中考数学折叠问题

2016年中考专题：折叠问题

折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：

1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；

2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；

3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；

4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；

5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。

折叠问题数学思想：

(1)思考问题的逆向(反方向)，

(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；

(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；

(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；

(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。

折叠问题主要有以下题型：

题型1：动手问题

此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．

题型2：证明问题

动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题

此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。

典型例题

一．折叠后求度数

例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950

练习

1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）

A．50°B．55°C．60°D．65°

2． 把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后ED 与BC 的交点为G ，D 、C 分别在M 、N 的位置上，若∠EFG =55°，则∠1=_______°，∠2=_______°

3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC

＝ 度。

二．折叠后求面积

例2．如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

练习

1. 如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．10

2. 如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。则△GFC 的面积是（ ）

A.1cm 2

B.2 cm 2

C.3 c m 2

D.4 cm 2

三．折叠后求长度

例3．如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103- 练习

1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。求EF 的长；(2)求梯形ABCE 的面积。

图 （1）

C D

E

B

A 图 （2） E A A A B

B B

C C C G

D

D D F F F 图a 图b 图c A B E

2.

如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm．求EC的长．

F C

D

B

A

E

3. 如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长．

四．折叠后得图形

例4．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）

A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形

练习

1. 如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（）

2. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B’处。得到Rt△AB’E（图乙），再延长EB’交AD于F，所得到的△AEF是（）

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形

D. 直角三角形

3. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

五．折叠后得结论

例5．把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A. ∠A=∠1+∠2

B. 2∠A=∠1+∠2

C. 3∠A=2∠1+∠2

D. 3∠A=2(∠1+∠2)

练习

1. 从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）

A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b)Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+ b 2Ｃ.(a+b)2 = a 2 +2ab+ b 2 Ｄ.a 2 +ab = a(a+b) 2. 如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）

A ．1:2

B ．2:1

C ．1:3

D ．3:1

六．折叠和剪切的综合应用

例6．在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

练习

1. 已知如图，矩形ABCD 中（图1），AD >AB ，O 为对角线的交点，过O 作一直线分别交于BC 、AD 于N 、M 。

（1）求证：梯形ABNM 的面积等于梯形CDMN 的面积；

（2）如图2，当MN 满足什么条件时，将矩形ABCD 以MN 为折痕，翻折后能使C 点恰好与A 点重合？（只写出满足的条件，不要求证明）

（3）在（2）的条件下，若翻折后重叠部分的面积是总覆盖部分面积的一半，求BN ：NC 的值。

A D E H

F

B

C G

（方案一）

A

D

E

F

B

C （方案二）

（1）

（2）