(2)f -＞(3)f - （C ）()f π＜(3)f -＜(2)f - （D ）()f π＜(2)f -＜(3)f - （7）0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.9
1.1c =，那么（）（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）c ＜a ＜b （8）已知函数3(10)
()[(5)](10)
n n f n f f n n -≥⎧=⎨
+<⎩，其中n ∈N ，则f （8）=（）
（A ）6 （B ）7 （C ） 2 （D ）4
（9）某工厂今年前五个月每月生产某种产品的数量C （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，则这个工厂对这种产品来说（）
（A）一至三月每月生产数量逐月增加，四、五两月每月生产数量逐月减少
（B）一至三月每月生产数量逐月增加，四、五月每月生产数量与三月持平
（C）一至三月每月生产数量逐月增加，四、五两月均停止生产
（D）一至三月每月生产数量不变，四、五两月均停止生产
（10）若函数f（x）和g（x）都为奇函数，函数F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上有最大值10，则F（x）在（-∞，0）上有（）
（A）最小值-10 （B）最小值-7 （C）最小值-4 （D）最大值-10
（11）若函数
1
()log()(01
1
a
f x a a
x
=>≠
+
且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（）（A）
1
2
（B（C）
2
（D）2
（12）如果二次函数f（x）=3x2+bx+1在（-∞，]
1
3
-上是减函数，在[1
3
-，+∞）上是增函数，则f（x）的最小值为（）
（A）
11
12
-（B）
2
3
-（C）
11
12
（D）
2
3
二、填空题
（13）函数
21
3
log log
y x
=（）的定义域为.
（14）若集合M={x| x2+x-6=0}，N={x| kx+1=0}，且N⊆M，则k的可能值组成的集合为.
（15）设函数2
21
12
22
x x
f x x x
x x
+≤-
⎧
⎪
=-
⎨
⎪≥
⎩
（）
（）（〈〈）
（）
，若f（x）=3，则x= .
（16）有以下4个命题：
①函数f（x）= a x（a＞0且a≠1）与函数g（x）=log a a x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数f（x）=x3与函数g（x）=3 x的值域相同；
③函数f（x）=（x-1）2与g（x）=2
x -1在（0，+∞）上都是增函数；
④如果函数f（x）有反函数f -1（x），则f（x+1）的反函数是f -1（x+1）.
其中
•
••
不正确的题号为.
三、解答题
（17）计算下列各式
（Ⅰ）
2
lg 2lg5lg 201+-（）
（Ⅱ） 41
6
0.250
3
21648200549
-+---）（）（）
（18）定义在实数R 上的函数y= f （x ）是偶函数，当x ≥0时，2
483f x x x =-+-（
）. （Ⅰ）求f （x ）在R 上的表达式；
（Ⅱ）求y=f （x ）的最大值，并写出f （x ）在R 上的单调区间（不必证明）.
（19）已知二次函数f （x ）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x = 2，且f （x ）的两个零点的平方和为10，求f （x ）的解析式.
（20）已知函数2
1log 1x
f x x
+=-（），（x ∈（- 1，1）. （Ⅰ）判断f （x ）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）判断f （x ）在（- 1，1）上的单调性，并证明.
（21）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少。

把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元。

现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售. 问：（Ⅰ）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（Ⅱ）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？。