中考数学专题复习16矩形折叠问题(最新整理)

中考数学专题复习16——矩形折叠问来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度）例2．在长方形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如图所示：（1）请说明△ABF △CFF（2）求思路分析：在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了.例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。

（1）说明 DE=DF（2）求（3）求EF 的长度思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路：①可说明全等；② 可说明△DEF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰例4 如图①，将边长为4cm 的正方形纸片 ABCD 沿EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP．(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM的周长= cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点 M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A、D 重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．思路分析：（1）①设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在Rt△AEM 中，运用勾股定理求AE；②过点 F 作FG⊥AB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点M 关于EF 对称，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出 x、y 的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．三.能力训练1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A．2＋B．2＋2 C．12 D．182.如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在纸片上的点 H 处，连接 AH，则与∠BEG相等的角的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．13.如图所示，把一长方形纸片沿MN 折叠后，点D，C 分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于（）（A）144°（B）126°（C）108°（D）72°4.如图，矩形纸片ABCD 中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG，记与点A 重合点为A＇，则△A＇BG 的面积与该矩形的面积比为（）A.B．C．D．第4题图第5题图5.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的处，点A 对应点为，且=3，则AM 的长是（）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.56.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿EF折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm7.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN，则线段CN 的长是（）A.3cm B．4cm C．5cm D．6cm8.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为．9.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD 上有一点E，ED＝2cm，AD 上有一点P，PD＝3cm，过P 作PF⊥AD交BC 于F，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是cm.10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD 交于点E.（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG⊥AE 于G，PH⊥EC 于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.思维拓展：1.如图，折叠矩形的一边 AD，折痕为AE，点E 在边CD 上，折叠后点 D 落在BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，AD=10cm，求AE 的长.2.如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在x 轴上，点 C 在y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点D 处．已知折痕,且，求直线 CE 与x 轴交点 P 的坐标；3.已知：在矩形 AOBC 中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA 所在直线为 x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与 B,C重合），过 F 点的反比例函数的图象与 AC 边交于点 E．请探索：是否存在这样的点 F，使得将△CEF沿EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP= ，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当时，折痕EF 的长为；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为；（2）请写出使四边形EPFD 为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E 在AD、点F 在BC 上时，写出与的函数关系式。

当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。

5.问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．类比归纳在图（1）中，若则的值等于；若则的值等于；若（为整数），则的值等于．（用含的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于．（用含的式子表示）参考答案例1 由题意可得：AD=BC=10，又由折叠可知：AF=AD=10 DE=EF∴ 在Rt△ABF 中，根据勾股定理可得：∴BF=6，∴ FC=10-6=4 。

设DE= ，则，故，在Rt△CEF中，根据勾股定理可得：，解得：即：DE=5另解：本题亦可以由长方形的面积 S 长方形ABCD=S△ABF+S△ADE+S△AEF+S△ECF列出方程：解得例2 解：（1）由题意可得：AD=BC=8，CD=AB=4又由折叠可知：AE=AD=8，CE=CD=4，∠E=∠D=90°在△ABF 与△CEF 中：∠B=∠E=90°∠AFB=∠CFE（对顶角相等）AB=CE=4∴△ABF△CFF（AAS）（2）∵ △ABF△CFF，∴AF=FC，BF=EF设 EF= ，则 BF= ，∴ 在Rt△CEF 中，由勾股定理可得：解得：即EF=3∴此题中对于△ABF，同样可以通过设未知数，利用勾股定理求解。

例3 解：（1）方法一：由题意可得：CD=AB=3，∠ADC=90°由折叠可得：DG=CD=3，∠G=∠C=90°，∠GDF=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°∴ ∠1=∠3故在△DEG与△DCF中：∠G=∠C（已证）DG=CD（已证）∴ △DEG≌△DCF（ASA）∠1=∠3（已证）∴ DE=DF方法二：∵ 长方形 ABCD ∴ AD∥BC∴ ∠4=∠6（两直线平行，内错角相等）又由折叠可知∠4=∠5∴ ∠5=∠6（等量代换）∴ DE=DF（等角对等边）（2）求解：由折叠可知：EG=AE设，则，∴故在Rt△DEG中，根据勾股定理可得：解得：故EG DE=例 4能力训练答案1.B2. B3. B4. C5. B6. B7. A8.9.10.（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D又∠B′EC=∠DEA∴△AED≌△CEB′（2）延长HP 交AB 于M，则PM⊥AB ∵∠1=∠2，PG⊥AB′∴PM=PG∵CD∥AB∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴AE=CH=8-3=5在Rt△ADE 中，DE=3AD= =4∵PH+PM=AD∴PG+PH=AD=4.思维拓展答案：1.52.(16,0)3. 设存在这样的点 F，将△CEF沿EF 对折后，C 点恰好落在 OB 边上的 M 点，过点 E 作EN⊥OB，垂足为 N．由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-1/3k，MF=CF=3- 1/4k，∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，∴∠EMN=∠MFB．又∵∠ENM=∠MBF=90°，∴△EMN∽△MFB．∴ EN/MB=EM/MF，∴ 3/MB=(4-1/3k)/(3-1/4k)=[4(1-1/12k)]/[3(1-1/12k)]，∴MB= 9/4．∵MB²+BF²=MF²，∴ (9/4)²+(k/4)²=(3-1/4k)²，解得 k= 21/8．∴BF= k/4=21/32．∴存在符合条件的点 F，它的坐标为（4， 21/32）．4. 解：（1）3，（2）．当时，如图1，连接，为折痕，，令为，则，在中，，，解得，此时菱形边长为．（3）如图2，过作，易证，，当与点重合时，如图3，连接，，，．显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，当时，有最大值．此时，．综上所述，当取最大值时，，5.解：方法一：如图（1-1），连接．由题设，得四边形和四边形关于直线对称．∴垂直平分．∴∵四边形是正方形，∴∵设则在中，．∴解得，即在和在中，，，设则∴解得即分∴方法二：同方法一，如图（1－2），过点做交于点，连接∵∴四边形是平行四边形．∴同理，四边形也是平行四边形．∴∵在与中∴∵∴类比归纳（或）；；联系拓广相关推荐•中考数学专题复习16——矩形折叠问2012-05-18•中考数学“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。